Formelsammlung Finanzmathematik

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1 ZÜHE HOHSHULE WINTETHU (ZHW) INSTITUT BNING & FINNE Fomelsammlug Fazmahema [ ] [ ] (X,Y) (x E x ) * (y E y ) D π V() m m m m m. Zsfome.... eefome Veschuldugsfome useche ede vo fesvezslche Weaee ede vo e ede m ash-flows ede adee lagemede so ud ede vo Ezelosoe.... so ud ede m ofolo...3. efomacemessug...4. Devave Elemee...5 hag of. D. Güe. Hobe

2 INSTITUT BNING & FINNE ZHW. Zsfome Efache Vezsug leae Vezsug ufzsug bzsug Edaal fagsaal Zsfuss Zssaz ( / ) Gesamlaufze Jahe Edaal fagsaal Zsfuss Zssaz ( / ) Gesamlaufze Jahe ( ) ( ) ( ) ( ) Zses-Zs exoeelle Vezsug ufzsug bzsug Edaal fagsaal Zsfuss Zssaz ( / ) q ufzsugsfao () Gesamlaufze Jahe Edaal fagsaal Zsfuss Zssaz ( /) q ufzsugsfao ( ) Gesamlaufze Jahe v bzsugsfao ( /q) ( ) ( ) q ( ) ( ) q v Uejähge Vezsug omelle Zsfuss Zssaz ( / ) om q ( om ) ( ) elave Zsfuss Zssaz ( / ) el m m q el ( ) ( ) m m effeve Zssaz ( / ) m z. Vezsuge o Jah Edaal fagsaal Gesamlaufze Jahe eff (qeff ) q ( m ) m ( m ) m eff ( m ) m ( m ) m ofome Sehe eefome Gemsche Vezsug Laufedes Jah wd lea, volle Jahe exoeell ud lezes agefagees Jah wede lea vezs. Sege Vezsug e Eule sche osae Zssaz omell Edaal fagsaal qeff e e eff (e ) e ( e ) ( e ) q eff e of. D. G. Hobe See

3 INSTITUT BNING & FINNE ZHW. eefome Theoe ee sd voschüssg / Sae s achschüssg / Leasg (ee) s voschüssg Edwe voschüssg eeedwe ae / ee q ufzsugsfao s Edwefao voschüssg zahl ae q ' q s q ' achschüssg eeedwe ae / ee q ufzsugsfao s Edwefao achschüssg zahl ae q s q Umechug vo- achschüssg s' s Bawe voschüssg eebawe ae / ee q ufzsugsfao a Bawefao voschüssg zahl ae q ' a - q q ' achschüssg eebawe ae / ee q ufzsugsfao a Bawefao achschüssg zahl ae q a q q Umechug vo- achschüssg a' a Uejähge ee ehode ae ee Fs f ae ees Jahes fü Ed - ode Bawefomel zahl Fse Fsemel Zssaz Fsemel (f) f (voschüssg): f (achschüssg): zahl ae o Jah f ( f) ufaddee de aelge eslaufzee de ae. z.b. be veeljählche, achschüssge Zahlug: ae. ae 3. ae 4. ae 9/ 6/ 3/ / 8/ ehode B (ofome Zssaz) q of q fü Ed- ode Bawefomel q el elave ufzsugsfao Zssaz m zahl Vezsuge. a. ae ee Fs x zahl aezahluge ehalb ee Zseode q q ( m ) of x x el zahl ae. a. X m Hwese: Es wd fas mme vo jählche Vezsug ausgegage, also m, ausse be adee gabe, z. B. Saläe.) Zusäzlch muss als ae de Ed- ode Bawefomel egesez wede. of. D. G. Hobe See

4 . eefome (Fos.) INSTITUT BNING & FINNE ZHW ogessve ee voschüssg Edwe ae / ee q ufzsugsfao ogessosfao zahl ae Bawe q ' q q q ' - q q achschüssg Edwe ae / ee q ufzsugsfao ogessosfao zahl ae Bawe q q q q q ogessosfao u ozesaz de Veädeug ogessosfao ( u) > ogessve ee ± m osae ee < degessve ee Ewge ee (Bawee) voschüssg Bawe q ufzsugsfao Zssaz achschüssg ae / ee ' q q q q achschüssg Bawe q ufzsugsfao Zssaz ae / ee (be mehee ae o Jah ofome, ehode B be uejähge ee, s dabe de effeve (z.b. moalche) ee) q (be mehee ae o Jah ofome, ehode B be uejähge ee, s dabe de effeve (z.b. moalche) ee) Lebee De Lebee s a de Lebesdaue des Emfäges gebude ud s dahe ee edlche ee, be de Ba- ud Edwebeechug omal möglch sd. De zahl Jahe muss aus de Sebeafel eomme wede. Beechug efolg va Bawefomel See, de Laufze muss aus de Sebeafel Fomel ud Tafel gelese wede, oloe e x eseve e y, x fü de Faue, y fü de äe. of. D. G. Hobe See 3

5 3. Veschuldugsfome INSTITUT BNING & FINNE ZHW e ohe Tlgug wähed de Laufze Emalge Schuld üczahlug vo aal ud Zs am Ede de Laufze (z.b. Geldmasumee, Fesgelde, ec.) Zsschuld / - alehe Zse laufed (z.b. jählch), üczahlug des aals am Ede de Laufze (z.b. Oblgaoe) m Tlgug wähed de Laufze aeschuld osae (Tlgugs-)ae (z.b. jählch), Zse sd abehmed (z.b.. Hyohee) uäeschuld Jählche ufwedug osa (Zs l. Tlgug), (z.b. leede, Euo-Hyohee) uäealehe (mme achschüssg) Tlgugsla aal zu Be- Zse am Tlgug am Jahes- Jah g des Jahes Ede des Jahes Ede des Jahes aufwad z T z T ( ) -T z z -(T ) T T (T )T q z T ( ) 3 -T z 3 z -(T ) T 3 T (T )T qt q z 3 T 3 ( ) Tlgugsae am Ede des. Jahes Tlgugsae am Ede des -e Jahes Bawe T. Tlgugsae zahl Tlgugsjahe aal zu Beg s Edwefao achschüssg q ufzsugsfao T Tlgugsae Ede -e J. T. Tlgugsae q ufzsugsfao () Jahzahl T. Tlgugsae zahl Tlgugsjahe aal zu Beg s Edwefao achschüssg T s (q ) q q q- [ ] T T q fü T s T q q aal zu Beg zahl Jahe uä a Bawefao achsch q ufzsugsfao () a q q q esschuld esschuld Ede -e J. aal zu Beg T. Tlgugsae Jahzahl s Edwefao achschüssg Im Tlgugsla s fü das -e Jah (-) zu beeche. q T T q s [ fü ] sezell: T s (esschuld am Ede des -e Jahes bzw. Bawe de folgede uä) uä esschuld Ede -e J. aal zu Beg q ufzsugsfao () Jahzahl s Edwefao achschüssg q s q q q esschuld Ede -e J. - eslaufze uä q ufzsugsfao () q q q of. D. G. Hobe See 4

6 INSTITUT BNING & FINNE ZHW 3. Veschuldugsfome (Fos.) uä aal zu Beg zahl Jahe uä a Bawefao achschüssg q ufzsugsfao () a q (q ) q q q q Fao q uä T. Tlgugsae q ufzsugsfao () zahl Jahe q q T T Laufze uä T. Tlgugsae q ufzsugsfao () zahl Jahe q lg lg T T lg q Seealehe / m Sücelug aal zu Be- Zse am Tlgug am Jahes- Jah g des Jahes Ede des Jahes Ede des Jahes Süc es aufwad Süc es Jahesaufwad aal m Folgejah Be gleche Tlgug Be glechem Jahesaufwad (uä) Tlgug Tlgug am Ede des -e Jahes es - es des Vojahes Nomal Nomal de Oblgaoesücelug Des esch de effev möglche zu lgede Oblgaoeschuld, wobe de es des Vojahes mbeücschg wede muss. Tlgug Tlgug am Ede des -e Jahes es- es des Vojahes Süc Süc des -e Jahes Nomal Nomal de Oblgaoesücelug JW Jahesaufwad Zse Zse des -e Jahes Süc Süc des -e Jahes Nomal Nomal de Oblgaoesücelug aal Nomal Nomal de Oblgaoesücelug Tlgug besmme, wobe das Gesamomal de gesame lehesschuld (omell) esch. De Jahesaufwad egb sch aus Tlgug Zse. uä besmme. aal zu Beg zahl Jahe uä a Bawefao achsch. De Tlgug egb sch aus de Dffeez vo uä Zse. Tlgug es Süc Nomal es (Beag s abzuude) ( Tlgug es ) - - ( Süc * Nomal) JW Zse (Süc Nomal) Folgejah Vojah (Süc Vojah Nomal) Gesamomal Tlgug Laufze Jahe q (q ) a q q q q of. D. G. Hobe See 5

7 INSTITUT BNING & FINNE ZHW 4. useche useche us us om Nomalwe eal Bawe de aussehe de ash-flows abgezs m q eal om omelle Zsfuss eal eale Zsfuss (eal) (om) * us / We ee emalge Schuld W Übeahmewe Schuldeauszahlug zu Beg us emalge Schuld Gesamlaufze veschee zahl Jahe - eslaufze q eal ufzsugsfao eal q om ufzsugsfao omal qom qeal q (om) > q (eal) übe a q (om) < q (eal) ue a W q om (-) qeal us ee Zsalehe us ee Zsalehe ücahmees Laufze q eal ufzsugsfao eal om Zsfuss omal qeal q eal qeal om q eal us ee ewge ee us ee ewge ee om Zsfuss omal eal Zsfuss eal om eal gl fü alle Fomel als Schäzfomel! us ee uäealehe us ee uäealehe q eal ufzsugsfao eal q om ufzsugsfao omal Laufze Jahe m a a a (eal) (om) q * q * q us ee aeschuld (dee Beechug) us fü aeschuld Laufze om Zsfuss omal eal Zsfuss eal q eal ufzsugsfao eal q om ufzsugsfao omal * a m a (eal) (eal) q (eal) (om) (eal) q * q (eal) * (eal) (eal) ( a ) us ee aeschuld (oveso) efache! us fü aeschuld x mlee Laufze Laufze ücahmeus om Zsfuss omal q eal ufzsugsfao eal q om ufzsugsfao omal x lg lg q lg q eal qeal qeal eal x qeal x x q q eal eal q om eal eabläsechug Das eabläs- ode edeeche blde das Gegesüc zum useche. Es wede de gleche Fomel we bem useche beuz, u de Voaus- sezuge sd adee: Bem useche s om ud eal gegebe, gesuch s de us. Bem eabläseche s om ud gegebe, gesuch s eal. Deses eal.hess da auch eff ode ede (auf Vefall) ode Yeld (o mauy). of. D. G. Hobe See 6

8 INSTITUT BNING & FINNE ZHW 5. ede vo fesvezslche Weaee Efache (sasche) Oblgaoeede fü ee eode ouo ( ozee) aufes efach fü mehee eode ouo ( ozee) aufes ücahmees (es-)laufze efach Bawemodell jählche ouos V Tageses (ese-value) ouo ( ozee) azssaz (es-)laufze Jahe ücahmees V() ( ) ( ) V Tageses (ese-value) ouo (es-)laufze Jahe ücahmees a Bawefao achsch. q ufzsugsfao V() a q q q q q ( ) ( ) ( ) ( ) mehee s jählch V Bawe (ese-value) Jahes-ouo (es-)laufze Jahe azssaz m zahl ouos o Jah ücahmees q q of x zahl Zahluge ee Zseode (mes ) m m V() m m V() m * * q m m q q q m m m q x m Bawe wähed de Laufze V Bawe wähed de Laufze V Tageses (ese-value) azssaz Tage se leze ouo- Zahlug bs heue 36 V ( ) ( ) V( ) Edwe FV Fuue Value (Edwe) Jahes-ouo azssaz (es-)laufze Jahe om. üczahlugsbeag ( ( ) ) FV() of. D. G. Hobe See 7

9 INSTITUT BNING & FINNE ZHW 5. ede vo fesvezslche Weaee (Fos.) ede auf Vefall (Yeld o auy) Umelba be s- Vefall Böse- / Tageses Jahes-ouo (es-)laufze ücahmees ede q q q q (Effevvezsug) [ m q ( )] Uejähg (d.h. ch e Vefallag) T Böse- / Tageses es fla ode ex Jahes-ouo (es-)laufze aufgeude ücahmees ede (Effevvezsug) Tage se leze ouo- Zahlug bs zum Eweb 36 ( ) T q q 36 T q q q [ m q ( ) ] Ex ode fla De lehe / De es s exlusve achzse um De lehe / De es s lusve achzse omale us s mme ex: es fla lus achzse egb es cum. achzse achzse Jahes-ouo ede (Effevvezsug) # Tage se de leze ouo-zahlug bs zum Eweb 36 q q ode efache: 36 [ m q ( )] ede auf mleem Vefall Beechug mlee Vefall mlee Laufze zahl Jahe bs. uslosug zahl Jahe vo. uslosug bs üczahlug Baefomel ede (Effevvezsug) T Böse-/Tageses Jahes-ouo mlee Laufze ücahmees Duao Beechug D Duao Böse- / Tageses ash-flows (s. ode üczahlug) azs ode, falls ch vohade, ede auf Vefall Daue, z.t. auf Tage ge au D ( ) * Beechug Tabellefom F Bawe Bawe x wedug (als modfed Duao) D Duao Veädeug des Oblgaoe-us ( %) ede auf Vefall ( %) eal Veädeug des a zses ( %) D eal of. D. G. Hobe See 8

10 6. ede vo e INSTITUT BNING & FINNE ZHW Hsosche ede fü ee eode Efache ede Jahesede - aufes Veaufses D Dvdede SF ( ) D D sege ede sege Jahesede - aufes Veaufses D Dvdede SF D l( ) Hsosche ede fü mehee eode Efache Gesam-ede Ges efache Gesamede - aufes Veaufses D Dvdede SF π x xx... x geomesches el Ges π D,falls D sege Gesamede Ges sege Gesamede sege Jahesede - aufes Veaufses D Dvdede SF zahl Summade zahl Zeeode (meses Jahe ode oae, Woche, Tage) Ges D l l, falls D Efache duchschlche ede efache lageede Ges efache Gesamede - eodeafagses eodeedes D Dvdede SF zahl Faoe zahl Zeeode (meses Jahe ode oae, Woche Tage) Ges, falls D D π sege duchschlche ede sege lageede Ges sege Gesamede sege Jahesede Ges gegesege Übefühug sege ede efache ede l( ) e ualsee ede Effeve aualsee ede Duchschlche Tages-, Woche- ode oasede müsse aualse wede: öglche Wee fü sd:, 5 ode 5, je ach dem, ob vo duchschlche oas-, Woche- ode Tageswee ausgegage wd. Efache ede a ( ) eff a (ede o eode) (zahl eode.a.) a Sege aualsee ede sd mme effev. Zuüfge ede efaches odell E[ ] ewaee ede ede m Szeao Wahschelche des Szeaos [ ] E of. D. G. Hobe See 9

11 7. ede m ash-flows INSTITUT BNING & FINNE ZHW Es gb zwe säze, we ee Duchschsede m ash-flows (Zahlugssöme) beeche wd: De Geld- ud de Zeede. Geldede Be de Geldede wede alle Zahlugssöme we auch das vesee Vemöge auf ee Zeu bezoge ud eseched umgeeche (dsoe). Som s de Geldede abhägg vom Tmg ud de Höhe de ash-flows. Se omm dahe sbesodee da zum Esaz, we de Vemögesvewale Efluss auf de Höhe ud de Zeu de ash-flows ehme a. Fomel: o fagsus Fällge de Fs Zahlugssom Laufze G Geldede o ( G ) m <, falls Iflow (Zufluss) >, falls Ouflow (bfluss) ommea: De Fomel s aalog zum Iee Eagssaz (I) de dyamsche Ivesosechug ud s u m eem Glechugslöse lösba. Zeede De Zeede s um de Zahlugssöme beeg ud wdesegel de ewschafee duchschlche Eag aus dem Vemögesbesad. De ash-flows wede ga ch de echug ebezoge, a u also so, als ob ga ee ash-flows sagefude habe. Som s de Zeede uabhägg vom Tmg ud de Höhe de ash-flows. Se omm übeall do zum Esaz, wo de Vemögesvewale ee Efluss auf de Höhe ud de Zeu de Zahlugssöme ehme a. Fomel: Edus / -we fagsus / -we des ofolos Ges Gesamede Laufze Jahe Z Zeede Z ode ( Ges ) ommea: De Beechug s som deba efach ud esch de edebeechug vo e ohe Dvdede. Wchge Hwes De bede esulae öe sa dffeee; escheded s de wedugszwec. of. D. G. Hobe See

12 INSTITUT BNING & FINNE ZHW 8. ede adee lagemede uch he gb es wede zwe säze: efache ode sege ede (Vezsug). Edelmealle Fü ee eode efache Jahesede sege Jahesede es Zeu - es Jah vo Zeu ( ) (efache ede) l (sege ede) Fü mehee eode ehäl ma folgede Duchschswee E efache ede E sege ede es Zeu - es Jah vo Zeu zahl Faoe bzw. Summade wobe π x xx... x (Das g. Π seh fü e odu) E E π (efache Edelmeall-ede) l (sege Edelmeall-ede) lagefods ohe jählche usschüug Fods ohe jählche usschüug ( hesauede Fods ) vehale sch we Edelmealle: De Eag leg ezg m usgew, Fomel we obe. jählche usschüug Fü ee eode efache Jahesede sege Jahesede es Zeu - es Jah vo Zeu jählche usschüug ( ) (efache eeodge ede) l (sege eeodge ede) Fü mehee eode ehäl ma folgede Duchschswee F efache ede F sege ede F ede lagefods es Zeu - es Jah vo Zeu jählche usschüug zahl Faoe bzw. Summade π x x x... x F F π (efache Fods-ede) l (sege Fods-ede).S.: Dese Fomel sd desch m de Fomel fü hsosche ede be e, sehe a 6. Immoble Fü Immoble gele de gleche Fomel we fü Edelmealle ode lagefods, je achdem, ob jählche Eäge m zu beücschge sd ode ch. of. D. G. Hobe See

13 INSTITUT BNING & FINNE ZHW 9. so ud ede vo Ezelosoe Seuug / so (Sadadabwechug) fü hsosche Dae s Sadadabwechug s H Sadadabwechug H zahl Dae x edewe x ede-elwe s (x x) x x Umechug (Schobe vs. Gesamoulao) s H s (chug: H eche mme m -) Falls de Zeabsche u Tele ees gaze Jahes sd, muss de so beechee Sadadabwechug - we scho be de ede zuvo - aualse wede: s a s, (m, 5 ode 5 we zuvo, abe wchg: he seh ue de Wuzel). fü zuüfge Dae x Sadadabwechug Wahschelche des Szeaos x ede m Szeao E[X] ewaee ede zahl Dae [ ] x (x E X ) Idee de Nomalveelug fü de Ieeao, d.h. Wahschelche vo 68%: E[X] ± s bzw. Wahschelche vo 95%: E[X] ± s ovaaz fü hsosche (sege) ede (X,Y) ovaaz de lage X ud Y zahl Dae x ede de lage X y ede de lage Y x ede-elwe vo X y ede-elwe vo Y (X,Y) (x x) (y y) x x y y fü zuüfge (ewaee) ede (X,Y) ovaaz de lage X ud Y zahl Dae x ede de lage X y j ede j de lage Y E[X] ewaee ede [ ] [ ] (X,Y) (x E X ) (y E Y ) [ ] EX x [ ] EY y j j j Falls de Zeabsche u Tele ees gaze Jahes sd, muss de so beechee ovaaz - we bees obe de Sadadabwechug - aualse wede, (X,Y) a (X,Y). Fü mm ma de beae Wee, we, 5 ode 5 we obe. oelao fü hsosche Dae ρ xy oelao de lage X m de lage Y (X,Y) ovaaz de lage X ud Y s x Sadadabwechug de lage X s y Sadadabwechug de lage Y (X, Y) ρ xy sx sy fü zuüfge Dae ρ xy oelao de lage X m de lage Y (X,Y) ovaaz de lage X ud Y X Sadadabwechug de lage X (zuüfge) Y Sadadabwechug de lage Y (zuüfge) ρ xy (X, Y) X Y of. D. G. Hobe See

14 INSTITUT BNING & FINNE ZHW. so ud ede m ofolo Ewaee ofolo-ede Noaoe E[ F ] ewaee F-ede zahl lage m F z j el de lage j m F E[ j ] ewaee ede de oso j Wahschelche des Szeaos ede be Szeao [ F ] j [ j ] E z E m [ ] j E j ofolo-so Fomel De Doelsumme s als ee Fo-Nex-Schlaufe zu vesehe F Sadadabwechug des ofolos zahl lage m F z el de lage % z j el de lage j % j Sadadabwechug de lage j (,j) ovaaz de lage ud j * duchschlche Vaaz (,j)* duchschlche ovaaz F z zj z zj (,j) j j j zj j z zj (,j) j j z j j z z j (, j) j j> m F F Fü lage Fü 3 lage Fü lage ud m je glechgosse ele m F F z z z z (,) F z z z 3 3 [z z (,) z z 3 (,3) z z 3 (,3)] F j ( ),j j j>,j ( ) * F * Duchschlche Vaaz ud ovaaz * (, j) * (, j) j> ( ) Geze des Dvesfaoseffees Falls * da: F (, j) aso (ch wegdvesfzeba) Bea-Fao Fü e β Bea-Fao de e (,) ovaaz de lage ud dem a (z.b. edex SI) s hsosche Vaaz des aes zuüfge Vaaz des aes β (,), β s (,) of. D. G. Hobe See 3

15 . efomacemessug INSTITUT BNING & FINNE ZHW Bea-Fao (Fos.) Fü e F β F Bea-Fao des Fs β j Bea-Fao de e j z j el de e j am ofolo % zahl e β β z F j j j Theoe Besmmhesmass Fü e a-so-el % De Bea-Fao wdesegel de Sesvä ee e bzw. ees ofolos gegeübe eem aoale a. E sell de elave Schwaug de e bzw. des ofolos gegeübe eem aoale adex da. β Bea-Fao de e s Vaaz des aes s Vaaz de e β s s β, ρ oelao a / e a-so-el % ρ Fü e F F a-so-el % β F Bea-Fao des Fs s Vaaz des aes s F Vaaz des ofolos β s s F F F, F F F β Theoe besmm de el de mabedge Vaaz (sysema sches so) a de gesame Vaaz ( ozee). aal-ae-le (L) Theoe Be de L esche de ewaee ede als leae Fuo des Gesamsos ees Fs. lle effzee Fs lege auf de L, ch abe Ezelel. (E[ ] f ) E[ F ] f F Secuy-ae-Le (SL) aal-sse-cg- odell () Shae-ao S Theoe Theoe Fü e Be de SL esche de ewaee ede als leae Fuo vo β. lle oe beweee sses lege auf de SL. Im esche de ewaee ede als leae Fuo des sysemasche sos ees Fs E[ ] f ( E[ ] f ) β (E[ ] f ) E[ ] f E[ ] Ewaee Eag vo β Bea-Fao de e E[ ] f f sofee Zssaz S ew. o Volaly' Vaaz de e Theoe S gb de Übeschussede o Gesamsoehe a. Teyo-ao T Fü e E[ ] Ewaee Eag vo β Bea-Fao de e f sofee Zssaz T E[ ] β f ewad o β' Theoe T gb de Übeschussede o sysemasche soehe β a. α - Fao Fü e E[ ] Ew. Eag des aes β Bea-Fao de e f sofee Zssaz Eag de e α E[ ] ( f ( E[ ] f ) β ) Theoe α gb das Uglechgewch zwsche effeve ud ewaee ede a ud s fü uebeweee e osv ud fü übebeweee egav. of. D. G. Hobe See 4

16 . Devave Elemee INSTITUT BNING & FINNE ZHW lle Devae s gemesam, dass se auf eem eal exseede (Faz-) odu aufbaue, m desem veüf ode we ma he sag vo desem abgelee (egl. devave) sd. ls zugudelegede odue ( udelygs ) ege sch gudsäzlch jedes (Faz-) odu: e, Oblgaoe, Devse, Zse, Idzes, Bases, ec. Dahe s de a de Devae de am säse ud am eavse wachsede a. Ooe all De all-äufe ewb m de Bezahlug des Ooses das ech, ehalb de Laufze de Udelyg zum fesgeseze (Se-) es zu aufe. E wd sbesodee da vo seem ech Gebauch mache, we de Udelyg de Sees mdeses eech ha. Nu da ha de Oo ee wlche ode ee We. De all-schebe ode Veäufe ehäl de Ooses ud muss be usübug de Udelyg lefe. Gah: Ooses:, Se: 4 Gew/ Velus eus u De u-äufe ewb m de Bezahlug des Ooses das ech, ehalb de Laufze de Udelyg zum fesgeseze (Se-) es zu veaufe. E wd sbesodee da vo seem ech Geauch mache, we de es des Udelyg ue de Se gefalle s. De u-schebe ode Veäufe ehäl de Ooses ud muss be usübug de Udelyg egegeehme. Gah: De UT-auf als bscheug: Ooses:, Se: 3 3 Gew/ Velus eus Log us ofeulle Gesamoso of. D. G. Hobe See 5

17 . Devave Elemee (Fos.) INSTITUT BNING & FINNE ZHW Tye vo Ooe Oossaege Es muss ses zwsche euoäsche ud ameasche Ooe ueschede wede: Euoäsche Ooe öe u am Vefall ausgeüb wede, wähed ameasche scho wähed de Laufze ausgeüb wede öe. E Hadel (also auf ud Veauf) s jedoch mme möglch. Beleb s das Egehe vo Oossaege. Dazu wede veschedee Ooe, alls ud us, des gleche Udelygs geauf ud geschebe zu veschedee Seese. uch öe Ooe m Fesgeldalage ombe wede. So esehe de seh belebe suuee odue m de exosche Name, we GOI, EOS, EVEXUS, ec., de alle daduch ee aalschuz ehale. cg vo Ooe Das cg vo Ooe s aufwedg ud schweg. Fü gewsse Sezalfälle lasse sch jedoch bschäzuge ode Fomel agebe. Blac & Scholes Fomel (gl dese Fom u fü euoäsche Ooe, a abe als gue äheug auch fü ameasche Ooe beuz wede.) Φ(d ) - S e - Φ(d ) S e - Φ(-d ) - Φ(-d ) m d ( l(/s) ( f ½ ) ) / ½ d d - ½ (Fü de Vaable: sehe Gee Lees) Gee Lees Eflussfaoe all u aamee segede Fao usübugses (S) uelle Bassweus () δ (Dela) Oosdela (δ) χ (Gamma) eslaufze ( ) ϑ (Thea) Volalä des Basswees () τ (Tau) sofee Zs ( f ) ρ (ho) Dvdede all u Theoem V (S) - (gl so u fü euoäsche Ooe) Fuues Fuues sd sezelle Temgeschäfe, dee sch de ae jedoch zu Lefeug ode (soga) äglche bgelug veflche. Ählch de Ooe sd auch he ege, Udelyg, Laufze ud usübugses fü de Veagsdaue fxe. Fuues öe u am Vefall ausgeüb wede, de mese wede vohe veauf ode glagesell. Da ee hyssche Lefeug mes ch möglch s, bleb u de öglche des Baausglechs. of. D. G. Hobe See 6

18 INSTITUT BNING & FINNE ZHW hag oygh Ths documeao s fushed ude a lcese ageeme ad o-dsclosue ageeme. I may be used o coed oly accodace wh he ems of he ageeme ad oly fo he use wh he Uvesy of led Sceces Wehu. I s agas he law o use ay fom o by ay meas he oeced maeal whou he we emsso of he udewe of. D. Güe. Hobe, Züche Hochschule Wehu (ZHW), osfach, H-84 Wehu. Emal: guee.hobe@zhw.ch ll ghs eseved. of. D. G. Hobe See 7