"Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe."

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download ""Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe.""

Transkript

1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN I der Biophysik versuche wir biologische Vorgäge mit physikalische Methode zu utersuche ud zu verstehe. Wir setze dabei voraus, dass biologische Größe quatitativ gemesse ud mit mathematische Modelle beschriebe werde köe. Wege der Komplexität biologischer Systeme ud der ihärete Messfehler userer Methode werde dabei oft sehr viele Messuge durchgeführt ud etspreched viele Date falle a. Um diese (fehlerbehaftete) Date zu aalysiere ud zueiader i Beziehug zu setze, verwede wir Methode der statistische Dateaalyse. Wege der Vielzahl der zu verarbeitede Werte werde dazu heute vor allem elektroische Dateverarbeitugsalage (aka Computer) mit geeigeter Software verwedet. STATISTIK "Ich glaube ur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe." Diese fälschlich Wisto Churchill zugeschriebee Aussage wird oft als Argumet gege die Statistik zitiert, uterstellt aber, dass Churchill bewusst falsche Date ud/oder falsche Methode zuließ. Uredlichkeit ud Voreigeommeheit beim Umgag mit Date köe ur die betreffede Aweder, icht aber die aturwisseschaftliche Methode abqualifiziere. Statistik diet dazu, Date die durch zufällige Ereigisse beeiflusst werde zu beschreibe bzw. aus solche Date allgemeie Aussage abzuleite oder vorherzusage. Dies betrifft fast alle Date, die aus Messuge hervorgegage sid, da diese uvermeidlich mit eiem (zufällige) Messfehler behaftet sid. Gemessee Date sid also icht exakt, soder immer mehr oder weiger geaue Schätzwerte ud die Statistik hilft us bei der Beurteilug der Geauigkeit dieser Werte ud der daraus abgeleitete Aussage. (Hier sei z.b. die Frage der "sigifikate Stelle" eies Messwertes aufgeworfe). Statistik verwedet zwar mathematische Verfahre wird aber icht als eigetlicher Zweig der Mathematik aufgefasst. Sie verwedet vielmehr stadardisierte Rechevorschrifte um statistische Maßzahle zu gewie, die usere Date ud ggf. ihre Geauigkeit beschreibe. Die Gewiug dieser Maßzahle aus de Rohdate ist (bei gewissehafter Awedug der Regel s. o.) reproduzierbar ud erlaubt us daher eie objektivere Beurteilug userer Ergebisse. Nebe der Uzuläglichkeit des Beobachters sowie der Istrumete komme i der Biologie och die atürliche Schwakuge der lebede Systeme hizu, die eie eideutige Aussage erschwere. Eie mathematisch-statistische Auswertug der Beobachtuge lässt sich daher kaum vermeide. BESCHREIBENDE STATISTIK Die beschreibede Statistik liefert Iformatioe i Form vo empirischer Zahle (Statistike - Umfrageergebisse) über Populatioe bei dee die utersuchte Größe zufällig schwake. Mit der mathematische Statistik aalysiert ma also Masseerscheiuge. Dabei zeigt sich 9

2 oft, dass die Masseerscheiuge gewisse Gesetzmäßigkeite aufweise, die sich für Eizelerscheiuge icht formuliere lasse, da sie dort ur als zufällige Uregelmäßigkeit auftrete. Werde z.b. 100 Bohe eier bestimmte Sorte eizel gewoge, so streue die eizele Werte zufällig ud sid somit icht vorhersagbar. Das mittlere Gewicht ud die Streuug der Werte jedoch sid auch ach dem Auszähle eier zweite Stichprobe ahezu idetisch. Diese charakteristische Werte erlaube somit eie Aussage über die Grudgesamtheit aller Bohe dieser Sorte. I der Wahrscheilichkeitsrechug wird der Mittelwert als Erwartugswert iterpretiert. I der Budesrepublik sterbe jährlich 100 Persoe aufgrud eies techische Defekts a eiem elektrische Haushaltsgerät. Glaubhaft, da ei eg defiiertes, siguläres Schadesereigis. Auf der Welt sterbe jährlich über zwei Millioe Mesche a de Folge ihres Nikotikosums. Dies wird icht geglaubt, da es sich um ei Multikompoete Ereigis hadelt, vo dem jeder eie Ausahme ket. Die biologische Statistik besteht i erster Liie i eier kritische Bewertug vo Stichprobeergebisse. Messuge biologischer Parameter schwake icht um eie wahre Wert, wie etwa eie physikalische Größe im ubelebte System, soder sie habe eie beträchtliche Streuug, die durch die biologische Variabilität bedigt ist. Das Ziel ist, allgemeie Aussage über spezielle Merkmale gleicher Idividue zu mache. Die Gesamtheit aller Idividue des zu utersuchede Materials stellt die Grudgesamtheit dar. Da es meist icht möglich ist, alle Idividue zu utersuche, werde Stichprobe durchgeführt. Die Auswahl dieser Stichprobe muss zufällig sei. TABELLARISCHE UND GRAPHISCHE DARSTELLUNG Üblicherweise werde die Beobachtugsereigisse (Masse eizeler Bohe) der Reihe ach aufgelistet (Urliste). Aus dieser Stichprobe vom Umfag ka ma Schlüsse auf die zugehörige Grudgesamtheit ziehe. Wäre gleichzeitig mehrere Merkmale gemesse worde, z.b. Masse ud Größe, so hätte ma eie Stichprobe erhalte, die aus Zahlepaare besteht Häufigkeit N Häufigkeit N Klassemitte Klassemitte Abb. 1: Häufigkeitsverteilug eier Gaußsche Normalverteilug. obe: Stabdiagramm. ute: Balkediagramm mit Kurvezug der theoretische Fuktiosgleichug. Bei kleie Stichprobe hilft es scho, we ma die Werte der Größe ach ordet, um eie 10

3 PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE Überblick zu bekomme. Besser ist es, zahlemäßig gleiche Werte zusammezufasse ud sie graphisch darzustelle. Dabei wird die Azahl a i über dem Messwert x i aufgetrage. Die Azahl a i heißt die absolute Häufigkeit des betreffede Wertes i der Stichprobe. Dividiert ma die absolute Häufigkeit durch de Stichprobeumfag, so erhält ma die relative Häufigkeit. Die relative Häufigkeit ist somit immer eie Zahl zwische 0 ud 1. Die Auftragug ka als Pukt-, Stab- oder Balkediagramm (Abb. 1) erfolge. Eie direkte Verbidug der Pukte utereiader ergibt ei Häufigkeitspolygo (Abb. 1, ute). Diese Graphike stelle Häufigkeitsverteiluge oder Histogramme der Stichprobe dar. KLASSENBILDUNG Komme i eier Stichprobe sehr viele zahlemäßig verschiedee Werte vor, so ist die Tabelle oder die Zeichug der Häufigkeitsverteilug meist och recht uübersichtlich. Ma ka i diesem Fall die Stichprobe weiter vereifache, ud zwar durch die sog. Gruppierug oder Klassebildug im Gegesatz zu de obe geate icht gruppierte Werte. Dabei geht ma vo dem Itervall aus, i dem alle Stichprobewerte liege. Dieses uterteilt ma i Teilitervalle (Abb. 1, obe), die als Klasseitervalle bezeichet werde. Die Mitte dieser Itervalle heiße Klassemitte (Abb. 1, ute). Alle Stichprobewerte i eiem solche Itervall bilde zusamme jeweils eie Klasse vo Werte. Die ursprügliche Stichprobewerte trete icht mehr eizel i Erscheiug. Ma immt a, dass alle Werte eier Klasse i der zugehörige Klassemitte liege (Abb. 1, obe). Je weiger Klasse ma bildet, desto mehr Iformatio, die i de ursprügliche Stichprobewerte steckt, geht aber verlore. Ma sollte so klassifiziere, dass ur uwesetliche Eizelheite ausgeschiede werde. I der Praxis wählt ma meist Klasse ud mehr als 20 höchstes bei sehr umfagreiche Stichprobe. Uötige Komplikatioe bei spätere Rechuge lasse sich vermeide, we ma die folgede Regel beachtet: Die Klasseitervalle wählt ma gleich lag. Die Klassemitte solle möglichst eifache Zahle, d.h. Zahle mit möglichst weige Ziffer, etspreche. Ei Wert, der auf eie Itervalledpukt fällt, wird je zur Hälfte i jedem der beide agrezede Klasseitervalle mitgezählt. Oftmals ka ma die geate Edpukte ohe Mühe so wähle, dass sie icht mit Stichprobewerte zusammefalle. Durch die beschräkte Messgeauigkeite vo Messgeräte ergebe sich die beste Klassegreze oft vo selbst, da das Messgerät selbst die Klasseeiteilug vorgibt. SUMMENHÄUFIGKEITSFUNKTION EINER STICHPROBE Die Häufigkeitsverteilug eier Stichprobe gibt die Häufigkeite a, mit der die eizele Zahlewerte i der Stichprobe vorkomme (Abb. 1, ute). We es 30 Bohe mit dem Gewicht 3,2 g gibt, ma jedoch wisse möchte, wie viele Bohe 3,2 g oder weiger wiege, so erhält ma die Atwort durch aufsummiere der eizele Häufigkeite bis x = 3,2 g. Ma erhält auf diese Weise die Summehäufigkeitsfuktio oder Verteilugsfuktio eier Stichprobe. Die 11

4 Summehäufigkeitsfuktio stellt das Itegral der Häufigkeitsfuktio dar (Abb. 2). Aus ustetige Häufigkeitsfuktioe erhält ma Treppefuktioe, aus stetige Häufigkeitsverteiluge Sigmoide. Jede der beide geate Fuktioe bestimmt die Stichprobe i alle Eizelheite. Die Summehäufigkeitsfuktio (Abb. 2) ist weiger aschaulich als die Häufigkeitsfuktio (Abb. 1,ute) Summehäufigkeit / Klasse Messgrösse x Abb. 2: Summehäufigkeit (Treppefuktio ud Sigmoide) der Häufigkeitsverteilug aus Abb. 1, (ute). MITTELWERT, VARIANZ, STANDARDABWEICHUNG, STANDARDFEHLER Nebe der Häufigkeits- bzw. Summehäufigkeitsfuktio ka ma eie Grudgesamtheit oder eie Stichprobe auch durch Maßzahle charakterisiere. Die beide i der Praxis wichtigste Maßzahle sid der Mittelwert, der die durchschittliche Größe der Grudgesamtheit N oder der Stichprobe kezeichet, ud eie Agabe über die Streuug der Werte. Im Weitere wird die Aahme gemacht, dass die Messwerte eie Normalverteilug ach Gauß ergebe (s. u.). Eie geüged große Stichprobe wird vorausgesetzt. Der arithmetische Mittelwert ist defiiert als: x1 + x2 + Kx x = 1 = xi i = 1 µ= Mittelwert der Grudgesamtheit, x = Mittelwert der Stichprobe Dieser allei reicht jedoch icht aus, um z. B. eie Stichprobe zu beschreibe, wie folgedes Beispiel zeigt: Stichprobe 1: 1; 2; 4; 5 x = 3 Stichprobe 2: 2,7; 3,0; 3,1; 3,2 x = 3 Beide Stichprobe habe de Mittelwert x = 3. Sie uterscheide sich aber trotzdem wesetlich voeiader, de die Werte der erste Stichprobe liege viel weiter auseiader (ud auch weiter vom Mittelwert etfert) als die Werte der zweite Stichprobe. Um diese Uterschied zu erfasse, braucht ma och eie weitere Maßzahl. Geeiget ist hierzu offebar 12

5 PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE eie Zahl, die die Abweichug der Stichprobewerte vom Mittelwert misst. Ma köte die Spaweite der Stichprobe, d.h. die Differez zwische dem größte (Maximum) ud kleiste (Miimum) Stichprobewert ermittel (Abb. 1, obe: Miimum = 0, Maximum = 100). Es wird jedoch gefordert, dass ählich wie beim Mittelwert jeder Eizelwert i gewisser Weise mitberücksichtigt wird. Die wohl am ächste liegede Möglichkeit, die Summe der Eizelabweichuge xi x scheidet allerdigs aus, da die Summe aus egative ud positive Glieder besteht ud diese somit immer Null ist. Dies köte vermiede werde, we ma die Absolutbeträge der Eizelabweichuge bilde würde. Aus mathematische Ableituge hat sich jedoch die Bildug der Quadrate der Eizelabweichuge als güstiger erwiese. Diese werde auch als die kleiste Gaußsche Fehlerquadrate (egl. least squares) bezeichet. Die Maßzahl, die ma auf diesem Weg erhält heißt Variaz oder Streuug (egl. variace). Sie berechet sich für die Grudgesamtheit ach ud für die Stichprobe ach 2 1 σ = i µ i = 1 1 ( x ) 2 2 s = xi x 1 i = 1 ( ) 2 Aus der Wahrscheilichkeitstheorie lässt sich die uterschiedliche Berechug der Variaz für Grudgesamtheit ud Stichprobe ableite. Ma muss im Allgemeie bei der Berechug ur wisse, ob es sich um eie Grudgesamtheit oder eie Stichprobe hadelt. ( - 1) bezeichet ma als die Azahl der Freiheitsgrade, sie ergebe sich aus der Azahl uabhägiger Eizelwerte. Die ichtegative Quadratwurzel der Variaz heißt Stadardabweichug (egl. stadard deviatio, S.D.) 2 1 σ = σ = i µ i = 1 ( x ) 2 2 s = s = xi x 1 i = 1 1 ( ) Bei Tascherecher mit statistische Programme muss der Uterschied bei der Stadardabweichug zwische Grudgesamtheit ud Stichprobe durch Auswahl der etsprechede Fuktiostaste beachtet werde. Die Größe Variaz ud Stadardabweichug sid mit demselbe Formelbuchstabe belegt, da beide i der Praxis gleichwertig verwedet werde. Die Variaz hat de Vorteil, dass ma sich icht mit Quadratwurzel herumärger muss. Die Stadardabweichug hat de Vorteil, dass sie dieselbe Dimesio der Größeeiheit (z.b. cm oder kg) wie der Mittelwert besitzt. Für die obige Beispiele ergebe sich somit: Stichprobe 1: x = 3 s 2 = 3,3 s = 1,8 Stichprobe 2: x = 3 s 2 = 0,05 s = 0,22 13

6 Die Streuug der zweite Stichprobe ist also wesetlich kleier. Durch Agabe vo Mittelwert ud Variaz bzw. Stadardabweichug sid Stichprobe meist ausreiched beschriebe. Die Berechug der Stadardabweichug (bzw. Variaz) ach de Defiitiosformel ist ugüstig. Durch die Differezbildug ( x x ) vo de relativ große Zahle etstehe sehr kleie Differeze, die da auch och quadriert werde müsse. Durch Rudugsfehler etstehe Geauigkeitsverluste, die beim elektroische Reche icht eimal bemerkt werde. Es gibt deshalb Berechugsformel für die Praxis. Bei ihe werde die Differezbilduge vermiede. Für die Stadardabweichug eier Stichprobe ergibt sich somit Eie ebefalls verwedete Formel ist: s = xi xi 1 i = 1 i = s = xi x 1 i = 1 Bei der Bestimmug vo Stichprobe möchte ma gere wisse, mit welcher Wahrscheilichkeit sich die bei eier Stichprobe gefudee Größe auf die Grudgesamtheit ausweite lasse. Im Beispiel der Bohe möchte ma also eie Aussage über alle Bohe eier Sorte mache. Die für eie Stichprobe ermittelte Werte (Mittelwert, Variaz, Stadardabweichug) sid also ur Schätzwerte für die Grudgesamtheit. Ma möchte z.b. wisse, wie weit der Stichprobemittelwert x vom Mittelwert der Grudgesamtheit µ abweicht. Diese Abweichug bezeichet ma als Stadardfehler (= Fehler des Mittelwertes = Stadardabweichug des Mittelwertes; egl. stadard error of the mea, S.E.M.). We keie extreme Abweichuge der Stichprobewerte x i vo der Normalverteilug um de Stichprobemittelwert x vorliege, darf ma aehme, dass sich auch die Mittelwerte aäherd gleich großer Stichprobe gleichmäßig um de Grudgesamtheitsmittelwert µ verteile. Die Abweichug ka durch de Stadardfehler abgeschätzt werde. Er berechet sich aus der Stadardabweichug s. s = x s = = i = 1 s ( xi x ) ( 1) 2 Das zusätzliche i der Formel für de Stadardfehler s (im Gegesatz zu Variaz ud Stadardabweichug) liefert eie Agabe über die Größe der Stichprobe. Je größer eie Stichprobe ist, desto geauer wird die Schätzug für die Grudgesamtheit. Der Stadardfehler verkleiert sich dabei ( steht im Neer), geht somit gege µ; (Die Geauigkeit ist dem Geduldsfade des Experimetators direkt proportioal). Der Stadardfehler wird oft zusamme mit dem Stichprobemittelwert zur Charakterisierug eier Stichprobe bezüglich der Grudgesamtheit agegebe: x ± s x z.b. 5 ±0,6 g 14

7 GEWICHTETER MITTELWERT, ZENTRALWERT, HÄUFIGSTER WERT PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE Teilt ma die Messwerte i k Klasse ei (Gruppierug, Abb. 1, ute), so lässt sich der arithmetische Mittelwert auch als gewichteter Mittelwert x gew. (gewogees Mittel) bereche. Dazu wird jede mittlere Klassegröße x i mit ihrer Klassehäufigkeit a i multipliziert. a x + a x + Ka x k k k xgew. = = ai i = 1 1 = k i = 1 a x i i x y Abb. 3: Beispiel für eie Mediawert. Der Mediawert teilt eie Verteilug geau i zwei Hälfte. Der Zetralwert oder Mediawert stellt ebefalls eie charakteristische Lagewert eier Häufigkeitsverteilug dar. Er wird für bestimmte statistische Verfahre beötigt. Er teilt die Häufigkeitsverteilug flächegleich auf, so dass sich liks ud rechts vom Zetralwert geau gleich viele Ereigisse befide. Der häufigste Wert oder Modalwert stellt, wie sei Name scho sagt, de Wert mit der größte Häufigkeit dar. Er ist also der Gipfel ("Peak") i eier Häufigkeitsverteilug. 15

8 Mittelwert Media Modalwert Häufigkeit / Klasse Klassemitte Abb. 4: Beispiel für eie icht symmetrische Verteilug. Beachte die Lage vo Mittelwert, Media ud Modalwert. I eier Normalverteilug (Gaußverteilug, Abb. 5) sid ifolge der Symmetrie der Verteilug arithmetischer Mittelwert, Mediawert ud Modalwert idetisch. STATISTISCHE VERTEILUNGEN GAUSSVERTEILUNG, POISSONVERTEILUNG y σ -5σ -4σ -3σ -2σ -1σ µ 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ 6σ x Abb. 5: Normalverteilug (vergl. Abb. 1) mit Agabe des Mittelwertes µ=0 ud der Stadardabweichug σ Als Beispiele für theoretische, stetige Häufigkeitsverteiluge solle die Normalverteilug (Gaußsche Glockekurve) ud die Poissoverteilug als Beispiel für eie schiefe Verteilug besproche werde. Viele Messwerte aus Experimete sid ach diese beide theoretische Muster verteilt. Die Normalverteilug (Abb. 5) wurde vo Gauß im Zusammehag mit der Theorie der Messfehler eigeführt. Aus verschiedee Grüde ist sie die wichtigste stetige Verteilug: 1. Viele Zufallsvariable, die bei Experimete ud Beobachtuge auftrete, sid ormalverteilt. 16

9 PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE 2. Adere Zufallsvariable sid aäherd ormalverteilt. I viele Fälle führt da die Aahme eier Normalverteilug zu sivolle ud praktisch brauchbare Ergebisse. 3. Gewisse, icht ormalverteilte Variable lasse sich auf eifache Weise so trasformiere, dass die sich daraus ergebede Variable ormalverteilt ist. Die Fuktiosgleichug der Gaußverteilug lautet: ( ) f x = 1 2π σ e 2 1 x µ 2 σ µ = Mittelwert σ = Stadardabweichug Die Stadardabweichuge σ sid defiitiosgemäß die Wedepukte der Glockekurve, projiziert auf die x-achse (Abb. 5). Im Bereich zwische ±σ liege 68% aller beobachtete Werte. Im Bereich±2σ liege 95,5% ud im Bereich ±3σ so gut wie alle Werte, ämlich 99,7%. Die Stadardabweichug σ ist ei Maß für die Streuug der Werte um de Mittelwert µ Je größer die Stadardabweichug, desto weiter streue also die Werte um de Mittelwert (Abb. 5). Die Summehäufigkeitsfuktio oder Verteilugsfuktio (Itegral der Glockekurve) ergibt eie Sigmoide (Abb. 2) σ = 1 σ = 2 σ = 3 60 f(x) x Abb. 6: Normalverteiluge mit gleichem Mittelwert ud verschiede große Stadardabweichuge. Ei Beispiel für eie schiefe diskrete Verteilug ist die Poissoverteilug (Abb. 7) mit der Fuktiosgleichug: ( ) f x = x µ µ e x! Für Mittelwerte ahe Null ka sich die Poissoverteilug eier abehmede Expoetialfuktio äher, für größere Mittelwerte ka sie i eie Normalverteilug übergehe (Abb. 7). 17

10 µ = 1 µ = 5 µ = y x Abb. 7: Poissoverteiluge mit uterschiedlich große Mittelwerte. Für µ= 1: Aäherug a eie Expoetialverteilug; für µ = 10: Aäherug a Normalverteilug SCHLIESSENDE STATISTIK STATISTISCHE TESTS Nebe der bloße Beschreibug userer Date liefer statistische Verfahre auch Methode, welche us erlaube, verüftige Etscheiduge im Falle vo Ugewissheit zu treffe, ud Maßzahle zu erhalte, die für Schlussfolgeruge, Progose ud Etscheiduge verwedet werde köe. Solche Verfahre et ma statistische Tests. Statistische Tests überprüfe bestimmte (vorgegebee) Aahme über die Verteilug eier Grudgesamtheit ahad vo Date aus eier oder mehrere Stichprobe. Bei wisseschaftliche Utersuchuge muss ma meist Vergleiche astelle. Ma möchte z.b. wisse, ob sich zwei Stichprobe (Mittelwerte ud Stadardabweichuge) tatsächlich, d.h. sigifikat, oder ur rei zufällig uterscheide (Abb. 8). Das prizipielle Vorgehe bei diese Tests ist dabei stets ählich: Zuächst wird aufgrud z.b. eier Theorie eie Aahme über die Verteilug bzw. Verteiluge der beteiligte Grudgesamtheite formuliert (z.b. die Verteiluge besitze gleiche Mittelwert). Diese Aahme et ma Nullhypothese. Zu eier Nullhypothese darf es ur geau eie weitere Möglichkeit gebe, die Alterativhypothese dass die Nullhypothese icht zutrifft. Hierbei gilt zu beachte, dass es icht für jede beliebige Nullhypothese auch etsprechede Testverfahre gibt. Ma sollte sich daher bereits im Vorfeld überlege, was ma realistisch teste ka!!! Daach erhebt ma mit Hilfe vo Zufallstafel, Zufallsgeeratore o.ä. eie Satz radomisierter Stichprobe aus de zu utersuchede Grudgesamtheite (z.b. usere Bohesäckche). Umfag ud Art dieser Stichprobe richte sich ach der Fragestellug bzw. dem vorgesehee Test. Bei Messuge gilt jede Eizelmessug als ei Wert ud etsprechede Messserie (z.b. 5 1 ml mit eier bestimmte Pipette abmesse)als Stichprobe. Das statistische Testverfahre liefert u aus de erhobee Stichprobe Maßzahle für die Wahrscheilichkeit des Zutreffes der Nullhypothese. 18

11 PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE Je ach Wertigkeit des Problems wird eie statistische Sigifikazschwelle festgelegt. Diese ergibt sich aus der Wahrscheilichkeit a, dass die Nullhypothese abgeleht wird obwohl sie zutrifft. Üblich sid Irrtumswahrscheilichkeite vo 5% (meist mit sigifikat bezeichet) ud 1% (meist mit hoch sigifikat bezeichet). Liege die ermittelte Maßzahle über der Schwelle, so wird die Nullhypothese ageomme, liege sie daruter wird sie verworfe ud die Alterativhypothese wird ageomme. Ma sollte aber beachte, dass eie Ablehug der Nullhypothese och keie schlüssige Beweis für die Alterativhypothese erbrigt. Statistische Tests lasse sich i ihrer Logik icht umkehre! Mit Statistik lasse sich also keie Beweise führe, ur Hypothese bekräftige. Es sei hier auch och eimal ausdrücklich darauf higewiese dass die Sigifikazschwelle mathematisch völlig willkürlich sid ud eher eie gesellschaftliche Koses über ei Restrisiko darstelle. Je ach Problemstelluge köe auch Irrtumswahrscheilichkeite vo 10-6 och iakzeptabel hoch sei (z.b. bei Medikamete oder im Hochsicherheitsbereich vo Kerreaktore) Häufigkeit / Klasse Klassemitte x Abb. 8: Normalverteiluge mit uterschiedlich große Mittelwerte (zwei verschiedee Stichprobe) ud gleich große Stadardabweichuge. Ma ka statistische Tests grob i verteilugsabhägige ud verteilugsuabhägige Tests eiteile. Bei verteilugsabhägige Tests muss die Art der Verteilug (z.b. Normalverteilug) bekat sei oder sie wird vorausgesetzt. Als Beispiel soll wieder das Gewicht der Bohe diee. Zwei Stichprobe derselbe Bohesorte werde sich ur rei zufällig, d.h. icht sigifikat voeiader uterscheide, währed sich zwei uterschiedliche Bohesorte tatsächlich, d.h. sigifikat uterscheide köte. Um das zu prüfe, muss eie Bewertug für die Differez zweier arithmetischer Mittelwerte ( x = x1 x2 ) aus zwei Stichprobe über dasselbe Merkmal gefude werde. Dabei wird auch für diese Differez eie Stadardabweichug s d gebildet, die sich aus de beide Stadardabweichuge der beide Mittelwerte bereche lässt: 19

12 s = s + s d x1 x2 Die Geauigkeit, die ma für die Uterscheidug zweier Stichprobe vorgibt, wird durch Vielfache der Stadardabweichug agegebe. Als Kovetio wird üblicherweise folgede Klassifizierug aerkat: x 2, 576 sd :Abweichug ist wahrscheilich sigifikat (Vertrauesitervall für s > 99%) 1, 96 s x < 2, 576 s : keie sichere Aussage möglich d d x < 1, 96 sd : Abweichug ist wahrscheilich zufällig (Vertrauesitervall für s < 95%) DER T-TEST NACH STUDENT Der sogeate t-test ach Studet beruht auf der t-verteilug, die vo W.S. Gosset uter dem Pseudoym Studet veröffetlicht wurde. Mit dem t-test wird geprüft, ob die Mittelwerte x 1 ud x 2 mit ihre Stadardabweichuge s 1 ud s 2 zweier ormalverteilter Stichprobe (Voraussetzug beim t-test) gleich oder verschiede sid (Abb. 8). t = x 1 2 s d x Das Ergebis dieses Tests ist eie Fehlerwahrscheilichkeit α i %, die agibt, ob der Uterschied der beide Stichprobe sigifikat ist. Oft ist es icht möglich, i beide Messreihe de gleiche Probeumfag herzustelle, da liegt also 1 2 vor. Bei kleiere Messreihe (uter 50 Variate) oder bei Uterschiede zwische 1 ud 2 vo mehr als 5-10 % muss dies berücksichtigt werde. Ma verwedet da die Berechugsformel: t = ( 2 ) + x x ( 1) ( 1) + s + s Auch hier sid die wichtigste Zahlewerte scho aus de Berechuge der Mittelwerte ud Stadardabweichuge der eizele Probe bekat. Die weitere Auswertug erfolgt mit eier t-tafel (siehe Tabellewerke der Statistik) oder mit eiem t-wert-diagramm, i dem die t-werte, die α-werte ud die Azahl der Freiheitsgrade tabellarisch oder graphisch dargestellt sid. Mit dem berechete Wert für t ud der Azahl der Freiheitsgrade (m = ) ka ma die Fehlerwahrscheilichkeit ablese. Zur Beurteilug des Versuchsergebisses gilt: α< 0,01: Es besteht ei sigifikater Uterschied zwische de Probe α < 0,05: Mit großer Wahrscheilichkeit besteht ei Uterschied α > 0,05: Ei Uterschied ist icht azuehme 20

13 α > 0,5 : Sehr wahrscheilich besteht kei Uterschied PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE PAARE VON MESSUNGEN, REGRESSION, KORRELATION Bisher sid Zufallsexperimete behadelt worde, i dee ur eie eizele Variable x vorkam. Bei Probleme mit zwei Variable (x, y) prüft ma meist, ob eie Beziehug zwische de Variable besteht ud welcher Gesetzmäßigkeit sie folgt. So ka ma beispielsweise ach der Abhägigkeit zwische Durchmesser x ud Gewicht y bei Bohe frage. I der Aalysis heißt y da eie Fuktio vo x. I der Statistik spricht ma stattdesse vo der Regressio y bezüglich x. Diese ichts sagede Beziehug (Regress = Rückschritt) hat sich leider allgemei eigebürgert ud erhalte besser ist der Ausdruck Ausgleichsrechug oder Kurveapassug. Iteressiert ma sich ur für die Beziehug zwische x ud y, ohe ach der Abhägigkeit zu frage, so spricht ma vo der Korrelatio zwische x ud y. REGRESSIONSGERADE, PRINZIP DER KLEINSTEN QUADRATE Liegt eie Stichprobe vo Beobachtuge (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),... (x, y ) aus eier zweidimesioale Grudgesamtheit vor, so trägt ma sie am beste i ei kartesisches Koordiatesystem ei (). Ma erhält da etweder eie Puktwolke oder eie mehr oder weiger gute Zusammehag der Pukte, die vielleicht scho optisch eie Gerade ergebe köte. Ma köte da subjektiv eie Ausgleichsgerade oder Regressiosgerade durch die Pukte zeiche ud zu eiem beliebige x-wert de zugehörige y-wert ablese (Abb. 9) Date Regressiosgerade y x Abb. 9: Regressiosgerade durch verstreut liegede Pukte. Liege die Pukte jedoch icht mehr so ideal, so werde verschiedee Persoe im Allgemeie verschiedeer Meiug darüber sei, wie die Ausgleichsgerade zu lege ist. Um subjektive Eiflüsse auszuschalte, muss wieder eie objektive Methode heragezoge werde. Eie solche ist das Gaußsche Prizip der kleiste Quadrate (least squares). Es besagt bezüglich der Regressiosgerade (lieare Regressio) folgedes: Die Gerade y = a x + b ist so zu lege, dass die Summe der Quadrate aller Abstäde der Pukte vo der Gerade möglichst klei (Miimum) wird (Abb. 9). Uter dem Abstad eies Puktes vo eier Gerade versteht ma üblicherweise die Läge des Lotes vo dem Pukt auf die Gerade, also de sekrechte Abstad. Ma 21

14 beutzt aber aus rechetechische ud theoretische Grüde de Abstad parallel zur y-richtug. Beide sid trigoometrisch eifach ieiader umrechebar. Die Summe der Abstäde wird miimal, we ma die Steigug a der Regressiosgerade wie folgt berechet: a = i i = 1 x yi x y 2 2 xi x i = 1 Der Achseabschitt b der Regressiosgerade berechet sich mit dieser Steigug a: b = y ax Ma ka sich die Suche ach dem Miimum mit eiem Modell aus der Mechaik aschaulich erkläre (siehe Modell Regressiosgerade). Die Regressiosgerade stellt eie Stab dar, auf de vo de eizele Pukte aus Kräfte, vermittelt durch Gummirige (bzw. Feder), eiwirke. Die Gummirige müsse dabei parallel zur y-richtug gehägt werde. Der Stab bewegt sich automatisch i eie Lage, i der das Gesamtdrehmomet auf ih gleich Null ist, d.h. der Stab kommt zur Ruhe. Diese Lage etspricht geau dem gesuchte Miimum für die Summe der Abstäde ud somit der theoretisch berechete Regressiosgerade. Als Maß dafür, wie gut die eizele Pukte eie Gerade ergebe, wie gut sie also korreliere, diet der Korrelatioskoeffiziet r. Er berechet sich ach: r = i = 1 ( x x ) ( y y ) i 2 ( x x ) ( y y ) i i = 1 i = 1 i i 2 2 Der Wert für r bewegt sich zwische -1 ud +1. r = -1 : Regressiosgerade mit egativer Steigug ud beste Korrelatio der Messwerte. r = 0 : Die Messwerte zeige überhaupt keie Korrelatio. r = +1 : Regressiosgerade mit positiver Steigug ud beste Korrelatio der Messwerte. Viele Tascherecher besitze auch eie direkte Möglichkeit zur statistische Berechug vo Regressiosgerade. Sie gebe als Ergebis die Steigug a, de Achseabschitt b ud de Korrelatioskoeffiziete r aus. Der Vollstädigkeit halber soll och erwäht werde, dass es auch ichtlieare Regressioe für beliebige Fuktiosgleichuge ach uterschiedliche Verfahre gibt. Da sie recherisch aufwedig sid, werde sie meist mit Computerprogramme (Statistiksoftware) realisiert. Außerdem gibt es och die Möglichkeit, verschiedee Fuktioe i Gerade zu trasformiere ud da eie lieare Regressio durchzuführe. Hierbei muss ma jedoch beachte, dass die Abstäde vo de Pukte zur Kurve etspreched mittrasformiert werde. Ma spricht bei 22

15 PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE dieser Art der Regressio auch vo Apassug, Ausgleichsrechug oder Kurvefittig (kurz Fittig). Alle Begriffe brige zum Ausdruck, dass theoretische Kurve a vorhadee Messwerte agepasst werde solle. EXPERIMENTELLER TEIL DATENVERARBEITUNG UND MODELLIERUNG MIT MICROSOFT EXCEL Der Versuchsteil EXCEL zielt darauf ab, Ihe de Eistieg i die Behadlug vo Messwerte mit Hilfe eifacher Dateerfassugsprogramme zu erleichter. Mit der Tabellekalkulatio EXCEL köe auf eifache Weise Messreihe textlich ud graphisch dargestellt werde. Hier seie ur aufgeführt: Datereihe, Tabelle, eifache Graphe, Säulediagramme, Histogramme ud Boxplots. Als alterative Programme biete sich wisseschaftliche Graphik- ud Statistik- Pakete a, z.b. ORIGIN, SIGMAPLOT, SPSS ud STATISTICA. DER ERSTE KONTAKT MIT EINEM SPREADSHEET Übe Sie uter Aleitug ihres Praktikumsassistete folgede Operatioe: Erstelle eies Arbeitsblattes. Fülle eizeler Spalte mit Date. Markiere ud Verschiebe eizeler Spalte. Copy ud Paste (Kopiere Eifüge). Lösche vo eizele Date. EINFACHE FORMELN Etwickel Sie ei Arbeitsblatt, i dem i eier vo Ihe frei gewählte Spalte eie mooto zuehmede Zahlereihe vo 1 bis 1000 erstellt werde ka. (z.b. mit de Schrittweite 1 ud 5: 0,1,2,3, bzw. 0, 5, 10, 15, 20, ). Addiere Sie alle Zahle der Zahlereihe 1, 2, 3, 4, Vergleiche Sie Ihr Ergebis mit der Gauß sche Formel: i = i = 2 Geeriere Sie die Reihe 2 vo 1 bis 100. Sortiere Sie die Spalte i absteigeder Reihefolge. Geeriere Sie eie zufällige Zahlereihe. RELATIVE UND ABSOLUTE BEZÜGE RELATIVE BEZÜGE Werde Formel kopiert, passt EXCEL Zelladresse, die sich i de zu kopierede Zelle befide, im Zielbereich automatisch a ihre eue Positio a. Adresse bzw. Bezüge die beim kopiere automatisch agepasst werde, heiße daher relative Bezüge. Die Adresse der 23

16 Formel sid abhägig vo der Positio der Formelzelle! (Relative Bezüge werde meist bei eifache ud übersichtliche Rechuge verwedet. Beim Kopiere ud Eifüge werde die Adresse automatisch verwaltet. ABSOLUTE BEZÜGE Absolute Bezüge bleibe mit de ursprügliche Koordiate erhalte. Sie ethalte vor der Spalte- bzw. Zeilebezeichug ei Dollarzeiche $. Absolute Bezüge werde häufig bei der Verwedug vo Formel verwedet. Zellbezug i der Bezugart Ursprugsformel A1 Relativer Zellbezug: Beide Teile der Adresse werde kopiert ud agepasst. $A$1 Absolute Spalte ud Zeile-Adresse: Beim Kopiere wird ichts verädert. A$1 Absolute Zeileadresse: Beim Kopiere wird ur der Spaltebuchstabe agepasst. $A1 Absolute Spalteadresse: Beim Kopiere wird ur die Zeileummer agepasst. Zellbezug i der kopierte Formel B2 $A$1 B$1 $A2 Fülle Sie die Felder B5 ud F5 mit zwei beliebige Zahle. Bereche Sie B5-F5 ud $B$5-$F$5. Kopiere Sie die eizele Fuktioe i eue Felder. SIMULATION DER RATENGLEICHUNG MIT EINER TABELLENKALKULATION Selbst bei eifache Rategleichuge (z.b. Zustad A geht i eier bestimmte Zeit über i Zustad B ud zerfällt weiter i Zustad C) trete Differezialgleichugssysteme auf, die sich oft ur mit ausgefeilte mathematische Fähigkeite aalytisch löse lasse. Mit EXCEL ist es möglich, die Gleichuge auf aschauliche ud eifache Weise umerisch zu löse ud graphisch darzustelle. I userem Praktikum solle Sie die eifache Rategleichug A B (z.b. Radioaktiver Zerfall, oder expoetielles Wachstum eier Bakteriekultur) umerisch löse ud graphisch visualisiere. ETWAS MATHEMATIK Für die umerische Lösug vo Differetialgleichuge muss ma die Gleichuge so umwadel oder vereifache, dass sich das Problem mit eiem digitale Recher bereche lässt. Die Rategleichug für de Übergag A λ B lautet 24

17 ( ) da t dt = λ PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE Diese Gleichug köe Sie mathematisch löse, für eie recherische Lösug mit dem Computer eiget sie sich aber och icht, da der Recher keie Möglichkeit besitzt die ifiitesimal kleie Differetiale darzustelle. Stattdesse verwede wir eie Näherugslösug idem wir die Gleichug umschreibe ud die Differetiale i Differeze umwadel ( ) A t t ( ) A t ( ) = λ A t c ( ) λ t A ( t ) A t = Tabellekalkulatioe eige sich besoders für sog. rekursive Berechuge bei dee ei Wert sich jeweils aus dem vorhergehede ergibt d.h. Für usere Fall ergibt sich FORMULIERUNG IN EXCEL ( ) ( + ) = ( ) A t t f A t ( + ) = ( ) + ( ) = A ( t ) λ t A ( t ) A t t A t A t ( ) ( 1 λ t ) = A t Festlege des Zeititervalls t, der Geschwidigkeitskostate λ ud der Afagsmege A(0): z.b. t = 5, λ = ud A(0) = 100. Geeriere eier Zeitreihe mit der festgelegte Schrittweite. z.b. 20 Schritte Iterative Berechug vo A(t). Graphische Darstellug Ihres Ergebisses mit liearer ud logarithmischer Skalierug. Äder der Zeitkostate. Ereute iterative Berechug vo A(t) Graphische Darstellug Ihres Ergebisses mit liearer ud logarithmischer Skalierug. Vergleiche Sie Ihr Ergebis mit der aalytische Lösug der Differezialgleichug: ( ) e λ = A t 0 A t Warum habe wir de Asatz für usere recherische Lösug als Näherug bezeichet? AUSWAHL STATISTISCHER FUNKTIONEN: Fuktio Argumete Beschreibug ANZAHL() Zellbezüge/ Werte Azahl der Zahle i der Argumeteliste bzw. de Bereiche 25

18 ANZAHL2() Zellbezüge/ Werte Azahl der gefüllte Zelle i der Argumeteliste bzw. de Bereiche MAX() Zellbezüge/ Werte Größter Zahlewert der Liste bzw. der Bereiche MEDIAN() Zellbezüge/ Werte Media der agegebee Zahle/Bereiche MIN() Zellbezüge/ Werte Kleister Wert des Zahlebereichs MITTELWERT() Zellbezüge/ Werte Durchschittswert der Zahle bzw. der Bereiche STABW() Zellbezüge/ Werte Berechet die Stadardabweichug ausgehed vo eier Stichprobe STABWN() Zellbezüge/ Werte Berechet die Stadardabweichug ausgehed vo der Grudgesamtheit STFEHLERXY() Zellbezüge/ Werte Stadardfehler bei der lieare Regressio AUSWAHL MATHEMATISCHER FUNKTIONEN Fuktio Argumete Beschreibug ABS() Zahl Absolutwert der Zahl (ohe Vorzeiche) EXP() Zahl Expotetialfuktio: e hoch Zahl FAKULTÄT() Zahl Fakultät der Zahl KÜRZEN() Zahl Scheidet die Nachkommastelle ab LN() Zahl Natürlicher Logarithmus zur Basis e LOG() Zahl; Basis Logarithmus der Zahl zur agegebee Basis, ohe Agabe der Basis wird 10 als Basiswert geomme LOG10() Zahl Natürlicher Logarithmus zur Basis 10 PI() keie Die Kreiskostate Pi mit eier Geauigkeit vo 15 Stelle PRODUKT() Zellbereich/ Werte Produkt der Zahle i der Liste oder dem Bereich REST() Zahl; Divisor Ermittelt de Divisiosrest RUNDEN() Zahl; Stelleazahl Die Zahl wird kaufmäisch gerudet. Falls die Stelleazahl egativ ist, wird etspreched vor dem Komma gerudet SUMME() Zahle/ Zellbereich Summe der Zahleliste bzw. der Zahle im Bereich WURZEL() positive Zahl Quadratwurzel der Zahl ZUFALLSZAHL() keie Liefert ach jeder Neuberechug eie ZUFALLSZAHL()* 100 KÜRZEN(ZUFAL LSZAHL()*100) Zufallszahl >=0 ud <1 keie Zufallszahl zwische 0 ud 100 keie Gazzahlige Zufallszahl zwische 0 ud 100 dem 26

19 GRAPHISCHE DATENVERARBEITUNG MIT MICROCAL ORIGIN 5.0 PHYSIKALISCH-TECHNISCHE METHODEN IN DER BIOLOGIE Origi ist ei graphisch orietiertes Aalysesystem für Messdate. Mit diesem Programm soll beispielhaft der Umgag mit aturwisseschaftlicher Software i Verbidug mit de aus Experimete gewoee Date gezeigt werde. Solch eie Software erleichtert die Arbeit erheblich, da sie Date schell statistisch verarbeite ud auch sofort veröffetlichugsreif ausdrucke ka. Ma ka die Date schell trasformiere, korreliere oder eier etsprechede Regressio uterziehe. Die Gefahr dabei ist, dass ma sich oft icht darüber im Klare ist, was dabei geau passiert. Aus dem Fitte der Kurve ka da sehr schell ei passed mache der Kurve werde. Nachfolged sid eiige Möglichkeite aufgeführt, die mit dieser Software bearbeitet werde köe. Sämtliche Möglichkeite köe über ei Meue vom Beutzer aufgerufe werde. Die Eigabe der Date ka über die Tastatur oder aus eier Vielzahl vo Dateiformate erfolge. Die Date köe vielfältig trasformiert werde: Äderug vo Größe ud Skalierug der Darstellug Lieare, halblogarithmische oder doppelt logarithmische Darstellug Puktdarstellug, Liiezüge oder Balkediagramme Darstellug mit Kartesische oder Polarkoordiate Fast Fourier Trasformatio Weiterhi sid statistische Aalyse ud Kurveapassuge mit Agabe der Fehlergreze a die Date möglich. Der Beutzer hat die Möglichkeit aus zahlreiche itere Fuktioe auszuwähle oder selbst Fuktioe zu defiiere. Außerdem ist das Itegriere ud Differeziere vo Kurve möglich. I jedem Bearbeitugsstadium köe die Date graphisch ausgegebe werde. GRÖSSENVERTEILUNG VON ZELLKULTUREN Zwei verschiedee Zellkulture solle bezüglich ihrer Größe (Durchmesser, evtl. auch Volume) statistisch aalysiert ud vergliche werde. Dazu wurde vo jeder Zellkultur mit eier Mikroskopkamera Bilder erstellt (siehe auch 5), die Sie u ausmesse werde. Die Zellkulture wurde vor der Bildaufahme mit Trypsi behadelt wodurch sie sich vo ihrem Wachstumssubstrat abgelöst habe ud u ahezu ideal rud wurde. Mache Sie Ausdrucke vo de Bilder ud bestimme Sie jeweils de größte ud kleiste Durchmesser der Zelle mit eiem Lieal. Alterativ köe Sie diese Messug auch i eiem Bildverarbeitugsprogram wie ImageJ vorehme. Trage Sie die beide Größe i eie Urliste z.b. i eier Excel-Tabelle oder i Microcal Origi ei. We Sie hireiched viele (wie viele sid das?) Zelle vermesse habe bereche Sie de mittlere Durchmesser ud das mittlere Zellvolume als das Volume eies Rotatioselypsoids um die Achse des lägste Durchmessers. 27

20 Bestimme Sie mit de Statistikfuktioe Mittelwert, Variaz, Stadardabweichuge ud Stadardfehler für beide Größe. Vergleiche Sie die beide Zellkulture Bestimme Sie die Verteilug des mittlere Durchmessers ud des Zellvolumes ahad eies Histogramms. Fitte Sie dieses Histogramm mit eier Gaussverteilug. Damit ka die Normalverteilug der Werte überprüft werde. Das ist für de t-test wichtig, da er als verteilugsabhägiger Test eie Normalverteilug voraussetzt. Vergleiche Sie die beide Zellkulture mittels des t-tests. Sid beide wirklich gleich groß. Was passiert, we Sie ihre Stichprobeumfag vergrößer? LITERATUR 1. Bosch, K.: Elemetare Eiführug i die Wahrscheilichkeitsrechug, Vieweg Studium Basiswisse, Brauschweig, Bosch, K.: Elemetare Eiführug i die agewadte Statistik, Vieweg Studium Basiswisse, Brauschweig, Hopp, V., Beriger, G.: Mathematische Fuktioe zur Beschreibug vo Vorgäge i Natur ud Techik, GIT Fachz. Lab. 8, , Kreyszig E.: Statistische Methode ud ihre Aweduge, Vadehoeck u. Ruprecht, Göttige, Müller, G.W., Kick, T.: Basic-Programme für die agewadte Statistik, R.Oldeburg Verlag, Müche, Sachs, L.: Agewadte Statistik, 9. Auflage. Spriger Verlag, Heidelberg, Vogel, A.: Fuktiostafel ud statistische Tabelle, Verlag Korad Wittwer, Stuttgart, Wallis W.A., Roberts H.V.: Methode der Statistik, rororo,

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac) Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen.

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen. 3. Variazaalyse Die Variazaalyse mit eier quatitative abhägige Variable ud eier oder mehrerer qualitativer uabhägiger Variable wird auch als ANOVA (Aalysis of Variace) bezeichet. Mit eier Variazaalyse

Mehr

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt 2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:

Mehr

6.6 Grundzüge der Fehler- und Ausgleichsrechnung 6.6.1 Fehlerarten- Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung physikalisch-technische Experiment

6.6 Grundzüge der Fehler- und Ausgleichsrechnung 6.6.1 Fehlerarten- Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung physikalisch-technische Experiment 103 66 Grudzüge der Fehler- ud Ausgleichsrechug 661 Fehlerarte- Aufgabe der Fehler- ud Ausgleichsrechug Jedes physikalisch-techische Experimet liefert gewisse gemessee Werte x Bei dem Messvorgag verwede

Mehr

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier Der atürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtuge zum uiaxiale Zugversuch am Beispiel vo Furier B. Bellair, A. Dietzel, M. Zimmerma, Prof. Dr.-Ig. H. Raßbach Zusammefassug FH Schmalkalde, 98574 Schmalkalde,

Mehr

3. Einführung in die Statistik

3. Einführung in die Statistik 3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :

Mehr

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert Deskriptive Statistik dimesioale Date Date ud Häufigkeite Seite Nomial Ordial Metrisch (Kardial Metrisch klassiert Beschreibug: Date habe keie atürliche Reihefolge. Bsp: Farbe, Religio, Geschlecht, Natioalität...

Mehr

Wahrscheinlichkeit & Statistik

Wahrscheinlichkeit & Statistik Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui 005 www.matheachhilfe.ch ifo@matheachhilfe.ch 079 703 7 08 Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege

Mehr

Statistik I/Empirie I

Statistik I/Empirie I Vor zwei Jahre wurde ermittelt, dass Elter im Durchschitt 96 Euro für die Nachhilfe ihrer schulpflichtige Kider ausgebe. I eier eue Umfrage uter 900 repräsetativ ausgewählte Elter wurde u erhobe, dass

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Behandlung von Messunsicherheiten (Fehlerrechnung)

Behandlung von Messunsicherheiten (Fehlerrechnung) Behadlug vo Messusicherheite (Fehlerrechug). Ermittlug vo Messusicherheite. Messug ud Messusicherheit Die Messug eier physikalische Größe erfolgt durch de Vergleich dieser Größe mit eier Bezugseiheit ach

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige

Mehr

Inhaltsverzeichnis Office Excel 2003 - Themen-Special: Statistik I

Inhaltsverzeichnis Office Excel 2003 - Themen-Special: Statistik I W-EX2003S Autor: Christia Müster Ihaltliches Lektorat: Peter Wies Überarbeitete Ausgabe vom 23. Mai 2007 by HERDT-Verlag für Bildugsmedie GmbH, Bodeheim Microsoft Office Excel 2003 für Widows Theme-Special:

Mehr

Monte Carlo-Simulation

Monte Carlo-Simulation Mote Carlo-Simulatio Mote Carlo-Methode Der Begriff Mote Carlo-Methode etstad i de 1940er Jahre, als ma im Zusammehag mit dem Bau der Atombombe die Simulatio vo Zufallsprozesse erstmals i größerem Stil

Mehr

Statistik. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html

Statistik. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html Statistik Prof. Dr. K. Melzer kari.melzer@hs-esslige.de http://www.hs-esslige.de/de/mitarbeiter/kari-melzer.html Ihaltsverzeichis 1 Eileitug ud Übersicht 3 2 Dategewiug (kurzer Überblick) 3 2.1 Plaugsphase

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte.

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte. Statistik Vorlesug,. ärz, Statistische aßzahle Iformatio zu verdichte, Besoderheite hervorzuhebe ittelwerte Aufgabe: die Lage der Verteilug auf der Abszisse zu zeige. Der odus: derjeige Wert, der im Häufigste

Mehr

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur Stichprobe im Rechugswese, Stichprobeivetur Prof Dr Iree Rößler ud Prof Dr Albrecht Ugerer Duale Hochschule Bade-Württemberg Maheim Im eifachste Fall des Dollar-Uit oder Moetary-Uit Samplig (DUS oder MUS-

Mehr

Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung Mathematik Formelsammlug Mathematik 1 Fiazmathematik 1.1 Reterechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R die regelmäßig zu zahlede Rate, die Laufzeit. Edwert: Barwert: achschüssig R = R q 1 q 1

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/ mamaeusch Grudgesamtheitsaaylse ud Stichprobe. Betrachtuge zur Stichprobefidug Paula Lagares Justo Puerto 1 MaMaEuSch 2

Mehr

LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)

LV Grundlagen der Informatik Programmierung in C (Teil 2) Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe

Mehr

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader

Mehr

Statistische Formelsammlung Begleitende Materialien zur Statistik - Vorlesung des Grundstudiums im Fachbereich IK

Statistische Formelsammlung Begleitende Materialien zur Statistik - Vorlesung des Grundstudiums im Fachbereich IK Statistische Formelsammlug Begleitede Materialie zur Statistik - Vorlesug des Grudstudiums im Fachbereich IK Erstellt im Rahme des studierede Projektes PROST Studiejahr 00/00 uter Aleitug vo Frau Prof.

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Informatik II Dynamische Programmierung

Informatik II Dynamische Programmierung lausthal Iformatik II Dyamische Programmierug. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Zweite Techik für de Algorithmeetwurf Zum Name: "Dyamische " hat ichts mit "Dyamik" zu tu, soder mit

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

1 Einführung in die Fehlerrechnung

1 Einführung in die Fehlerrechnung Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug Eiführug i die Fehlerrechug Tiefemessschiee Abbildug: Messschieber. Theoretische Grudlage Bei jeder physikalische Messug

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Grundkompetenz-Aufgaben

Grundkompetenz-Aufgaben Durch starte Mathematik übugsbuch bis Grudkompetez-Aufgabe Aufgrud der eue schriftliche Reifeprüfug i Mathematik ist es otwedig, sich mit de eue Grudkompetez-Aufgabe auseiaderzusetze. Die Olie-Ergäzug

Mehr

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +

Mehr

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT Qualitätskezahle für IT-Verfahre i der öffetliche Verwaltug Lösugsasätze zur Vo Stefa Bregezer Der Autor arbeitet im Bereich Softwaretest ud beschäftigt sich als Qualitätsbeauftragter mit Theme zu Qualitätssicherug

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

Lernhilfe in Form eines ebooks

Lernhilfe in Form eines ebooks Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite

Mehr

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre Statistik ud Wahrscheilichkeitslehre Zufall ud Mittelwerte Für alle techische Studiegäge Prof. Dr.-Ig. habil. Thomas Adamek Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug. Eiführug Grudlage vo Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug

Mehr

elektr. und magnet. Feld A 7 (1)

elektr. und magnet. Feld A 7 (1) FachHochschule Lausitz Physikalisches Praktikum α- ud β-strahlug im elektr. ud maget. Feld A 7 Name: Matrikel: Datum: Ziel des Versuches Das Verhalte vo α- ud β-strahlug im elektrische ud magetische Feld

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008

Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008 1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl

Mehr

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der

Mehr

2. Einführung in die Geometrische Optik

2. Einführung in die Geometrische Optik 2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2

Mehr

Elektronikpraktikum: Digitaltechnik 2

Elektronikpraktikum: Digitaltechnik 2 Elektroikpraktikum: Digitaltechik 2 Datum, Ort: 16.05.2003, PHY/D-213 Betreuer: Schwierz Praktikate: Teshi C. Hara, Joas Posselt (beide 02/2/PHY/02) Gruppe: 8 Ziele Aufbau eier 3-Bit-Dekodierschaltug;

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Aufbaustudium Grüdugscotrollig Lösugshiweise zur 3. Musterklausur Lösugshiweise

Mehr

2. Gleichwertige Lösungen

2. Gleichwertige Lösungen 8. Gleichwertige Lösuge Für die Lösug jeder lösbare Aufgabe gibt es eie uedliche Azahl vo (abstrakte ud kokrete) Algorithme. Das folgede Problem illustriert, dass eie Aufgabe eifacher oder kompliziert,

Mehr

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen

Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen Vorlesugsergäzug zur Igeieurmathematik R.Brigola Ei kleies Eimaleis über Mittelwertbilduge Grudlage über arithmetische Mittel, geometrische Mittel, harmoische Mittel, quadratische Mittel ud das arithmetisch-geometrische

Mehr

Erwartungswert und Varianz bei Verteilungen und Glücksspielen

Erwartungswert und Varianz bei Verteilungen und Glücksspielen HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 Wilfried Rohm Erwartugswert ud Variaz bei Verteiluge ud Glücksspiele Mathematische / Fachliche Ihalte i Stichworte: Erwartugswerte ud Variaz (Stadardabweichug)

Mehr

Empirische Methoden I

Empirische Methoden I Hochschule für Wirtschaft ud 2012 Umwelt Nürtige-Geislige Fakultät Betriebswirtschaft ud Iteratioale Fiaze Prof. Dr. Max C. Wewel Prof. Dr. Corelia Niederdrek-Felger Aufgabe zum Tutorium Empirische Methode

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten Zur Ableitug zulässiger Messusicherheite aus Toleraze bei Igeieurvermessuge a Krabahe Has Schulz Vo de jeweilige Herstelltoleraze ist für die Vermessug ei bestimmter Ateil die Vermessugstoleraz vorzusehe,

Mehr

Hallo, kurze Anmerkung: Diese Scripte stammen von 1999. Ich kann leider dazu. keine Fragen mehr beantworten! : ( Euch trotzdem viel Erfolg!

Hallo, kurze Anmerkung: Diese Scripte stammen von 1999. Ich kann leider dazu. keine Fragen mehr beantworten! : ( Euch trotzdem viel Erfolg! Hallo, kurze Amerkug: Diese Scripte stamme vo 999. Ich ka leider dazu keie Frage mehr beatworte! : ( Euch trotzdem viel Erfolg! Dorthe dorthe@luebbert.et Statistik-C Skript ud Diplomklausurvorbereitug

Mehr

Robuste Asset Allocation in der Praxis

Robuste Asset Allocation in der Praxis Fiazmarkt Sachgerechter Umgag mit Progosefehler Robuste Asset Allocatio i der Praxis Pesiosfods ud adere istitutioelle Aleger sid i aller Regel a ei bestimmtes Rediteziel (Rechugszis) gebude, das Jahr

Mehr

Nennenswertes zur Stetigkeit

Nennenswertes zur Stetigkeit Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit

Mehr

Pflichtlektüre: Kapitel 10 Grundlagen der Inferenzstatistik

Pflichtlektüre: Kapitel 10 Grundlagen der Inferenzstatistik Pflichtlektüre: Kapitel 10 Grudlage der Iferezstatistik Überblick der Begriffe Populatio Iferezstatistik Populatiosparameter Stichprobeverteiluge Auch Stichprobekewerteverteiluge Wahrscheilichkeitstheorie

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence cubus EV als Erweiterug für Oracle Busiess Itelligece... oder wie Oracle-BI-Aweder mit Essbase-Date vo cubus outperform EV Aalytics (cubus EV) profitiere INHALT 01 cubus EV als Erweiterug für die Oracle

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

Quantitative Methoden in der klinischen Epidemiologie Der statistische Test

Quantitative Methoden in der klinischen Epidemiologie Der statistische Test Lerziele Quatitative Methode i der kliische Epidemiologie Der statistische Test Dr. Markus Pfirrma pfi@ibe.med.ui-mueche.de IBE Der Statistische Test Im Zetrum jeder kliische ud epidemiologische Studie

Mehr

Kapitel 1. Einige Begriffe aus der Asymptotik. 1.1 Wiederholung

Kapitel 1. Einige Begriffe aus der Asymptotik. 1.1 Wiederholung Kapitel Eiige Begriffe aus der Asymptotik. Wiederholug Eiwesetlicher Teil der Ökoometrie befasst sichmit der Ermittlug voschätzer ud dere Eigeschafte. Diese werde beötigt, um aus de beobachtbare Date eier

Mehr

Von der Augenlinse zur Auftragssteuerung: einige praktische Anwendungsbeispiele

Von der Augenlinse zur Auftragssteuerung: einige praktische Anwendungsbeispiele Vo der Augelise zur Auftragssteuerug: eiige praktische Awedugsbeispiele Prosemiar Evolutiosstrategie August 00 Roy Pappert Ihalt. Optimierug vo Strukture 3.. Optimierug vo Fachwerk 3.. Neuroales Netz 6.3.

Mehr

2.4.1 Grundprinzipien statistischer Hypothesentests

2.4.1 Grundprinzipien statistischer Hypothesentests 86 2.4. Hypothesetests 2.4 Hypothesetests 2.4.1 Grudprizipie statistischer Hypothesetests Hypothese: Behauptug eier Tatsache, dere Überprüfug och aussteht (Leuter i: Edruweit, Trommsdorff: Wörterbuch der

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

Zusammenfassung Wirtschaftsinformatik Stefan Käßmann

Zusammenfassung Wirtschaftsinformatik Stefan Käßmann I. Iformatio ud Nachricht 1. Iformatio ud Nachricht - Nachricht (Sytax), Sigale, Zeiche - Iformatio (Sematik), bit - Rausche 2. digitale Nachrichte - digitale Sigale (Sigalparameter aus edlicher Zeichevorrat)

Mehr

Statistik I Februar 2005

Statistik I Februar 2005 Statistik I Februar 2005 Aufgabe 0 Pukte Ei Merkmal X mit de mögliche Auspräguge 0 ud, das im Folgede wie ei kardialskaliertes Merkmal behadelt werde ka, wird a Merkmalsträger beobachtet. Dabei bezeichet

Mehr

Statistik. Deskriptive Statistik. Deskriptive Statistik. Deskriptive Statistik

Statistik. Deskriptive Statistik. Deskriptive Statistik. Deskriptive Statistik AGAH Aual Meetig 004, Berli Grudlage der Biometrie Beschreibede ud schließede Statistik i kliische Studie Jede mathematische Formel reduziert die Azahl der Zuhörer um 50% PD Dr. Thomas Sudhop & Dr. med.

Mehr

a) Zeichnen sie ein Schaltbild des Versuches und beschriften sie dieses.

a) Zeichnen sie ein Schaltbild des Versuches und beschriften sie dieses. Der Hz-Schwigkreis besteht aus eier Spule hoher Iduktivität ud eiem Kodesator. Wird ei solcher Schwigkreis kurzfristig mit elektrischer Eergie versorgt, so führt er eie stark gedämpfte Schwigug aus. Aufgezeichet

Mehr

Verbesserung von Datengüte und Analysemöglichkeiten durch den Einsatz visueller Analogskalen in Onlineumfragen

Verbesserung von Datengüte und Analysemöglichkeiten durch den Einsatz visueller Analogskalen in Onlineumfragen Gemeisame Tagug des DVPW-Arbeitskreises Empirische Methode der Politikwisseschaft ud der DGS-Sektio Methode der Empirische Sozialforschug m Thema Olieforschug Maheim, 27. ud 28. Mai 2011 Verbesserug vo

Mehr

Formelsammlung. zur Klausur. Beschreibende Statistik

Formelsammlung. zur Klausur. Beschreibende Statistik Formelsammlug zur Klausur Beschreibede Statistik Formelsammlug Beschreibede Statistik. Semester 004/005 Statistische Date Qualitative Date Nomial skalierte Merkmalsauspräguge (Uterscheidugsmerkmale) köe

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

Gliederung. Value-at-Risk

Gliederung. Value-at-Risk Value-at-Risk Dr. Richard Herra Nürberg, 4. Noveber 26 IVS-Foru Gliederug Modell Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Verteilug des Gesatschades Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Risikobeurteilug

Mehr

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation Methodische Grudlage der Kostekalkulatio Plaugsebee Gebrauchsgüter Die i der ladwirtschaftliche Produktio eigesetzte Produktiosmittel werde i Gebrauchsgüter ud Verbrauchsgüter uterteilt. Zu de Gebrauchsgüter

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr DEMO für ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gz ausführliches Traiig Datei Nr. 40012 Neu geschriebe ud sehr erweitert Std: 4. Februar 2010 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Einführung in die mathematische Statistik

Einführung in die mathematische Statistik Kapitel 7 Eiführug i die mathematische Statistik 7.1 Statistische Modellierug Bei der Modellierug eies Zufallsexperimets besteht oft Usicherheit darüber, welche W-Verteilug auf der Ergebismege adäquat

Mehr

Vereinheitlichung Einheitlicher Maßstab der Risikoeinschätzung. Limitierung / Steuerung Messung und Limitierung ist fundamental für die Steuerung

Vereinheitlichung Einheitlicher Maßstab der Risikoeinschätzung. Limitierung / Steuerung Messung und Limitierung ist fundamental für die Steuerung . Marktpreisrisiko Motivatio der VaR-Ermittlug Vereiheitlichug Eiheitlicher Maßstab der Risikoeischätzug Limitierug / Steuerug Messug ud Limitierug ist fudametal für die Steuerug Kapitaluterlegug Zur Deckug

Mehr

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs Das Digitale Archiv des Budesarchivs 2 3 Ihaltsverzeichis Das Digitale Archiv des Budesarchivs 4 Techische Ifrastruktur 5 Hilfsmittel zur Archivierug 5 Archivierugsformate 6 Abgabe vo elektroische Akte

Mehr

Six Sigma Renaissance einer vergessenen Qualitätsmethode oder neuer Qualitätsstandard? (Teil 4)

Six Sigma Renaissance einer vergessenen Qualitätsmethode oder neuer Qualitätsstandard? (Teil 4) ZfP-Zeitug 83 Februar 2003 Six Sigma Reaissace eier vergessee Qualitätsmethode oder euer Qualitätsstadard? (Teil 4) Vo Dipl.-Ig. Axel K. Bergbauer Die Phase Measure oder die Phase der Zahle, Date, Fakte

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr