REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien

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1 REGRESSION Ee awedugsoreterte Eführug Marcus Hudec Chrsta Neuma Uterstützt vo Isttut für Statstk der Uverstät We

2 Eletug De Regresso st e velfältg esetzbares Werkzeug zur Beschrebug ees fuktoale Zusammehags zwsche Merkmale. Se erlaubt aber cht ur de Beschrebug ees vermutete Zusammehags, soder uter aderem auch Progose über zuküftge bzw. och cht beobachtete Etwckluge. Das Modul Regresso besteht aus folgede Tele: Der Tel Theoretscher Htergrud beschrebt Motvato ud Idee der Regressosaalyse als Techk zur Beschrebug ees fuktoale Zusammehags zwsche Merkmale. Ahad ees durchgägge Bespels wrd de formale Berechug der leare Regresso zweer Merkmale hergeletet. De Ergebsse sowe Iterpretatosmöglchkete werde dskutert. Außerdem werde verschedee Aspekte der Regressosaalyse, we z.b. Betrachtug der Resdue, Quadratsummezerlegug, Ausreßer sowe Bestmmthetsmaß vorgestellt ud dere Bedeutug erläutert. Besoderer Wert wrd auf de Uterstützug der Rechearbet durch zetgemäße Hlfsmttel gelegt. Querverwese zu de Tele Bespele zur Regresso sowe Iteraktve Regresso ermöglche de Awedug der vorgestellte Ihalte m Rahme vo praktsche Bespele. Der Tel Bespele zur Regresso ethält prasoreterte Awedugsmöglchkete der Regressosaalyse aus verschedee Fächer. Ahad der Bespele köe de vorgestellte Ihalte geübt ud gefestgt werde. Darüber haus werde de ezele Bespele Schwerpukte zu spezelle Aspekte der Regressosaalyse gesetzt. Der Tel Iteraktve Regresso lädt zur Beschäftgug mt Date auf dem Computer e. So soll etwa eer Puktwolke ee deale Gerade agepasst werde oder der Efluss vo Ausreßer auf de Regressosgerade demostrert werde. I de Tele Theoretscher Htergrud bzw. Bespele zur Regresso wrd a de passede Stelle auf de etsprechede Versuch verwese. Der Tel Kommetare & Lösuge st schleßlch spezell für de Lehrede gedacht ud ethält eersets zusätzlche Kommetare, Tpps ud Areguge zu de ezele Tele sowe de Lösuge zu de de Tele gestellte Arbetsaufgabe.

3 Ihalt Theoretscher Htergrud. Modell Bespel Ee gerade Le Auf der Suche ach der "optmale Gerade" Berechug Bespel: We häge Lestug ud Trebstoffverbrauch zusamme? Esatz des Computers Grafsche Darstellug Berechug der Parameter Egeschafte der Regressosgerade Zerlegug der Quadratsumme Bespel der VW-Golf-Motore Esatz des Computers Wetere Aspekte der Regresso Ausreßer Learserug Greze der Progose... 9 Ahag: Geaue Berechug der Regressosgerade... 3 Bespele zur Regresso Überscht Größeverglech Htergrud Musterbespel Zwekampf Musterbespel Zum Selbermache: Datesatz: Olympsche Spele Ausreßer Musterbespel Ascombe Bespel vo Ascombe Erdbeschleugug Theoretsche Grudlage Musterbespel Autos Grudlage Bespel : Läge Gewcht Bespel : Pres Lestug Bespel 3: Lestug Höchstgeschwdgket Selbstädges Arbete Bevölkerugsetwcklug Htergrud Österrech Spae Ngera Cha Selbstädges Arbete... 9 Lösuge Lösuge... 93

4 REGRESSION Theoretscher Htergrud Marcus Hudec Chrsta Neuma Uterstützt vo Isttut für Statstk der Uverstät We

5 Modell. Modell De Regressosaalyse st e Istrumet zur Utersuchug ees fuktoale Zusammehags zwsche Merkmale. Zur efache Herletug zehe wr her das efachste Modell der Regresso hera, das Modell des leare Zusammehags zwsche zwe Merkmale. Was bedeutet fuktoaler (learer) Zusammehag zwsche zwe Merkmale? Merkmale sd Phäomee, de be sogeate Merkmalsträger erhobe oder gemesse wurde. I der Pras köe dese Merkmale de uterschedlchste Gestalt aehme. We eer Stude de Arbeter eer Frma ach der Azahl der gelestete Überstude gefragt werde, st das utersuchte Merkmal Überstude. We am Marktamt der Umfag vo Äpfel achgemesse wrd, st das utersuchte Merkmal z.b. Umfag cm. We eem Retturer sowohl de Zet gemesse wrd als auch Abwürfe ud Verwegeruge mt Strafpukte belegt werde, sd de utersuchte Merkmale Zet Sekude ud Azahl der Strafpukte. Ee fuktoale Zusammehag ka es ur zwsche mdestes zwe Merkmale gebe. Oft hägt dabe e Merkmal vom adere ab. Bespel: Ma betrachtet be Golfspeler de Merkmale Azahl der Top Platzeruge m letzte Jahr ud Gewoees Presgeld m letzte Jahr. Es erschet eleuchted, dass e fuktoaler Zusammehag besteht. Ebefalls klar st, dass de Höhe des Presgelds vo der Azahl der Platzeruge abhägt ud cht umgekehrt. E learer Zusammehag bedeutet, dass de Art des Zusammehags durch ee Le (ee Gerade) beschrebe werde ka. Damt werde wr us m folgede äher beschäftge. 5

6 Modell Das Modell, das der (efache) Regressosaalyse zugrude legt, besteht grudsätzlch aus dre Kompoete: Eem Merkmal X, das auch als de uabhägge Varable bezechet wrd. Eem Merkmal Y, das auch als de abhägge Varable bezechet wrd. Der Aahme, dass zwsche dese bede Merkmale e fuktoaler Zusammehag der Form y f() besteht. De Regressosaalyse det zur Behadlug verschedeer Arte vo Fragestelluge: Erkee vo Zusammehäge Be zwe bsher och cht utersuchte Merkmale ka e fuktoaler Zusammehag erkat werde. Bespel: Ma möchte wsse, ob bzw. we stark de Verabrechug ees eue Medkamets mt der Erhöhug des Blutdrucks be Patete ehergeht. Nachwes vo Zusammehäge Ee Bezehug zwsche zwe Merkmale wrd vermutet. Mt der Regresso ka ma ee solche Bezehug achwese. Bespel: De Vermutug, dass zwsche Motorlestug ees Autos ud Trebstoffverbrauch e Zusammehag besteht, legt ahe. Mt Hlfe der Regresso ka dese Vermutug achgewese ud mt Zahle belegt werde. Schätzug der Art ud Größe vo Zusammehäge Art ud Größe ees bekate Zusammehags köe mt der Regressosaalyse geschätzt werde. Bespel: Im Durchschtt werde größere Mesche auch e größeres Körpergewcht habe. Aber we stark st deser Zusammehag? Progose fehleder oder zuküftger Werte Mt der Regresso köe fehlede oder zuküftge Werte progostzert werde. Bespel: We wrd sch de Ewoherzahl vo Österrech etwckel, we sch de Etwcklug der letzte füfzg Jahre auch de kommede zeh Jahre fortsetzt? 6

7 Bespel. Bespel I desem Kaptel wrd e efaches Bespel vorgestellt, das m Rahme deses Arbetshefts mmer weder zur Demostratoszwecke heragezoge wrd. Tabelle ethält Lestug ud Verbrauch vo sechs VW-Golf-Bezmotore. Motor Lestug kw Verbrauch l/km 55 6,4 74 7, , ,9 5 9,3 6 5,8 Tabelle Streudagramm: Lestug-Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km Lestug kw Abbldug Betrachtet ma das Streudagramm Abbldug, ka ma deutlch erkee, dass de lestugsstärkere Motore auch mehr Trebstoff verbrauche. Quelle: 7

8 Bespel Aus techscher Scht st es aheleged, dass zwsche de Merkmale Lestug ud Trebstoffverbrauch e fuktoaler Zusammehag besteht: de Mege a beötgtem Trebstoff st (uter aderem) ee Fukto der Motorlestug. Um de vorgestellte Fachbegrffe zu verdeutlche, köte ma das Bespel folgedermaße formulere: Das Merkmal Lestug übermmt de Rolle des Merkmals X, der uabhägge Varable. De ezele Merkmalsauspräguge des Merkmals X werde als bezechet. Bespel: st de Lestug des erste Autos, also 55 kw. Das Merkmal Trebstoffverbrauch übermmt de Rolle des Merkmals Y, der abhägge Varable. De ezele Merkmalsauspräguge des Merkmals Y werde als y bezechet. Bespel: y st der Trebstoffverbrauch des erste Autos, also y 6,4 l/km. Für jedes Auto steht also e Datepaar ( / y ) zur Verfügug: de Lestug ud der Trebstoffverbrauch y. De Datetabelle aus userem Bespel st Tabelle abgebldet. y 55 6,4 74 7, , ,9 5 9,3 6 5,8 Tabelle Das det zur Nummererug der Motore, de bezeche de Lestug, de y de Trebstoffverbrauch. Nu soll utersucht werde, welche Größe der Zusammehag zwsche Lestug ud Trebstoffverbrauch aufwest. Uter Umstäde köte auch de Progose vo fehlede Werte vo Iteresse se. 8

9 Ee gerade Le Ee gerade Le... De efachste Art ees fuktoale Zusammehags st der leare Zusammehag. Desem Modell legt de Vorstellug zugrude, dass der Zusammehag zwsche de Merkmale X ud Y durch ee Gerade beschrebe werde ka. Ee leare Zusammehag ka ma dara erkee, dass alle Datepukte zumdest aäherd durch ee Gerade beschrebe werde köe. De ezele Datepukte müsse zwar cht geau auf der Gerade lege, de Streuug der Pukte um de Gerade sollte aber zufällg se. Vergleche dazu Abbldug! Ma köte sch zumdest aäherd ee Gerade durch de Pukte vorstelle. We her vo fuktoale Zusammehäge gesproche wrd, hadelt es sch e um eakte Fuktoe m streg mathematsche S. Es kommt praktsch e vor, dass alle Datepukte geau auf eer Gerade lege. Aufgrud vo verschedee Eflüsse 3 werde de Datepukte stets mehr oder weger vo eem Fuktosgraphe abweche. Aus desem Grud wrd das Modell um ee sogeate Fehlerterm erwetert ud wr schrebe Y f(x)+e. Formal: Y a + bx + e Das Merkmal Y hägt lear vom Merkmal X (uter Berückschtgug des Fehlerterms e) ab. Der Schttpukt der Gerade mt der Y-Achse (m folgede kurz Schttpukt geat) wrd mt a bezechet, der Asteg der Gerade mt b (Abbldug ). We de Pukte bestmmte Streuugsmuster aufwese, ka es se, dass de Apassug durch ee Gerade cht agebracht st. Ee ausführlchere Dskusso der Möglchkete ud Greze der leare Regresso befdet sch m Bespel Ascombe m Tel Bespele zur Regresso. (Vgl. Abbldug 38). 3 De Eflüsse köe eersets auf Messfehler beruhe, aderersets vo cht betrachtete bzw. verachlässgte Faktore stamme. Im vorlegede Bespel wrd etwa der Trebstoffverbrauch cht ur vo der Lestug des Autos, soder auch vom c w -Wert oder dem Gewcht abhäge. 9

10 Ee gerade Le... Streudagramm: Lestug - Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km b: Asteg der Gerade a: Schttpukt mt der Y-Achse 5 5 Lestug kw Abbldug Der Vortel der Beschrebug ees Zusammehags durch ee Gerade besteht dar, dass damt auch ee große Mege vo Pukte lecht beschrebe werde ka, falls de Pukte aäherd auf deser Gerade lege. Darüber haus köe alle m erste Kaptel beschrebee Fragestelluge efach beatwortet werde. We das fuktoert, werde wr überlege, sobald wr de Gerade berechet habe.

11 Auf der Suche ach der optmale Gerade 4. Auf der Suche ach der "optmale Gerade" De zetrale Frage der (leare) Regresso lautet u: We ka ma de gegebee Datepukte ee Gerade möglchst gut apasse?. Idee: Apassug der Gerade ach Augemaß. Auch we de subjektve Eschätzug ees geübte Betrachters ee recht gute Aäherug bete ka, lefert dese Methode atürlch kee objektv achvollzehbare Lösug. Zum Ausprobere: Im Tabelleblatt Itutve Gerade der Date Bespel VW-Golf Motore ka ma selbst versuche, de Date aus dem Bespel ee Gerade azupasse.. Idee: Nachdem ee Gerade bekatlch durch zwe Pukte beschrebe werde ka, köte ma auf de Idee komme, de Gerade efach durch zwe belebge Pukte zu lege. Der große Nachtel deser Methode besteht dar, dass zwe ugüstg gewählte Pukte ee Gerade ergebe, de de Gesamthet aller Pukte ur ugeüged oder gar cht darstellt (vgl. Abbldug 3). Streudagramm: Lestug - Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km Lestug kw Abbldug 3

12 Auf der Suche ach der optmale Gerade 3. Idee: De Gerade wrd so gewählt, dass de Summe der Abwechug aller Pukte mmal st. De Umsetzug deser Idee schetert dara, dass ege Pukte oberhalb ud adere uterhalb der Gerade lege. Addert ma dese postve ud egatve Abstäde der Pukte vo der Gerade, köe sch de Abstäde gegesetg aufhebe (Abbldug 4). Streudagramm: Lestug - Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km Lestug kw Abbldug 4 Ma ka sogar belebg vele Gerade kostruere, für de de Summe der Abstäde aller Pukte glech Null st. De meste deser Gerade repräsetere de Pukte cht gut. Ege deser Gerade sd Abbldug 5 egezechet. Streudagramm: Lestug - Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km Lestug kw

13 Auf der Suche ach der optmale Gerade Abbldug 5 4. Idee: De ahelegede Idee, um das Addtosproblem aus der obge Idee zu löse st, de absolute Werte der Abwechug aller Pukte vo der Gerade herazuzehe. Dese Vorgagswese st der Pras cht so verbretet, da de Betragsfukto für de Berechug der Gerade mathematsch eher ugüstg (da cht zwe Mal dfferezerbar) st. 5. Idee: De optmale Gerade de Regressosgerade Ma sucht jee Gerade, für de glt: De Summe der quadrerte Abstäde aller Pukte zur Gerade soll möglchst gerg se. Dese Formulerug löst de de voragegagee Idee aufgetauchte Probleme: De Gerade st edeutg berechebar: es gbt geau ee Gerade, de deses Krterum erfüllt. Es kommt cht darauf a, dass de Gerade geau durch ege Pukte geht, soder möglchst ah a alle Pukte legt. De postve ud egatve Abstäde werde quadrert ud köe eader so cht mehr aufhebe. Für de kokrete Berechug der Parameter der Gerade wrd de quadratsche Fukto gegeüber der Betragsfukto bevorzugt. Zum Ausprobere: Im Tabelleblatt Optmale Gerade der Date Bespel VW-Golf Motore ka ma ochmals versuche, de Date aus dem Bespel ee Gerade azupasse. Desmal sd de Abwechuge der Pukte vo der Gerade egezechet ud de Summe der quadratsche Abwechuge agegebe. 3

14 Auf der Suche ach der optmale Gerade Im vorge Abschtt wurde de Idee präsetert, dass de quadrerte Summe der Abstäde aller Pukte zur Gerade möglchst gerg se soll. Am Bespel der VW-Golf-Motore wrd dese Aufgabe ochmals veraschaulcht: Streudagramm: Lestug-Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km Lestug kw Abbldug 6 We ma de quadrerte Läge aller blaue Le addert, soll de sch ergebede Summe möglchst gerg se (Abbldug 6). 4

15 Berechug 5. Berechug Ohe her äher auf de ezele Recheschrtte ezugehe 4, ergbt sch für de Regressosgerade folgede Lösug: Schttpukt der Gerade: a y b Asteg der Gerade: b y y Dese bede Formel köe ahad ees Bespels recht efach erklärt werde. Ege efache Recheschrtte geüge, um de bede Bestmmugsstücke der Gerade zu erreche. 5.. Bespel: We häge Lestug ud Trebstoffverbrauch zusamme? De Darstellug m Streudagramm (Abbldug ) zegte deutlch, dass be de betrachtete Autos jee mt eer höhere Motorlestug auch mehr Trebstoff verbrauche. Mt der obe vorgestellte Formel soll u de Regressosgerade berechet werde. Wr gehe vo de Agabe Tabelle aus ud bereche zuächst de Summe sowe de Mttelwert der ud y (Tabelle 3). 55 6,4 74 7, , ,9 5 9,3 6 5,8 Summe 55 48,8 Mttelwert 9,83 8,3 Tabelle 3 y Zuerst wede wr us der Formel für de Asteg der Gerade zu: b y y 4 Für Iteresserte wrd de Berechug m Ahag geau ausgeführt. Das Recheschema wrd für das VW- Golf-Bespel auch Bespel VW-Golf Motore dargestellt. 5

16 Berechug Um de Formel esetze zu köe, müsse och de ezele Produkte de berechet werde. steht für de Azahl der Autos (6). 55 6, ,6 56, ,8 53, ,9 67, , ,8 6 5 Summe 55 48,8 475, Mttelwert 9,83 8,3 79,8 9375,83 y y y, sowe Tabelle 4 I Tabelle 4 sd berets alle beötgte Bestadtele vorhade, um de Asteg der Gerade bereche zu köe. Wr setze de Formel e: 6* 475,5 55* 48,8 b,48 6* ² Der Asteg der Gerade beträgt, auf dre Stelle gerudet,48. Deses Ergebs ka u de erste Formel egesetzt werde, um de Schttpukt der Gerade zu bereche. a y b 8,3,48*9,83 3,7 De Formel für de Regressosgerade lautet also: y 3,7 +,48 Streudagramm: Lestug - Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km Lestug kw Abbldug 7 6

17 Berechug De Regressosgerade st Abbldug 7 egezechet. Mt der vorlegede Regressosgerade köe u eaktere Aussage als mt eer Tabelle oder eem Streudagramm gemacht werde. Erer wr us a das erste Kaptel. Nachwes vo Zusammehäge Der Asteg der Regressosgerade zegt, dass zwsche Motorlestug ud Trebstoffverbrauch e postver Zusammehag besteht, Autos mt stärkere Motore also auch ee höhere Trebstoffverbrauch habe 5. Schätzug der Art ud Größe vo Zusammehäge De Formel der Regressosgerade erlaubt us, de geschätzte Zusammehag geau auszudrücke. De Stegug der Gerade vo,48 bedeutet, dass sch jedes kw mehr a Lestug mt eem Mehrverbrauch vo durchschttlch,48l/km zu Buche schlägt. Aders ausgedrückt muss ma be eer Lestugsstegerug vo kw mt eem Mehrverbrauch vo kapp l/km reche. Progose fehleder oder zuküftger Werte Mt der Formel stellt ee Progose ke Problem dar. Wll ma zum Bespel wsse, mt welchem Trebstoffverbrauch ma be eem Golf mt eem kw Motor zu reche hätte, muss ma ur de Formel der Gerade esetze: y 3,7+,48* 8,5 Be eem VW-Golf mt eem kw Motor müsste ma also mt eem Trebstoffverbrauch vo rud 8,5 l/ km reche. Ebeso lasse sch Werte für de gewüschte Trebstoffverbrauch (Merkmal Y) festlege ud progostzere, we vel kw e solcher Motor habe dürfte. Wr wolle zum Bespel wsse, we stark e Motor se müsste, damt das Auto ur 5l/km verbraucht. Dazu setze wr der Formel für de Trebstoffverbrauch y5. 5 3,7 +,48*,78 Wr drücke de Formel für aus ud erhalte 6, 6,48 E VW-Golf, der ur 5l/km verbrauche soll, dürfte also ledglch rud 7kW habe. De Progose vo Werte ahad der Regressosgerade st logsche Greze uterworfe. Ee Dskusso deser Greze fdet sch Kaptel 9. 5 Streg geomme geügt de Berechug der Regressosgerade och cht als Nachwes ees Zusammehags. Se det aber als Ausgagspukt für ee Test, der ee Zusammehag belege ka. Deser Test würde jedoch de Rahme deses Folders sprege ud wrd her cht behadelt. 7

18 Esatz des Computers 6. Esatz des Computers Währed sch der Recheaufwad be de sechs Motore m VW-Golf Bespel och Greze gehalte hat, st für ee größere Azahl vo Merkmalsträger de Verwedug ees Computers wohl uerlässlch. Grudsätzlch gbt es auch her weder zwe Möglchkete: Mt eem Tabellekalkulatosprogramm lasse sch de ezele Recheschrtte automatsere (Berechug des Mttelwerts, spalteweses Subtrahere, sehe dazu de Herletug Tabelle 3 ud Tabelle 4). Vele Programme bete aber och wet mehr a. Als Bespel soll her gezegt werde, we ma ee (efache leare) Regressosaalyse mt Ecel durchführe ka: 6.. Grafsche Darstellug Für de grafsche Darstellug der Regressosgerade st e Streudagramm ( Ecel PUNKT XY-DIAGRAMM) gut geeget (Abbldug 8). Abbldug 8 Um de Regressosgerade ezeche zu lasse, klckt ma mt der rechte Maustaste auf ee der Datepukte. Im Kotetmeü klckt ma auf TRENDLINIE HINZUFÜGEN (Abbldug 9). 8

19 Esatz des Computers Abbldug 9 Im Meü TRENDLINIE HINZUFÜGEN st de gewüschte Auswahl berets markert: der leare Regressostyp (Abbldug ). Es geügt e Klck auf OK ud de Regressosgerade wrd das Streudagramm egezechet (Abbldug ). Abbldug 9

20 Esatz des Computers Abbldug 6.. Berechug der Parameter Ecel betet auch de Möglchket, de Parameter (Schttpukt ud Asteg) eer Regressosgerade zu bereche ud dese glech mt der Regressosgerade ezublede. Dazu klckt ma weder mt der rechte Maustaste auf de Regressosgerade ud wählt m Meü de Pukt Tredle formatere. Im erscheede Fester aktvert ma auf dem Regsterblatt OPTIONEN das Kästche GLEICHUNG IM DIAGRAMM DARSTELLEN (Abbldug ). Abbldug Mt eem Klck auf OK wrd auch de Formel der Regressosgerade egebledet.

21 Esatz des Computers Streudagramm: Lestug-Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km y,48 + 3,7 5 5 Lestug kw Abbldug 3

22 Egeschafte der Regressosgerade 7. Egeschafte der Regressosgerade De wchtgste Egeschaft, de de ach dem Klestquadrate-Przp geschätzte Regressosgerade bestzt, st de berets ausführlch dargestellte mmale Summe der quadrerte Abstäde aller Pukte vo deser Gerade. Darüber haus bestzt de Gerade auch och zwe wetere teressate Egeschafte. De Summe der Abstäde aller Pukte vo der Regressosgerade st Null. Währed de Summe der Abstäde ke optmales Krterum zur Bestmmug der Regressosgerade darstellte (vgl. Idee 3), st de Regressosgerade ee der Gerade, für de de Summe der Abstäde aller Pukte zur Gerade glech Null st. De Regressosgerade wrd aus desem Grud auch "fehlerausglechede Gerade" geat. De Regressosgerade läuft stets durch de Schwerpukt (, y ).

23 Zerlegug der Quadratsumme 8. Zerlegug der Quadratsumme Ee ahelegede Frage ach der Durchführug eer Regressosaalyse st, we gut de Datepukte durch de agepasste Gerade beschrebe werde. Als Bespel solle folgede bede Dagramme betrachtet werde Abbldug Abbldug 5 I Abbldug 4 lege alle Datepukte ahe a der Gerade, werde also durch dese sehr gut beschrebe. I Abbldug 5 hgege streue de Pukte recht stark um de Gerade. Dese Regressosgerade bedeutet offeschtlch ee cht so gute Apassug. De Güte der Apassug läßt sch atürlch auch quatfzere.. Idee: De erste Idee zur Bestmmug der Güte der Apassug besteht dar, de Abstäde der Pukte vo der Gerade zu addere. Nu st es aber gerade de Egeschaft aller Regressosgerade, dass de Summe der Abstäde glech Null st. Somt ka de Apassug auf dese Art cht beschrebe werde.. Idee: Aalog zur Herletug der Regressosgerade besteht de ächste Idee dar, de quadrerte Abstäde zu addere ud dese Summe als Maß für de Güte der Regresso 3

24 Zerlegug der Quadratsumme azugebe. Dese Idee erwest sch allerdgs als upraktsch, da de Summe ke stadardsertes Maß für de Güte se ka. Sehr vele (auch gut agepaßte) Datepukte werde ee größere Summe vo quadrerte Abwechuge habe als ege weger eher schlecht agepaßte Datepukte. 3. Idee: Als zelführede Idee erwest sch de Betrachtug der Streuug des Merkmals Y m Verhälts zur Streuug der Schätzug des Merkmals Y um de Mttelwert y. Grafsch läßt sch dese Idee aschaulch darstelle Abbldug 6 Wr teressere us u für de Streuug des Merkmals Y. Um dese grafsch darzustelle, projzert ma de Datepukte auf de Y-Achse. 4 Dese Le gbt de Mttelwert aller y, also y a Projekto der Datepukte auf de y-achse Abbldug 7 Als Maß für de Streuug wrd de Varaz verwedet. Dese ergbt sch für das Merkmal Y aus s Glossar!) ( y y) + ( y y) ( y y) y. (Zur Herletug der Varaz sehe 4

25 Zerlegug der Quadratsumme Für jede ezele Datepukt estert auch ee zugehörge Schätzug auf der Regressosgerade (I Abbldug 8 sd etwa der verte Datepukt - also y 4 - ud desse Schätzug durch de Regresso - auch ŷ 4 geat - egezechet.) 4 Der Datepukt y De Schätzug des Datepukts auf der Regressosgerade ( ŷ ) Abbldug 8 Natürlch hat jeder Datepukt ee etsprechede Schätzug auf der Regressosgerade Abbldug 9 Der Abstad ees Datepukts vo seer Schätzug auf der Regressosgerade wrd auch als Resduum (e )bezechet. We wr berets m vorge Kaptel gesehe habe, streue auch dese Schätzuge um de Mttelwert des Merkmals Y (d.h. de Regressosgerade verläuft durch y ). Weder teressere wr us für de Streuug um y, aber desmal geht es um de Streuug der Schätzuge ŷ. Um dese grafsch darzustelle, projzert ma de Schätzuge auf de y-achse. 5

26 Zerlegug der Quadratsumme 4 8 Nu werde de Schätzuge auf de y-achse projzert Abbldug Als Maß für de Streuug wrd weder de Varaz verwedet. Deses Mal wrd allerdgs cht de Streuug der Datepukte, soder de Streuug der Schätzuge ŷ berechet. s ( ˆy y) + ( ˆy y) ( ˆy y) ˆ y Zusammefassug Wr habe u sowohl de gesamte Streuug aller Datepukte als auch de Streuug der Schätzuge berechet. Um e Maß für de Güte der Schätzuge (ud somt de Güte der Regresso) zu erhalte, wrd de Relato der bede Größe zueader betrachtet. De Güte der Regresso ergbt sch aus dem Verhälts der Streuug der Schätzuge zur Streuug der Datepukte selbst. s yˆ (Formal: R ). s y Dese Relato wrd auch als Bestmmthetsmaß bezechet. De Güte der Regresso ka mamal se, da ämlch, we de Streuug der Schätzuge glech der Streuug der Datepukte st. Des st geau da der Fall, we scho de Datepukte selbst geau auf eer Gerade lege. Da stmme Datepukte ud Schätzuge geau übere ud de Streuuge sd atürlch auch glech groß. Je weter de Datepukte vo der Gerade etfert sd, desto größer wrd de Streuug der Datepukte m Verhälts zur Streuug der Schätzuge se. De Streuug der Datepukte wrd als Gesamtstreuug bezechet. Dese setzt sch zusamme aus der Streuug der Schätzuge (dese Streuug wrd auch als de durch de Regressosgerade erklärte Streuug bezechet) ud der Streuug der Resdue (dese Streuug wrd auch als de durch de Regressosgerade cht erklärte Streuug bezechet). Kurz: gesamte Streuug Streuug der Schätzuge + Streuug der Resdue Oder: gesamte Streuug erklärte Streuug + cht erklärte Streuug 6

27 Zerlegug der Quadratsumme 8.. Bespel der VW-Golf-Motore We gut st de Apassug der Regressosgerade m Bespel der VW-Golf Motore (Abbldug 7)? Zuächst muss de Streuug der Werte des Merkmals Y, also des Trebstoffverbrauchs, berechet werde. Dazu wrd vo jedem Wert der Mttelwert abgezoge, de Ergebsse jewels quadrert ud addert. De Summe wrd durch de Azahl der Werte dvdert. (Für ee ausführlchere Erklärug der Herletug der Varaz sehe das Glossar zu STAT 4 U.) s y ( y y) + ( y y) ( y y) ( 6,4 8,3) + ( 7,6 8,3) (,8 8,3) 6,7 Nu beötge wr de Fuktoswerte der Schätzuge für de sechs Datepukte. Dazu setzt ma de Werte des Merkmals X (Lestug kw) de Glechug der Regressosgerade e ud erhält de Schätzug ŷ der Werte für das Merkmal Y. 55 6,4 74 7,6 77 6,8 85 7,9 9,3 5,8 Summe 55 48,8 Mttelwert 9,83 8,3 Tabelle 5 y Glechug der Regressosgerade: y 3,7 +,48* y ( ) yˆ y yˆ y 55 6,4 6,36 -,77 3,4 74 7,6 7,7 -,86, ,8 7,4 -,7,5 85 7,9 7,8 -,33, 9,3 9,,87,75 5,8,9,79 7,78 Summe 55 48,8 Mttelwert 9,83 8,3 8,3,,7 Tabelle 6 ŷ yˆ 3,7 +, ,36 We obe bereche wr weder de Varaz, deses Mal de Varaz der Schätzuge. s y ( yˆ y) + ( yˆ y) ( yˆ y) ( 6,36 8,3) + ( 7,7 8,3) (,9 8,3) 6,7 7

28 Zerlegug der Quadratsumme s yˆ,7 Nu soll de Relato der bede Streuuge berechet werde: R, 96. s,7 Zusammefassug: De gesamte Streuug beträgt,7. De erklärte Streuug beträgt,7. Das sd rud 96% der gesamte Streuug. Das Bestmmthetsmaß beträgt also,96. De cht erklärte Streuug beträgt,. Das sd rud 4% der gesamte Streuug. I userem Bespel beträgt das Bestmmthetsmaß,96. Das bedeutet, dass 96% der Streuug aller Datepukte durch de Schätzuge auf der Regressosgerade erklärt werde. De Datepukte werde also sehr gut durch de Regressosgerade beschrebe. I Abbldug 7 ka ma auch recht deutlch erkee, dass alle Pukte sehr ahe a der Gerade lege. 8.. Esatz des Computers I der Pras muss de Güte der Apassug der Regresso atürlch cht mmer "hädsch" berechet werde. I Abschtt 6.. wurde erläutert, we ma m Streudagramm zur Regressosgerade auch dere Parameter eblede ka. Im selbe Meü ka ma auch das Bestmmthetsmaß eblede. Dazu muss m Fester TRENDLINIE FORMATIEREN am Regsterblatt OPTIONEN das Kotrollkästche BESTIMMTHEITSMAß IM DIAGRAMM DARSTELLEN aktvert werde. Nach eem Klck auf OK wrd deses egebledet (Abbldug ). y Streudagramm: Lestug-Trebstoffverbrauch Trebstoffverbrauch l/km R, Lestug kw Abbldug 8

29 Wetere Aspekte der Regresso 9. Wetere Aspekte der Regresso 9.. Ausreßer Als Ausreßer werde Date bezechet, de m Verglech zu der überwegede Mehrhet aller übrge Date etreme Werte aehme. I eem Streudagramm köe Ausreßer lecht erkat werde, da se vo der restlche Puktwolke wet etfert lege. Derartge Ausreßer köe e cht ubedeutedes Hders für de Regressosaalyse darstelle. We ma solche Ausreßer erket ud mt he umgehe ka, wrd m Abschtt Bespele zur Regresso (Bespel Ausreßer ud Bespel Autos) äher erläutert. Streudagramm: Körpergröße - Pukte erzelte Pukte Körpergröße cm Ausreßer 9.. Learserug Ncht mmer ka de vorgegebee oder gesammelte Date ee Gerade svollerwese agepasst werde. I vele Fälle köe de Date durch ee efache Trasformato learsert werde, sodass ma schleßlch doch och de efache leare Regresso reche ka. Mt der Learserug beschäftge sch de Bespele Erdbeschleugug, Autos ud Bevölkerugsetwcklug des Abschtts Bespele zur Regresso Greze der Progose E teressater Aspekt der Apassug eer Gerade a de Datepukte besteht dar, cht vorhadee oder zuküftge Werte progostzere zu köe. Dabe muss allerdgs beachtet werde, dass solche Progose ur eem gewsse Rahme svoll se werde. Je weter ma de Zukuft blckt oder ubekate Bereche vorstößt, desto vorschtger sollte ma mt solche Progose umgehe. Im VW-Golf-Bespel ka ma etwa der Progose, dass e Golf mt kw etwa 8,5l/km verbrauche würde, Vertraue scheke. Dese Progose legt m bekate Berech. Außerhalb deses bekate Berechs (uter 55 bzw. über 5kW) sd Progose berets etwas schwerger azustelle. We ma etwa de Frage stelle würde, we vel 9

30 Wetere Aspekte der Regresso kw e 3 Lter Golf habe dürfte (also e Golf, der 3l/km verbraucht), käme ma ach Esetze de Formel auf ee Wert vo ca. 5kW. Offeschtlch lefert de Regresso her ke plausbles Ergebs. 3

31 Geaue Berechug der Regressosgerade 3 Ahag: Geaue Berechug der Regressosgerade We berets erläutert, st de Gruddee der leare Regresso, dass de Summe der quadrerte Abstäde aller Pukte zu eer Gerade möglchst gerg se soll. Ma hat also für de gesuchte Gerade y a + b folgedes Mmerugsproblem: De Quadratsumme ( ) ( ) b a y b a S, der Abstäde aller ezele Pukte zur Gerade soll sowohl für de Schttpukt a als auch für de Stegug b mmal werde. Das bedeutet, dass ma dese Quadratsumme sowohl für a als auch für b partell ablete ud de Abletug glech Null setze muss. ( ) b a y a S ( ) b a y b S Durch Ausreche der Klammer ud Aorde der Terme berechet ma de sogeate Normalglechuge. + b a y () + b a y () Aus Glechug () folgt b y b y b y a b a y + b y a (3) Glechug (3) ka u () egesetzt werde. + b a y Glechug () ( ) + b b y y Glechug (3) Glechug () egesetzt + b b y y Klammer ausreche

32 Geaue Berechug der Regressosgerade 3 + b b y y Terme aorde b y y b heraushebe y y b b ausdrücke y y b für y, esetze y y b Zähler ud Neer mt multplzere y y b (4) Glechug (3) gbt de Schttpukt der Gerade ud Glechug (4) de Asteg der Gerade a (Abbldug ).

33 BEISPIELE ZUR REGRESSION... Marcus Hudec Chrsta Neuma Uterstützt vo Isttut für Statstk der Uverstät We 33

34 Überscht I desem Abschtt solle de verschedee Aspekte der Regresso ahad vo uterschedlche hadlugsoreterte Bespele wederholt ud verteft werde. Be der Auswahl der Bespele wurde darauf geachtet, e bretes Spektrum a Fächer mtezubezehe. Das der Bologe agesedelte Bespel Größeverglech eget sch hervorraged zur Herletug der Grudlage sowe zur Durchführug ud Iterpretato der leare Regressosaalyse. Im Bespel Zwekampf, das dem Berech Sport zugeordet werde ka, wrd ebe de Grudlage spezelles Augemerk auf de Aalyse der Resdue gelegt, de her ee besoders aschaulche Iterpretato bestze. Das Bespel Ausreßer zegt ahad ees Bespels, welche Efluss Ausreßer auf de Regressosaalyse habe köe ud we ma damt umgehe ka. Der Ascombe-Datesatz zegt de Greze der Regressosaalyse a sch ud der leare Regresso m spezelle auf. Aus der Physk stammt das Bespel Erdbeschleugug. Her wrd der Umstad ees bekate fuktoale Zusammehags ausgeutzt, um durchschttlche Messfehler zu mmere. Darüber haus wrd gezegt, we ma auch be eem chtleare Zusammehag ee leare Regressosaalyse bereche ka. Ahad des PKW-Datesatzes köe alle Aspekte der Regressosaalyse gezegt werde. Da es sch her um reale Date hadelt, köe der Pras auftauchede Probleme behadelt ud gelöst werde. Der haltlche Boge spat sch vo der Learserug ees cht leare Zusammehags über das Betrachte vo Ausreßer bs zur Behadlug der Quadratsummezerlegug. Das Bespel Bevölkerugsetwcklug beschäftgt sch mt Progose vo Ewoherzahle verschedeer Läder. Ahad bsherger Etwckluge werde zuküftge Etwckluge vorhergesagt ud mt de offzelle Schätzuge der UNO verglche. 34

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