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1 UNIVERSITÄT HOHENHEIM INSTITUT FÜR LANDWIRTSCHAFTLICHE BETRIEBSLEHRE FACHGEBIET: PRODUKTIONSTHEORIE UND RESSOURCENÖKONOMIK Prof. Dr. Stephan Dabbert Planung und Entscheidung (B 00202) Lösung Aufgabe 7 (Investitionsrechnung) 1. Berechnung der für die Investitionsrechnung wichtigen Werte: 1.1 Anschaffungswert Kaufpreis + 16 % MWSt (pauschalierender Betrieb) - 10 % Treuerabatt + Überführung - 3 % Skonto (Barzahler) Anschaffungswert: Berechnung der Leistung Durchschnittliche jährliche Druschleistung: Lohndrusch: 950 ha (70 * * 5) / 10 Eigenfläche: Durchschnittliche jährl. Druschleistung: = 95 ha/jahr = 50 ha/jahr 145 ha/jahr Schwelle der variablen Abschreibung: Die Schwelle der var. Abschreibung von ha / 10 Jahre = 300 ha/jahr wird nicht überschritten! 1.3 Berechnung der Kosten bzw. Ausgaben: Fixe Kosten bzw. Ausgaben pro Jahr (ohne Kapitalkosten): Versicherung: Wartung und Reparatur: = 228 /Jahr = 772 /Jahr /Jahr Durchschn. Kosten Generalüberholung: 3000/10 = 300 /Jahr ET_Lösung_Aufg_7.doc

2 Variable Kosten bzw. Ausgaben pro ha: Treibstoffkosten: 15 l/ha * 0,50 /l sonst variable Kosten: Arbeitskosten: 2 h/ha * 11 /h = 7,50 /ha = 10,50 /ha = 22,00 /ha 40,00 /ha 2. Die Frage, ob sich die Investition lohnt, lässt sich mit einer statischen oder dynamischen Form der Investitionsrechnung beantworten. 2.1 Statische Investitionsrechnung: Die statische Investitionsrechnung vergleicht die durchschnittlichen jährlichen Kosten mit dem durchschnittlichen Erlös. Diese Methode ist etwas ungenauer als die dynamische Methode, da sie Zinsenzinsen und bei der Durchschnittsberechnung den Zeitpunkt des Anfalls unterschiedlicher Erträge und Kosten nicht berücksichtigt. Der Vorteil dieser Methode liegt im einfacheren Rechenverfahren, das auch einem praktischen Landwirt verständlich gemacht werden kann Durchschnittliche jährliche Kosten: Abschreibung: ( )/10 = /Jahr Zinsen: ( )/2 * 0,1 = /Jahr Kapitalkosten insgesamt: /Jahr Fixe Kosten (siehe 1.3.1) = /Jahr Durchschn. Kosten Generalüberholung (s ) = 300 /Jahr variable Kosten (s und 1.2.1)= 40 * 145 ha = /Jahr Kosten insgesamt: /Jahr Durchschnittlicher jährlicher Erlös (bzw. Kostenersparnis): Lohndrusch: 95 ha * 135 /ha Eigenfläche: 50 ha * 140 /ha Leistungen insgesamt: = /Jahr = /Jahr /Jahr Durchschnittlicher jährlicher Gewinn (bzw. Verlust): Erlös bzw. Kostenersparnis (siehe 2.1.2) Kosten (siehe 2.1.1) Gewinn: = /Jahr = /Jahr /Jahr Die Investition lohnt sich! 2.2 Dynamische Investitionsrechnung Die dynamische Investitionsrechnung geht nicht von periodisierten Einnahmen und Ausgaben aus wie die statische Investitionsrechnung, sondern bezieht sich direkt auf die Zahlungen und die unterschiedlichen Zeitpunkte, zu denen diese Zahlungen anfallen. Indem Zahlungen unterschiedlicher Zeitpunkte durch Aufoder Abzinsung auf einen Zeitpunkt bezogen werden, werden sie vergleichbar.

3 3 Der Kapitalwert ergibt sich aus der Summe aller auf den Entscheidungszeitpunkt (Zeitpunkt t 0 ) bezogenen Ausgaben ( - ) und Einnahmen ( + ). Bei einem positiven Kapitalwert überwiegen die abgezinsten Einnahmen, die Investition lohnt sich; bei einem negativen Kapitalwert lohnt sich die Investition nicht, weil die abgezinsten Ausgaben höher sind als die Einnahmen. Die Höhe des Kapitalwertes wird durch 3 Faktoren beeinflusst: Summe der Einnahmen und Ausgaben Zeitliche Verteilung der Einnahmen und Ausgaben Höhe des Kalkulationszinsfußes. Die dynamischen Methoden sind genauer als die statischen, jedoch mathematisch etwas schwieriger(wenn keine Formelsammlung oder Tabellenkalkulationsprogramm verfügbar ist) und vor allem einem Laien nur schwer vermittelbar. Die Fehler der statischen Methode werden umso größer, je länger der Betrachtungszeitraum (Lebensdauer der Investition), je höher der Kalkulationszinsfuß und je ungleichmäßiger Ausgaben und Einnahmen zeitlich verteilt sind. Bei 10 Jahren und einem Zinssatz von 10%, wie in der Aufgabe, werden die Abweichungen zwischen beiden Methoden schon fühlbar Zahlungen Zeitpunkt Ausgaben ( - ) / Einnahmen ( + ) 0 Investitionsausgabe: AUSGABEN: fixe Ausgaben: (siehe 1.3.1) Ende 1. Jahr variable Ausgaben (siehe 1.3.2) bis ( ) ha * 40 Ende 4. Jahr EINNAHMEN: 70 ha * ha * 140 SALDO wie Ende 1. bis 4. Jahr: Ende 5. Jahr Generalüberholung: SALDO AUSGABEN fixe Ausgaben: (siehe 1.3.1) Ende 6. Jahr variable Ausgaben (siehe 1.3.2) bis ( )ha * 40 Ende 9. Jahr EINNAHMEN: 120 ha * ha * 140 SALDO wie Ende 6. bis 9. Jahr Ende 10. Jahr Restwert SALDO = = = = = = = = = = = = = = =

4 Zuordnung der Zahlungen auf der Zeitachse: Kapitalwertmethode Bei der Kapitalwertmethode werden alle Zahlungen auf den Beginn des 1. Jahres abgezinst (Zeitpunkt t o ). Ausgaben erhalten ein negatives Vorzeichen, Einnahmen bzw. Einnahmenüberschüsse ein positives Vorzeichen. Bei einem positiven Kapitalwert ( C ) lohnt sich die Investition. C = P 0 : P 1 P 4 : P 5: P 6 P 9 : P 10 : * 3, ) * 0, ) * 3, ) * 0, ) * 0, ) , , , , ,72 Kapitalwert ( C ) = ,29 1) Rentenbarwertfaktor für n = 4 Jahre 2) Abzinsungsfaktor für n = 5 Jahre 3) Abzinsungsfaktor für n = 10 Jahre Der Kapitalwert ist negativ! Die Investition lohnt sich nicht! Horner - Regel Es ist rechentechnisch sicher einfacher, mit der Horner Regel alle 10 Jahre einzeln abzuzinsen: Die Horner Regel beginnt mit dem letzten Jahr und zinst den Einnahmenüberschuss von mit dem Faktor 1/1,1 = 0,90909 (Faktor in den Konstantenspeicher des Taschenrechners eingeben! ) über 1 Jahr ab, addiert zu dem so gewonnenen Wert den Einnahmenüberschuss des 9. Jahres ( ) und zinst diese Summe wiederum über 1 Jahr ab, addiert den Einnamenüberschuss des 8. Jahres, zinst die Summe über 1 Jahr ab und so fort und errechnet am Ende einen Kapitalwert von 1.387,23. Bei dieser Rechenmethode müssen ein-

5 5 schließlich des Abzinsungsfaktors nur 12 Werte in den Taschenrechner eingetippt werden Ermittlung des Kapitalwertes mit Excel Der Kapitalwert kann mit den Formeln der Tabellenkalkulationsprogramme ohne Rechenaufwand ermittelt werden. Im folgenden wird ein solches Arbeitsblatt gezeigt. Unterhalb der Zellen B 17 und C 19 sind die entsprechenden Formeln angezeigt A B C D Kapitalwertberechnung mit EXCEL Zeitpunkt jährl. Einnahmenüberschuß Kapitalwert Ende 1.Jahr Ende 2.Jahr Ende 3.Jahr Ende 4.Jahr Ende 5.Jahr Ende 6.Jahr Ende 7.Jahr Ende 8.Jahr Ende 9.Jahr Ende 10.Jahr Nettobarwert , ,77 =NBW(0,1;C7:C16) Kapitalwert ,23 =D6+C Annuität Mit dem Annuitätenfaktor kann aus dem Kapitalwert der durchschnittliche jährliche Gewinn bzw. Verlust ermittelt werden. Der jährliche Verlust bei Durchführung der Investition beträgt: jährl. Verlust = ,29 1) * 0, ) = - 225,78 /Jahr 1) Kapitalwert der Investition (siehe 2.2.3) 2) Annuitätenfaktor für n = 10 Jahre Im Gegensatz zur statischen Rechnung, die einen jährlichen Gewinn von ausweist, errechnet die genauere dynamische Methode einen durchschnittlichen jährlichen Verlust von 225,78. Der Ergebnisunterschied beider Methoden liegt bei pro Jahr und ist damit nicht unerheblich.

6 Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode vergleicht die aus dem Anschaffungswert der Investition sich ergebende Annuität (Kapitalkosten) mit der äquivalenten Annuität, die sich aus den jährlich variierenden Zahlungsüberschüssen ergibt. Die Annuität der Investitionsausgabe (A i ) errechnet sich aus: A i = ( * 0, ) ) * 0, ) = ,53 1) Abzinsungsfaktor für 10 Jahre 2) Annuitätenfaktor (i = 10 %; 10 Jahre, nachschüssige Zahlungen) Die ,53 entsprechen den Kapitalkosten (Abschreibung und Zinsen) der Investition unter Berücksichtigung des Schrottwertes. Ein Vergleich mit den Kapitalkosten der statischen Methode (Abschreibung und Zinsen ) in Höhe von zeigt, dass die dynamische Methode um 892 je Jahr höhere Kapitalkosten errechnet. Dies ergibt sich aus der Abzinsung des Schrottwertes und der Berücksichtigung von Zinseszinsen. Mit der äquivalenten Annuität wandelt man die unregelmäßige Reihe der Zahlungsüberschüsse in eine gleichwertige (äquivalente) Reihe regelmäßiger (gleicher) Zahlungen um. Dazu muss zunächst aus den unregelmäßigen Zahlungen der Kapitalwert (C 0 ) ermittelt werden. Durch Multiplikation des Kapitalwerts mit dem Annuitätenfaktor erhält man die äquivalente Annuität (A z ). Kapitalwert der Zahlungsüberschüsse (C 0 ): a) * 3, ) = ,12 b) * 0, ) = 4.750,04 c) * 3, ) * 0, ) = ,17 C 0 = ,33 1) Rentenbarwertfaktor für n = 4 Jahre 2) Abzinsungsfaktor für n = 5 Jahre 3) Rentenbarwertfaktor für n = 5 Jahre Die äquivalente Annuität (A z ) der jährlichen Zahlungsüberschüsse errechnet sich aus: A z = ,33 * 0, ) = ,76 1) Annuitätenfaktor für 10 Jahre In Excel lässt sich die Annuität mit folgender Formel ermitteln: = RMZ (0,1; 10; ,33; 0; 0;) = ,41

7 7 Verglichen mit der statischen Rechnung (durchschnittlicher Erlös durchschnittliche Kosten (ohne Kapitalkosten) ), die einen Nettoerlös von ausweist, ermittelt die dynamische Methode auf Grund der geringeren Bewertung zukünftiger Erlöszuwächse um 550 geringere durchschnittliche Kapitalrückflüsse. Aus der Annuität der Kapitalrückflüsse und den Kapitalkosten (Annuität der Investitionsausgabe) errechnet sich der durchschnittliche Gewinn pro Jahr: Gewinn = A z - A i = , ,53 = - 225,77, ein Ergebnis, das wir auch schon mit der Kapitalwertmethode erhalten haben. Man kann sich daher frei für eine der beiden Methoden zur Problemlösung entscheiden. 3. Pay - Off - Periode Mit dem Begriff Pay - Off - Periode (Pay - Back - Periode oder Amortisationsdauer) bezeichnet man die Zeitspanne, innerhalb der die Einzahlungsüberschüsse (Kapitalrückflüsse) die Investitionsausgabe decken (statische Betrachtungsweise) bzw. bei dynamischer Betrachtungsweise den Anschaffungsbetrag und die kalkulatorischen Zinsen decken. Die Pay - Off - Periode (Kapitalrückflusszeit) ist auch ein Maß für das Risiko, das mit einer Investition verbunden ist. Da die Kosten und Erträge der Investitionsrechnung weitgehend Hypothesen über zukünftige Preise und Kosten sind, steigt mit zunehmender Amortisationsdauer das Risiko von Fehlschätzungen. Erst wenn nach Ende der Amortisationsdauer (Pay Off Periode) noch entsprechende Einnahmenüberschüsse erwartet werden können, entstehen Gewinne. 3.1 Statische Pay - Off - Methode Die statische Ermittlung der Pay - Off - Periode kumuliert die Einnahmenüberschüsse so lange, bis die Höhe der Investitionsausgabe erreicht ist, d.h. das eingesetzte Kapital wieder zurückgeflossen ist. Eine noch stärkere Vereinfachung liegt vor, wenn mit durchschnittlichen Einnahmenüberschüssen gerechnet wird. Die Pay - Off - Periode errechnet sich in diesem Fall aus Kapitaleinsatz dividiert durch die durchschnittlichen jährlichen Einnahmenüberschüsse (Erlös minus Kosten, ohne Kapitalkosten). Für den Beispielsbetrieb ergibt eine solche vereinfachte statische Berechnung: Pay - Off - Periode = / ( ) ) ) /Jahr = 6,29 Jahre 1) Durchschnittlicher jährl. Erlös: (siehe 2.1.2) 2) Durchschnittliche jährl. Kosten (ohne Abschr. u. Zinsen, siehe 2.1.1) Nach der Pay-Off-Methode würde sich eine Investition dann lohnen, wenn die Pay-Off-Periode kürzer als die Lebensdauer ist und nach Beendigung der Pay- Off-Periode keine negativen Einnahmenüberschüsse zu erwarten sind. Da die statische Methode die Zinsen vernachlässigt, ist sie wenig aussagekräftig. Würde man in obiger Rechnung durchschnittliche jährliche Zinszahlungen von /Jahr berücksichtigen, ergibt sich eine Pay-Off-Periode von 9,73 Jahren, d.h. nur sehr knapp unter der Lebensdauer des Mähdreschers.

8 8 Die Investition ist daher auch aus Sicht der statischen Investitionsrechnung als problematisch einzustufen. 3.2 Dynamische Pay - Off - Methode Die dynamische Methode errechnet die Amortisationsdauer aus dem Zeitraum der vergeht, bis die abgezinsten, kumulierten Kapitalrückflüsse gerade gleich dem eingesetzten Kapital sind, d.h. der Kapitalwert wird erstmals positiv. dynamische Pay-off-Methode Zeitpunkt jährl. Einnahmenüberschuss abgezinster Einnahmenüberschuss kumulierter Einnahmenüberschuss Kapitalwert ,00 Ende 1.Jahr , , ,18 Ende 2.Jahr , , ,53 Ende 3.Jahr , , ,03 Ende 4.Jahr , , ,93 Ende 5.Jahr , , ,88 Ende 6.Jahr , , ,99 Ende 7.Jahr , , ,35 Ende 8.Jahr , , ,14 Ende 9.Jahr , , ,03 Ende 10.Jahr , , ,23 Wie die Tabelle zeigt, ergibt sich während der Lebensdauer des Mähdreschers kein positiver Kapitalwert. Am Ende der Lebensdauer (Ende 10. Jahr) besteht noch ein negativer Kapitalwert von 1.387,23. Die Kapitalrückflüsse decken beim Kalkulationszinsfuß von 10 % nicht den Kapitaleinsatz. Die Investition lohnt sich nicht! 4. Interner Zinsfuß Der interne Zinsfuß zeigt an, welche Verzinsung des eingesetzten Kapitals sich aus den Einnahmenüberschüssen (Kapitalrückfluss) ergibt. Dies bedeutet: beim internen Zinsfuß ist der Kapitalwert der Investition gleich Null. Der interne Zinsfuß gibt die Effektivverzinsung des Investitionsobjekts an, unter der Prämisse, dass alle Einzahlungen zu diesem Zinssatz wieder angelegt werden können. Da die Bestimmungsgleichung für den internen Zinsfuß mathematisch eine Polynomgleichung n-ten Grades ist, die sich nicht allgemein nach dem

9 9 Zinssatz auflösen lässt, kann der interne Zinsfuß bei jährlich nicht konstanten Kapitalrückflüssen nur mit einem Suchalgorithmus ermittelt werden. Ein solcher Suchalgorithmus lässt sich sehr effizient mit der Horner Regel, und noch einfacher, mit einem Tabellenkalkulationsprogramm durchführen. Der Suchalgorithmus läuft nach folgenden Überlegungen ab: 1. Schritt: Da sich bei 10 % Kalkulationszinsfuß ein negativer Kapitalwert ergab, muss der effektive Zins < 10 % sein. Errechnen Sie daher mit der Horner Regel den Kapitalwert für einen Kalkulationszinssatz von 9 %. Der sich ergebende Kapitalwert beträgt ,40. Da bei 10 % sich ein negativer Kapitalwert ( 1.387,23 ) ergab, muss der effektive Zins zwischen 9 % und 10 % liegen, jedoch näher bei 10 %. Eine überschlägige lineare Interpolation ergibt eine Schätzung von 9,7 %. 2. Schritt: errechnen Sie den Kapitalwert für den Kalkulationszinsfuß von 9,7 %. Der Kapitalwert beträgt 213,05. Die effektive Verzinsung muss < 9,7 % und > 9 % sein. Eine näherungsweise Interpolation lässt einen Zinssatz von 9,65 % vermuten. Bei 9,65 % ergibt sich ein Kapitalwert von 14,81. Der effektive Zins muss daher geringfügig kleiner als 9,65 % sein. 3. Schritt: Der Kapitalwert für eine Kalkulationszinsfuß von 9,64 % beträgt + 24,93. Der effektive Zinssatz muss daher zwischen 9,65 % und 9,64 % liegen. Die Genauigkeit der Aussage kann durch weitere Schritte verbessert werden. Für dieses Beispiel dürfte die erzielte Genauigkeit jedoch ausreichend sein. Der interne Zinsfuß lässt sich auch mit den finanzmathematischen Funktionen der Tabellenkalkulationsprogramme errechnen. Für Excel lautet die Funktion: = IKV (Werte). Mit Werte wird der Bereich benannt, in dem die entsprechende Zahlungsreihe der Investition steht. Die Zahlungsreihe umfasst am Anfang die Investitionsausgabe (negativer Wert) und in den folgenden Zellen die jährlichen Einnahmenüberschüsse. Excel errechnet einen effektiven Zinssatz von 9, %.

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