Operations Research. Prof. Jürgen Sauer. Operations Research

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1 Prof. Jürge Sauer Operatios Research Vorlesug im Sommer-Semester 005

2 Ihaltsverzeichis. Merkmale des Operatios Research Defiitio Problemstelluge Problemlösuge Lieare Plaugsrechug Eiführug Bestimme des Problembereichs Sid Etscheiduge Glücksache? Vom Zufall zur Methode Vo der Methode zum praktische Verfahre..... Beispiele für Optimierugsprobleme Produktiosprobleme Mischugsprobleme Verschittprobleme Verteilugsprobleme Eisatzmöglichkeite vo OR-Modelle im DV-Maagemet Nichtlieare ud lieare Optimierugsprobleme Nichtlieare, lieare Optimierugsprobleme ud Extremalwert-probleme Eiführede Beispiele Optimale Lagerauffüllug vor Preiserhöhuge Die klassische Bestellmegeformel (Losgrößeformel) Lagerhaltugsprobleme Abgrezug der Extremalwertprobleme zur lieare Optimierug Grafische Lösugsverfahre Normalforme der lieare Plaugsrechug mit Variable Die Normalform der Maximumaufgabe Normalforme der Miimumaufgabe Die Lösugsmege für Probleme mit Variable Probleme mit mehr als eier Lösug Probleme ohe optimale Lösug Probleme mit geau eier Lösug Charakterisierug der Lösugsmege Basislösuge ud zulässige Basislösuge Die optimale Lösug Soderfälle Die gazzahlige Plaugsrechug Die Parametrische Plaugsrechug Das Simplexverfahre Eiführug: Ei Beispiel aus der Produktio Das Simplexverfahre für die Normalform der Maximumaufgabe Das mathematische Modell für die Normalform mit Variable Die Basistrasformatio Zulässige Basislösuge Der Nullpukt Berechug zulässiger Basislösuge Eckpukte Das Maximum Bestimme der optimale Lösug Das Dualitätsproblem Ei eiführedes Beispiel Das Dualitätstheorem Das duale lieare Optimierugsprobleme Das Optimalitätskriterium Der Dualitätssatz Awedug des Simplexverfahres Das verkürzte Simplex-Tableau Ei eiführedes Beispiel... 68

3 .4.. Allgemeie Darstellug Steepest-Uit Ascet Die "Greatest Chage"-Versio Soderfälle Etartug Ubegrezte Lösuge Das Simplexverfahre i Java Simplex-Optimierug mit dem Excel-Solver ">="-Restiktioe Die duale Simplex-Methode Das zweidimesioale Verschittproblem Das eidimesioale Verschittproblem Gleichuge als Restriktioe Zusammefassug: Ablauf des Simplex-Verfahres Uter- ud Obergreze vo Variable Vereibaruge Utergreze vo eizele Variable x j >= l j Obergreze vo eizele Variable Zweipersoe-Nullsummespiele Grudlage Matrixspiele Wert eies Spiels ud optimale Strategie Ermittlug des Sattelpukts für Matrixspiele Gemischte Strategie Bestimme des Spielwerts bei gemischter Erweiterug Lösug mit dem Simplex-Verfahre Grudlage Beispiele Graphe ud Graphealgorithme Theorie ud praktische Bedeutug Eiführug Awedugsgebiete aus dem Bereich des OR Defiitio ud Darstellug vo Graphe Darstellug i Recherprogramme Grudlegede Algorithme Die Ermittlug kürzester bzw. lägster Wege ach dem Algorithmus vo Ford Netzplatechik Grudlage CPM MPM Flüsse i Trasportetze Das Problem des maximale Flusses (Algorithmus vo Ford / Fulkerso) Kostemiimaler Gesamtfluß Eiführug Trasportprobleme Das Umladeproblem Zuordugsprobleme Das Travellig-Salesma-Problem Das Chiese Postma s Problem Warteschlagemodelle Stochastische Prozesse Eiführede Beispiele Wahrscheilichkeitstheoretische Grudlage Zufallsvariable Mehrdimesioale Zufallsvariable, Abhägigkeite zwische mehrere Zufallsvariable Stochastische Prozesse Markov-Prozesse Elemetare Wartesysteme Beschreibug Leistugsgröße Charakterisierug (Kurzschreibweise) vo Wartesysteme

4 5.3 Bedieugssysteme Markov'sche Bedieugssysteme Statioäre Verteiluge M/M/m-Systeme Systeme mit beschräktem Zugag Wartezeiteverteiluge Allgemeie Bedieugssysteme Warteschlageetze Grudlage Produktformlösuge Jackso-Theorem für offee Netze Gordo/Newell-Theorem für geschlossee Netze Simulatio Defiitio ud Klassifizierug vo Simulatiosmethode Defiitio Klassifizierug Simulatiosstudie Fallbeispiel Mauelle Simulatio Allgemeie Vorgehesweise bei eier Simulatiosstudie Werkzeuge der Simulatio Modelltype der digitale Simulatio Determiierte Modelle Stochastische Modelle Beschreibug ud Vorgehesweise Stochastische Methode i der Simulatio diskreter Systeme Die Erzeugug vo Zufallszahle Verteiluge Mathematische Grudlage Gleichverteilug Expoetialverteilug ud verwadte Verteiluge Normalverteilug ud verwadte Verteiluge Allgemeie Methode zur Erzeugug vo Zufallszahle Diskrete Simulatio Modellierug ud Sichtweise Kompoete ereigisorietierter Simulatioe Typische Modellklasse Bedieugs-/ Wartesysteme Lagerhaltugssysteme

5 Empfohlee Literatur Churchma, C.W. / Ackoff, R.L. / Aroff, E.L.: Operatios Research, Oldebourg, Wie ud Müche, 964 Desbazeille, G.: Uterehmesforschug, Stuttgart, 970 Domschke, W. / Drexl, A.: Operatios Research, Spriger, Berli..., 990 Müller-Merbach, H.: Operatios Research, 3. Auflage, Müche, 973 Wille, H. / Gewald, K. / Weber, H.D.: Netzplatechik, Müchem Wie 966 Grams, Timm: Simulatio, Maheim, Leipzig, Wie, Zürich 99 Pflug, Georg: Stochastische Modelle i der Iformatik, Stuttgart 986 Bolch, Guter: Leistugsbewertug vo Rechesysteme, Stuttgart 989 5

6 . Merkmale des Operatios Research. Defiitio Operatios Research ist ei agloamerikaischer Begriff. Syoym ist hierzu der deutsche Begiff: Optimalplaug. Eie Optimalplaug besitzt folgede Eigeschafte: () Vorbereitug optimaler Etscheiduge () Verwedug mathematischer Modelle zur Optimierug. Problemstelluge Allgemei sid Gegestad vo OR-Utersuchuge: Probleme der wirtschaftliche, gesellschaftliche Praxis, die sich durch mathematische Modelle beschreibe lasse. Solche Probleme köe sei: () Zuteilugsprobleme Eie vorgegebee Leistug ist durch de Eisatz beschräkter Mittel auf wirtschaftliche Weise zu erziele bzw. mit gegebee Mittel ist ei maximaler Ertrag zu erziele. Am häufigste zur Lösug vo Zuteilugsprobleme verwedete mathematische Verfahre: Lieare Plaugsrechug (lieare Optimierug, lieare Programmierug) () Kokurrezprobleme Etscheiduge des eie Parters werde durch Etscheiduge des adere Parters beeiflußt. Kokurrezprobleme werde mit Hilfe vo Spiele (z.b. Zweipersoe- Nullsummespiele ) beschriebe, d.h. charakterisiert durch eie bestimmte Azahl vo Spieler, Spielregel, Gewi ud Verlust. Das grudlegede mathematische Verfahre ist i der Spieltheorie beschriebe. (3) Lagerhaltugsprobleme I diese Probleme sid die Koste der Lagerug abzuwäge gege Auftragskoste bzw. Bestellkoste ud Koste, die durch verzögerte Lieferug wege Erschöpfug des Lagerbestads etstehe. Mathematische Hilfsmittel sid hier: Gleichugssysteme ud Verfahre der lieare ud dyamische Plaugsrechug. Vgl. Kap.3 6

7 (4) Wartezeitprobleme Persoe ud Güter werde durch (eie oder mehrere) Stelle abgefertigt. Vo Ausahmefälle abgesehe, müsse dabei zu bedieede Eiheite oder Bedieugsstelle warte. Es etstehe Koste. Die Summe dieser Koste soll eie möglichst gerige Wert aehme. Mathematische Verfahre zur Behadlug derartiger Probleme stelle zur Verfügug:. Warteschlagetheorie, z.b. - zur Bestimmug der Azahl der Bedieugsstelle - zur Festlegug der Zeitpukte, zu dee die abzufertigede Eiheite voraussichtlich eitreffe. Optimale Reihefolge Optimale Bestimmug der Reihefolge i der bereitstehede Eiheite zur Bedieug heragezoge werde. Die Zahl der Bedieugsstelle liegt hier fest, die Reihefolge ist dagege beeiflußbar. Bsp.: Ablaufplaug für Produktserie über eie Reihe vo Maschie mit dem Ziel eie miimale Gesamtlaufzeit zu erreiche. Dazu verwadte Probleme: - Das Abstimme der eizele Arbeitsgäge a eiem Motagebad mit dem Ziel eie miimale Gesamtlaufzeit zu erreiche - Eie Route für eie Reihe vo Orte so festlege, daß die zurückgelegte Etferug ei Miimum wird. (5) Ersatzprobleme. Die Leistugsfähigkeit der Eirichtuge immt allmählich ab. Es ist der optimale Eisatzpukt zu bestimme durch Miimiere der Koste für eie eue Eirichtug bzw. der Koste zur Erhaltug der Leistugsfähigkeit der alte Alage.. Die Eirichtuge falle plötzlich vollstädig aus. Hier ist festzustelle: Welche Stücke sid zu ersetze? (z.b. alle außer i der letzte Woche eigesetzte Stücke). Wie oft solle diese Eirichtuge ersetzt werde? Die Frage werde mit Hilfe des folgede Etscheidugskriteriums beatwortet: - Koste, die durch die Eirichtug etstehe - Koste, die durch de Ausfall etstehe 7

8 .3 Problemlösuge Mit Hilfe eies Algorithmus wird das mathematische Modell uter Verwedug der Date gelöst. OR im weiteste Si beschäftigt sich mit Modellbildug ud Lösugsfidug (Etwicklug ud / oder Awedug vo Algorithme) sowie Methode zur Dateermittlug. Modelle spiele im OR eie zetrale Rolle. Ei Modell ist ei vereifachtes Abbild eies reale Systems oder Problems. OR beutzt im wesetliche Etscheidugsbzw. Optimierugs- sowie Simultaiosmodelle. Ei Etscheidugs- bzw. Optimierugsmodell ist eie (formale) Darstellug eies Etscheidugs- oder Plaugsproblems, das i seier eifachste Form midestes eie Alterativmege ud eie bewertede Zielfuktio ethält. Es wird aufgestellt, um mit geeigete Verfahre optimale ud suboptimale Lösugsvorschläge ermittel zu köe. Ei Optimierugsmodell läßt sich folgedermaße beschreibe: Maximiere (oder Miimiere) z = G(x r ) uter de Nebebediguge f i r ( x) = 0 Dabei sid: für i =,,...,m x r ei Variablevektor mit Kompoete 3 G(x) r eie Zielfuktio. Häfig sid aber die uter. agegebee Probleme so komplex, daß zu de mathematische Modelle keie bzw. ur sehr komplizierte, direkte aalytische Lösugsmethode vorliege. I solche Fälle setzt ma auf Simulatiosverfahre. Daruter wird das zielgerichtete Experimetiere a Modelle, die der Wirklichkeit achgebildet sid verstade. Durch die Simulatio, d.h. die Bearbeitug vo Modelle bei zielgerichteter Veräderug der Eifllußgröße, solle Rückschlüsse auf das reale System möglich werde. Simulatio als Methode des OR wird da agewadt, we sich das Problem icht durch ei mathematisches Modell beschreibe läßt oder we es kei aalytisches Lösugsverfahre gibt oder we ei solches eie zu hohe Recheaufwad erforder würde. Zielsetzug der Simulatio ist das Bestimme sog. Suboptima, z.b. die optimale Bestellmege, optimale Ersatzzeitpukte, u. ä. Häufig werde lediglich subboptimale Lösuge erreicht, da die Modelle ur Teilzusammehäge realer Systeme achbilde. Simulatioe gehöre somit zu de heuristische Verfahre 4. System vo m Gleichuge ud / oder Ugleichuge 3 Alle im Vektor x r zusammegefaßte Variable sid i der Regel ichtegative reelle bzw. ichtegative gazzahlige bzw. biäre Werte. 4 Verfahre zur Lösug komplexer Systeme oder Etscheidugsaufgabe. Werde vor allem für solche Optimierugsaufgabe agewadt, bei dee exakte Lösuge mit vertretbarem Recheaufwad icht möglich sid. 8

9 . Lieare Plaugsrechug. Eiführug.. Bestimme des Problembereichs... Sid Etscheiduge Glücksache? OR oder Optimalplaug bedeute das Vorbereite optimaler Etscheiduge. Etscheiduge sid aber häufig vo zufällige Ereigisse abhägig, d.h. "Etscheiduge sid Glücksache". ) Gegebe ist das folgede Problem: Aus eiem bestimmte Kotiget a Rohmaterial köe Erzeugisse (Produkte) hergestellt werde. Der Stückgewi des eie Produkts (Produkt ) ist doppelt so hoch wie der Stückgewi des adere Produkts (Produkt ). Die aus dem gegebee Rohmaterial mögliche Produktio ist i jedem Fall gaz absetzbar. Wieviel ist vo beide Produkte zu fertige, we ei optimaler Gewi erreicht werde soll? Dispositiosregel (): Es ist das Produkt zu fertige, das de höchste Gewi abwirft. Das bedeutet: Nur das Produkt ist zu fertige. Ist diese Etscheidug richtig? Sie ka u.u. falsch sei. ) Das vorhadee Rohmaterialkotiget ist: Rohmaterial : 6t Rohmaterial : 0t Rohmaterial 3: 6t Davo wird für die Fertigug je eies Stücks beötigt: Produkt : t Rohmaterial t Rohmaterial t Rohmaterial 3 Produkt : t Rohmaterial t Rohmaterial 3t Rohmaterial 3 Fertigt ma 5 Stück vo Produkt, da bleibe och übrig: Rohmaterial : t Rohmaterial : 5t Rohmaterial 3: t Diese Rohmaterialie reiche zur Fertigug vo Produkt icht mehr aus, wohl aber zur Herstellug eies Stücks vo Produkt. Dispositiosregel () ist zu diesem spezielle Fall falsch. Dispositiosregel (): Es wird soviel wie möglich vo dem Produkt gefertigt, das de höchste Gewi abwirft. Vom etwa übrig gebliebeem Rohmaterial wird soviel wie möglich vom adere Produkt erzeugt. Auch diese Regel ist icht allgemeigültig. 9

10 3) Zur Fertigug eies Produkts A bzw. B braucht ma Produkt A: t Rohmaterial a t Rohmaterial b t Rohmaterial c Produkt B: 4t Rohmaterial a 4t Rohmaterial b 4t Rohmaterial c Der Gewi für ei Stück vo Produkt B ist wieder doppelt so groß wie für ei Stück vo Produkt A (z.b DM gegeüber 00.- DM). Nach Dispositiosregel () ist der Gesamtgewi = DM. Es köte ei Höchstgewi vo DM erreicht werde, we 6 Stück vo Produkt A hergestellt werde. Dispositiosregel (3): Fertigug des Produkts, das de iedrigere Stückgewi brigt. Offesichtlich ist es Glücksache, eie Dispositiosregel zu fide, die zum optima-le Ergebis führt.... Vom Zufall zur Methode Eie Methode i jedem Fall eie optimale Dispositiosregel zu fide, besteht aus folgede Schritte: () Stelle systematisch sämtliche Möglichkeite (der Fertigug vo Produkte) auf uter Berücksichtigug vo. Materialaforderuge. Beschräkug der Materialkapazität () Reche für jede Möglichkeit de Gewi aus (3) Wähle die, oder, we es mehrere gibt, eie optimale (Fertigugs-) Kombiatio aus. Awedug auf das gegebee Problem () systematische Zusammestellug der Möglichkeite ) Möglichkeite, die die Rohmaterialkapazität zur Fertigug bietet. ) Möglichkeite, die die Rohmaterialkapazität zur Fertigug bietet. 3) Möglichkeite, die die Rohmaterialkapazität 3 zur Fertigug bietet. () Bestimme des Gewis für die 5 zulässige (Fertigugs-)Kombiatioe. Aahme: Gewi für ei Stück des Produkts... GE Gewi für ei Stück des Produkts... GE 0

11 Stückzahl Produkt 0 ) 5 3) ) Stückzahl Produkt (3) optimale Kombiatio Optimale Lösug: 5 Stück Produkt Stück Produkt Gewi GE Zusammefassug: Ei Verfahre wurde gefude, das jedes beliebige Zahlebeispiel mit zu fertigede Produkte ud beliebig viele Rohmaterialie systematisch zu eier gewioptimale Lösug führt, falls es eie solche Lösug gibt....3 Vo der Methode zum praktische Verfahre Ubefriediged a dem bisher etwickelte, methodisch eiwadfreie Verfahre ist:. Das Verfahre ist icht mehr i dieser Form durchführbar, we mehr als zu fertigede Produkte behadelt werde müsse.. Auch bei Produkte ka die Prozedur, die ach de 3 Schritte abläuft, sehr lagwierig sei, z.b. da, we die Zahl der grudsätzlich mögliche Fertigugskombiatioe sehr groß ist. Wie muß ei Verfahre beschaffe sei, das diese beide Schwachpukte vermeidet, deoch systematisch i jedem Fall eie optimale Dispositiosregel bestimmt? Dazu sid 3 Frage zu kläre:. Wie stellt ma das Problem formelmäßig dar? (Voraussetzug für die Lösug durch eie formale Recheprozeß ). Gibt es eie Recheprozeß, der immer, auch bei beliebig viele Produkte, systematisch zu eier optimale Lösug führt? 3. Gibt es eie solche Recheprozeß, der mit möglichst weige Recheschritte auskommt? Die Klärug der uter. ud 3. ausgeführte Frage erfordert umfagreiche mathematische Beweisverfahre.

12 Ergebis dieser mathematische Utersuchuge: Es gibt tatsächlich eie Recheprozeß, der immer zum Ziel führt. Dazu brauche ur die Pukte eies Simplex für die Berechug des Optimums heragezoge werde. Eie optimale Lösug liegt i dem Pukt eies Simplex. Das auf diese Weise agedeutete Recheverfahre heißt Simplexverfahre. Die Atwort auf Frage zeigt die folgede mathematische Formulierug des Problems (() ud ()): Mögliche Stückzahl des Produkts : x Mögliche Stückzahl des Produkts : x Allgemei gilt: x >= 0, x >= 0 Die grafische Darstellug läßt sich da folgedermaße beschreibe: x + x <= 6 x + x <= 0 x + 3x <= 6 Gewi: Z = x + x Wähle aus de mögliche Lösuge des Systems vo Ugleichuge die heraus, die de Wert der Zielfuktio Z zu eiem Maximum macht. Das Auswähle erfolgt ach eiem spezielle Recheformalismus, dem (bereits erwähte) Simplex- Verfahre... Beispiele für Optimierugsprobleme... Produktiosprobleme ) vgl. Bsp. zu.. ) Ei Uterehme erstellt Produkte P ud P. Für eie Produktioszyklus sid folgede Bediguge bekat: a) I das Produkt P geht je Megeeiheit (ME) ei Rohstoff R mit ME ei. Dieser Rohstoff wird als Abfallprodukt mit ME je hergstellter ME vo P frei. Aus der vergagee Produktiosperiode stehe och 4 ME vo R zur Verfügug. Die Produktio vo P darf die gesamte verfügbare Mege vo R icht überschreite Falls x die Azahl der ME vom Produkt P ud x die Azahl der ME vo Produkt P ist, gilt: x <= 4 + x b) Beide Produkte werde zwei verschiedee Arbeitsgäge auf zwei verschiedee Maschie M, M uterworfe. Die zur Verfügug stehede Kapazität i Maschiestude (Mh) vo M beträgt 8 (Mh) ud die vo M 0 (Mh). Auf M werde für die Erstellug eier ME vo P (Mh) ud P (Mh) gebraucht. Bei M sid es Mh für ME vo P ud Mh für ME vo P. Es gilt also: x + x <= 8 x + x <= 0 c) Es geht ei weiterer Rohstoff R i die Produktio ei, der im Verhältis :3 i je eie ME der Produktio P ud P eigeht. Es stehe ME vo P zur Verfügug. Es gilt also: x + 3x <=

13 d) Das Ziel dieser Aufgabe ist die Maximierug des Gesamtdeckugsbeitrags. Es wurde die Deckugsbeiträge 3 GE (Geldeiheite) für je eie ME vo P ud 4 GE für je eie ME vo P ermittelt. Die Zielfuktio lautet also: Z max = 3x + 4x Zusammegefaßt ergibt sich das folgede mathematische Modell: () x >= 0, x >= 0 () -x + x <= 4 x + x <= 8 x + x <= 0 x + 3x <= (3) Z max = 3x + 4x Stückzahl Produkt : x Optimale Lösug: x = 4, x =, Z max = 0 Stückzahl Produkt : x... Mischugsprobleme - Typische Aufgabestellug Für eie Schiffsbesatzug soll ei Vitamipräparat aus de Substaze S ud S hergestellt werde. Der Gehalt a Vitamie (i ME je g) dieser Substaze, der Midestbedarf a Vitamie i dem herzustellede Präparat sowie Koste (i DM je g) sid i der folgede Tabelle zusammegestellt. S S Midestbedarf Vitami A 6 Vitami B 0 Vitami C 3 3 Vitami D 5 40 Koste 0 8 Das Präparat soll durch Mischug vo S ud S so hergestellt werde, daß die vorgegebee Midestmege dari ethalte sid ud die Gesamtkoste für die Herstellug miimal werde. - Mathematische Formulierug des Problems 3

14 x ist die Mege i g, die vo der Substaz S ud x ist die Mege i g, die vo der Substaz S beötigt wird. () Nichtegativitätsbediguge x >= 0, x >= 0 () Eischräkede Bediguge x + x >= 6 x >= x + 3x >= 3 x + 5x >= 40 (3) Zielfuktio Z mi = 0x + 8x - Grafische Darstellug des Problems 5 x ) Bereich der zulässige Lösuge 0 ) 4) 3) 5 x Der Graf der Zielfuktio stellt hier eie parallele Schar vo Gerade (Astieg -5/4) dar.. Es wird ei Pukt der Lösugsmege gesucht, für de der Wert der Zielfuktio am kleiste ist. Optimale Lösug x = 4 x = 8 Z mi = 04 4

15 ...3 Verschittprobleme - Typische Aufgabestellug Eie Möbelfirma beötigt midestes: - 00 Kuststoffplatte der Größe 50 cm * 50 cm (Format A) Kuststoffplatte der Größe 00 cm * 0 cm (Format B) - 00 Kuststoffplatte der Größe 50 cm * 50 cm (Format C) Der Lieferat stellt ur Platte i der Eiheitsgröße 00 cm * 50 cm her. Deshalb muß die Möbelfirma die Platte selbst achscheide. Dieses Zuscheide ka ach folgede Pläe erfolge: A A A B B B B C C B B C A C B B B A A Der Zuschitt ach diese Schittpläe soll so erfolge, daß möglichst weig Abfall etsteht, d.h. etwas vereifacht: Die Azahl der zu bestellede Platte soll miimal sei. - Mathematische Formulierug des Problems x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 sid die Azahl der Platte, die ach de Schittpläe,, 3, 4, 5, 6 otwedig sid. () Nichtegativitätsbedigug x >= 0, x >= 0, x 3 >= 0, x 4 >= 0, x 5 >= 0, x 6 >= 0 () Eischräkede Bediguge 3x + x 5 + x 6 >= 00 4x + x4 + x 5 + x 6 >= 300 x3 + x 4 + x 5 >= 00 (3) Zielfuktio Z mi = x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 5

16 ...4 Verteilugsprobleme - Typische Aufgabestellug Für die Realisierug eies Produktiosprogramms stehe mehrere Maschie zur Verfügug, die gegeeiader austauschbar sid. Die eizele Maschie stelle folgede Produktioskapazitäte bereit: Maschie M Miute (mi) Maschie M " ( " ) Maschie M " ( " ) Maschie M " ( " ) Diese Kapazitäte solle für die Herstellug folgeder Erzeugisse i Aspruch geomme werde: Erzeugis E mit 30 Stück E ka auf M i 7 mi, auf M i 5 mi, auf M 3 i 4 mi oder auf M 4 i 4 mi hergestellt werde Erzeugis E mit 30 Stück E ka auf M i 4 mi oder auf M i 3 mi hergestellt werde Erzeugis E 3 mit 50 Stück E 3 ka auf M i mi, auf M 3 i 4 mi oder auf M 4 i 5 mi hergestellt werde Erzeugis E 4 mit 40 Stück E 4 ka auf M i 6 mi, auf M i 5 mi oder auf M 4 i 3 mi hergestellt werde E ka also icht auf M 3 ud M 4 hergestellt werde, E 3 icht auf M ud E 4 icht auf M 3 hergestellt werde. Mit Hilfe dieser Agabe ist das mathematische Modell für de optimale Maschie- Belegugspla zu ermittel! - Mathematische Formulierug des Problems x ij : Stückzahl des Erzeugisses E i, die auf der Maschie M j hergestellt werde ka () Nichtegativitätsbediguge x ij >= 0 für <= i <= 4 ud <= j <= 4 () Eischräkede Bediguge Erzeugis M M M 3 M 4 Stückzahl E E E 3 E Freie Produktkapazität x + x + x 3 + x 4 = 30 x + x = 30 x 3 + x 33 + x 34 = 50 x 4 + x 4 + x 44 = 40 7x + 4x + 6x 4 <= 80 5x + 3x + x 3 + 5x 4 <= 00 6

17 4x + 4x 33 <= 50 4x 4 + 5x x 44 <= 00 (3) Zielfuktio (Die Gesamtbearbeitugszeit ist zu miimiere) Z mi = 7x + 4x + 6x 4 + 5x + 3x + x 3 + 5x 4 + 4x 3 + 4x x 4 + 5x x Eisatzmöglichkeite vo OR-Modelle im DV-Maagemet ) Optimale Arbeitslastverteilug 5 I Computer-Verbudsysteme iteressiert die optimale Arbeitslastverteilug. Verbudsysteme werde zur gemeisame Nutzug vo istallierter Hardware, bestimmter Awedugssoftware oder große Datebestäde aufgebaut. Zur Formulierug als allgemeies lieares Optimierugsproblem liege folgede Agabe vor: I eiem Netzwerk mit de Recher R i solle die Aufträge A j bearbeitet werde. Es bedeute d ij... Dauer der Bearbeitug der Aufträge Aj auf dem Recher R i r i... Kapazität des Rechers c i... Koste je Eiheit für die Bearbeitug auf Recher R i c ij... Koste der Übertragug des Auftrags A j vo seiem Recher R j zum Recher R i (ud zurück) Stelle mit Hilfe dieser Agabe das mathematische Modell für das Optimierugsproblem auf., falls Auftrag A j auf Recher R i bearbeitet wird () x ij = { 0, aderfalls () dij xij ri für alle i j= x ij = j= m Z = ( c d + c ) x (3) mi i ij i= j= für alle j (Kei Auftrag darf ubearbeitet bleibe) ij ij ) Bechmark-Tests mit möglichst viele Programmläufe Bechmark-Tests sid Versuchsläufe mit repräsetative Programmzusammestelluge, Dateprofile ud Lastverteiluge zur Leistugsbeurteilug vo Hardwarekofiguratioe. Um zu ereiche, daß ei solcher Test aus möglichst viele Programmläufe besteht, ist ei lieares Optimierugsmodell agebracht. Formuliere dafür das mathematische Modell. Berücksichtige dabei: 5 vgl.: Stahlkecht, Peter: Eisatzmöglichkeite vo quatitative Verfahre ud OR-Modelle für das DV- Maagemet, OR-Spektrum (98) 3:

18 - Für de Test solle j =,,..., Programme i Betracht komme. - Eigesetzt werde i=,..., Systemkompoete (CPU, Drucker, Bäder, etc.). Es bedeute -a ij : Iaspruchahme der Kompoete i durch Programm j - b i : im Test gewüschte höchste Iaspruchahme der Kompoete i Mathematisches Modell: x j ist die Azahl Läufe des Programms j () () x j 0 j= ud gazzahlig a x b ij (3) Zmax = x j j= j für alle i 3) Optimale Netzkofiguratio i m Datestatioe (Termials) T i sid über Kozetratore K j a eie zetrale Recher azuschließe: - Die Azahl der Aschlüsse a eie Kozetrator ist beschräkt - Jede Datestatio ist geau a eie Kozetrator ageschlosse T T T K T T K T T Recher T T K T T Jeder Kozetrator hat dabei die Aufgabe, die Nachrichte vo mehrere Datestatioe zu sammel ud auf eier Leitug a de zetrale Recher zu übertrage. Die Weitergabe der Date auf eier eizige, dafür schelle Leitug erspart Übertragugskoste ud Aschlüsse i der dem zetrale Recher vorgeschaltete Steuereiheit für Dateferverarbeitug. Der Kozetrator muß außerdem Date zwischespeicher ud Warteschlage verwalte. Wie viele Kozetratore sid aufzustelle, damit die gesamte Übertragugskoste miimiert werde? Vereibaruge: 8

19 c ij... Koste der Verbidug vo T i ud K j c j... Koste der Verbidug vo K j ach dem Recher Mathematisches Modell:, falls T i mit K j verbude ist () x ij = { 0, aderfalls () m x ij = j= m mi xij = b i= (3) Z = ( c + c x ) j (Jede Datestatio ist aeie Kozetrator ageschlosse (Die Azahl der Aschlüsse a eie Kozetrator ist beschräkt) m j j= i= ij ij..3 Nichtlieare ud lieare Optimierugsprobleme - Allgemeie Formulierug des Problems () Nichtegativitätsbedigug x >= 0, x >= 0, x 3 >= 0,..., x >= 0 () Eischräkede Bediguge f(x,x,..., x) <= b f(x,x,..., x ) <= b... f(x,x,..., x ) <= (3) Zielfuktio Z max = f(x,x,...,x ) b m Nichtegativitätsbediguge ud eischräkede Bediguge bestimme de Defiitiosbereich für die Zielfuktio Jedes -Tupel (x,..., x ), das () ud () erfüllt, heißt zulässige Lösug. Eie zulässige Lösug heißt optimale Lösug, we sie das Maximum der Zielfuktio liefert. - Bemerkuge. Soll bei eiem Optimierugsproblem icht das Maximum soder das Miimum eier Zielfuktio Z bestimmt werde, so ka zu Z durch Multiplikatio mit - eie eue Zielfuktio agegebe werde, vo der da das Maximum zu bereche ist. 9

20 . Habe eizele oder alle Ugleichuge der eischräkede Bediguge statt "<=" ">=", so köe diese Ugleichuge mit - multipliziert werde, damit sie agegebee Richtug erhalte. 3. Wird bei eiige oder alle eischräkede Bediguge ur das Gleichheitszeiche zugelasse, so köe für eie Gleichug jeweils Ugleichuge agegebe werde: f k (x,x,...,x ) = b k ist äquivalet zu de beide Ugleichuge; f k (x,x,...,x ) >= b k ud f k (x,x,...,x ) <= b k 4. Ist die Nichtegativitätsbedigug für eizele oder alle Variable icht erfüllt, da ka durch Eiführug zweier euer Variable diese Bedigug stets erreicht werde. Gilt z.b.: x k > 0, x k = 0, xk < 0, so erhält ma durch Substitutio: x k = x k - x k mit x k >= 0 ud x k >= 0 mit der Voraussetzug: x k ist eie ichtegative Variable xk " " " " die gewüschte Form der Nichtegativitätsbediguge. Es ergibt sich: Falls x k > x k, da ist x k > 0 Falls x k = x k, da ist x k = 0 Falls x k < x k, da ist x k < 0 Lieare Optimieru g Alle eischräkede Bediguge ud die Beziehuge beschriebe: Zielfuktio werde durch lieare () x >= 0, x >= 0,..., x >= 0 ( ) a x + a x a x <= b a x + a x ax <= b... a x + a x a x <= b m m m m (3) Z max = c x + c x c x Nichtlieare Optimierugsprobleme Alle Optimierugsprobleme, die icht durch das vorstehede mathematische Modell beschriebe werde. 0

21 Normalforme der lieare Optimierug I der Praxis werde zwei Aufgabetype der lieare Optimierug uterschiede. Sie werde als Normalforme bezeichet. Normalform der Maximumaufgabe () x >= 0, x >= 0,..., x >= 0 () a x + a x a x <= b a x + a x a x <= b... a m x + a m x a m x <= b m mit b >= 0, b >= 0,..., b m >= 0 (3) Z max = c x + c x c x Normalform der Miimumaufgabe () x >= 0, x >= 0,..., x >= 0 () a x + a x a x >= b a x + a x a x >= b... a m x + a m x a m x >= b m mit b >= 0, b >= 0,..., b m >= 0 (3) Z mi = c x + c x c x..4 Nichtlieare, lieare Optimierugsprobleme ud Extremalwertprobleme..4. Eiführede Beispiele Klassische Extremalwertprobleme werde mit Hilfe der Methode der Differetialrechug gelöst Optimale Lagerauffüllug vor Preiserhöhuge Ei Betrieb verbraucht vo eiem Rohprodukt je Woche m = kg. Die Mege wird wöchetlich vo eiem Lieferate bezoge. Der bisherige Preis betrug s 0 = 5.- DM/kg ud soll auf s = 5,50.- DM/kg erhöht werde. Welche Mege soll der Betrieb och zum alte Preis eikaufe, um vo der Preiserhöhug möglichst weig betroffe zu sei? - Wird ur eie kleie Mege zum alte Preis eigekauft, so ist der Vorteil gerig - Wird dagege eie große Mege gekauft, so geht die durch die Preisdifferez erzielte Eisparug durch Zise für das im Lager gebudee Kapital verlore (Zissatz p = /4% pro Woche, das etspricht 3% im Jahr).

22 Mathematischer Asatz x ist die zu bestimmede Eikaufsmege. Da beträgt die Eisparug: ( s s0) x. x deckt de Bedarf für x/m Woche. Der durchschittliche Lagerbestad ist zu verzise: x x p s 0 m 00. Der Gewi G ist da: so p G = ( s s0 ) x x 00 m Differeziere ach x ud Nullsetze der. Ableitug führt zur optimale Mege x opt : dg dx = s p s s 0 ( ) m x 0 00 x opt = 00 m s ( ) = (. ) = p s Diese Mege vo kg deckt eie Bedarf vo 40 Woche. Die Eisparug durch die Preisdifferez beträgt DM. Davo gehe Zise i Höhe vo DM ab, so daß ei Nettovorteil vo DM bleibt. Nachweis des Extremums: dg s p 0 = dx 00 m Die Lösug ist tatsächlich ei Maximum Die klassische Bestellmegeformel (Losgrößeformel) Ei Betrieb verbraucht regelmäßig ei bestimmtes Rohprodukt mit der gleichmäßig über das Jahr verteilte Bedarfsmege m = Stück. Ei Produkt kostet s = 0.- DM/Stück. Für jede Bestellug ud die dara aschließede Lieferug ud Eilagerug etstehe die (bestellfixe) Koste E = 60.- DM. Wege dieser Bestell- ud Beschaffugskoste werde möglichst selte Bestelluge mit etspreched großer Mege agestrebt. Jedoch etstehe Lagerkoste ud Zise für das im Lager gebudee Kapital vom p = % p.a., so daß eie möglichst kleie Lagermege ud damit häufig Bestelluge vorteilhaft erscheie. Gesucht ist diejeige Bestellug x, für die die Summe beider gegeläufige Koste miimal ist. Mathematischer Asatz x ist die jeweilige Bestellmege, da sid die jährliche Bestellkoste: E m ud die x Zis- ud Lagerkoste uter der Aahme eies durchschittlich e Lager-bestads x s ger ei Kapital vo gebude): p vo x/ (d.h. durchittlich ist im La s x 00 K m s E m p s Isgesamt betrage die jährliche Koste: = + + x x 00 Die Koste sid zu miimiere: dk dx = E m + x p s 00