Einführung in elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bodo Werner

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1 Einführung in elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Bodo Werner 17. Juni 2009

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Internet-Seiten Lehrbücher Beschreibende Statistik Einführung Die wichtigsten Begriffe Merkmalraum und andere wichtige Begriffe Stichprobe Quantitative und qualitative Merkmale Diskrete und kontinuierliche Merkmale Absolute, relative Häufigkeiten und ihre Verteilungen Grafische Darstellungen von Erhebungen Beispiel Diagramme in Excel Histogramme Eigenschaften von Häufigkeitsverteilungen Grafische Manipulationen Maßzahlen (Kenngrößen) Mittelwert Charakterisierung des Mittelwertes Mittelwert als Schwerpunkt Skaleneinfluss auf den Mittelwert Varianz, Streuung Skaleneinfluss Berechnungen mit Excel Median, Quantile, Quartile Empirische Verteilungsfunktion Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Korrelation zweier Merkmale Kontingenztafel

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Korrelationskoeffizient Regression Eine Warnung Einführung in die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung Elementare Anwendungen der Kombinatorik auf die Wahrscheinlichkeits- Rechnung Beispiele für Fragen aus der Stochastik Kombinatorik - eine Steilkurs Merkmalraum Zufallsvariable: Ein erster Zugang Zufällige Ereignisse Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Häufigkeiten Wahrscheinlichkeit bei Zufallsexperimenten Wahrscheinlichkeiten in der Statistik Wahrscheinlichkeit: Axiome von Kolmogoroff Einschluss (Inklusion) - Ausschluss (Exklusion)-Formel Wahrscheinlichkeits-Modelle, Verteilungen Diskrete Verteilungsfunktion bei quantitativen Merkmalen Bernoulli-, Binomial-, Laplace-Modelle und ihre Verteilungen Kontinuierliche Verteilungen Rechtecksverteilung Wahrscheinlichkeits-Dichte Exkurs Integration Normalverteilung - erster Zugang Bemerkungen zu kontinuierlichen Verteilungen in der Statistik Bedingte Wahrscheinlichkeiten, unabhängige Ereignisse Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeiten aus der Medizin Reelle Zufallsvariable Verteilung und Verteilungsfunktion Kenngrößen von Zufallsvariablen Erwartungswert Berechnung der Erwartungswerte für bestimmte Verteilungen Median, Quantile Varianz, Streuung Varianz von bestimmten Verteilungen Kenngrößen bei kontinuierlichen Verteilungen Rechnen mit Zufallsvariablen Unabhängigkeit und Kovarianz von Zufallsvariablen

5 INHALTSVERZEICHNIS Zufallsstichprobe und stochastische Unabhängigkeit Normalverteilung Zentraler Grenzwertsatz

6 6 INHALTSVERZEICHNIS

7 Kapitel 1 Vorwort Die mit den Begriffen Statistik, Zufall, und Wahrscheinlichkeit verbundene Stochastik 1 spielt auch außerhalb der Mathematik eine herausragende Rolle. Sei es die Wahrscheinlichkeit, im Glücksspiel zu gewinnen, die morgige Regenwahrscheinlichkeit in einem Wetterbericht, die Wahrscheinlichkeit, an einer bestimmten Krankheit zu erkranken, die neuesten Arbeitslosenstatistiken oder eine Umfrage vor der Bundestagswahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bank, ein Unternehmen, ein Häuslebauer oder gar ein Staat einen Kredit nicht zurückzahlen kann, prägt die Unsicherheit der derzeitigen Finanzkrise. Dass der Begriff Risiko vor dem Hintergund dieser Krise sowohl für den individuellen Geldanleger als auch für Banken, Versicherungen, ja für unsere demokratische Gesellschaft ein mit Wahrscheinlichkeit verbundener mathematischer Begriff ist, wird meist nur am Rande erwähnt. Die gesamte Versicherungsbranche ruht auf statistischen Grundlagen wie die (steigende) Lebenserwartungen bei Lebensversicherungen oder die Häufigkeit von Sturmschäden bei Gebäudeversicherungen. Diese Statistik dient der Riskoeinschätzung und der damit verbundenen Höhe der Versicherungsprämien. Auch die Medizin kommt ohne statistische Fallstudien bei der Erprobung neuer Medikamente oder bei der Frage, ob gewisse Umwelteinflüsse verantwortlich für das Auftreten bestimmter Krankheiten sind, nicht aus. Stochastik hat auch mit Warteschlangen an Fahrkartenschaltern der Bahn oder in Wartezimmern von Ärzten zu tun. Allgemein befasst sie sich mit Untersuchungen von Ereignissen, die vom Zufall beeinflusst werden. Zufällige Ereignisse werden oft durch erhobene Daten ( Zufällige Stichproben ) dokumentiert, für deren Analyse die Statistik geeignete Methoden bereitstellt. Für viele Studierende der Wirtschaftswissenschaften, Psychologie, Biologie, u.a. sind Mathematik und Statistik identisch. Wegen ihrer großen Bedeutung zählt die Stochastik heute zur Schulmathematik. Sie ist auch 1 Der Begriff Stochastik stammt ursprünglich aus dem Griechischen und bedeutet dort: die Kunst des geschickten Vermutens. Er umfasst sowohl die Wahrscheinlichkeitstheorie, auch Wahrscheinlichkeitsrechnung genannt, als auch die Statistik. 7

8 8 KAPITEL 1. VORWORT in Lehramtsstudiengängen i.a. ein Pflichtfach. Dieses Manuskript versucht einen Einstieg in die Stochastik, genauer in die beschreibende Statistik und in die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu geben. Es beruht auf einem im SoSe 05 im Rahmen der Mathematik IV für Studierende des Lehramts an der Grund- und Mittelstufe benutzten Skript, siehe Mathematik IV SoSe 05. Ich habe auch das sehr nützliche handschriftliche Skript von Susanne Koch (Mathematik IV - Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung vom SoSe 08) teilweise eingearbeitet. Die Kernpunkte dieses Skripts, die Gegenstand der Vorlesung und der Übungen im SoSe 09 sind, werden durch einen größeren Schrifttyp hervorgehoben. Ziel ist es in erster Linie nicht, Rezepte und Schemata zu vermitteln, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet oder wie man Daten einer Stichprobe auswertet oder gar statistische Tests durchführt. Vielmehr ist das Ziel, dass die grundlegenden Konzepte so weit verstanden werden, dass wenigstens exemplarisch Berechnungen und Auswertungen durchgeführt werden können und dass das nötige Vermögen 2 vorliegt, um im gesellschaftlichen Umfeld mitdenken und mitargumentieren zu können. Diese Konzepte der Stochastik verbinden sich in der Regel mit speziellen sprachlichen Begriffen ( Vokabeln ) wie diskreter und kontinuierlicher, qualitiver und quantitativer Merkmalraum, Häufigkeiten, (Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen von Stichproben bzw. Zufallsvariablen und (empirische) Verteilungsfunktionen und deren Kenngrößen wie Mittelwert, Erwartungswert, Standardabweichung, Streung, Varianz, Median, Quantile, Quartile, spezielle Wahrscheinlichkeits-Verteilungen wie Bernoulli-, Binomial-, Laplace-, Normalverteilung, stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen, bedingte Wahrscheinlichkeit sowie die Schätzung der Kenngrößen zugehöriger Zufallsvariable und Tests zur Absicherung von Hypothesen. Das Verständnis dieser Basisbegriffe kann man nicht mit der Unterstreichenkompetenz erzielen, es bedarf vielmehr einer wirklich anstrengenden Auseinandersetzung mit diesen Begriffen, die letztendlich zum Verständnis führt. Ich werde mit der sog. Beschreibenden (deskriptiven) Statistik beginnen, weil diese zum einen wesentlich einfacher ist als die Wahrscheinlichkeits-Rechnung, zum anderen aber auch im Alltag gegenwärtiger ist. Ich vermute auch 3, dass die Statistik vordergründig eine größere gesellschaftliche Bedeutung als die reine Wahrscheinlichkeitsrechnung hat. Ich denke nur an die Medizin und die Wirtschaftsstatistik. Allerdings sind beide Gebiete sehr eng verwoben, was hoffentlich deutlich werden wird. 1.1 Internet-Seiten Die möglichen Internetlinks sind in der pdf-datei rot hervorgehoben. In der Regel müssten Sie durch einen Doppelklick auf das rot Hervorgehobene einen Internet-Browser aufrufen können 2 Heute würde man von Kompetenz reden. 3 Ich bin kein Experte!

9 1.2. LEHRBÜCHER 9 Abbildung 1.1: JUMBO und so sofort zur entsprechenden Internetseite gelangen sofern Sie online sind. Übungsaufgaben werden ebenfalls solche Links enthalten, meist zu Java-Applets, die von Ihnen Aktionen erfordern. Dabei wird es keine Gebrauchsanweisungen zur Benutzung dieser Applets geben. Meist genügt ein zuweilen auch zeitaufwändiges Herumprobieren. Wichtig ist, dass Ihr Internetbrowser so eingestellt ist, dass er das Öffnen dieser Java-Applets zulässt. Unter Einstellungen müssen Sie Java und Java-Skripte aktivieren. 1. In den folgenden Seiten werden sehr häufig Bezüge zu einem hervorragenden Multi-Media- Manuskripts über Biometrie 4 der Uni Münster (Autoren: Achim Heinecke und Wolfgang Köpcke) hergestellt: Java unterstützte Münsteraner Biometrie-Oberfläche 5 Viele Beispiele und Grafiken verdanke ich diesem Skript. Die können eine CD-ROM mit allen Unterlagen bei Prof. Köpcke für nur 8 Euro bestellen (Stand 2005). Ich werde mich auf dieses Skript mit dem sympathischen Namen JUMBO beziehen, da dies die Kurzform des Arbeitstitels des Skripts (Java-Unterstützte Münsteraner Biometrie-Oberfläche) ist, siehe Abb Zu diesem Skript zitiere ich (H. Grahlki: Die akademische Lehre im Netz. Forschung und Lehre 2 (1998) 69-71): Es ergibt sich manchmal der Eindruck, dass die Begeisterung der Autoren über ihre Produkte in einem umgekehrten Verhältnis zu der Bereitschaft der Adressaten steht, die Systeme wirklich systematisch fr Lernzwecke zu nutzen. 2. Statistik I - Skript im Internet 6 (Uni Ulm) 1.2 Lehrbücher 1. Gerhard Hübner: Stochastik. Vieweg. 2. G. Fischer: Stochastik einmal anders. Vieweg Walter Krämer: Statistik verstehen. Piper. 4 Es geht im Wesentlichen um Statistik mit Anwendungen in der Medizin 5 6

10 10 KAPITEL 1. VORWORT 4. Johann Pfanzagl: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. de Gruyter. 5. Regina Storm: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Statistische Qualitätskontrolle. VEB.

11 Kapitel 2 Beschreibende Statistik 2.1 Einführung Alle empirischen Untersuchungen in Pädagogik, Psychologie, Marktforschung, Medizin, Biologie, Sozialwissenschaften etc. bedienen sich der beschreibenden (deskriptiven) Statistik, um ihre quantitativen Untersuchungsergebnisse für eine Analyse in Form von Tabellen, Grafiken und statistischen Maßzahlen aufzubereiten. Die Schließende Statistik dagegen befasst sich mit den Schlussfolgerungen aus den erhobenen Daten. Sie erfordert wesentlich tiefere Mathematik. Ohne verlässliches Zahlenmaterial kann man nur schwerlich planen. In der Politik ist es Aufgabe des Statistischen Bundesamtes und der statistischen Landesämter, solches Zahlenmaterial zur Information der Bevölkerung, der Gesetzgebung und Verwaltung, aber auch als Grundlage von Entscheidungen und zu wissenschaftlichen Analysen zu ermitteln. Dabei begnügt man sich mit Schätzungen auf Grund von (Teil-) Erhebungen, da nur selten die wahren Zahlen bekannt sind hierzu bedürfte es einer Totalerhebung. Das Wort Statistik hat etwas mit dem Staat zu tun, es bedeutet ursprünglich eine Art Staatskunde, einer Staatsbeschreibung, in der es vor allem um Zahlen geht! Schon in der Weihnachtsgeschichte (...auf dass alle Welt geschätzet werde... ) geht es um eine Volkszählung, die der römische Kaiser Augustus befahl. Noch heute ist die Bevölkerungsstatistik ein ganz wesentlicher Anlass zu politischen Diskussionen, von der Arbeitslosenstatistik ganz zu schweigen. Umweltschutz und Klimaschutz ist ohne Statistik gar nicht denkbar, da man nur durch Messungen auf Probleme hinweisen kann! Auch die Pädagogik hat wohl mittlerweile erkannt, dass ihre Lerntheorien ohne Empirie, d.h. ohne systematische statistische Auswertungen, unwissenschaftlich bleiben. Die Beziehung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung der Stochastik kommt dann zum Tragen, wenn man den empirischen Verteilungsfunktionen bekannte Verteilungen der Stochastik (Binomialverteilung, Normalverteilung, etc.) gegenüberstellt. Man kann Stichproben als eine Möglichkeit auffassen, Zufallsexperimente und die mit ihnen verbundenen Zufallsvariablen zu realisieren. Ausgangspunkt jeder Statistik sind statistische Daten in Gestalt von Erhebungen, meist Teilerhebungen in Form von (Zufalls-) Stichproben. Mathematisch formuliert wird bei quantitativen Merkmalen eine Stichprobe im einfachsten Fall durch einen einen Vektor x := (x 1, x 2,..., x n ) 11

12 12 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK IR n wiedergegeben, den ich Stichprobenvektor nenne 1. Dabei ist n IN der Umfang der Stichprobe, die Komponenten x k sind Zahlen die am k-ten Objekt (oder auch Individuum ) erhobenen Daten. Zum Beispiel könnte es sich bei x k um das Geburtsgewicht des k-ten Neugeborenen in einem Krankenhaus handeln, n ist dann die Anzahl der Neugeborenen, deren Gewicht man in der Erhebung misst. In den meisten praktischen Anwendungen, ist n relativ groß und die einzelnen Objekte gehen in der Statistik unter. Ferner sind die x k meist Zahlen. In solchen Fällen ist die typische grafische Darstellung ein Histogramm mit klassierten Daten. Die Reihenfolge der Daten, ausgedrückt durch eine spezielle Indizierung, spielt i.a. keine Rolle. Häufig werden aber nicht nur einzelne Zahlen x k erhoben, sondern gleich ein ganzer Datensatz wie z.b. bei Neugeborenen Gewicht, Name, Blutgruppe, Körperlänge, Alter und Beruf der Eltern, Datum und Uhrzeit der Geburt, etc. Dabei müssen die einzelnen Merkmale (wie z.b. Geschlecht und Blutgruppe) nicht quantitativ sein. Solche Merkmale heißen auch qualitative Merkmale. Betrachte das Beispiel des Histogramms in Abb Es sollen nur die langen roten Balken interessieren. Erfragt wird das Merkmal Schulwegzeit (in Minuten). Die Komponenten der Stichprobe waren ursprünglich eigentlich kontinuierliche Merkmale, auch wenn Zeiten nicht beliebig genau gemessen werden. Diese werden schon aus Genauigkeitsgründen in Zeitintervallen zusammengefasst (klassiert): Der Merkmalraum (s.u.) lautet Ω = {[0, 15], [16, 30],..., [91, 120], [121, )}, wobei immer auf ganze Minuten gerundet wird. Der Umfang der Stichprobe ergibt sich aus der Summe der Längen der roten Rechtecke, also etwa zu n = Die absolute Häufigkeit für eine Schulwegzeit zwischen 91 und 120 Minuten beträgt ca. 70, die relative Häufigkeit etwa 70/1620 = 4, 3%. Stichproben haben in der Regel ein Ziel. So will man beispielsweise durch eine Umfrage ermitteln, wie die Altersverteilung von Raucherinnen und Raucher ist. Man stellt sich z.b. die Frage: Wieviel Prozent aller 17-jährigen Jugendlichen rauchen mehr als 5 Zigaretten am Tag? Das Objekt der Begierde ist dann diese (unbekannte) Prozentzahl, die mit Hilfe einer Stichprobe geschätzt wird, man will von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen. Die k-te Komponente des Stichprobenvektors x gibt dann die Anzahl der täglichen Zigaretten des k-ten befragten 17-jährigen Jugendlichen an. Allgemein will man aus einer kleinen Teilgesamtheit Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit ziehen 2. An dem letzten Beispiel kann man auch den Bezug zur Wahrscheinlichkeitsrechnung erkennen: Die gesuchte Prozentzahl kann man auch als Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass ein zufällig ausgewählter 17-jähriger Jugendliche mehr als 5 Zigaretten raucht. Diese Wahrscheinlichkeit wird nun mit Hilfe 1 Ich habe auch den Namen Urliste gefunden. 2 Auch hier ist es unerheblich, welcher 17-jährige Jugendliche mit dem Index k verbunden ist.

13 2.1. EINFÜHRUNG 13 Abbildung 2.1: Schulwegzeiten einer relativen Häufigkeit aller derjenigen 17-jährigen Jugendlichen der Stichprobe, die mehr als 5 Zigaretten rauchen, geschätzt. Einen noch engeren Bezug der Statistik zur Wahrscheinlichkeitsrechnung wird deutlich, wenn man das immer wieder strapazierte Würfelspiel heranzieht. Angenommen, man möchte empirisch die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass man mit zwei Würfeln die Augensumme 10 würfelt 3. Dann kann man eine Stichprobe vom Umfang z.b. n = 100 Würfen mit zwei Würfeln durchführen und die Anzahl der Würfe zählen, die 10 als Ergebnis haben. Die relative Häufigkeit für ein solches Ereignis ist dann das Ergebnis der Stichprobe und kann als Schätzung für die gesuchte Wahrscheinlichkeit dienen. Das empirische Gesetz der großen Zahl (n ) ist es dann auch, was über diesen Weg zum Wahrscheinlichkeitsbegriff führt. Durch diese Einführung sollte schon deutlich werden, dass es eine enge Beziehung zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit gibt. Ziel des vorliegenden Skripts über Statistik ist nicht die Fähigkeit, den praktischen Umgang mit Statistiken einzuüben. Ziel ist es vielmehr, die mathematischen Grundprinzipien der Statistik als ein reiches Anwendungsfeld der Mathematik kennen und verstehen zu lernen, zumal diese im gesellschaftspolitischen Alltag eine große Bedeutung haben. Viele Ihrer Freundinnen und Freunde, die im Studium mit Mathematik zu tun haben, werden sich mit Statistik befassen müssen. Es wäre doch schön, wenn Sie mitreden können. Ich empfehle Ihnen, auf die grafischen Darstellungen in den Medien (Fernsehen, Zeitungen) zu achten und zu versuchen, diese hier einzuordnen. Dabei werden Sie sehr häufig auf einen Typ stoßen, den ich hier nicht behandeln werde: Grafiken, die die zeitliche Entwicklung irgendeiner Wachstumsgröße (z.b. Arbeitslosenzahlen) beschreiben. Bei der Analyse und Darstellung solcher Zeitreihen treten andere Fragestellungen als die hier behandelten auf. 3 Bei einem fairen Würfel beträgt diese 1 9.

14 14 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Die wichtigsten Begriffe Die folgenden Begriffe aus der Statistik sollten Sie am Ende der Vorlesung erklären können: Relative Häufigkeit eines Merkmals einer Stichprobe vom Umfang n in Gestalt eines Stichprobenvektors, die Häufigkeitsverteilung aller Merkmale in einer Stichprobe und ihre grafische Darstellung z.b. durch Histogramme, die zugehörige empirische Verteilungsfunktion, die Lagemaße (Kenngrößen) Mittelwert, Median, Quantile, Quartile einer quantitativen Stichprobe, die Streumaße Varianz und Standardabweichung sowie der Korrelationskoeffizient zwischen zwei Stichprobenvektoren. 2.2 Merkmalraum und andere wichtige Begriffe Zentraler Begriff sowohl der Statistik als auch der Wahrscheinlichkeits- Rechnung ist der des Merkmalraums, den wir Ω nennen. Dieser enthält alle möglichen 4 Ergebnisse einer Erhebung, auch Merkmalsausprägungen des jeweiligen Merkmals genannt. Die Elemente von Ω heißen Elementarereignisse und werden bei endlichem Ω mit ω 1, ω 2,..., ω m durchnummeriert. Die Merkmale sind i.w. der Gegenstand der Erhebung, also kurz Alter, Gewicht, Geschlecht, Zeitdauer, Nationalität,... Die formal präzise Form des Merkmalraums als Menge ist nicht immer so einfach, weil es häufig um Klassen und formal präzise um Intervalle von Zahlen geht. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung enthält der Merkmalraum die Ergebnisse von Zufallsexperimenten Stichprobe Da eine Totalerhebung nur bei kleinen Grundgesamtheiten möglich ist, wird man meist auf Teilerhebungen in Form von (Zufalls-) Stichproben angewiesen sein. Deren Ergebnisse sind gerade die Komponenten des Stichprobenvektors d.h. es gilt x k Ω, k = 1, 2,..., n. x = (x 1,..., x n ), 4 Man sagt, dass die durch die Merkmale gegebene Klasseneinteilung aller Erhebungsgegenstände disjunkt und erschöpfend sein muss.

15 2.2. MERKMALRAUM UND ANDERE WICHTIGE BEGRIFFE 15 In der Praxis muss der Datensatz nicht die formale Form eines Vektors haben. Die einzelnen Daten können auch durch Semikola getrennt sein, sie können auch untereinander aufgelistet werden. Man kann die Stichprobe auch als eine Funktion X : M Ω mit einer Menge M von n Individuen auffassen. Mit einer Durchnummerierung der Individuen, also von M := {1, 2,..., n}, ist dann x j = X(j) gerade der Funktionswert der Stichprobenfunktion X für das Individuum Nr.j. Auch Stichproben in der Statistik haben einen Zufallsaspekt: Das Ergebnis ist von vornerein nicht bekannt, es erscheint zuweilen zufällig. In diesem Sinne ist z.b. die Beobachtung der Blutgruppe eines Neugeborenen oder das Ergebnis einer Prüfung auch ein Zufallsexperiment. Man kann eine Stichprobe mit dem Begriff Zufallsvariable verbinden. Man spricht von einer echten Zufallsstichprobe, wenn dieser formal n Zufallsvariable X 1, X 2,..., X n zugeordnet werden können, die identisch verteilt und stochastisch unabhängig sind. Die Komponente x k der Stichprobe ist dann das Ergebnis des Zufallsexperiments X k, k = 1, 2,..., n. Beispiele von Erhebungen aus der Statistik: Eine Erhebung, die das Merkmal Geschlecht einer Person betrifft. Ω besteht aus den beiden Merkmalsausprägungen weiblich und männlich. Pisastudie Mathematik: Eine Testperson bearbeitet einen Aufgabensatz und wird mit einer Gesamtpunktzahl zwischen 0 und 1000 bewertet, d.h. Ω = {k IN 0 : 0 k 1000} IN. Wahlerhebung: Ω besteht aus allen zur Wahl stehenden Parteien. Es werden n WählerInnen befragt. Länge (in Metern) eines Menschen: Ω = [0, 3] IR. n ist die Anzahl der Menschen, die ausgemessen werden. Es wird von n Erwachsenen das Geschlecht, das Alter und die Anzahl der täglichen Zigaretten erhoben. Dann ist Ω das kartesische Produkt Ω = Ω 1 Ω 2 Ω 3 mit Ω 1 := { weiblich, männlich }, Ω 2 := [18, 120] IN, Ω 3 = IN 0. Man könnte N 0 durch ein Intervall [0, 1000] ersetzen, wenn man realistischerweise annimmt, dass kein Mensch mehr als tausend Zigaretten täglich rauchen wird. Es wird während eines Gewitters die Anzahl von Blitzen in einer Minute gezählt. Dann ist Ω := IN 0. Auch hierbei wird keine Obergrenze für die Anzahl der Blitze angenommen. n ist die Anzahl der jeweils eine Minute andauernden Zählungen ( Experimente ).

16 16 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Abbildung 2.2: Warenkorb Quantitative und qualitative Merkmale Man unterscheidet quantitative (zahlenmäßige) und qualitative (begriffliche) Merkmale. So sind die Merkmale Geschlecht und Blutgruppe qualitative, Alter und Gewicht sind quantitative Merkmale. Quantitative Merkmale sind immer ordinal, d.h., sie können angeordnet werden. Aber auch einige qualitative Merkmale sind ordinal, z.b. verbale Beurteilungen wie sehr gut, gut, befriedigend,..., viele Klassen (im Sport: Kreisliga, Bezirksliga,..., Bundesliga), aber auch Gewichtsklassen, Einkommensklassen,... Qualitative Merkmale, die nicht ordinal sind, heißen nominal. Die ganz aktuelle Abb. 2.2 kann man so interpretieren: Jeder ausgegebene Euro eines Bundesbürgers wird befragt, wofür er ausgegeben wird. Dabei gibt es 12 Klassen. Das Merkmal ist natürlich qualitativ und nominal. Die relativen Häufigkeiten liefern die Gewichtung bei der Berechnung der Preisentwicklung für einen Warenkorb. Achtung: Bei der Erhebung mehrerer verbundener Daten ist Ω ein kartesisches Produkt von Mengen. Wenn Daten zu jeweils einer Person durch einen Fragebogen ermittelt werden, gibt es zu jeder Person einen Datensatz. Der Umfang n ist dann die Anzahl der erhobenen Datensätze. In der Regel wird ein Teil der Daten qualitativ, ein anderer Teil quantitativ sein. Im einfachsten

17 2.2. MERKMALRAUM UND ANDERE WICHTIGE BEGRIFFE 17 Fall ist Ω IR 2. Dann kan die Stichprobe in Form einer Tabelle wiedergegeben werden, siehe auch Kap Bemerkung zum Begriff Datensatz: Dieser Begriff ist zentral für eine Datenbank, deren Tabellen aus lauter Datensätzen bestehen. Die Anzahl n der Datensätze entspricht dem Umfang der Stichprobe, die Datenfelder eines Datensatzes sind von verschiedenem Typ, z.b. vom Typ Text (Name), vom Typ Datum (Geburtsdatum), vom Typ Zahl (Gewicht) ein quantitatives Merkmal - oder auch vom Typ einer Grafik (Foto). So kann ich unter STiNE auf eine Datenbank aller TeilnehmerInnen dieser LV zurückgreifen. Wichtigste Daten der Datensätze sind Nachname, Vorname und Matrikelnummer. Aber auch die adresse, die Studienfächer, der angestrebte Abschluss und das Fachsemester werden erhoben. Aus der Sicht der TeilnehmerInnen besteht jede von ihnen besuchte LV ebenfalls aus einem Datensatz, der sicher den Titel der LV, den Namen der DozentIn sowie Ort und Zeiten enthält Diskrete und kontinuierliche Merkmale Ist Ω endlich oder wenigstens abzählbar, so heißt der Merkmalraum diskret, ansonsten kontinuierlich (manchmal auch stetig). Kontinuierliche Merkmale treten häufig bei statistischen Erhebungen der Länge 5, Gewicht, des Blutdrucks, der Temperatur, etc. auf. In der Regel fasst man gewisse Intervalle zu einer Merkmalsausprägung zusammen, man spricht von Klassierung (z.b. Gewichtsklassen ). So werden aus kontinuierlichen Merkmalen diskrete Merkmale, die in diesem Skript im Vordergrund stehen. Eine solche Klassierung ist jedenfalls immer dann angebracht, wenn der Umfang n der Stichprobe bzw. die Anzahl n der befragten Individuen sehr groß ist. Qualitative Merkmale sind immer diskret (z.b. Nationalität, Blutgruppe, Beruf, Partei,...) Absolute, relative Häufigkeiten und ihre Verteilungen Ist der Merkmalraum diskret, so kann man jedem Elementarereignis (auch Merkmalsausprägung genannt) ω Ω eine absolute und eine relative Häufigkeit innerhalb einer Stichprobe vom Umfang n zuordnen der vielleicht fundamentalste Begriff der Statistik. 5 Da man nur mit einer gewissen Genauigkeit misst, hat man es im Grunde auch nur mit endlich vielen Merkmalen zu tun. Dies sind aber zu viele, mathematisch ist es einfacher, mit kontinuierlichen Merkmalen zu arbeiten

18 18 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Definition 2.1. Die Anzahl H n (ω) der Beobachtungen innerhalb der Stichprobe des Umfangs n mit Ergebnis ω heißt absolute Häufigkeit 6, während der Quotient H n (ω)/n die relative Häufigkeit von ω ist. Nummeriert man die Elementarereignisse in Ω zu Ω := {ω 1, ω 2,..., ω m }, so setzen wir H j := H n (ω j ) als absolute Häufigkeit und h j := H j /n als relative Häufigkeit des j-ten Merkmals ω j.. Sei x = (x 1, x 2,..., x n ) Ω n mit x k Ω, k = 1, 2,.., n. das Ergebnis der Stichprobe. Dann gilt 7 und H n (ω) := {k : 1 k n und x k = ω} H 1 + H H m = n bzw. h 1 + h h m = 1. Die relativen Häufigkeiten werden auch in Prozent angegeben. So kann beispielsweise h j = 0, 31 = 31% gelten. Die Zusammenstellung aller relativer Häufigkeiten zu einem Vektor kann man auch als Häufigkeitsverteilung bezeichnen, deren grafische Darstellung im nächsten Abschnitt Kap. 2.3 erörtert wird. Definition 2.2. Sei h j die relative Häufigkeit von ω j Ω, j = 1, 2,..., m, im Stichprobenvektor x. Dann heißt der Vektor h := (h 1, h 2,..., h m ) Häufigkeitsverteilung der Stichprobe. Bemerkung: Es ist wichtig, die Ergebnisse x k, k = 1, 2,..., n, der Stichprobe von den potentiellen Merkmalsausprägungen ω j, j = 1, 2,..., m, zu unterscheiden. Ist n der Umfang der Stichprobe, so heißt dies nicht, dass es n verschiedene Ergebnisse x k gibt; Vielmehr werden i.a. mehrere x k mit einem ω j zusammenfallen, nämlich dann, wenn H j > 1. Meist gilt n >> m, so dass zwangsläufig einige H j > 1 sein müssen. 6 Diese wird in der Praxis häufig durch Strichlisten ermittelt. 7 Beachten Sie, dass die Anzahl A einer Menge A auch als #A bezeichnet wird.

19 2.3. GRAFISCHE DARSTELLUNGEN VON ERHEBUNGEN 19 Abbildung 2.3: Häufigkeitstabelle Ich versuche im Folgenden konsequent, den Index j für Merkmalsausprägungen ω j und den Index k für Stichprobenergebnisse x k zu verwenden. 2.3 Grafische Darstellungen von Erhebungen Die einfachste Form der grafischen Darstellung ist die durch ein Blockdiagramm, s. Abb Die Merkmalausprägungen werden an einer Achse in beliebiger bzw. in der natürlichen Reihenfolge (bei sogenannten ordinalen Merkmalen) angetragen. Darüber wird ein Block gezeichnet, dessen Höhe der absoluten bzw. der relativen Häufigkeit des jeweiligen Merkmals entspricht. Die Breite der Blöcke ist beliebig, sie sollte aber für alle Blöcke gleich sein. Bei einem Kreisdiagramm (s. Abb. 2.5) entspricht der absoluten bzw. der relativen Häufigkeit der Ausprägung der zentrale Winkel des zugeordneten Kreissegments. Bei einem Flächendiagramm (s. Abb. 2.6) entspricht der absoluten bzw. der relativen Häufigkeit der Ausprägung der Flächeninhalt des zugeordneten Segments. Neben grafischen Darstellungen kann man natürlich auch Tabellen verwenden, s. Abb. 2.3 mit klassierten Daten Beispiel Bei einer Stichprobe von Patienten, die unter Krampfadern im Unterschenkelbereich litten 8, wurde eine Salbe zur Linderung der Beschwerden angewandt. Eine halbe Stunde nach Auftragen der Salbe wurden die Patienten befragt, ob eine Besserung eingetreten sei. Es ergab sich folgende Liste: 8 Dieses für die LeserIn nicht so spannende Beispiel stammt aus JUMBO. Wenn Sie keine Krampfadern mögen, können Sie auch irgendwelche Muskelbeschwerden nach einer jugendlichen Betätigung betrachten.

20 20 KAPITEL 2. BESCHREIBENDE STATISTIK Besserung absolute Häufigkeit relative Häufigkeit keine 3 12,5% gering 10 41,7% deutlich 7 29,2% keine Angabe 4 16,6% Gesamt: % Tabelle 2.1: Auswertung der Krampfaderbehandlung Patient Besserung Patient Besserung 1 gering 13 gering 2 deutlich 14 gering 3 gering 15 keine 4 deutlich 16 keine Angabe 5 gering 17 gering 6 keine 18 deutlich 7 deutlich 19 deutlich 8 deutlich 20 gering 9 keine Angabe 21 keine Angabe 10 gering 22 gering 11 keine 23 gering 12 keine Angabe 24 deutlich Der (qualitative und ordinale) Merkmalraum Ω besteht aus den vier möglichen Antworten keine, gering, deutlich und keine Angabe. Hieraus ergibt sich die Tabelle 2.1 der absoluten und relativen Häufigkeiten. Eine grafische Darstellung durch Block-, Kreis- und Flächendiagramme findet man in den Abb Diagramme in Excel Das Microsoft-Tabellenkalkulationsprogramm Excel erlaubt statistische Berechnungen mit grafischer Aufbereitung durch Diagramme. Da es mit Open Office und Star Office auch kostenfreie und (fast) gleichwertige Software gibt, empfehle ich dringend deren Benutzung zum spielerischen Umgang mit Statistiken. Davon können Sie in der Schule profitieren! Beispiel: Man trage die absoluten Häufigkeiten der Tabelle 2.1 in eine Excel-Spalte, kann diese aufsummieren und in einer Nachbarspalte die relativen Häufigkeiten (in Prozent) berechnen.

1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18

1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18 3. Deskriptive Statistik Ziel der deskriptiven (beschreibenden) Statistik (explorativen Datenanalyse) ist die übersichtliche Darstellung der wesentlichen in den erhobenen Daten enthaltene Informationen

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