Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE"

Transkript

1 Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE

2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung KAPITEL 3

3 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Excel Vielleicht irritiert es Sie mehrfach, dass das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung in diesem Buch behandelt wird. Einmal hört sich der Begriff schon so an, als hätte er nichts mit der exakten Wissenschaft der Statistik zu tun. Dann erscheint es auch fragwürdig, ob mit Wahrscheinlichkeiten überhaupt (im Sinne der Mathematik) gerechnet werden kann. Und was Excel damit zu tun hat, ist sowieso unklar (wenn man einmal von der Fragestellung Hoffentlich stürzt mir Excel nicht wieder mitten in der Arbeit ab absieht. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung kein unwesentlicher Bereich der Statistik. Da oftmals nicht mit kompletten Grundgesamtheiten, sondern mit Auszügen daraus (so genannten Stichproben) gearbeitet wird, ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit der erlangten Aussagen unbedingt zu stellen. In der Mathematik ist der Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter dem Begriff Stochastik eingeordnet, also eine über die Statistik hinausgehende Sache. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, und zwar in dem Maße, in dem diese mit Excel dargestellt werden kann. Das Kapitel fällt also knapper aus, als Sie es in manchen anderen Statistiklehrbüchern finden. Das folgende Kapitel handelt von der Normalverteilung und hat damit auch etwas mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun doch damit greife ich vor. Beschäftigen wir uns zuvor lieber etwas damit, was Wahrscheinlichkeiten sind. Wie wahrscheinlich ein Ereignis ist hängt davon ab, mit welcher Sicherheit dieses zu erwarten ist. Ausgedrückt wird das (in der Wahrscheinlichkeitsrechnung) immer durch eine Zahl oder einen Prozentwert. Je stärker die Zahl gegen 1 oder 100% geht, umso wahrscheinlicher ist es, dass das Ereignis eintritt und je stärker es gegen 0 oder 0% geht, umso unwahrscheinlicher ist das Eintreten des Ereignisses. Die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit geht eigentlich auf eine reine Addition zurück (lassen Sie sich nicht irritieren, nur weil die Formeln komplizierter aussehen!). Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten sämtlicher möglicher Ereignisse gibt immer 1 oder 100%. 118

4 Kombinieren und Wiederholen Kombinieren und Wiederholen Die Kombinatorik als Teilgebiet der Mathematik wird auch der Statistik zugerechnet. Zumindest deren Methoden werden auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer wieder eingesetzt. Deshalb vorweg einiges zu diesem Thema. Kombinatorische Fragestellungen Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anordnung verschiedener Dinge. Das können Buchstaben, aber auch Gegenstände oder Experimente sein. Typische Fragestellungen sind: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Paare (2) aus einer Gruppe von Personen (z.b. 8) zusammenzustellen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Gruppe von 49 Zahlen 6 Zahlen auszuwählen? Die Kombination an einem Banksafe besteht aus vier Zahlenscheiben mit jeweils den Ziffern 0 9. Wie viel Möglichkeiten muss ein Bankräuber durchprobieren, wenn er den Safe ohne Gewalt öffnen will. Viele Probleme aus der Kombinatorik können auf zwei grundsätzliche Fragen zurückgeführt werden: 1. Auf wie viele Arten lassen sich die Elemente einer Menge (M) hinsichtlich einer vorgegebenen Eigenschaft anordnen. 2. Wie viele verschiedene Teilmengen (Auswahlen von k Elementen) aus einer Grundmenge M gibt es? Permutationen Jede Zusammenstellung einer endlichen Anzahl von Elementen in irgendeiner Anordnung, in der sämtliche Elemente verwendet werden, heißt Permutation der gegebenen Elemente. Eigentlich haben wir mit so etws im täglichen Leben ständig zu tun. 119

5 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Permutationen ohne Wiederholung Beispiel: Bei einem Schwimmwettbewerb werden die 6 Bahnen unter den 6 Teilnehmern des Wettkampfes ausgelost. Dazu werden aus einer Urne die Namenszettel gezogen. Dabei ergeben sich folgende Möglichkeiten für die einzelnen Bahnen: 1. Bahn: Jeder Schwimmer ist noch an der Ziehung beteiligt -> 6 Möglichkeiten. 2. Bahn: Nur noch 5 Schwimmer sind an der Ziehung beteiligt -> 5 Möglichkeiten. 3. Bahn: 4 Schwimmer -> 4 Möglichkeiten. 4. Bahn: 3 Schwimmer -> 3 Möglichkeiten. 5. Bahn: 2 Schwimmer -> 2 Möglichkeiten. 6. Bahn: 1 Schwimmer -> 1 Möglichkeit. Jede Möglichkeit kann mit einer anderen kombiniert werden. So ergeben sich 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 Zuordnungsmöglichkeiten. Jede dieser einzelnen Möglichkeiten bezeichnet man als Permutation oder auch als 6-Tupel. Als Formel ausgedrückt sieht das so aus: P( n) = n! = n* ( n 1 )*( n 2) 3*2*1 Jede dieser Permutationen unterscheidet sich in der Reihenfolge ihrer Elemente von den anderen Permutationen (bzw. n-tupel). Sicher ist Ihnen schon das n mit dem Ausrufezeichen (!) aufgefallen. Man bezeichnet diese Kombination in der Mathematik als Fakultät. Dabei werden alle Elemente der Liste miteinander multipliziert. Das ist also genau das, was wir zuvor im Beispiel beschrieben haben (und was die Formel ausdrückt). 120

6 Kombinieren und Wiederholen Excel und die Fakultät Excel hat in der Sammlung der statistischen Funktionen auch einige zur so genannten Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zur Berechnung von Permutationen wird die Funktion FAKULTÄT eingesetzt: =FAKULTÄT(Zahl) Abbildung 3.1: Fakultät berechnet Excel über eine spezielle mathematische Funktion. Sie finden diese Funktion allerdings nicht bei den statistischen, sondern bei den mathematischen Funktionen, wo sie auch korrekt eingeordnet ist. Achtung Anwender der Version Microsoft office:mac 2004 finden die Funktion womöglich gar nicht. Microsoft hat bei der Übersetzung geschlampt und die englische Bezeichnung FACT belassen. Sie funktioniert aber ansonsten wie in diesem Kapitel beschrieben. 121

7 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Abbildung 3.2: Da wurde nicht ganz sauber gearbeitet: FACT ist FAKULTÄT In den Windows-Versionen zeigt der Funktions-Assistent die Funktion FAKULTÄT korrekt an. Abbildung 3.3: So sollte es sein 122

8 Kombinieren und Wiederholen Prüfen Sie die Funktion FAKULTÄT anhand einer einfachen Reihe; die ist schnell eingegeben und die Funktion mit dem Assistenten schnell hinzugefügt. Über die Funktion AutoAusfüllen haben Sie die Reihe mit der Funktion schnell ergänzt. Abbildung 3.4: FACT funktioniert also wie FAKULTÄT Sie sehen an der obigen Beispieltabelle auch, dass die Fakultät zu null (0!) mit 1 gesetzt wird. Auch andere Fragestellungen lassen sich leicht aus solch einer Tabelle beantworten. Wie viel Kombinationen der Buchstaben aus dem Wort WALD gibt es? Richtig! 24. Muss ja nur aus der Tabelle abgelesen werden. Etwas schwieriger ist es schon, diese Kombinationen alle aufzuschreiben. In diesem Beispiel kommt kein Buchstabe mehrfach vor. Permutationen mit Wiederholung Verändern wir das Wort WALD zu WALL, so ergibt sich das Problem, dass wir einen Buchstaben zweimal haben das L. Zunächst einmal scheint es so, als ergäben sich ebenfalls 24 Kombinationsmöglichkeiten. Wenn Sie aber diese Permutationen beginnen aufzuschreiben, werden Sie schnell feststellen, dass einige Worte doppelt vorkommen. Wenn Sie die beiden letzten Buchstaben vertauschen (L mit L), so ergibt sich zwar eine erkennbare neue Kombination, wenn Sie die gleichen Buchstaben indizieren (WAL 1 L 2 ) aber ohne diese Indizierung ist kein Unterschied erkennbar. 123

9 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Da zwei Elemente gerade zwei Anordnungen bilden können, sind jeweils zwei Buchstabenkombinationen identisch. Somit erhält man lediglich 12 verschiedene Wortkombinationen. Für eine Grundmenge M mit n Elementen, unter denen einige mehrfach vorkommen (z.b. a gleich der 1. Sorte, b gleich der 2. Sorte), ist die Gesamtanzahl der verschiedenen Permutationen mit Wiederholung: Auf das Beispiel bezogen bedeutet dies: Variationen In der Musik sind sie bis heute beliebt, die Variationen über ein bestimmtes Thema. Die Freiheit, die der Komponist und/oder der Interpret dabei genießen, haben Mathematiker und Statistiker nicht. Variationen ohne Wiederholung n P( n/ a, b)=! a!* b! = 4! 12 2! In unserem eingangs aufgeführten Beispiel für den Schwimmwettbewerb wurde zunächst nur überlegt, wie viel Möglichkeiten es für die Belegung der einzelnen Bahnen gibt. Nun ist aber auch die Überlegung angebracht, wie viel Möglichkeiten es für die Belegung der ersten drei Plätze gibt. Inzwischen sind Sie schon gewieft im kombinatorischen Denken und rechnen schnell: Für die Vergabe des ersten Platzes gibt es genau 6 Möglichkeiten. Für die Vergabe des zweiten Platzes gibt es nur noch 5 Möglichkeiten (einer der Teilnehmer belegt ja schon Platz 1 und steht für den 2. Platz nicht mehr zur Verfügung). Für die Vergabe des dritten Platzes gibt es jetzt nur noch 4 Möglichkeiten. Die Teilnehmer, die Platz 1 und 2 belegen, dürfen ja nicht mehr mitgerechnet werden. 124

10 Kombinieren und Wiederholen So ergeben sich also 6 * 5 * 4 = 120 mögliche Gruppierungen. Die Fragestellung ist also: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Menge (M) mit n Elementen Teilmengen mit je k Elementen unter Berücksichtigung der Anordnung zu ziehen? Jede gefundene Auswahl ist eine Variation zur Klasse k (bzw. k-ter Ordnung). Die Anzahl der Variationen von n Elementen zur Klasse k beträgt also: V ( n, k) = n* ( n 1 )*( n 2) ( n k+ 1) Auf das Beispiel bezogen gilt n = 6, k = 3: n = 6 (n-1) = (6-1) = 5 (n-k+1) = (6-3+1) = 4 V ( 6,3)= 6 * 5 * 4 = 120 Variationen mit Excel Excel kennt eine Funktion VARIATIONEN (in der Funktionskategorie Statistik), die Sie für die Berechnung von Variationen ohne Wiederholung verwenden können. Verwechseln Sie diese aber nicht mit der Funktion VARIATION, die zur Trendberechnung eingesetzt wird. Abbildung 3.5: Nicht verwechseln mit VARIATION! 125

11 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Funktion VARIATIONEN verlangt die Eingabe zweier Parameter: N für die Anzahl aller Elemente und K für die Anzahl der Elemente, aus denen die Variationsmöglichkeit bestehen soll. Dabei ist Folgendes zu berücksichtigen: N und K müssen numerische Ausdrücke sein, sonst wird der Fehlerwert #WERT! zurückgegeben. Ist N 0 oder K < 0 oder N < K, so wird der Fehlerwert #ZAHL! zurückgegeben. Abbildung 3.6: VARIATIONEN ermittelt zuverlässig das Ergebnis Tipp Sie müssen noch nicht einmal die Funktion in die Tabelle schreiben. Sie öffnen über Einfügen/Funktionen einfach den Funktions-Assistenten, wählen die Funktion VARIATIONEN und geben in den Dialog die Werte für die beiden Parameter ein. Das Ergebnis können Sie sofort im Dialog ablesen. Die Gleichung, mit der Excel diese Funktion berechnet, lautet allerdings: P kn, n! = ( n k)! und unterscheidet sich damit von der zuerst in diesem Kapitelabschnitt aufgestellten Funktion zumindest optisch. Dass Microsoft P schreibt (und damit wahrscheinlich Permutation meint), soll uns nicht weiter stören. Die Gleichung selbst kann mit 126

12 Kombinieren und Wiederholen etwas Mühe in die zuvor aufgeführte Gleichung ein paar Abschnitte zuvor umgewandelt werden. Aber wozu die Mühe? Sie finden beide Gleichungen in diversen Lehrbüchern und Excel rechnet korrekt. Wenden Sie sich lieber der Anwendung zu. Die Zocker unter den Lesern werden sicher schon spekuliert haben, was mit dieser Funktion noch alles angestellt werden kann. Gehen Sie einmal zurück zu den kombinatorischen Fragestellungen, dann werden Sie es wissen. Genau, Sie geben für N die 49 und für K die 6 ein und erhalten die Möglichkeiten der Kombinationen, die Sie auf einem Lottoschein ankreuzen können. Es sind über 10 Milliarden! Wenn Sie jetzt jede mögliche Kombination ankreuzen und alle Scheine zu Ihrer Lottoannahmestelle tragen (na, tragen wird wohl nicht gehen, einen Sattelschlepper werden Sie wohl benötigen!), dann zahlen Sie für den Einsatz ein Vielfaches dessen, was Sie gewinnen werden, selbst wenn es einen Jackpot zu knacken gibt. Wenn Sie als mathematisch und statistisch vorbelasteter Leser jetzt die Augenbrauen zusammenziehen und zum Widerspruch ansetzen, so nehmen Sie diesen bitte noch einen Augenblick zurück und lesen einfach noch ein paar Absätze weiter. Abbildung 3.7: Lotterie ist selbstverständlich etwas für große Zahlen 127

13 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Damit wissen Sie auch, warum sich Lotto für die Lotteriebetreiber immer, für die Spieler aber nur sehr selten lohnt. Variationen mit Wiederholung Vergessen wir nicht das kombinatorische Beispiel, auf das der mitlesende Bankräuber schon sehnsüchtig wartet: vier Zählscheiben am Safe und jede mit 0 bis 9 einzustellen. Da alle vier Scheiben unabhängig voneinander eingestellt werden können, besitzt auch jede zehn Einstellmöglichkeiten und Nummern können durchaus doppelt auftreten. Die Formel zur Berechnung lautet: Auf das Safe-Beispiel angewendet: 10 * 10 * 10 * 10 = Möglichkeiten Der Bankräuber hat weniger Möglichkeiten, etwas anderes zu lernen aber damit ist die Möglichkeit größer, sein Leben in Freiheit zu verbringen, als durch das Austesten der vielen Möglichkeiten am Safe. Kombinationen * k V ( n, k)= n* n* n n Während man bei den Variationen die Anordnung berücksichtigt, wird sie in Kombinationen außer Betracht gelassen. Das kann Auswirkungen haben Kombinationen ohne Wiederholung Kommen wir noch einmal zurück zum Lottospiel. Bei der Berechnung der Möglichkeiten über die Funktion Variationen sind wir von der Überlegung ausgegangen, dass es sich bei der Ziehung um eine Variation ohne Wiederholung handelt, was zumindest teilweise richtig ist. Nicht bedacht wurde aber, dass die Reihenfolge der Ziehung (Variation ohne Wiederholung) schnurzpiepegal ist. Wer das nicht glaubt, braucht sich solch eine Ziehung bloß einmal im Fernsehen anzusehen. 128

14 Kombinieren und Wiederholen Da die Reihenfolge nun keine Rolle spielt, fallen jeweils P(6) = 6! Möglichkeiten zusammen, d.h., man muss insgesamt nur ( ) = 49*48*47*46*45*44 K = 49, * 2 * 3* 4 * 5 *6 Lottoreihen auf den Tippscheinen ausfüllen, um sicher einen Sechsertreffer zu haben. Das ist schon viel besser. Statt eines Sattelschleppers reicht jetzt ein VW-Bus, um zur Lottoannahmestelle zu fahren, und mit ganz viel Glück und wenn's ein Jackpot war, bleibt noch so viel vom Gewinn übrig, um den VW-Bus zu bezahlen. Selbstverständlich können Sie das mit Excel viel einfacher berechnen, denn es gibt ja die Funktion KOMBINATIONEN (wieder in der Funktionskategorie Math. & Trigonom.). Abbildung 3.8: Kombiniere Mathematik! Die Funktion KOMBINATIONEN liefert die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von k Elementen aus einer Menge von n Elementen. Die Gleichung, die Excel dabei verwendet, ist: n P = kn, n! = k k! k! ( n k)! mit: P kn, n! = ( n k)! 129

15 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die von uns zuvor benutzte Berechnungsmethode kann aber auch anders in eine Formel gefasst werden: K ( nk, ) n* ( n 1 )*( n 2) ( n k+ 1) n = = 1* 2 * 3 k k Wobei wir in der Zusammenfassung wieder beim Ausgangspunkt der Gleichung für Excel sind. Man liest das übrigens: n über k. Diese Terme nennt man Binomialkoeffizienten, da sie bei der Berechnung binomischer Ausdrücke vorkommen. Abbildung 3.9: So ist das also nun wirklich mit dem Lottospiel alles halb so schlimm 130

16 Kombinieren und Wiederholen Ein abschließendes Beispiel (um auch die zufrieden zu stellen, die keine passionierten Lottospieler sind): Der Bürgermeister und sein Stellvertreter werden gewählt. Zwei Kandidaten sind aus einer Gruppe von 6 Personen zu wählen. Das Auszählen der Stimmen wird bis zum Morgengrauen dauern. In der Zeitung auf dem Frühstückstisch sollen aber schon die lachenden Sieger zu sehen sein. Was tun? Alle möglichen Kombinationen fotografieren. Wie viel das sind, haben Sie jetzt schnell ausgerechnet: ( ) = 6*5 K = 6,2 15 1* 2 15 Fotos im Voraus zu machen, von denen dann tatsächlich nur eines benötigt wird, ist wirklich keine große Sache, zumal im Zeitalter der Digitalfotografie keine Mehrkosten für die vielen Fotos mehr entstehen. Lediglich das Risiko, in der Hektik der Nacht in der Redaktion dann doch noch das falsche Foto zu erwischen, besteht. Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, nicht das richtige Foto zu erwischen, können Sie ja demnächst ausrechnen. Sie brauchen aber eigentlich nur den Funktions-Assistenten aufzurufen und die beiden Zahlen einzugeben, die für die Funktion benötigt werden: 6 für n und 2 für k. Abbildung 3.10: Der eingebaute Kombinationsrechner in Excel Kombinationen mit Wiederholungen Greifen wir zu den Würfeln und damit dem nächsten Kapitelabschnitt einmal vor. Die Frage ist nach den verschiedenen Kombinationen, die mit zwei gleichen Würfeln möglich sind. Benutzt man Würfel, die sich unterscheiden (etwa durch Farbgebung), so ist die Berechnung einfach. Es sind 6 * 6 =

17 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Würfe möglich. Verzichtet man aber auf eine Unterscheidung der Würfel, so kommen alle Würfe mit verschiedenen Zahlen doppelt vor (in der folgenden Tabelle, siehe Abbildung 3.10, markiert). Abbildung 3.11: Wie oft muss nun wirklich gewürfelt werden? Durch die Markierung ist deutlich zu sehen, dass eine Halbierung der Würfe nicht möglich ist. Die korrekte Anzahl ergibt sich aus folgender Gleichung: Man sagt auch: Eine Kombination zur Klasse k mit Wiederholung ist jede Auswahl von k zum Teil gleichen Elementen aus einer Menge M mit n beliebig oft wiederholbaren Elementen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Angewendet auf unser Beispiel: K * ( nk, ) n+ k 1 = k * 7*6 K ( 6,2) = = = * 2 Im folgenden Kapitelabschnitt geht es nun mit Münzwurf, Würfeln und Kartenspiel weiter. 132

18 Für Zocker und Spieler Für Zocker und Spieler Dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein ernst zu nehmender Bereich der Statistik ist, wurde eingangs schon erwähnt; es wird auch im Verlauf dieses Kapitels hoffentlich noch deutlich. Zunächst scheint dieser Bereich aber etwas für Spielernaturen zu sein. Tatsächlich gehen die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung auch auf das Glücksspiel zurück. Blaise Pascal ( ) und Pierre Fermat ( ) gehörten zu den Ersten, die mathematische Lösungen zu Problemen des Glücksspiels versuchten. Erst im 19. Jh. machte der Aufschwung der Naturwissenschaften eine Erweiterung der Wahrscheinlichkeitsrechnung über das Glücksspiel hinaus notwendig. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde so zu einem Zweig der Mathematik, der sich mit der Aufdeckung der Gesetzmäßigkeiten von zufälligen Ereignissen befasst. Dazu ist das Studium von Massenerscheinungen nötig und damit haben wir auch den Bogen zur Statistik gespannt. Kopf oder Zahl? Klassisches Beispiel für die Demonstration von Wahrscheinlichkeiten ist der Münzwurf: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf die Zahl oben zu liegen kommt? Das wird am einfachsten durch einen Bruch ausgedrückt: Eine Münze hat zwei Seiten (Kopf und Zahl). Dieser Wert (2) kommt unter den Bruchstrich. Es soll ein bestimmtes Ergebnis erzielt werden: Zahl soll oben liegen. Dieser Wert (1) kommt über den Bruchstrich: Über dem Bruchstrich stehen die Anforderungen. Unter dem Bruchstrich stehen die Möglichkeiten. In diesem Beispiel wäre also die Wahrscheinlichkeit: 1 = 0,5 oder 50% 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf die Zahlenseite der Münze oben zu liegen kommt, beträgt also 50%. Wie sieht es denn nun aus, wenn die Fragestellung erweitert wird? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Münzwürfen die Zahlseite nach oben zu liegen kommt? 133

19 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung = 0,25 oder 25% Die Wahrscheinlichkeit beträgt also nur noch 25%. Erweitern wir das auf drei Münzwürfe, sieht die Rechnung so aus: = 0,1666 oder 16,66% Es ist deutlich: Die Wahrscheinlichkeit, das gewünschte Ergebnis zu erzielen, sinkt mit der steigenden Zahl von Möglichkeiten. Wie der Würfel fällt * = * * = Beschäftigen wir uns mit dem Würfel, so beginnen wir dort, wo wir gerade beim Münzwurf aufgehört haben. Ein Würfel hat 6 Seiten (und damit 6 Möglichkeiten) mit 6 verschiedenen Zahlen (1, 2, 3, 4, 5, 6). Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der bei einem Wurf (1 Anforderung) eine 6 erzielt werden kann, nehmen Sie folgende Berechnung vor: = 0,1666 oder 16,66% Legen Sie zwei Anforderungen fest, die alternativ mit zwei Würfen erzielt werden können (entweder die 6 oder die 1), so steigt die Wahrscheinlichkeit: = 0,3333 oder 33,33% Bestimmen Sie aber zwei Anforderungen, die beide erzielt werden sollen (z.b. die 6 und die 1), so sinkt die Wahrscheinlichkeit rapide: = 0,277 oder 2,77% Die Wahrscheinlichkeit ist nun nicht mehr sehr hoch = = = *

20 Für Zocker und Spieler Kartenspiele Altgediente Pokerprofis werden diese Methode nun schnell auf Spielkarten übertragen können. Die Wahrscheinlichkeit, aus einem kompletten Kartenspiel (32 Karten) das Pik-Ass hervorzuziehen, ist: 1 32 = 0,03125 oder 3,125% Wie hoch ist aber nun die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Asse aus dem Stapel zu nehmen? Dazu müssen Sie nur ein wenig nachdenken, um die Formel und damit die Wahrscheinlichkeit ermitteln zu können. Nehmen Sie das erste Ass heraus, so stehen nur noch 31 Karten zur Verfügung, nach der Herausnahme des zweiten Asses nur noch 30 und so weiter. Unsere Berechnung sieht also folgendermaßen aus: * * * = = 0, = 0,000116% Abbildung 3.12: Das, was man gerne hätte, ist wie immer im Leben, am unwahrscheinlichsten Nun etwas für weit Fortgeschrittene: Es sollen aus dem Kartenstapel Karo-Bube, Karo-Dame, Karo-König und das Karo-Ass gezogen werden. Nehmen wir mal an, die erste Vorgabe hieße auch: in exakt dieser aufgeführten Reihenfolge. Dann lautete die Berechnung: = * * * = 0, = 0,000116% 135

21 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Das hatten wir ja schon. Durch andere Karten verändert sich (entgegen landläufiger Meinung) die Wahrscheinlichkeit nicht. Ist aber die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden dürfen, beliebig, dann sieht die Berechnung etwas anders aus: * * * = , = 0,00116% Abbildung 3.13: Beliebige Reihenfolge erhöht die Wahrscheinlichkeit Das Komma ist um eine Stelle nach rechts gerückt. Die beliebige Reihenfolge hat die Wahrscheinlichkeit zwar deutlich erhöht, sie ist aber nach wie vor gering. Wenn Ihnen diese Berechnung nicht verständlich ist, hilft Ihnen vielleicht folgender Hinweis: Für die erste Karte gibt es 32 Möglichkeiten (= 32 Karten) und genau 4 Anforderungen (denn 4 verschiedene Karten sollen ja gezogen werden). Danach gibt es nur noch 31 Möglichkeiten (eine Karte ist ja weg), und da nur noch drei Karten zu ziehen sind, auch nur noch 3 Anforderungen. Wenn Sie dieses Beispiel einmal testweise für alle Karten durchrechnen (alle 32 Karten dürfen in beliebiger Reihenfolge gezogen werden), so kommen Sie auf die Wahrscheinlichkeit 1 oder 100%. Spätestens jetzt dürfte Ihnen deutlich geworden sein, dass man die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis eintreffen könnte, auch berechnen kann. Etwas Theorie Zum Abschluss einige theoretische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Jedes mögliche Ergebnis eines Zufallsexperiments nennt man ein Elementarereignis E (oder einen Ausfall). Die Menge aller Elementarereignisse E1, E2, E3 En 136

22 Für Zocker und Spieler bildet den Ereignisraum { } S= E1, E2, E3 EN. Zwei Ereignisse E und E heißen Gegenereignisse, wenn Folgendes gilt: E und E bestehen aus verschiedenen Elementarereignissen und E und E ergänzen sich zum Ereignisraum S. Zufall und Experiment Kommen wir wieder auf unser Würfel-Beispiel zurück. Die möglichen Würfe mit zwei Würfeln haben wir ja schon einmal theoretisch überschaut und in einer Matrix dargestellt. Jetzt betrachten wir dieses Beispiel aus einem neuen Blickwinkel. Zunächst interessiert uns, welche Ergebnisse überhaupt erzielt werden können. Die kleinste Kombination, die bei einem Wurf mit beiden Würfeln erzielt werden kann, ist die 2 (2 * 1), die höchste die 12 (2 * 6). Die 1 kommt nicht vor, weil ein Würfel keine 0 als Wert hat. Es sind somit 11 Ergebnisse möglich. Abbildung 3.14: Welche Möglichkeiten gibt es bei zwei Würfeln? Teilen sich zwei Spieler die möglichen Ereignisse folgendermaßen auf: 1. Spieler: die ersten und letzten drei möglichen Ereignisse (2,3,4 und 10,11,12) 2. Spieler: die mittleren 5 möglichen Ereignisse (5,6,7,8,9) 137

23 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung so scheint zunächst der Spieler im Vorteil, auf den mehr mögliche Ereignisse zutreffen (1. Spieler 6 Ereignisse, 2. Spieler 5 Ereignisse). Tatsächlich verhält es sich aber anders. Untersuchen Sie dazu einmal die Tabelle näher. Sie werden feststellen, dass die 2 und die 12 nur jeweils einmal auftauchen (sie können ja auch nur aus der Kombination und erzielt werden), die 7 dagegen 6-mal (verschiedene Kombinationen sind möglich: 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, und 1 + 6). So treffen: auf den 1. Spieler nur 12 Ereignisse, auf den 2. Spieler aber 14 Ereignisse zu. Abbildung 3.15: Wie oft kann welches Ergebnis vorkommen? Mit diesen Ergebnissen können wir jetzt die Wahrscheinlichkeit errechnen: w ( ) ( ) = A A wobei h (A) die Anzahl der für A günstigen Ereignisse und n die Anzahl aller Ereignisse sind. h n 138

24 Für Zocker und Spieler Die Gewinnchancen für den ersten Spieler betragen: () = 12 = 1 w und für den zweiten Spieler: () = 24 = 2 w Die Auszählung der Ergebnisse habe ich in der Excel-Tabelle (siehe Abbildung 3.14) übrigens mit der Funktion ZÄHLENWENN durchgeführt. Diese Funktion benötigt zwei Parameter: den Bereich, den die Funktion auswerten soll (im Beispiel: Q2:V7) den Wert, nach dem gesucht werden soll (im Beispiel das Ergebnis aus dem Würfelwurf) Der Bereich wird als absoluter Bereich angegeben. Somit kann die Formel dann in die darunter liegenden Zellen kopiert werden. Experimente dieser Art (sämtliche Ausfälle haben die gleiche Chance) nennt man nach dem Mathematiker Pierre-Simon de Laplace ( ), der diese Untersuchung zuerst geführt hat, Laplace-Experiment, die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Gut für den Spieler, der sich ein wenig mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auskennt! Untersucht werden kann jetzt auch die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder Würfelsumme beim Werfen mit zwei Würfeln. Die 2 kommt nur einmal vor, also ist die Wahrscheinlichkeit: () = Die 7 kommt insgesamt sechsmal vor, also ist die Wahrscheinlichkeit: w w () =

25 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Summen aller Wahrscheinlichkeiten aus der Untersuchung Würfeln mit zwei Würfeln ergeben den Wert 1. Dies bedeutet: Eines der Ereignisse aus diesem Experiment (eine Summe zwischen 2 und 12) tritt mit Sicherheit ein. Abbildung 3.16: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aus diesem Experiment ist 1 Relative Häufigkeit Erinnern Sie sich an das Münz-Beispiel? Wir haben errechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf die Zahl oben zu liegen kommt, 50% beträgt. Damit ist auch die Chance, dass Kopf oben zu liegen kommt, ebenfalls 50% hoch die Chancen sind also gleich. Um diese errechnete Wahrscheinlichkeit zu überprüfen, führen wir ein Experiment durch. Wir angeln den letzten Cent aus der Geldbörse und führen einige Würfe durch, die wir exakt protokollieren. Zwanzig Versuche zeigen, dass das Ergebnis gar nicht so weit von der errechneten Wahrscheinlichkeit entfernt liegt. Allerdings haben wir es hier nur mit einer Stichprobe zu tun, da ja nur ein kleiner Ausschnitt der möglichen Würfe durchgeführt wurde. Die Anzahl des Auftretens der beiden Münzseiten nennt man auch absolute Häufigkeiten; h (z) für Zahl und h (k) für Kopf. 140

26 Für Zocker und Spieler Abbildung 3.17: Eine Stichprobe auf die Glaubwürdigkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung Was sind zwanzig Münzwürfe? Und was sagen schon absolute Häufigkeiten aus? Erhöhen wir die Versuche wir haben ja sowieso gerade nichts Besseres vor; was kann man mit einem Cent schon groß unternehmen? und versuchen dann die relative Häufigkeit des Experiments zu ermitteln. Je größer die Zahl der Experimente, umso größer wird die Differenz zwischen den beiden Varianten. Sie sehen, dass die Aussagekraft der absoluten Häufigkeiten nicht sehr groß ist. Sie müssen die Anzahl der Experimente mit ins Spiel bringen, um eine davon unabhängige Aussagekraft zu erreichen. Die relative Häufigkeit für die Variante Zahl errechnen Sie folgendermaßen: ( ) ( ) = z w r wobei h (z) die Anzahl der Würfe mit der Zahlseite und n die Anzahl der Würfe des gesamten Experiments sind. Für h (k) gilt es entsprechend. h n 141

27 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Abbildung 3.18: Relative Häufigkeiten sagen mehr aus als absolute Sie sehen, dass sich bei Zunahme der Wurfhäufigkeit die relative Häufigkeit immer mehr der errechneten Wahrscheinlichkeit annähert. Folgende Aussagen können deshalb getroffen werden: Bei einer kleinen Anzahl von Versuchen gibt die relative Häufigkeit einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an. Bei einer großen Anzahl von Versuchen sind relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit kaum zu unterscheiden. Übrigens, falls Sie gerade darüber nachdenken, ob ich meine letzte Centmünze mal geworfen habe: Ich habe es nur 100-mal geschafft. Dann habe ich Freunde gebeten, ebenfalls hundertmal ihren letzten Cent zu werfen. Die Ergebnisse konnte ich für die Reihen 500 und verwerten. Für die beiden Reihen und habe ich auf Ergebnisse zurückgegriffen, die in der Literatur zu finden waren. Das ist zwar nicht ganz sauber (zumal die Durchführung der Experimente nicht überwacht und die «abgeschriebenen Ergebnisse» nicht auf Glaubwürdigkeit überprüft werden konnten), zur Demonstration der Errechnung relativer Häufigkeiten mag es an dieser Stelle aber genügen. 142

28 Für Zocker und Spieler Wahrscheinlichkeiten von zufälligen Ereignissen Setzen wir noch einmal an, wo wir vorhin aufgehört haben. Durch Würfe mit einer Centmünze und deren Auswertung haben wir versucht, uns über die relativen Häufigkeiten an die Wahrscheinlichkeit anzunähern. Zunächst aber noch etwas Theorie, genauer Begriffsdefinition: Wir sprachen schon von Ereignissen; diese können aber noch etwas differenziert werden. Es gibt sichere Ereignisse unmögliche Ereignisse zufällige Ereignisse Mit einem Würfel eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln ist ein sicheres Ereignis. Mit einem Würfel eine 0 zu würfeln dagegen ein unmögliches Ereignis. Wird aber nur die 6 als Ergebnis des Würfelwurfs gewünscht, so ist es ein zufälliges Ereignis, wenn die 6 oben zu liegen kommt, denn genauso gut könnte da jetzt auch eine 1, 2, 3, 4 oder 5 stehen. Um aus einer Serie von zufälligen Ereignissen eine gewisse Wahrscheinlichkeit festlegen zu können, haben wir die Berechnung der relativen Häufigkeit benutzt. Dabei haben wir festgestellt, dass bei einer ausreichend großen Anzahl n von Versuchen, in denen das Ereignis E m-mal eingetreten ist, die relative Häufigkeit m/n als Zahlenwert für die Wahrscheinlichkeit gewählt werden kann. Diesen Zahlenwert nennt man auch die statistische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E und bezeichnet sie mit: P ( E ) m = n Multipliziert mit 100 ergibt sich ein Prozentwert für die Wahrscheinlichkeit, wie wir schon festgestellt haben. Es ergibt sich bei dieser Berechnung der Wahrscheinlichkeit immer eine Zahl zwischen 0 und 1, da immer gilt: 0 m n und damit auch: E :0 P E 1 ( ) 143

Variationen Permutationen Kombinationen

Variationen Permutationen Kombinationen Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung Modul: Stochastik Ablauf Vorstellung der Themen Lernen Spielen Wiederholen Zusammenfassen Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Mehr

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl

Mehr

Aufgabe 12 Nach dem Eintippen der Kantenlänge soll die folgende Tabelle den Rauminhalt und die Oberfläche eines Würfels automatisch berechnen.

Aufgabe 12 Nach dem Eintippen der Kantenlänge soll die folgende Tabelle den Rauminhalt und die Oberfläche eines Würfels automatisch berechnen. Aufgabe 11 Excel hat für alles eine Lösung. So kann das Programm automatisch den größten oder den kleinsten Wert einer Tabelle bestimmen. Wenn man die richtige Funktion kennt, ist das überhaupt kein Problem.

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Markt+Technik Vorwort Schreiben Sie uns! 13 15 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18 Wirtschaftliche

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE INHALTS- VERZEICHNIS Vorwort 13 Schreiben Sie uns! 15 1 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Wahrscheinlichkeit Klasse 8 7

Wahrscheinlichkeit Klasse 8 7 7 Wahrscheinlichkeit Klasse 8 Ereignisse Seite 8 a) Ω {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 0; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz Ass; Eichel 7; Eichel 8; Eichel 9; Eichel 0; Eichel Unter; Eichel Ober; Eichel

Mehr

Statistik 1: Einführung

Statistik 1: Einführung Seite Stat- Statistik : Einführung Die mathematische Disziplin der Stochastik, die die Teilgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik umfaßt, beschäftigt sich mit der Beobachtung, Aufzeichnung

Mehr

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP .RPELQDWRULN (für Grund- und Leistungsurse Mathemati) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nach dem Studium dieses Sripts sollten folgende Begriffe beannt sein: n-menge, Kreuzprodut, n-tupel Zählprinzip

Mehr

Systeme easy Systeme mit Bankzahlen Systeme gekürzt. Gültig ab 10. Januar 2013

Systeme easy Systeme mit Bankzahlen Systeme gekürzt. Gültig ab 10. Januar 2013 Systeme easy Systeme mit Systeme gekürzt Gültig ab 10. Januar 2013 Swisslos Interkantonale Landeslotterie, Lange Gasse 20, Postfach, CH-4002 Basel T 0848 877 855, F 0848 877 856, info@swisslos.ch, www.swisslos.ch

Mehr

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Zusammengestellt von der Fachschaft Mathematik der Kantonsschule Willisau Inhaltsverzeichnis A) Lernziele... 1

Mehr

An die Zweige schreibt man jeweils die Wahrscheinlichkeit, die für dieses Ereignis gilt.

An die Zweige schreibt man jeweils die Wahrscheinlichkeit, die für dieses Ereignis gilt. . Mehrstufige Zufallsversuche und Baumdiagramme Entsprechend der Anmerkung in. wollen wir nun auf der Basis von bekannten Wahr- scheinlichkeiten weitere Schlüsse ziehen. Dabei gehen wir immer von einem

Mehr

Stochastik (Laplace-Formel)

Stochastik (Laplace-Formel) Stochastik (Laplace-Formel) Übungen Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

Aufgaben zum Wahrscheinlichkeitsrechnen

Aufgaben zum Wahrscheinlichkeitsrechnen 1.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen mit einem Würfel keine 4 zu werfen? % 2.) Wie groß ist beim einmaligen Werfen von zwei verschieden farbigen Würfeln die Wahrscheinlichkeit,...

Mehr

Berechnungen in Excel Zahlen, Formeln und Funktionen

Berechnungen in Excel Zahlen, Formeln und Funktionen René Martin Berechnungen in Excel Zahlen, Formeln und Funktionen ISBN-10: 3-446-41029-5 ISBN-13: 978-3-446-41029-9 Leseprobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41029-9

Mehr

3 Berechnungen und Variablen

3 Berechnungen und Variablen 3 Berechnungen und Variablen Du hast Python installiert und weißt, wie man die Python-Shell startet. Jetzt kannst Du etwas damit machen. Wir fangen mit ein paar einfachen Berechnungen an und wenden uns

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.

Mehr

y 1 2 3 4 5 6 P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

y 1 2 3 4 5 6 P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unabhängigkeit

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl

Mehr

Statistiktraining im Qualitätsmanagement

Statistiktraining im Qualitätsmanagement Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur Vorwort Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes

Mehr

Anleitung zur Erstellung von Diagrammen in Excel

Anleitung zur Erstellung von Diagrammen in Excel Anleitung zur Erstellung von Diagrammen in Excel In den verschiedenen Praktika an der FH Aschaffenburg werden Sie in den unterschiedlichsten Versuchen mit teilweise recht großen Datenmengen konfrontiert,

Mehr

Microsoft Excel 2013 Automatisches Ausfüllen

Microsoft Excel 2013 Automatisches Ausfüllen Hochschulrechenzentrum Justus-Liebig-Universität Gießen Microsoft Excel 2013 Automatisches Ausfüllen Automatisches Ausfüllen in Excel 2013 Seite 1 von 10 Inhaltsverzeichnis Lineare Reihen erstellen...

Mehr

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Aufgabe 1: Wetterbericht Im Mittel sagt der Wetterbericht für den kommenden Tag zu 60 % schönes und zu 40% schlechtes

Mehr

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln

Mehr

4b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung

4b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung Um was geht es? Häufigkeit in der die Fehlerzahl auftritt 9 6 5 3 2 2 3 5 6 Fehlerzahl in der Stichprobe Wozu dient die Wahrscheinlichkeit? Häfigkeit der Fehlerzahl

Mehr

Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn.

Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn. Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Anna a) ein Ass, b) einen Buben, c)

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Excel Pivot-Tabellen 2010 effektiv

Excel Pivot-Tabellen 2010 effektiv 7.2 Berechnete Felder Falls in der Datenquelle die Zahlen nicht in der Form vorliegen wie Sie diese benötigen, können Sie die gewünschten Ergebnisse mit Formeln berechnen. Dazu erzeugen Sie ein berechnetes

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

= * 281 = : 25 = oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b)

= * 281 = : 25 = oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b) GLEICHUNGEN Gleichungslehre Bisher haben Sie Aufgaben kennen gelernt, bei denen eine Rechenoperation vorgegeben war und Sie das Ergebnis berechnen sollten. Nach dem Gleichheitszeichen war dann das Ergebnis

Mehr

TOTO-System. Sonderteilnahmebedingungen zum Systemspiel

TOTO-System. Sonderteilnahmebedingungen zum Systemspiel TOTO-System Spiel-Erklärung Sonderteilnahmebedingungen zum Systemspiel Die Teilnahme am Spielangebot von WestLotto ist Personen unter 18 Jahren gesetzlich verboten. Glücksspiel kann süchtig machen! Hilfe

Mehr

Aufgabeneinheit 5: Aufgab, öffne dich!

Aufgabeneinheit 5: Aufgab, öffne dich! Aufgabeneinheit 5: Aufgab, öffne dich! Ralf Früholz / Renate Lenz / Georg Schmitt Methodische Vorbemerkungen Diese Aufgabeneinheit ist nicht vergleichbar mit den anderen Aufgabeneinheiten in dieser Broschüre.

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Englische Division. ... und allgemeine Hinweise

Englische Division. ... und allgemeine Hinweise Das folgende Verfahren ist rechnerisch identisch mit dem Normalverfahren; es unterscheidet sich nur in der Schreibweise des Rechenschemas Alle Tipps und Anmerkungen, die über die Besonderheiten dieser

Mehr

Mathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1)

Mathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Name: Mathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Absolute und relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Voraussagen mit Wahrscheinlichkeit

Mehr

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 326 Grundlagen Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit einfachem Mengenkalkül

Mehr

Über ein Kartenspiel: Siebeneinhalb

Über ein Kartenspiel: Siebeneinhalb Über ein Kartenspiel: Siebeneinhalb Paula Lagares Federico Perea Justo Puerto MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 Universität Sevilla Dieses

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00.

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses

Mehr

LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK

LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK III. In einer Region haben 60 % der Haushalte einen Internetanschluss. Das Diagramm veranschaulicht die Anteile der Zugangsgeschwindigkeiten unter den Haushalten

Mehr

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik)

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) Prof. Dr. Reinhold Kosfeld Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) 1. Einleitung Deskriptive Statistik: Allgemeine und spezielle

Mehr

RSA-Verschlüsselung. von Johannes Becker Gießen 2006/2008

RSA-Verschlüsselung. von Johannes Becker Gießen 2006/2008 RSA-Verschlüsselung von Johannes Becker Gießen 2006/2008 Zusammenfassung Es wird gezeigt, wieso das nach Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman genannte RSA-Krptosstem funktioniert, das mittlerweile

Mehr

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im

Mehr

Hoffmann s Lotto-Experte

Hoffmann s Lotto-Experte Hoffmann s Lotto-Experte das Original von Anwenderdokumentation Alle Rechte bei Jörg Hoffmann Software & Service Eppendorf 1/1 INHALT 1 WAS KANN HOFFMANN S LOTTO-EXPERTE?...3 2 INSTALLATION/DEINSTALLATION...3

Mehr

Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulation Modellierung und Simulation Monte-Carlo-Simulation Universität Hamburg Johannes Schlundt 7. Januar 2013 Monte-Carlo-Simulation Johannes S. 1/31 Inhalt Motivation Geschichtliche Entwicklung Monte-Carlo-Simulation

Mehr

EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010. Modul Excel. Informationen zum Programm. Die Programmoberfläche von Excel

EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010. Modul Excel. Informationen zum Programm. Die Programmoberfläche von Excel EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010 Modul Excel Informationen zum Programm Microsoft Excel ist das meistverbreitete Programm zur Tabellenkalkulation. Excel bietet sich für umfangreiche, aber

Mehr

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke 1 Zuerst zum Gebrauch des Wortes unendlich Es wird in der Mathematik in zwei unterschiedlichen Bedeutungen benutzt Erstens im Zusammenhang mit Funktionen

Mehr

Business Value Launch 2006

Business Value Launch 2006 Quantitative Methoden Inferenzstatistik alea iacta est 11.04.2008 Prof. Dr. Walter Hussy und David Tobinski UDE.EDUcation College im Rahmen des dokforums Universität Duisburg-Essen Inferenzstatistik Erläuterung

Mehr

Excel-Kurs (Stephan Treffler, HS Erding)

Excel-Kurs (Stephan Treffler, HS Erding) Excel-Kurs (Stephan Treffler, HS Erding) Der Excel-Kurs geht davon aus, dass Schüler der 9.Jahrgangsstufe grundsätzlich mit Excel umgehen können und über das Menü und die verschiedenen Funktionen Bescheid

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III

3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III 3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III Inhaltsverzeichnis ufallsgrössen Der Erwartungswert 3 3 Die Binomialverteilung 6 4 Die kumulierte Binomialverteilung 8 4. Die Tabelle im Fundamentum (oder Formeln und

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm - Eine Einführung -

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm - Eine Einführung - Informationstechnische Grundbildung (ITG): Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Excel Seite 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm - Eine Einführung - Starte das Programm Excel.

Mehr

Toleranzberechnung/-Simulation

Toleranzberechnung/-Simulation Summenhäufigkeit zufallsgeneriert Toleranzberechnung/-Simulation Einführung Das Ziel ist es die Auswirkung von vielen Einzeltoleranzen auf ein Funktionsmaß zu ermitteln. Bekanntlich ist das addieren der

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2011 im Fach Mathematik. 18. Mai 2011

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2011 im Fach Mathematik. 18. Mai 2011 LAND BRANDENBURG Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2011 im Fach Mathematik 18.

Mehr

Veranstaltung Statistik (BWL) an der FH Frankfurt/Main im WS 2004/05 (Dr. Faik) Klausur 09.02.2005 - GRUPPE A - BEARBEITER/IN (NAME, VORNAME):

Veranstaltung Statistik (BWL) an der FH Frankfurt/Main im WS 2004/05 (Dr. Faik) Klausur 09.02.2005 - GRUPPE A - BEARBEITER/IN (NAME, VORNAME): Veranstaltung Statistik (BWL) an der FH Frankfurt/Main im WS 2004/05 (Dr. Faik) Klausur 09.02.2005 - GRUPPE A - BEARBEITER/IN (NAME, VORNAME): MATRIKELNUMMER: Alte Prüfungsordnung/Neue Prüfungsordnung

Mehr

Vorübung 1 Beschriften Sie die Tabelle wie in der Abbildung dargestellt.

Vorübung 1 Beschriften Sie die Tabelle wie in der Abbildung dargestellt. Diese Anleitung führt in einige Grundfunktionen des Tabellenkalkulationsprogramms Microsoft Excel ein. Sie erstellen nach einigen Vorübungen mit Excel ein kleines Programm, das auf der Grundlage der Gesamtpunktzahl

Mehr

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II Inhaltsverzeichnis 1 bedingte Wahrscheinlichkeiten 2 2 unabhängige Ereignisse 5 3 mehrstufige Zufallsversuche 7 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 28.02.2010 Theorie und

Mehr

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

1 Dein TI nspire CAS kann fast alles

1 Dein TI nspire CAS kann fast alles INHALT 1 Dein kann fast alles... 1 2 Erste Schritte... 1 2.1 Systemeinstellungen vornehmen... 1 2.2 Ein Problem... 1 3 Menü b... 3 4 Symbolisches Rechnen... 3 5 Physik... 4 6 Algebra... 5 7 Anbindung an

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander

Mehr

6.4 Bedeutungsaspekte ausgewählter Begriffe 6.4.1 Zahlbegriffe und Rechenoperationen

6.4 Bedeutungsaspekte ausgewählter Begriffe 6.4.1 Zahlbegriffe und Rechenoperationen 6.4 Bedeutungsaspekte ausgewählter Begriffe 6.4.1 Zahlbegriffe und Rechenoperationen a) Natürliche Zahl Entspricht Bedeutung des Wortes ZAHL beim Schüler bis Kl. 5 Bedeutungen entwickeln sich durch entsprechende

Mehr

1.1 Das Ziel: Basisdaten strukturiert darzustellen

1.1 Das Ziel: Basisdaten strukturiert darzustellen MS Excel 203 Kompakt PivotTabellen. Das Ziel: Basisdaten strukturiert darzustellen Jeden Tag erhalten wir umfangreiche Informationen. Aber trotzdem haben wir oft das Gefühl, Entscheidungen noch nicht treffen

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungsfreie Verfahren Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit

3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit 3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit Aufgabe : Summenregel und bedingte Wahrscheinlichkeit Eine Statistik hat folgende Ergebnisse zutage gebracht: 52 % der Bevölkerung sind weiblich.

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 5. November 2013 Beispiel: Aktiensplit (Aczel & Sounderpandan, Aufg. 14-28) Ein Börsenanalyst

Mehr

Was Sie bald kennen und können

Was Sie bald kennen und können Bedingte Formatierung In diesem Kapitel werden Sie die Vorzüge der bedingten Formatierung schätzen lernen. Mit wenig Aufwand können Sie Zellen, die bestimmte Bedingungen erfüllen, automatisch optisch hervorheben

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2008 im Fach Mathematik 23.06.2008

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2008 im Fach Mathematik 23.06.2008 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2008 im Fach Mathematik 23.06.2008 Arbeitsbeginn: Bearbeitungszeit: 11:00 Uhr 120 Minuten

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 5 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 5 2.3.2. Vereinfachen

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Einführendes Beispiel ( Erhöhung der Sicherheit bei Flugreisen ) Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges ein Sprengsatz an Bord

Mehr

Multiplikation und Division - Division

Multiplikation und Division - Division Multiplikation und Division - Division Qualifizierungseinheit Multiplikation und Division Lernziele: Wenn Sie diese Qualifizierungseinheit bearbeitet haben, können Sie ganze Zahlen multiplizieren und dividieren

Mehr

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung Fachseminar zur Stochastik Die Binomialverteilung 23.11.2015 Referenten: Carolin Labrzycki und Caroline Kemper Gliederung Einstieg Definition der Binomialverteilung Herleitung der Formel an einem Beispiel

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Microsoft Excel 2007 Basis

Microsoft Excel 2007 Basis w w w. a c a d e m y o f s p o r t s. d e w w w. c a m p u s. a c a d e m y o f s p o r t s. d e Microsoft Excel 2007 Basis L E SEPROBE online-campus Auf dem Online Campus der Academy of Sports erleben

Mehr

Dokumentation. estat Version 2.0

Dokumentation. estat Version 2.0 Dokumentation estat Version 2.0 Installation Die Datei estat.xla in beliebiges Verzeichnis speichern. Im Menü Extras AddIns... Durchsuchen die Datei estat.xla auswählen. Danach das Auswahlhäkchen beim

Mehr

Abzahlungsplan und Abzahlungsgleichung Gekürzte Fassung des ETH-Leitprogramms von Jean Paul David und Moritz Adelmeyer Teil 2

Abzahlungsplan und Abzahlungsgleichung Gekürzte Fassung des ETH-Leitprogramms von Jean Paul David und Moritz Adelmeyer Teil 2 - 5 - Abzahlungsplan und Abzahlungsgleichung Gekürzte Fassung des ETH-Leitprogramms von Jean Paul David und Moritz Adelmeyer Teil 2 Frau X hat ein Angebot der Bank: Sie würde 5000 Euro erhalten und müsste

Mehr