Hinweise zur Beurteilung von Messungen, Messergebnissen und Messabweichungen, Fehlerbetrachtung

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1 Hinweise zur Beurteilung von Messungen, Messergebnissen und Messabweichungen, Fehlerbetrachtung 1. Literatur W. Walcher, Praktikum der Physik, Teubner D. Geschke, Physikalisches Praktikum, Teubner H. Kuchling, Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch Deutsches Institut für Normung DIN 1319 L.Sachs, Statistische Methoden, Springer J.R.Taylor, Fehleranalyse, VCH W.H.Gränicher, Messung beendet was nun, VDF 2. Gründe für Messabweichungen Physikalische Messungen sind nur in sehr seltenen Fällen frei von Abweichungen vom "wahren" Wert. Um die Abweichungen abschätzen zu können, ist es notwendig sie nach formalen Kriterien zu klassifizieren: Da sind zunächst Abweichungen, die auf dem Versagen des messenden Physikers oder seiner Apparatur beruhen, etwa wenn man 1.50 V statt 1.05 V abliest oder aufschreibt. Man kann sie weder vollständig vermeiden noch mit einer auf Mathematik fußenden Theorie sinnvoll bearbeiten. Ihr Auftreten und ihr Schaden wird jedoch begrenzt, wenn man sorgfältig arbeitet und wichtige Arbeitsgänge unabhängig wiederholt. Dieser Typ der Abweichungen, den wir als grobe Fehler bezeichnen wollen, sei im folgenden im Vorfeld durch eine visuelle Plausibilitätsbetrachtung der Messwerte erledigt. Diese Vereinbarung sei getroffen, nicht weil wir und unsere Apparatur so gut sind, dass uns solche Fehler nicht unterlaufen könnten, sondern weil sie sich einer vernünftigen physikalisch - mathematischen Behandlungsweise entziehen (nicht hingegen einer wissenschaftlichen schlechthin; die Fehler etwa des Menschen am Arbeitsplatz spielen in der Ergonomie, der Lehre von den "richtigen" menschlichen Arbeitsbedingungen, eine wichtige Rolle). Die handhabbare Art von Abweichungen, und das sind in der Regel die meisten mit denen wir es im Praktikum oder die Physiker in Forschung und Anwendung zu tun haben, beruhen auf Unvollkommenheiten unserer Messgeräte und unserem Umgang mit ihnen. Deshalb werden sie treffender nicht als "Messfehler" sondern als Messabweichungen bezeichnet. Es ist also einleuchtend, dass man bereits bei der Geräteauswahl darauf achten sollte, keine gewissermaßen "groben" Messinstrumente für empfindliche Messungen zu verwenden. So sind Analog-Instrumente nicht beliebig genau abzulesen und Digital-Instrumente zur Beobachtung schnell veränderlicher Größen ungeeignet. Trotzdem gilt dass meist das genauere Messgeräte teurer sind. 1

2 Neben der Genauigkeit der verwendeten Messgeräte spielt aber auch deren Einfluss auf den gemessenen Vorgang eine Rolle. So kann das Messinstrument z.b. als zusätzlicher "Verbraucher" elektrischer Energie auftreten, sein Einfluss muss dann rechnerisch eliminiert werden, was weitere Ungenauigkeiten nach sich ziehen kann. Dieser Typ von Mess-Abweichung ist kein Mess-Fehler - der ermittelte Wert liegt ja zum Zeitpunkt der Messung real vor - trotzdem ist es eine Abweichung von dem gewünschten Messergebnis, da man sich ja eigentlich für den "ungestörten" Zustand interessiert. Diese Beeinflussung der Messung kann übrigens in den meisten makroskopischen Fällen fast beliebig klein gemacht werden, jedoch niemals zu Null. Die quantenmechanisch begründete HEISENBERG sche Unschärferelation erzwingt eine Beeinflussung der Messung durch das Messgerät. Schließlich gibt es noch Schwankungen des Messwertes selbst. Dies sind im Grunde eigentlich keine Mess-Abweichungen, da ja der momentan vorliegende Messwert korrekt ermittelt wird. Meist ist man jedoch an der zu Grunde liegenden physikalischen Größe, oft dem Mittelwert, interessiert und nicht an der aktuellen Fluktuation. Das wohl wichtigste Beispiel dafür ist die Zerfallskonstante des radioaktiven Zerfalls. Die einzelnen gemessenen Zerfälle folgen perfekt statistischen Gesetzen und schwanken dementsprechend. Die Messung einzelner Zerfälle kann mit sehr hoher Präzision erfolgen und entsprechend ist es möglich aus wenigen Ereignissen eine scheinbar beliebig genaue Zerfallskonstante zu ermitteln. Eine neue Messserie liefert hingegen eine scheinbar genauso präzise jedoch abweichende Zerfallskonstante. Bei der Bestimmung der Genauigkeit der aus den Messwerten errechneten Zerfallskonstante muss also die statistische Natur des Prozesses berücksichtigt werden, die Messabweichung selbst - verursacht durch die Genauigkeit der Zeitmessung - spielt praktisch keine Rolle. 3. Systematische und Statistische Fehler Bei der Behandlung von Messabweichungen ist es zweckmäßig zwischen zwei Typen von Abweichungen zu unterscheiden, die eingangs beschriebenen groben Fehler des Messenden seien dabei bereits aussortiert: Statistische Fehler Dieser Typ von Abweichungen kann vermindert werden, indem man unter gleichen Bedingungen die Messung wiederholt. Die Abweichung ist nicht durch einen dauerhaften falschen Zustand des Messgerätes, z.b. eine falsche Eichung, hervor gerufen, sondern durch eine im aktuellen Messvorgang begründete sich zeitlich verändernde Abweichung. Systematische Fehler Diese Art von Abweichung verringert sich nicht, sooft man auch die Messung wiederholt. Eine zumindest über den Zeitraum der Wiederholungen gleichbleibende abweichende Anzeige des Messgerätes liegt vor. Detaillierte Kenntnisse der Messbedingungen und des Messgerätes erlauben manchmal ein Ersetzen der Abweichung durch eine Korrektur. Hier ein Beispiel: Mit einem Lineal als Messgerät soll die Länge eines Aluminiumquaders gemessen werden. Zu diesem Zweck legt man das Lineal mit dem Nullpunkt der Skala an das eine Ende des Quaders und liest am anderen Ende des Quaders auf der Skala den Messwert ab. 2

3 Abbildung 1. Längenmessung Fehlerquellen: 1. Das Anlegen des Lineals an den Quader (Nullposition) erfolgt mit einer gewissen Genauigkeit die in das Ergebnis eingeht. Dieser Vorgang wird sicher zu einem anderen Ergebnis führen wenn man ihn wiederholt, ist also statistischer Natur. 2. Das Ablesen am anderen Ende des Lineals wird bei einer Wiederholung zu einem neuen Ergebnis führen, ist also ebenfalls statistischer Natur. 3. Weitere Abweichungen liegen in der Eichung des "Messgerätes" begründet: Wurde bei der Herstellung des Lineals die Skala in "falschem Abstand" aufgedruckt, so werden alle Messungen mit diesem einen Lineal ein spezifisches falsches Ergebnis liefern. Diese Abweichung ist von systematischer Natur. Ohne eine Wiederholung des Herstellungsprozesses wird sich an der falschen Eichung nichts ändern. 4. Schließlich kann die Eichung des Lineals zunächst mit nur geringer Abweichung erfolgt sein, aber das verwendete Material hat einen großen thermischen Ausdehnungskoeffizienten. Findet die Messung bei einer anderen Temperatur statt, so ergibt sich eine Abweichung, die für diese Temperatur reproduzierbar ist, also eine systematische Abweichung. Einen ähnlichen Einfluss kann die Luftfeuchtigkeit haben oder Alterungsprozesse im Trägermaterial. Dabei wird sichtbar, wie die Genauigkeit eines so einfachen Vorgangs von den Details abhängt. So ist es möglich die Abweichungen vom Typ 1 und 2 durch eine entsprechend hohe Zahl von Versuchen praktisch zu Null zu machen, aber es setzt voraus, dass man den gesamten Vorgang des Anlegens des Lineals wiederholt. Liest man nur mehrfach hintereinander den Messwert ab, so wird zwar der Fehler 2 reduziert - vorausgesetzt man ist diszipliniert genug wirklich eine neue Schätzung bei der Ablesung vorzunehmen - aber der Fehler 1 bleibt bestehen. Hier wäre es sehr nützlich, den Beobachter auszutauschen, damit dieser wirklich unvoreingenommen an die neue Messung herangeht. Die Abweichung vom Typ 4 ist sehr ambivalent. Hat man keine Informationen über den Zusammenhang zwischen Temperatur und Messwert, so gilt obige Beschreibung. Manchmal ist jedoch der Temperaturgang eines Messgerätes vom Hersteller vermessen. Oder im einfachsten Fall wie dem Lineal ist der Ausdehnungskoeffizient des Trägermaterials bekannt. Kennt man dann auch die Temperatur bei der Messung, kann man diese Abweichung durch eine Korrektur ersetzen und von der Liste der Abweichungen streichen. Ist die Temperaturabhängigkeit des Messgerätes nicht bekannt, aber man hat die Möglichkeit die Temperatur zu variieren, so kann man eine Mittelung über die Temperatur durchzuführen. Damit wird aus der systematischen Abweichung eine statistische die sich durch eine höhere Zahl von Versuchen (hier bei wechselnden Temperaturen) reduzieren lässt. 3

4 4. Zweck der Fehlerbetrachtung, Aufwand Spätestens aufgrund des aufwendigen obigen Beispiels stellt sich die Frage wozu die Fehlerbetrachtung dient: Handelt es sich bei obigem Quader um ein Verkleidungs-Blech dessen Länge und Breite sowieso nur auf ±1mm genau sein muss, so erübrigt sich praktisch die gesamte Fehlerbetrachtung. Ist die Längenmessung jedoch Teil der Dichte-Bestimmung eines Quaders um zu testen ob in einem Goldbarren billige Materialien enthalten sind, so gibt es Sinn obige Untersuchungen möglichst genau durchzuführen, wobei als Messgerät in diesem Fall anstelle des Lineals vermutlich eine große Messleere sinnvoll ist. Ein anderes Beispiel: Der Durchmesser eines Kolbens in einem Motor soll bestimmt werden, um sicherzustellen, dass er den vorgegebenen Toleranzbereich einhält. Werden die Abmessungen zu Unrecht als außerhalb der Toleranz bestimmt, so ist das teuer da der Kolben fälschlich weggeworfen wird. Wird hingegen der Kolben zu Unrecht als "gut" gekennzeichnet, so ist vielleicht die Lebensdauer des Motors so stark reduziert, dass der Hubschrauber in den der Motor eingebaut wird abstürzt. Man sieht an den Beispielen, dass Fehlerbetrachtungen ganz eng mit ökonomischen Gesichtspunkten verknüpft sind, und dass es meist nicht ausreicht - wie bei Physikern oft gängige Praxis eine obere Abschätzung für die Abweichung zu machen. Das wird auch sofort sichtbar wenn man die Abweichung versucht durch eine höhere Zahl von Messungen zu reduzieren: eine präzise Fehlerabschätzung ermöglicht eine geringere Zahl von Messungen, da der "Sicherheitsspielraum" entfällt. Dieser Effizienzgesichtspunkt sollte auch in der Art der Fehlerbestimmung zum Tragen kommen: es gibt keinen Sinn auszurechnen ob die Abweichung einer Längenmessung ±1% beträgt oder ±1,1%, Ausnahmen bestätigen hier allerdings die Regel. 5. Abschätzung der Fehler bei Einzelmessung Bei der Längenmessung mit dem Lineal in unserem Quader-Beispiel ergebe sich als Messwert l = 355,4mm Zur Bestimmung der Genauigkeit von 1 kann man probeweise den Quader etwas verschieben und betrachten, wie weit man in der Lage ist eine Verschiebung zu registrieren. Da in der linken Position die Papierkante mit einem Strich auf dem Lineal zusammenfällt, ist es sicher möglich Abweichungen in der Größenordnung der Strichdicke also von ±0.1 mm festzustellen. Die Bestimmung der Abweichung 2 ist schwieriger, da ein entsprechender Vergleichs-Strich nicht zur Verfügung steht. Man muss also die Skala zwischen zwei Millimeterstrichen interpolieren. Eine Unterscheidung zwischen der Mittelposition also 1/2 und einer 1/4 Position, erscheint auch noch möglich. Wesentlich genauer - etwa die Unterscheidung ob der Strich eher bei 0.3 oder bei 0.4 liegt ohne einen Vergleichs-Strich bei 0.5 zur Verfügung zu haben - scheint kaum möglich. Also: geschätzte Genauigkeit ±0.2 mm. Die Abweichung von dem Messwert soll im folgenden mit dem Operator gekennzeichnet werden. Also für die Länge l ± l. Die geschätzte statistische Abweichung beträgt daher: l stat1 = 0,1mm 4

5 l stat2 = 0,2mm Methoden zur Ermittlung der Gesamtabweichung, die auch den systematischen Anteil enthält werden später diskutiert. Grobe Anhaltspunkte für die statistische Genauigkeit einer Einzelmessung: Reaktionszeiten mit einer Stoppuhr liegen bei 0,2 bis 0,3 Sekunden, wenn Zeit-Differenzen gemessen werden sind die Abweichungen kleiner, da sich bis auf die Schwankungen die Reaktionszeit herausmittelt. Die Position von zwei parallelen versetzten Strichen kann typisch mit einer Genauigkeit von der halben bis ganzen Strichbreite bestimmt werden. Die Position eines Strichs zwischen zwei Endwerten kann durch Interpolation auf typisch 20% bis 50% des Abstandes zwischen den Strichen bestimmt werden, bei kleiner Strichbreite geht es besser. Zusätzliche Schwierigkeiten sind möglich durch Parallaxe-Probleme. Eine Abschätzung seiner persönlichen Fähigkeit bestimmte Strichpositionen zu ermitteln kann man Mehrfachablesung des gleichen Messwerts durch andere Personen erhalten. Optische Täuschungen sind so allerdings nicht auszuschließen. Ein Abschätzung seiner persönlichen Reaktionszeit kann man erhalten, indem eine Person plötzlich ein Lineal fallen lässt - an der Wand aufgelegt -, das die andere Person mit dem Daumen versucht am Durchfallen zu hindern. Aus Fallstrecke und Erdbeschleunigung ergibt sich die Reaktionszeit s = 1 2gt 2. Schätzungen der statistischen Abweichungen gehen nur dann in die Berechnung der Gesamtabweichung ein wenn keine genaueren Informationen vorliegen, insbesondere wenn es nicht möglich oder zu aufwendig ist Mehrfachmessungen durchzuführen. 6. Reduktion der statistischen Fehler durch Mehrfachmessung 6.1. Mittelwert und Erwartungswert Wiederholt man Messungen an demselben Messobjekt mit demselben Messgerät unter gleichen Bedingungen, so werden sich die einzelnen Messwerte x i trotzdem aufgrund der unterschiedlichen statistischen Abweichung voneinander unterscheiden. Sie streuen um einen Mittelwert x, der sich mit wachsender Zahl n der Messungen dem wahren Wert x e (dem Erwartungswert der Messgröße) nähert. Wenn keine besonderen Umstände vorliegen die eine spezielle Wichtung der Abweichung notwendig machen, verwendet man die einfachste Mittelung, das arithmetische Mittel: x = 1 n n x i i=1 Betrachten wir wieder die Längenmessung in unserem Quader-Beispiel. Es werden nun 30 Einzelmessungen durchgeführt deren Ergebnisse in Tabelle 1 dargestellt sind. Für den Mittelwert erhalten wir l = 355, 62 mm. Bildet man die Abweichungen x i = (x i x) 5

6 Pos. Messwert Abweichung 1 355,6-0, ,8 0, ,5-0, ,6-0, ,6-0, ,9 0, ,5-0, ,4-0, ,6-0, ,7 0, ,6-0, ,9 0, ,0 0, ,6-0, ,3-0, ,7 0, ,8 0, ,6-0, ,4-0, ,5-0, ,6-0, ,7 0, ,7 0, ,5-0, ,4-0, ,5-0, ,7 0, ,6-0, ,6-0, ,7 0,08 Tabelle 1. Messwert-Tabelle zur 30-fachen Längenmessung eines Quaders. Die Abweichung ist die Differenz des i-ten Messwertes vom Mittelwert l i ( li = l i l ). Mittelwert l = 355,62mm, Standardabweichung s = 0,16mm 6

7 der einzelnen Messwerte vom Mittelwert, so hat das arithmetische Mittel x die Eigenschaft, dass die Summe dieser Abweichungen verschwindet n i=1 x i = 0 Da durch quadrieren alle Einzelabweichungen positive Vorzeichen haben, ist dagegen die Summe der Quadrate der Abweichungen nicht verschwindend solange auch nur einer der Einzel-Messwerte vom Bezugswert abweicht: n i=1 ( x i ) 2 = n i=1 (x i x) 2 0 Eine weitere Eigenschaft dieser Summe ist, dass sie genau für den Mittelwert x als Referenzwert minimal wird, d.h. ersetzt man x durch einen anderen Bezugswert x, so wird die Summe größer. Diese Eigenschaften machen sie geeignet als Maß zu dienen für die Streuung der Messwerte um den Mittelwert, wie im nächsten Kapitel diskutiert Die Standardabweichung Ein Maß für die Abweichung der einzelnen Messwerte vom Mittelwert ist die Standardabweichung s: n i=1 s = (x i x) 2 n 1 Die Standardabweichung s ist eine positive Größe die genau dann zu Null wird wenn alle Messwerte übereinstimmen. Als Beispiel sei angenommen, dass die Messwerte nur die diskreten Zahlenwerte 5 und 6 annehmen können, der wahre Wert aber genau in der Mitte bei 5,5 liegt. Man erwartet dann wenn man lange genug misst gleich viele Messwerte 5 wie 6, als Mittelwert also 5,5. Die Standardabweichung des Einzelwertes s also die mittlere Abweichung jedes einzelnen Messwertes vom Mittelwert - würde sich dann wie zu erwarten einpendeln bei s = 0,5 2 = 0,5. Dies gilt jedoch nur für n. Insbesondere divergiert s für n = 1.! Das liegt daran, dass s definiert ist als die Abweichung vom Mittelwert und nicht vom wahren Wert x w. Der Faktor 1 n 1 berücksichtigt genau diesen Unterschied. Es handelt sich daher genau genommen um eine Schätzung der Abweichung, die für eine einzelne Messung nicht durchführbar ist. Ersetzt man x durch x w so kann man auch den Faktor in 1 n korrigieren und es ergibt sich fürn = 1 die zu erwartende Abweichung. Das Quadrat dieses Wertes wird in der Literatur als Varianz bezeichnet. Die Gleichung der Standardabweichung kann so umgeformt werden, dass der Mittelwert zunächst nicht benötigt wird. Da er zu Beginn meist unbekannt ist, bietet diese Notation rechentechnisch erhebliche Vorteile: n n i=1 s = x2 i ( n i=1 x i) 2 n (n 1) Die Standardabweichung s des Einzelwerts beantwortet also die Frage: Wie weit weicht typisch ein einzelner Messwert x i vom Mittelwert x ab? Dies ist zur Beurteilung des Messwertes von Interesse. Weit wichtiger ist hingegen die Fragestellung die von der Standardabweichung des Mittelwerts beantwortet wird: 7

8 Abbildung 2. Histogramm der Längenmessung mit zugehöriger Normalverteilung Wie weit weicht typisch der Mittelwert x aller Messungen vom wahren Wert x w ab? Es ist ersichtlich, dass diese Abweichung mit zunehmender Zahl der Messungen immer kleiner werden sollte, der Mittelwert nähert sich immer mehr dem wahren Wert an. Bei große Zahlen gilt für die Standardabweichung des Mittelwerts: x = x x w = s Wie in obigem Beispiel deutlich gemacht, ist die Standardabweichung des Einzelwerts eine Größe die von Schwankungen abgesehen - von der Zahl der Messwerte unabhängig ist, während die Abweichung zwischen wahrem Wert und gemessenem Mittelwert, die Standardabweichung des Mittelwerts, mit der Wurzel der Zahl der Messwerte sinkt Die Normalverteilung Die Standardabweichung ist ein Maß für die mittlere Abweichung der Messwerte vom wahren Wert. Es gibt natürlich Messwerte die weniger abweichen und die mehr abweichen, ihre Häufigkeit ist unterschiedlich. Geht die Zahl der Messwerte n, so würde jeder einzelnen Messwert mit einer Häufigkeit h vorkommen, der Wahrscheinlichkeitsdichte. Im vorliegenden Fall ist die Dichte durch die GAUSS sche Normalverteilung gegeben: (x x) 2 h(x) = e 2 x 2 s 2 π Der Verlauf wird oft als Glockenkurve bezeichnet. Die Gauß-Funktion ist symmetrisch um den Mittelwert x und so normiert, dass alle Messwerte genau einmal auftauchen. Dies ist identisch mit der Aussage, dass das Integral von h(x) zwischen und + gerade 1 ergibt. Abb. 2 zeigt eine solche Kurve, in die auch die einzelnen Messwerte des Quader-Beispiels aus Tabelle 1 als Histogramm eingetragen sind. 8 1 n

9 1 α = 68,26% 1 α = 90% 1 α = 95% 1 α = 99% 1 α = 99,5% 1 α = 99,73% n t t n t t n t t n t t n t t n t t n 2 1,84 1,30 6,31 4,46 12,71 8,98 63,66 45,01 127,32 90,03 235,80 166,70 3 1,32 0,76 2,92 1,69 4,30 2,48 9,93 5,73 14,09 8,13 19,21 11,09 4 1,20 0,60 2,35 1,18 3,18 1,59 5,84 2,92 7,45 3,73 9,22 4,61 5 1,15 0,51 2,13 0,95 2,78 1,24 4,60 2,06 5,60 2,50 6,62 2,96 6 1,11 0,45 2,02 0,82 2,57 1,05 4,03 1,65 4,77 1,95 5,51 2,25 8 1,08 0,38 1,90 0,67 2,37 0,84 3,50 1,24 4,03 1,42 4,53 1, ,06 0,34 1,83 0,58 2,26 0,71 3,25 1,03 3,69 1,17 4,09 1, ,05 0,29 1,78 0,49 2,18 0,60 3,05 0,85 3,43 0,95 3,76 1, ,03 0,23 1,73 0,39 2,09 0,48 2,86 0,64 3,17 0,71 3,45 0, ,02 0,19 1,70 0,31 2,05 0,37 2,76 0,50 3,04 0,56 3,28 0, ,02 0,18 1,70 0,30 2,04 0,36 2,74 0,49 3,02 0,53 3,26 0, ,01 0,14 1,68 0,24 2,01 0,28 2,68 0,38 2,94 0,42 3,16 0, ,00 0,11 1,66 0,19 1,99 0,22 2,64 0,30 2,89 0,32 3,10 0, ,00 0,10 1,66 0,17 1,98 0,20 2,63 0,26 2,87 0,29 3,08 0, ,00 0,09 1,66 0,15 1,98 0,18 2,62 0,23 2,86 0,26 3,08 0, ,00 0,07 1,65 0,12 1,97 0,14 2,60 0,18 2,48 0,20 3,04 0,21 Tabelle 2. Werte für die Studentfunktion t und t n bei verschiedenen Vertrauensniveaus. n ist die Anzahl der durchgeführten Messungen Die Breite der Häufigkeitsverteilung wird bestimmt durch den Parameter s, der Standardabweichung. Je größer s desto breiter die Kurve. Im Abstand s vom Mittelwert aus gerechnet befindet sich der Wendepunkt der Kurve. Berechnet man die Fläche bis zu diesem Wert, so ergibt sich: 1 s 2 π Z x+s x s exp { } (x x)2 2 s 2 dx = 0,683 Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert im Intervall von x s bis x + s zu finden beträgt also 68.3 % für n. Gebräuchliche Intervalle sind: 1-fache Standardabweichung (x + s) bis (x s) 68,3 % 2-fache Standardabweichung (x + 2s) bis (x 2s) 95,5 % 3-fache Standardabweichung (x + 3s) bis (x 3s) 99,7 % Für eine kleine Zahl von Messwerten muss man einen Korrekturfaktor t - die Studentfunktion - einführen. Für die Standardabweichung des Mittelwerts gilt dann: x = s t n Dieser Wert ist der Konfidenzbereich auf dem Vertrauensniveau 68,3%. Wie zu erwarten ergibt sich z.b. für n und 68,3 % Vertrauensniveau t = 1 oder für n und 99,7 % Vertrauensniveau t = 3, d.h. die Korrektur verschwindet. Für kleine Zahlen und hohe Vertrauensniveaus hingegen wird die Korrektur erheblich: Für n = 2 und 99,7 % ist der Korrekturfaktor = 79 Andere Werte für t können der Tabelle 2 entnommen werden. 9

10 Für unser Quader-Beispiel ergeben sich also folgende Werte: n = 30 x = 355,62 s = 0,16 t = 1,02 für 68 % x = 0,030 für 68 % Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % liegt der wahre Wert der Rechtecklänge l zwischen 355,59mm und 355,68mm. Will man sicher gehen und setzt das Vertrauensniveau auf 99,7%, so gilt: t = 3,29 für 99,7% x = 0,096 für 99,7% Es sei hier noch betont, dass keineswegs jede zufällige Abweichung einer GAUSS schen Normalverteilung folgen muss. Ob das im konkreten Fall zutrifft kann durch geeignete Testverfahren (z.b. den χ 2 -Test) ermittelt werden, für die jedoch auf die Literatur verwiesen wird. 7. Systematische Fehler 7.1. Übersicht In den beiden letzten Kapiteln wurden statistische Abweichungen behandelt, einerseits die Abweichungen der Einzelmessung die lediglich geschätzt werden können und andererseits Abweichungen bei Mehrfachmessungen soweit sie einer GAUSS schen Normalverteilung gehorchen. Der mindestens ebenso wichtige Teil der systematischen Abweichungen folgt keiner allgemeinen Regel, was jedoch nicht heißt, dass man ihn nicht doch beikommen kann. Folgende Ansatzpunkte sind ohne Anspruch auf Vollständigkeit aufgelistet: Fehlerangaben des Herstellers für das Messgerät Toleranzklassen auf elektrischen Messinstrumenten Eichkurven mit Fehlerangaben Nichtlineare Skalen, ungenaue Beschriftungen Beeinflussung der Messung durch den Messvorgang Innenwiderstand bei Amperemetern oder Voltmetern Reibung bei Drehzahlmessern Reibung bei Kraftmessern Einflüsse von Umgebungsparametern Temperatur Luftfeuchtigkeit Alterung elektrische Felder Magnetfelder Streulicht Schwerkraft Grundsätzlich gehört jedoch viel Erfahrung zum Erkennen insbesondere der systematischen Fehler: Es gibt kein Kriterium festzustellen wann man alle Messfehler erkannt hat. 10

11 aber Durch systematische Analyse können die meisten Messfehler abgeschätzt werden. Da grundsätzlich Messwerte nur einen Aussagewert haben wenn ihre Genauigkeit und der Gültigkeitsbereich bekannt sind, macht diese prinzipiell fehlende Ausschluss-Möglichkeit unerkannter Messabweichungen physikalische Messungen zu Aussagen, die von der Erfahrung des Messenden und Auswertenden abhängen. Es ist daher gerade bei wenig experimenteller Erfahrung wesentlich, verstärkt das Augenmerk auf das Erkennen systematischer Abweichungen zu richten. Es ist eine wesentliche Aufgabe des Praktikums Erfahrung zu vermitteln bei der Bewertung von Messergebnissen Herstellerangaben In vielen Fällen liegen Angaben des Messgeräte-Herstellers vor, aus denen direkt die Genauigkeit des Messgerätes hervorgeht. Dabei sind einige wichtige Begriffe zu beachten: Die Auflösung. Dies ist die offensichtlichste Eigenschaft eines Messgerätes. Wenn auf einer digitalen Skala, z.b. einer Uhr, nur 4 Stellen angegeben sind, dann ist es schlicht nicht möglich mehr Stellen abzulesen. Diese kleinste Einheit der letzten Stelle eines digitalen Messgerätes wird auch als 1 Digit bezeichnet. Die Auflösung eines digitalen Messgerätes beträgt also im Normalfall ±1 Digit. Ein analoges Messgerät hat natürlich auch eine Auflösung, sie ergibt sich aus dem Abstand zwischen 2 Zeigerpositionen die mit dem Auge noch gut aufgelöst werden können. Die Reproduzierbarkeit. Wenn man mehrfach eine Messung unter absolut gleichen Bedingungen wiederholt, so ist dies der maximale Unterschied dieser Messungen. Es ist sozusagen der (pseudo-) statistische Anteil des systematischen Fehlers. Der statistische Beitrag des Messenden ist hier abgetrennt. Ein typisches Beispiel ist die Reibung eines Zeigerinstrumentes. Es handelt sich nicht um einen statistischen Fehler, da nicht sichergestellt ist, dass eine Wiederholung der Messung ein anderes Ergebnis liefert: Wenn man sich dem Messwert immer von der kleinen Seite nähert wird immer der kleine Wert angezeigt. Trotzdem ist dieser Fehler normalerweise nicht reproduzierbar, wenn man andere im Prinzip äquivalente Messbedingungen wählt. Die Reproduzierbarkeit ist eigentlich die wichtigste Eigenschaft eines Messgerätes. Alle anderen Abweichungen kann man durch Eichen gegen ein genaueres Messgerät eliminieren. Meist werden Messgeräte an 2 Punkten geeicht, bei Null und bei Vollausschlag. Entsprechende Fehler ergeben sich: Der Skalierungsfehler. Der wichtigste und am häufigsten abgegebene Fehler eines Messgerätes ist dessen Abweichung vom Sollwert bei Vollausschlag. Fehler des Eichnormals gehen hier ein, oder ungenau definierte Bauelemente. Dieser Fehlertyp trägt mit wachsendem Messwert proportional zur Gesamt-Abweichung bei. Entsprechend wird er meist durch eine Prozentangabe beschrieben, also ein relativer Fehler (siehe nächstes Kapitel). Der Nullpunktsfehler. Da am Nullpunkt definitionsgemäß der Messwert 0 vorliegen soll, spielt das Eichnormal keine Rolle mehr. Übrig bleibt z.b. die Temperatur- oder Alterungsdrift der Bauteile. Bei 11

12 den meisten modernen Messgeräten ist diese Abweichung deutlich kleiner als die Abweichung bei Vollausschlag. Vom Typ her ist dies ein absoluter Fehler (siehe nächstes Kapitel). Die Fehlerklasse. Diese Art der Fehlerangabe ist typisch für alte analoge Messgeräte. Klasse 1 ist äquivalent zu einem prozentualen Fehler von Vollausschlag im entsprechenden Messbereich. Klasse 1 bei 30 V Vollausschlag entspricht also einer absoluten Ungenauigkeit (siehe nächstes Kapitel) von 0,3 V in diesem Messbereich, unabhängig vom Messwert. Oft sind diese Angaben noch an eine Gebrauchslage des Gerätes gekoppelt. Die Nichtlinearität. Eichen am Nullpunkt und am Skalenendpunkt bietet natürlich noch nicht die Gewähr für geringe Abweichung dazwischen. Normalerweise berechnet sich der systematische Fehler aus Nullpunktsfehler + (Messwert Skalierungsfehler). Dies ist äquivalent zu einer linearen Näherung. Abweichungen von dieser einfachen Annahme werden als Nichtlinearitäten bezeichnet. Die Beeinflussung des Messwertes. Dieser Anteil ist naturgemäß Messgrößenspezifisch. Ein Beispiel ist der Innenwiderstand eines Voltmeters oder Amperemeters. 8. Absoluter und relativer Fehler, Stellenzahl Die Angabe von Fehlern kann auf mehrere Arten erfolgen. Die einfachste Art ist die Angabe des Fehlers als Absoluter Fehler z.b. 355, 62 ± 0, 03 mm Dabei wird einfach an den ermittelten Wert der Größe mit einem ±-Zeichen die Abweichung in der gleichen Einheit angehängt. Oft erfolgt die Angabe der Abweichung als Anteil der Größe: Relativer Fehler z.b. 355, 62 mm ± 0, 008% Die Vorteile der relativen Fehler-Angabe liegen auf der Hand: Genauigkeitsangaben als relative Größe sind sehr anschaulich, Prozentzahlen unter 0, 1% zeigen sofort kritische oder unrealistische Stellen auf. Fehlerangaben werden benennungslos. Die Fortpflanzung des relativen Fehlers erfolgt bei sehr vielen physikalischen Gesetzen extrem einfach: Er bleibt bei Produkten und Quotienten gleich (wird noch gezeigt). Der zweite und dritte Punkt machen eine relative Fehler-Angabe zwingend, um die Bedeutung eines Einzel-Fehlers für das Gesamtergebnis beurteilen zu können. In unserem Quader-Beispiel bedeutet es, dass die Messung auf wenigstens ±0, 5K genau bei der gleichen Temperatur durchgeführt werden muss bei der der (Eisen-)Maßstab geeicht wurde, sonst erhöht sich der Fehler um weitere 0,001 % durch thermische Ausdehnung. Alternativ kann man natürlich aufwendigeres Material verwenden, aber das ist meist nicht realistisch. (für Temperaturen sind relative Angaben schwierig, wegen des Nullpunktes der Celsiusskala.) In diesem Zusammenhang ist interessant, dass Präzisions-Mikrometerschrauben den Messbügel mit Plastik ummantelt haben um eine Aufheizung durch die Hand zu reduzieren. Schließlich ist es zweckmäßig den Fehler einer Messgröße auch implizit in Form von signifikanten Stellen einer Zahl anzugeben. Impliziter Fehler z.b. 355,62 mm und nicht 355,6 mm oder 355,620 mm Diese Form der Fehlerangabe sollte immer durchgeführt werden, insbesondere bei der Übernahme von Werten vom Taschenrechner, sonst setzt man sich leicht der Lächerlichkeit aus: 12

13 Errors: "Step inside, ladies and gentleman," said the museum attendant," and see the dinosaurier skeleton, which is years old." "How are you so certain of its age?" asked a visitor. "Well," he replied, "last year when I started this job it was years old." Im Praktikum gilt: Größenangaben mit zu vielen insignifikanten Stellen sind falsch Wo möglich sollen mathematische Vorsilben verwendet werden. Die Angabe 0,35562m ist gerade noch lesbar, besser wäre 35,562m (wenn der Wert wirklich so genau ist). Angaben wie 4, m für die Lichtwellenlänge hingegen sind zwar formal korrekt, aber ohne Gehirnakrobatik nicht mehr verarbeitbar. So wie man die Entfernung von München nach Hamburg weder in Lichtjahren noch in Millimetern angibt sondern in km - auch weil dann automatisch kein Problem mit insignifikanten Stellen entsteht - so sollte man Lichtwellenlängen in nm angeben 466nm. Völlig indiskutabel sind Schreibweisen wie 4,66E 7m oder 466E 9 m (Wenn Sie Ihr Textverarbeitungs-Programm nicht im Griff haben, dann schreiben Sie die Ausarbeitung mit der Hand!). Für andere Zahlen und Größen gilt das natürlich analog. 9. Vorgehen zum Aufspüren von Fehlerquellen In Kapitel 7 wurden diverse mögliche Fehlerquellen diskutiert, aber auch gesagt, dass es keine verlässliche Methode gibt um systematische Abweichungen zu detektieren. Zur Sicherstellung eines Mindeststandards soll im Praktikum folgender Algorithmus bei der Fehleranalyse jeder Einzelgröße durchlaufen werden: Systematischer Fehler: Nähern Sie den Fehler durch einen festen Anteil (Nullpunkt) und einen skalierenden Anteil (Skala). Das entspricht einer linearen Näherung Eliminieren Sie den Nullpunktsfehler durch eine Eichprozedur. Zeigt z.b. ein Messgerät konstant 0,1 V an, so ziehen Sie diesen Wert vom Messergebnis ab. Legen Sie für den Skalenfehler einen Wert fest, aus Herstellerangaben, aus der Praktikumsanleitung, durch Fragen des Betreuers, durch Schätzung. Statistischer Fehler: Reduzieren Sie den statistischen Anteil des Fehlers durch eine ausreichende Zahl von Versuchen. Bilden Sie bei nicht abhängigen Größen Mittelwerte, verwenden Sie bei korrelierten Größen eine Regressionsgerade zur Verknüpfung der Einzelmessungen. Bestimmen Sie den statistischen Fehler aus der Standardabweichung des Mittelwerts, falls Sie mehrere Messungen zur Verfügung haben. Schätzen Sie den statistischen Fehler falls das Erheben vieler Einzelmessungen zu viel Aufwand bedeutet. 13

14 10. Fehlerfortpflanzung Größtfehlerbetrachtung Bereits in dem ersten sehr simplen Beispiel in dem die Länge eines Quaders gemessen wurde zeigte sich, dass sich Messabweichungen aus einzelnen Beiträgen zusammensetzen. Man ist jedoch meist an der Gesamt-Genauigkeit einer Größe interessiert die sich mittels einer Formel aus einzelnen Mess-Größen ergibt und es stellt sich die Frage nach der Verknüpfung der einzelnen Abweichungen. Der einfachste Ansatz ist: Alle Abweichung aller beteiligten Größen tragen voll zur Gesamt-Abweichung bei und beeinflussen sich nicht gegenseitig. Rechnerisch umgesetzt wird dies indem im ersten Schritt für jede einzelne Größe eine Gesamtabweichung aus allen bekannten Abweichung durch Aufsummation gebildet wird. Im nächsten Schritt wird in der Formel aus der sich die resultierende Größe ergibt jede beteiligte Größe so eingesetzt, dass das Ergebnis maximal wird. Dieser Vorgang wird wiederholt mit dem Ziel das Ergebnis zu minimieren. Erweitern wir unser Quader-Beispiel: Statt einer Kantenlänge soll die Dichte bestimmt werden. Dazu misst man die Ausdehnung in den 3 Dimensionen und die Masse. ρ = m x y z Um die maximale Dichte zu erhalten muss man berechnen: ρ + = Die minimale Dichte ergibt sich aus ρ = m + m (x x) (y y) (z z) m m (x + x) (y + y) (z + z) Für die Abweichungen der Einzel-Größen wird dabei jeweils die Aufsummierung der Abweichungen eingesetzt (die Nummerierung entspricht der Aufzählung zu Beginn) : x = x stat1 + x stat2 + x syst3 + x syst4 Dieses Verfahren berücksichtigt weder bei der Aufsummierung noch bei der Fortpflanzung der Abweichung den statistischen Zusammenhang der einzelnen Beiträge wie er z.b. in der GAUSS schen Normalverteilung zum Ausdruck kommt. Es liefert daher im Allgemeinen zu große Werte. Darüber hinaus ergeben sich technische Probleme bei der Berechnung des größten oder kleinsten Wertes wenn z.b. die entsprechende Größe in einer Summe sowohl im Zähler als auch im Nenner steht. Es ist dann unklar ob ein Minus oder ein Plus-Zeichen den kleinsten bzw. größten Wert liefert. Dieses Verfahren ist daher nur für Notfälle geeignet, liefert jedoch oft eine brauchbare Abschätzung Fortpflanzung der Abweichungen mittels partieller Ableitungen Im folgenden wird angenommen eine gesuchte physikalische Größe g werde nicht direkt gemessen, sondern über einen gesetzmäßigen Zusammenhang aus mehreren direkt gemessenen Größen x, y, z,... berechnet: g = g(x,y,z) 14

15 Weiter wird angenommen die Messgrößen 1 x, y und z werden mittels normalverteilter Messserien bestimmt. Dann kann den Mittelwert g für die gesuchte Größe g bestimmt werden, indem die einzelnen Mittelwerte in die Funktion g einsetzt werden: g = g(x,y,z) Weiter sollen die Messgrößen x, y und z voneinander statistisch unabhängig sein. Dann kann die Gesamt-Abweichung aus folgender Formel bestimmt werden: g = x 2 ( ) g 2 + y 2 x ( ) g 2 + z 2 y ( ) g 2 z Obige Formel ist unter der Bezeichnung GAUSS sche Fehlerfortpflanzung für den Spezialfall der Standardabweichung bekannt. Die Ausdrücke ( g/ x),( g/ y) und ( g/ z) stehen für die partiellen Ableitungen der Funktion g(x, y, z), abgeleitet nach der jeweils im Nenner stehenden Variablen. Partielles Ableiten unterscheidet sich von normalem Ableiten lediglich dadurch, dass die abzuleitende Größe mehrere Variablen hat nach denen abgeleitet werden kann und jeweils eine dieser Variablen aktuell herausgegriffen wird. Diese Quadrate der Ableitungen bilden die Wichtungsfaktoren vor den einzelnen Messfehlern. Damit sie angewandt werden können müssen für alle noch vorkommenden Variablen nach dem Ableiten die Werte einsetzen werden, bei denen der Vorgang stattgefunden hat. In den meisten Fällen wird dies der zugehörige Mittelwert der Größe sein. Der resultierende Wichtungsfaktor beschreibt den Einfluss der Einzel-Abweichung auf die Gesamt-Abweichung. Betrachten wir wieder unser Quader-Beispiel bei dem wir die Dichte bestimmen wollen: Die partielle Ableitung nach der Masse m lautet: ρ m = 1 x y z Die partielle Ableitung nach x lautet (die anderen Dimensionen entsprechend): ρ x = 1 x m x y z Damit ergibt sich für die Unsicherheit der Dichte: ρ = x 2 ( 1 x ) m 2 ( 1 + y 2 x y z y ) m 2 ( 1 + z 2 x y z z ) m 2 ( ) m 2 + m 2 x y z x y z In dieser Gleichung muss jetzt jeweils durch Einsetzen der Mittelwerte in die partiellen Ableitungen der quadratische Koeffizient zu den einzelnen Messabweichungen ermittelt werden. Der Rest ist Fußarbeit. Im Folgenden wird noch eine elegantere Methode zur Lösung des Problems gezeigt werden. Wichtige Konsequenzen dieses Ansatzes: Zur Minimierung des Messaufwandes ist sollte man bei Verbesserungen an der Stelle ansetzen an der das Produkt aus Abweichung und Wichtungsfaktor am größten ist. Die Wichtungen sind nicht dimensionslos 1 Wegen der besseren Übersichtlichkeit beschränken wir uns im folgenden auf nur drei Größen x, y und z 15

16 Dieser letzte Punkt erscheint nebensächlich, hat jedoch massive Konsequenzen: Als Beispiel sei der Einfluss der Winkelabweichung eines Drehtellers auf eine Größe gegeben. Dabei trete in der Gleichung eine Winkelfunktion sin(α) auf. Leitet man diese Funktion nach a ab, so ergibt sich cos(α). Der Messwert habe eine Unsicherheit von α = 0,1. Setzt man jetzt scheinbar völlig konsistent bei der Berechnung des Wichtungsfaktors und der Abweichung die Werte jeweils in Grad ein, so ist das Ergebnis trotzdem um den Faktor 57 falsch! Der Grund, die Bildung der Ableitung erfolgte in rad! Hätte man in Grad rechnen wollen so wäre es notwendig gewesen bereits beim Ableiten sin(α) zu ersetzen durch sin ( 2π 360 r), wobei r die Repräsentation von α im Winkelmaß sei. Entsprechend hätte der Korrekturfaktor 360 2π einen Beitrag beim Nachdifferenzieren geliefert. Obige Fortpflanzung der Abweichung ersetzt die Größtfehlerbetrachtung in zweierlei Hinsicht: Man spart das primitive und manchmal nicht durchführbare Einsetzen in die Gleichung durch Berechnung einer Wichtung durch partielles Ableiten. Dies ist in allen Anwendungsfällen sinnvoll. Man ersetzt das oft überbewertende lineare Addieren durch ein quadratisches Addieren, das die GAUSS sche Normalverteilung berücksichtigt. Falls diese statistische Normalverteilung nicht vorliegt, muss man die Wichtung kombinieren mit einer linearen Addition Wichtige Spezialfälle bei der Fortpflanzung der Abweichungen In der Praxis kann sich die Ermittlung der partiellen Ableitungen recht aufwendig gestalten. Vereinfachungen ergeben sich wenn der Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe g und den direkt gemessenen Größen durch bestimmte einfache Funktionen gegeben ist: Die gesuchte Größe ist die Summe oder die Differenz der Messgrößen: g = ±x ± y ± z Dann sind die partiellen Ableitungen +1 oder 1, also gilt: g = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 Alle Wichtungsfaktoren sind hier 1. Die Gesamtabweichung ist die quadratische Summe der absoluten Einzelabweichungen. Ein wichtiges Beispiel: Auf einer Skala liest man an 2 Positionen den Messwert ab und ist an der Differenz interessiert: g(x) = x 2 x 1 Beide Messwerte haben die gleiche Genauigkeit x. Dann gilt g = x 2 + x 2 = 2 x. Die gesuchte Größe ist das Produkt oder der Quotient der Messgrößen: g = x y z Mit etwas Rechenakrobatik kann man zeigen: g g = ( x ) 2 + x ( ) y 2 + y ( ) z 2 z Alle Wichtungsfaktoren sind hier g x, g y Die Gesamtabweichung ist die quadratische Summe der relativen Einzelabweichungen. 16

17 Wieder die Dichte in unserem Quader-Beispiel: Wir nehmen an, dass jede Kante des Quaders durch Ablesen eines beliebig aufgelegten Maßstabs gemessen wird. Dann kann man dem absoluten Messfehler einer Kante wie in dem letzten Beispiel aus den beiden Einzelmessungen bei Position 1 und 2 mit gleicher Messabweichung zusammensetzen: x = 2 x 1. Die relative Messabweichung einer Kante ergibt sich aus den beiden Messungen zu: x x = 2 x 1 x 2 x 1 Die anderen Kanten entsprechend. Damit ergibt sich die Gesamtabweichung der Dichte: ( ) ρ x 2 ( ) y 2 ( ) z 2 ( ) m 2 ρ = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 m Nehmen wir an die weiteren Kanten der Quader wären jeweils nur 1/2 bzw. 1/3 so lang, der relative Fehler also entsprechend doppelt oder dreifach so groß: x x = 0,00008, y y = 0,00016, z z = 0,00024 Dann ergibt sich für den Anteil der Kantenmessung aus obigem Beispiel: ρ Volumen ρ = 2 0, , , = 0,00042 Das entspricht einem Fehler des Volumens von 0,04%. Dazu kommt jetzt der Fehler der Massenbestimmung. Unser Goldbarren hat ein Volumen von ca. 7,496 l. Die Dichte von Gold ist 19,320 kg/dm 3 (die von Wolfram übrigens 19,350). Der Klotz hat also stolze 144,8 kg Masse. Damit scheidet eine Analysewaage eindeutig aus. Die Frage lautet: Wie genau muss unsere Waage sein um zwischen Gold und Wolfram unterscheiden zu können? Wir benötigen eine Genauigkeit der Dichte von 1 19,350 19,320 = 0,0016 wenn wir annehmen der ganze Quader bestünde aus Gold oder Wolfram. Also m m = ( ρ ρ ) 2 ( ) 2 V = 0, , = 0,0015 V Eine Waage die deutlich genauer als 0,15% misst bei 150 kg Traglast? Das scheint machbar, es entspricht 100 g Absolut-Genauigkeit. Eine normale Personenwaage, selbst eine geeichte, reicht allerdings dafür schon nicht mehr. Nimmt man hingegen an, der Fälscher hätte nur 10% des Goldes durch Wolfram ersetzt, so müsste die Waage auf 10 g genau sein. Gelänge das nicht, würde der Verlust von 15 kg Gold mit etwa zu Buche schlagen (Der Goldpreis liegt bei typisch 10 Euro/g, der von Wolfram bei 7 Euro/kg). Aus dem obigen Beispiel kann man erkennen, dass es nichts bringt eine der Größen sehr genau zu messen und die anderen nicht. Wir hatten jeweils 30 Messungen aller Kanten durchgeführt und das bei weniger als ±0.5 K Temperaturdifferenz, eine fast unlösbare Aufgabe. Wenn wir dem keine entsprechend genaue Waage an die Seite stellen können war die ganze Mühe umsonst. Weiter kann man erkennen: Soweit irgend möglich, ist es zweckmäßig die Fortpflanzung der Abweichungen in Einzelschritte aufzuspalten, die sich durch Addition der absoluten Fehler und durch Addition der relativen Fehler jeweils einfach durchführen lassen. 17

18 Die gesuchte Größe ist ein Produkt von Potenzen der Messgrößen: g = x a y b z c wobei die a, b, c positiv oder negativ sein können. ( ) g x 2 ( ) y 2 ( ) z 2 g = a 2 + b x 2 + c y 2 z Die Gesamtabweichung ist dann die quadratische Summe der relativen Einzelabweichungen mit dem Quadrat der Exponenten gewichtet. 11. Verknüpfung von statistischen und systematischen Abweichungen Bisher wurden in den meisten Beispielen statistische Abweichungen betrachtet. Die systematischen Abweichung spielen hingegen oft die wesentlichere Rolle. Prinzipiell ist es jedoch notwendig zunächst beide Anteile zu bestimmen, um dann das weitere Vorgehen danach auszurichten. Systematische Abweichungen entziehen sich naturgemäß einer statistischen Behandlung. So kann man insbesondere nicht von der Annahme ausgehen, dass es unwahrscheinlich ist, alle Abweichungen der beteiligten Einzelgrößen seien gleichzeitig extremal. Wieder unser Quader-Beispiel: Eine Veränderung der Umgebungstemperatur bei der Messung zieht eine Abweichung aller Längenmessungen gemeinsam nach sich, da der Maßstab natürlich bei jeder Messung falsch geeicht ist. Man muss also in diesem Fall davon ausgehen, dass die Abweichungen nicht quadratisch addiert werden dürfen, sondern linear addiert werden müssen. Der Einfluss jeder Einzelabweichung muss voll auf die Gesamt- Abweichung durchschlagen. Im Fall einer systematischen Abweichung der Längenmessung durch einen nicht gleichmäßig geteilten Maßstab erscheint es jedoch sinnvoll anzunehmen, dass je nach Position die Abweichung unterschiedlich ist. Entsprechend kann man auch davon ausgehen, dass nicht gerade alle Abweichungen zum gleichen Zeitpunkt in die gleiche Richtung gehen. Hier ist also eine quadratische Addition sinnvoll. Es hängt also vom Einzelfall ab welche Methode der Fortpflanzung bei einer systematischen Abweichung angewandt werden muss. Die lineare Addition bei potentiell statistisch gekoppelten Vorgängen oder die quadratische Addition bei definitiv statistisch unabhängigen Vorgängen. LineareAddition g = x + y + z Quadratische Addition g = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 Im Einzelfall kann es sehr schwer sein zu entscheiden welche Methode die angemessene ist. Die gleiche Problematik gilt auch für die Verknüpfung von systematischer und statistischer Abweichung. Die Frage Ist die statistische Abweichung von der systematischen Abweichung statistisch unabhängig ist letztlich nicht beantwortbar. Entsprechend werden in der Literatur auch beide Meinungen vertreten. Hier im Praktikum soll aus Gründen der Vereinfachung folgender Algorithmus gelten: 18

19 1. Bestimmung der statistischen Abweichung aus allen Einzel-Größen mittels quadratischer Addition 2. Bestimmung der systematischen Abweichungen aus allen Einzel-Größen mittels linearer Addition 3. Verknüpfung der statistischen und der systematischen Abweichung mittels linearer Addition So ist es einerseits möglich zu entscheiden ob eine Genauigkeitssteigerung durch Mehrfachmessungen oder Experimentverbesserung einen Sinn ergibt, andererseits werden Fehler vermieden, die auftreten, wenn gemischte Abweichungen anschließend in Mehrfachmessungen fortgepflanzt werden. In der folgenden grafischen Zusammenstellung des Algorithmus ist die Ermittelung der Einzelfehler x, y, z getrennt nach statistischem und systematischem Anteil wie in Kapitel 9 vorausgesetzt, einschließlich der anschließenden Zusammenfassung z.b. nach Kapitel Verknüpfung mehrerer gleicher Größen mit unterschiedlichen Abweichungen, der gewichtete Mittelwert Hat man für eine Messgröße mehrere Werte zur Verfügung so scheint dies zunächst unproblematisch, es ergibt sich die Möglichkeit der Mittelwertbildung, die egal welche Abweichung dominiert sicher ein genaueres Ergebnis zu liefern scheint als jeder der Einzelwerte. Die einfache Mittelwertbildung setzt jedoch voraus, dass jeder der Messwerte die gleiche Genauigkeit aufweist. Angenommen eine Person misst eine Länge einmal und eine weitere Person führt eine Messreihe mit 100 Messungen durch. Bildet man in diesem Fall den einfachen Mittelwert, so weicht das Ergebnis mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit weiter vom wahren Wert ab als der Wert der 100-fachen Mehrfachmessung. Es gilt also die Beiträge bei der Mittelwertbildung geeignet zu wichten. Dazu dient der gewichtete Mittelwert: x = n i=1 w i x i n i=1 w i 19

20 mit w i = 1 ( x i ) 2 also dem Abweichungsquadrat. Für die Genauigkeit des gewichteten Mittelwertes gilt: x = 1 n i=1 w i Sind alle Wichtungsfaktoren w i gleich, so geht der gewichtete Mittelwert wieder in den normalen Mittelwert über und dessen Abweichung sinkt wieder mit der Wurzel der Zahl der Messungen. Man kann den gewichteten Mittelwert streng herleiten für normalverteilte Abweichungen, er wird jedoch mangels Alternativen auch sinnvoll auf andere statistische und systematische Abweichungen angewandt. Vor einer Anwendung ist jedoch zu prüfen, ob die unterschiedlichen Messwerte mit den zugehörigen Konfidenzbereichen überlappen, ansonsten liegt eine nicht erkannte zusätzliche Abweichung vor, z.b. ein grober Fehler. Erneut unser Quader- Beispiel. Wir zerlegen unsere 30 Messwerte in 2 Gruppen, Gruppe A von 1-20 und Gruppe B von Damit ergeben sich folgende Werte: Gemeinsam A B A+B Zahl der Messwerte Mittelwert [mm] 355, , , ,613 Standardabweichung [mm] 0,16 0,18 0,11 Konfidenzbereich [mm] 0,030 0,042 0,035 0,027 Hier zeigt sich dass die Aussagen statistischer Natur sind. Die Spalte "Gemeinsam" ist die bekannte Auswertung, die Spalte "A+B" ist auf dem Umweg der Zerlegung der Messwerte in zwei Gruppen entstanden. Beide Spalten sollten das gleiche Ergebnis liefern wenn es sich um normalverteilte Messwerte handelt. Durch die Zerlegung hat sich jedoch der Mittelwert um 0,007 mm verkleinert und gleichzeitig ist der Konfidenzbereich geschrumpft. Offensichtlich sind die gebildeten Untergruppen aufgrund der kleinen Fallzahl nicht mehr hinreichend gut normalverteilt. Dies ist bereits in der Standardabweichung der Gruppe A sichtbar, die deutlich "zu klein" ist. Man sieht jedoch auch, dass dies die Gesamtaussage nicht wirklich gefährdet. Alle Mittelwerte liegen in den entsprechenden Konfidenzbereichen. 13. Korrelierte Messwerte Grafische Darstellung, Ausgleichsgerade Alle bisherigen Betrachtung gehen von Messgrößen aus, die jeweils unabhängig voneinander aufgenommen werden. Die Verknüpfung geschieht im nächsten Schritt bei der Auswertung. Alternativ kann der vermutete formelmäßige Zusammenhang jedoch auch in die Messung integriert werden. Bei der Bestimmung der Dichte eines Körpers bedeutet dies, dass man nicht nur bei einem Volumen misst, sondern die Massen von verschiedenen Volumina bestimmt und jeweils den resultierenden Quotienten vergleicht. Der Vorteil dieser Methode gegenüber einer punktuellen Messung liegt in einer Überprüfung des postulierten formelmäßigen Zusammenhangs. Bestimmte Typen von Fehlern äußern sich bei dieser Methode auch in spezifischen Abweichungen, wodurch Aussagen über die Ursachen möglich werden. Ein weiterer Vorteil der Methode ist die Möglichkeit der grafischen Darstellung der Gesetzmäßigkeit die erheblich anschaulicher ist als reine Zahlen. 20