Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung

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1 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Messfehler, Fehlerberechug ud Fehlerabschätug 1. Systematsche Fehler Systematsche Fehler et ma solche Fehleratele, welche be Wederholug eer Messug uter detsche Messbedguge ee kostate Wert beste, d.h. jedes Mal glecher Größe ud mt glechem Voreche auftrete. Daraus folgt, dass systematsche Fehler durch Wederholug der Eelmessuge weder erkat och elmert werde köe. Folgede Arte systematscher Fehler sd be der Durchführug physkalsch-chemscher Messuge u berückschtge: Verachlässgug vo Umwelteflüsse: Auftreb der Luft be Wäguge, Abwechug der Kalbrer- vo der Messtemperatur,... Uvollkommehet der Messgeräte: Egeverbrauch elektrscher Messstrumete, Nchtleartät, Kalbrerfehler, altersbedgte Äderuge des Messgerätes,... Uuläglchkete vo Sete des Epermetators: Ugeügedes theoretsches Verstäds des Messvorgages, magelde Objektvtät de egee Messuge gegeüber ("Wuschbeobachtuge"), regelmäßge Parallae bem Ablese vo Zegerstrumete,... Zur Etdeckug systematscher Fehler st es häufg ütlch, de Messbedguge u veräder, wobe auch dejege Parameter varert werde sollte, de aufgrud der Theore des Messvorgages kee Efluss auf de ubekate Messgröße habe sollte. Noch wrkugsvoller wäre es, de Messmethode oder das Messprp völlg u äder. Ee Korrektur erkater systematscher Fehler st cht mmer mt eem vertretbare Aufwad durch Verbesserug der Messmethodk u erreche. Oft st es jedoch möglch, hre Efluss auf das Ergebs durch ee, mest achträglch durchgeführte Korrektur u elmere.. Zufällge (oder statstsche) Fehler Auch be größtem Bemühe um ee eakte Wederholug vo Messuge stellt ma fest, dass de umersche Resultate eem gewsse Streuberech lege ud de Abwechuge ach Betrag ud Voreche ufallsbedgt schwake. De gemessee Werte sd der Regel statstsch um ee Mttelwert herum vertelt. Dese statstsch schwakede Messfehler et ma ufällge Fehler, se uterlege de Gesete der Wahrschelchketsrechug. Um aus eer Stchprobe ( Wederholuge eer Messug eer Größe mt dem wahre Wert w ) aus dem vorhadee Zahlemateral de beste "Schätwert" für de gesuchte Größe u erhalte, wrd allgemee das arthmetsche Mttel aller Messwerte gebldet: 1 1 (1) De Abwechug der eele Messwerte vom Mttelwert et ma de Fehler der eele Messuge ud beechet se mt u : Sete 1 vo 1

2 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer u () Der mttlere Fehler (Stadardabwechug) der Eelmessuge beüglch des wahre Wertes w st gegebe durch: 1 u ( ) () We ma ee größere Aahl vo Stchprobe der u bestmmede Messgröße bestmmt, da blde de ugehörge Mttelwerte selbst wederum ee Vertelug, de aders st als de Messgrößevertelug erhalb eer Stchprobe, jedoch mt hr Beehug steht. Der mttlere Fehler (Stadardabwechug) m des Mttelwertes eer Stchprobe 1 m ( ) ( 1) 1 (4) st um de Faktor kleer als der mttlere Fehler der Eelmessug: Der u bestmmede Messwert beträgt da: m oder m (5) je achdem, ob ee absolute oder de relatve Agabe bevorugt wrd. Das st wetgehed Geschmacksache, mt Ausahme der Fehleragabe be der Fehlerfortpflaug (s. Abschtt ). Her ka de Berechug des relatve Fehlers efacher se. Der Absolutfehler st ehetebehaftet, mt der gleche Ehet we de Messgröße. Der relatve Fehler dagege st dmesoslos ud wrd häufg Proet agegebe. Ma fdet aber auch adere Agabe (ree Zahl oft als Zeherpote, ppm, ppt etc.) Aus Gl. (5) folgt, dass es sch prpell loht, jede Messug oft u wederhole, da sch der statstsche Fehler des Mttelwertes durch etsprechede Arbetsaufwad verkleer lässt. Ee Geaugketsstegerug um de Faktor 1 erfordert jedoch 1 usätlche Messuge. Ob deser Arbetsaufwad svoll st, ka erst etschede werde, we ma de u erwartede systematsche Messfehler beurtelt hat. Normalvertelte ufällge Fehler reduere sch also durch wederholte Messug. E eeler Messpukt wecht dabe m Durchschtt um vom wahre Wert w ab, d.h. er hat de Wahrschelchket,68 (.e. 68,%), erhalb des Itervalls w u lege. Der Mttelwert vo Messuge wecht m Durchschtt ur um de um kleere Betrag m ab. Damt legt der Mttelwert vo Messuge mt der Wahrschelchket,68 dem vel kleere Itervall w m. De Scherhet, mt der e belebger Messwert aus eer Messrehe eem bestmmte Berech um de Mttelwert legt, wrd als statstsche Scherhet P beechet. E bestmmter Messwert aus eer ach Gauß ormalvertelte Messwertrehe legt also mt eer statstsche Scherhet vo P = 68, % dem Berech w. Für de Berech w beträgt P = 95,4% ud für das Itervall w st P = 99,7%. I Laboratore wrd oft mt eer statstsche Scherhet vo P = 95 % gerechet, was eem Itervall vo w 1.96 etsprcht. Sete vo 1

3 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Lasse sch währed ees Versuchs ufällge Fehler aufgrud der begrete Zet cht durch Mehrfachmessuge erfasse, so st er aus svolle Aahme abuschäte. Heru st es wchtg, de vom Hersteller auf vele Messgeräte (.B. Ppette, Messylder, Waage) aufgedruckte Tolerae u otere ud für de aschleßede Fehlerbetrachtug u berückschtge. Stehe solche Agabe cht ur Verfügug, so ka für de Ablesegeaugket vo Aaloggeräte (Thermometer, Zegerstrumete) de Hälfte des kleste, aufgedruckte Skaletels als Fehler ageomme werde. Für e Thermometer mt.1-grad- Telug würde ee Temperatur.B. als.4.5 C agegebe werde.. Fehlerfortpflaug a) Fukto eer Veräderlche Im Ahag st e Bespel für de Fehlerfortpflaug für ee Fukto mehrerer Veräderlcher (Abschtt b) ausführlch durchgerechet, währed a deser Stelle ee allgemegültge (ud eher formale) Formulerug m Vordergrud steht. Nur selte wrd das gewüschte Edergebs aus ur eer mt Zufallsfehler behaftete, drekt messbare Größe erhalte. Häufg st ur ee adere fehlerbehaftete Größe drekt messbar, de aschleßed drekt de gewüschte Größe () ergbt. Der Zusammehag () muss dabe atürlch bekat se. Für de drekt messbare Größe erhält ma gemäß Kaptel das Ergebs. m Der Mttelwert der drekt messbare Größe () ergbt sch da, dem efach der drekt gemessee Mttelwert de Fuktosglechug () egesett wrd:. () Für de Agabe des mttlere Fehlers m des Mttelwertes werde de (edlch klee) Stadardabwechuge m ud m mt de (uedlch klee) Dfferetale d ud d assoert. Dadurch wrd der gesamte, mächtge Apparat der Dfferetalrechug auf de Fehlerrechug awedbar. Daach st das Dfferetal d der abhägge (drekt gemessee) Größe über de Defto der 1. Abletug '() = d/d mt dem Dfferetal d der uabhägge (drekt gemessee) Größe verküpft: d = '() d (6) Überträgt ma dese Beehug für de Dfferetale auf de Stadardabwechuge, so erhält ma für de Stadardabwechug m de Wert (7) m '() m De Stadardabwechug der abhägge Größe hägt also cht ur vom Wert der Stadardabwechug der uabhägge Größe ab, soder auch vom Mttelwert der uabhägge Größe selbst, we Abb. 1 dargestellt. De Stegug der Fukto () am Pukt des Mttelwerts vermttelt dabe wsche de jewelge Stadardabwechuge. Je größer de Stegug st, desto empfdlcher reagert de abhägge Größe auf klee Fehler der uabhägge Größe ud umgekehrt. Des st gegebeefalls vor der Plaug ees Epermets u berückschtge. Sete vo 1

4 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer rot = m rot m blau blau m blau m rot blau rot Abb. 1: Fehlerfortpflaug für ee Fukto eer Veräderlche am Bespel () =. b) Fuktoe mehrerer Veräderlcher Noch häufger hägt ee cht drekt messbare, teresserede Größe cht vo eer, soder vo mehrere (sgesamt ) adere Größe ab, de eer drekte Messug ugäglch sd: = ( ), mt = 1,,...,. Für de Größe lasse sch de Mttelwert ud de Stadardabwechuge weder gemäß Kaptel bestmme. m Auch her st de Stadardabwechug m vo über das (jett totale) Dfferetal d defert. Das totale Dfferetal vo st gegebe durch: d 1 d (8) Auch her vermttel de (jett partelle) Abletuge wsche de Fehler der jewelge uabhägge Größe ud dem Fehler. Allerdgs uterschedet das totale Dfferetal cht wsche dem Fall der ufällge Kompesato der Eelbeträge durch uterschedlches Voreche der partelle Abletuge ud eer große Robusthet des - Werts aufgrud kleer oder verschwdeder parteller Abletuge. Um dese qualtatv uterschedlche Stuatoe erkee u köe, verwedet ma daher statt des totale Dfferetals d selbst für de Stadardabwechug des Mttelwerts m folgede, a d agelehte Defto: m 1 m (9) De Summerug der Quadrate führt dabe u eer bessere Abschätug als de efache Summe über de Beträge, de grudsätlch auch möglch st. Sete 4 vo 1

5 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer De Agabe der gemessee Größe für erfolgt aalog we für de drekt gemessee Größe als m (absolut) oder als m (relatv) De Berechug der partelle Abletuge Gl. (9) ka, je ach Form der Fukto, mehr oder weger aufwädg se. I vele Fälle ka ma de Berechug der Abletuge jedoch umgehe, dem ma vo vorehere de relatve Fehler berechet astatt des absolute. Das st mmer da möglch, we de Fukto e Produkt aus Potee der st, wobe de Epoete auch egatv oder gebroche ratoal se köe. D.h., auch Wurelausdrücke ud Brüche falle daruter, aber kee Summe solcher Produkte oder trasedete Fuktoe we de häufg auftretede Wkelfuktoe, de Epoetal- oder de Logarthmusfukto. De allgemeste Form eer Fukto, de ee Fehlerrechug über relatve Fehler uter Umgehug der partelle Abletuge erlaubt, st C 1 k (1) wobe k jede ratoale Zahl se ka. Der relatve Fehler berechet sch für u m 1 m (11) De quadrerte partelle Abletuge a de Stelle der Mttelwerte sd: Ck k 1 j k j j k (1) Esete der Gl. (1) Gl. (11) ergbt m 1 k m 1 k m Der relatve Fehler für ergbt sch also aus de relatve Fehler de uabhägge Varable, gewchtet mt dem jewelge Epoete k. Isbesodere glt für leare Beehuge ( = C), dass de relatve Fehler ud glech sd, ud für efache Produkte ( = Cy) oder Quotete ( = C/y), dass der relatve Fehler sch aus der Quadratsumme der relatve Fehler ud y ergbt. 4. Ausglechsrechug a) Leare Regresso Sete 5 vo 1

6 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Gemesse see de Wertepaare (,y ) mt = 1... Vo de Größe ud y se bekat, dass se voeader lear abhäge: y = a + b (1) so dass aus de Messuge de Größe a ud b bestmmt werde solle. Trägt ma de gemessee Wertepaare e Koordatesystem e, so lege de Pukte wege der ufällge Fehler, de be de Messuge auftrete, cht geau auf eer Gerade. Um de "beste" Werte für a ud b rechersch u ermttel, kostruert ma ee Ausglechsgerade ach der Methode der kleste Fehlerquadrate. Heru soll ageomme werde, dass ur ee der Größe ud y fehlerbehaftet st, ämlch y. Der allgemee Fall, dass bede Größe ud y belebg fehlerbehaftet se köe, st deutlch komplerter ud soll a deser Stelle cht behadelt werde. Zur Kostrukto der Ausglechsgerade betrachtet ma uächst de dvduelle Fehler u (a,b) ees jede Messpuktes (,y ), desse Größe atürlch vo der Lage der Gerade, d.h. vo de Werte a ud b abhägt: u (a,b) = y y( ) = y a b (14) Jeder möglche Gerade, also jeder Kombato (a,b) st auf dese Wese ee Fehlerquadratsumme D ugeordet: D(a, b) 1 u (y a b ) 1 (15) Dejege Gerade, für de de Fehlerquadratsumme D de kleste Wert ammt, st de gesuchte Ausglechsgerade. Da D(a,b) ee quadratsche Fukto a ud b st, gbt es geau e Mmum a der Stelle a, b a der glt, dass de bede Steguge (Abletuge) glechetg verschwde: D(a,b ) D(a,b ) a b (16) De Glechuge (16) sd e leares Glechugssystem mt eer edeutge Lösug. Dese ergebe sch u a b y y y y (17) (18) De absolute Größe der Fehlerquadratsumme D spegelt sch weder de mttlere Fehler ma ud mb (de Stadardabwechuge) vo a ud b. Es glt: Sete 6 vo 1

7 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer D ma D mb (19) () I vele Tascherecher sd de für de leare Regresso otwedge Beehuge (17) bs () eprogrammert, so dass ur och de Wertepaare (, y ) egegebe werde müsse. Gleches glt, allerdgs be deutlch uterschedlcher Komfortabltät, für kommerelle Software für wsseschaftlche (.B. Org ) ud für Büroaweduge (.B. Mcrosoft Ecel ), aber auch für Free- ud Shareware-Programme (Curvepert, Ope Offce Calc). Wer kee egee Hlfsmttel ur Durchführug der leare Regresso bestt, ka de auf de Auswerterecher m Praktkum vorhadee Ope Offce-Date "Leare Regresso" verwede, de de Messdate egegebe werde köe ud de de Parameter a ud b sowe dere Stadardabwechuge berechet. Ee Agabe vo a oder b ohe de daugehörede mttlere Fehler ma bw. mb st uvollstädg ud schleßt ee Testerug des Versuchsprotokolls aus! Oft wrd e Korrelatoskoeffet r berechet. Je äher deser be 1 legt, um so besser gbt de berechete Gerade de Fuktosverlauf weder. Der Korrelatoskoeffet r darf jedoch cht mt der Güte der de Date ugrudelegede, Messug verwechselt werde, da systematsche Fehler herbe kee Berückschtgug fde. De Berechug des Korrelatoskoeffete ersett kee Fehlerbetrachtug! b) "Ftte" chtlearer Zusammehäge Im Prp lässt sch der Grudgedake der leare Regressosaalyse auf belebge, chtleare Zusammehäge erweter. Dabe ka de Zahl der Parameter belebg groß werde. (Allerdgs muss se deutlch kleer als de Zahl der Messpukte se, um ee physkalsche Bedeutug u habe.). Schwerer wegt allerdgs, dass das Glechug (16) etsprechede Glechugssystem chtlear st ud m allgemee kee aalytsche Lösug bestt. Somt ka de Lösug ur umersch gefude werde. Dafür gbt es etsprechede Software,.B. de obe berets erwähte Programm "Org" oder "Curvepert". Be der Awedug solcher Software muss sch der Bedeer aber vorher ege Gedake mache (Das st m Gegesat dau be der leare Regresso cht otwedg). Es ka ämlch etweder mehrere lokale Mma für de Fehlerquadratsumme gebe, vo dee ur das tefste (das globale) das gesuchte st. Alle waagrechte partelle Abletuge u bestmme recht also cht aus. Außerdem wrd der Regel das Optmerugsprogramm cht kovergere, we ma u wet etfert vom globale Mmum mt der Optmerug startet. Der Auswahl der Startwerte für de Ftparameter kommt somt ee wesetlch Rolle u. Ma muss also ee Vorstellug vo der Größeordug der Parameterwerte habe, de ma gere optmere möchte. Immer werde Parameter bw. de etsprechede Fuktoe a de Messwerte agepasst ("gefttet"), e aders herum! (Das st war auch möglch, aber kee Optmerugsmethode, soder, we cht Betrug, da wegstes uwsseschaftlch.) Sete 7 vo 1

8 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer c) Learserug chtlearer Zusammehäge Wll ma das Ftte chtlearer Zusammehäge vermede oder verfügt ma cht über de beötgte Hlfsmttel dau, so ka ma vele Fälle ee chtleare Zusammehag learsere. Als Bespel se de Clauss-Clapeyrosche Beehug über de Temperaturabhäggket des Dampfdrucks p D eer Flüssgket betrachtet: p D T p T D e vh R 1 T 1 T (1) mt der Verdampfugsethalpe v H ud der allgemee Gaskostate R. Gl. (1) beschrebt de Dampfdruckkurve eem Phasedagramm. Zur Learserug betrachtet ma de Logarthmus des Dampfdrucks l p D T l p T vh RT vh R 1 T () Ersett ma jett y = l(p D [T]), a = {l(p D [T ])+ v H/(RT)}, b = v H/R ud = 1/T, so erhält ma aus () de gewüschte Beehug y = a + b, de ma mt der Methode der leare Regresso bearbete ka. krtscher Pukt flüssg y = l(p D ) gasförmg = 1/T Trpelpukt Aus der Stegug b lässt sch um Bespel de Verdampfugsethalpe v H = br bestmme. Zur Ermttlug des Fehlers der Verdampfugsethalpe st ee Fehlerfortpflaugsrechug durchuführe. I desem efache Fall sd jedoch de relatve Fehler b ud v H glech groß, so dass be Kets deses Zusammehags auf de Berechug der Abletug verchtet werde ka (de her allerdgs auch sehr efach st). 5. Agabe sgfkater Stelle Zur Agabe ees Messergebsses gehört de Größe, der Zahlewert, de Ehet ud de Messuscherhet. Der Zahlewert soll de Geaugket der Messug wderspegel. E Messergebs wrd so gerudet, dass es geauso vele Nachkommastelle we de absolute Messuscherhet bestt Darüber haus gehede Stelle beste kee Sgfka (Aussagekraft) ud sd u streche. De lette sgfkate Stelle des Messwerts st de erste vo Sete 8 vo 1

9 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Null verschedee Stelle des Fehlers! Je mehr sgfkate Stelle also agegebe werde, umso geauer st das Messergebs. Bespel: Mttelwert ud Stadardabwechug eer Messrehe wurde ach Glechug (1) ud () bestmmt. Ihr Tascherecher lefert Ihe de Werte = ud m = , gemesse eer belebge Ehet. De lette sgfkate Stelle st de erste hter dem Komma (fett, kursv): , da se de erste vo Null verschedee Stelle der Stadardabwechug st. Der Mttelwert wrd etspreched gerudet, de adere Stelle ohe Sgfka werde cht agegebe. Auch bem Fehler wrd ur de lette sgfkate Stelle agegebe. Dabe st grudsätlch aufurude. De korrekte Agabe st also: Ahag Idrekte Messug mt Fehlerfortpflaug be Fuktoe mehrer Veräderlcher E egermaße realstsches Bespel für dese Fall st de Berechug der Masse ees (kubsche) Betoklotes. Ihr Praktkumsassstet hat vo eem Bauuterehmer als Dakeschö für de achschtge Bewertug der Praktkumslestug ees seer Söhe ee Betoklot geschekt erhalte, de er astelle ees teure Wägetsches für de Praktkumswaage ute wll. Der Betoklot steht auf dem Parkplat, ud der Assstet west Se a, h de Praktkumsräumlchkete u trasportere. Ageschts der Ausmaße des Klotes wefel Se dara, ob Se dese Aufgabe ohe fremde Hlfe erledge köe. Ee drekte Messug der Masse (ach Kaptel ) schedet aus, de erstes erschet Ihe deses Uterfage u Recht als mühselg ud cht ugefährlch ud wetes habe Se oheh kee geegete Waage ur Had. So erer Se sch, dass sch de Masse m als Produkt vo Dchte ud Volume V ergbt ud dass das Volume V ees Würfels de Seteläge L ur drtte Pote st. De Messug der Seteläge köe Se efach ud bequem mt Ihrer Scheckkarte durchführe, vo der Se wsse, dass de lage Sete 86 mm lag st. Se messe ugefähr 5.5 ±.1 Scheckkarteläge. De Dchte vo Beto googel Se mt Ihrem Notebook schell aus. Se fde heraus, dass de Dchte vo Beto vo der geaue Zusammesetug abhägt, aber typscherwese wsche ud 6 kg/m legt. Es sd also kg m d.h. r (5.5.1) 86 mm.47.9 m, Außerdem glt:, m kg m d.h. mr 9 mm Sete 9 vo 1

10 Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer m r, m r, m r r ud mm m m m r mr r r m mr Daraus erhält ma m = kg ud mm = kg, also be Agabe sgfkater Stelle ee Masse vo 4 4 kg. Se wsse aus ledvoller Erfahrug, dass Se bs u 4 kg ahebe ud trasportere köe, aber cht mehr, ohe e uverhältsmäßges Rsko eugehe. Se brauche also ee Verstärkug vo mdestes 5 Ihrer Kommltoe, um de Klot u trasportere. Zur Scherhet sollte Se aber ee sechste huehe, falls es sch doch eher um Schwer- als um Lechtbeto hadel sollte, oder falls Ihre kredtkartegestütte Lägemessug e weg u kle ausgefalle se sollte (oder bedes). Letteres fällt allerdgs kaum s Gewcht (s. ute). De Berechug des Fehlers m hätte ma efacher auch ur über de relatve Fehler der uabhägge Größe durchführe köe. Daach wäre also kg m 1%, m d.h. 1% r (5.5.1) 86 mm.47 m 1.9%, Außerdem glt: d.h. r mr 1.9% m r ud m mm m 9 r mr Daraus erhält ma weder m = 4.4 kg ud mm / m = 14%. Auf dese Wese sd de Beträge der Fehler jewelge Größe um Gesamtfehler gut erkebar. Obwohl der Lägefehler, da de Läge mt der drtte Pote egeht, 9 Mal so stark wegt we der Dchtefehler, st der Gesamtfehler m wesetlche durch de Dchteuscherhet bestmmt. Es würde also kaum etwas bewrke, de Lägemessug u verbesser, wohl aber, we de Dchte geauer bestmmt werde würde. Geerell köe be mehrere uabhägge, stark uterschedlch große Fehlerquelle de kleere verachlässgt werde. Nur we de relatve Fehler vo ugefähr glecher Größe sd, sd auch de kleere Fehler relevat. Sete 1 vo 1

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