Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 10

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1 Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 10 Prof. Dr.-Ing. S. A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt S. A. Huss / Folie 10-1

2 Inhaltsübersicht Digitale Verarbeitung analoger Signale Signale Wert- und zeitkontinuierliche Signale Darstellung im Frequenzbereich Diskretisierte Signale Abtasttheorem Signalwandlung und verarbeitung Generische Systemarchitektur Operationsverstärker D/A Wandler A/D Wandler Zusammenfassung S. A. Huss / Folie 10-2

3 Digitale Systeme Digitale und analoge Signalverläufe V Z eit V Z eit 5 5 Digital: Analog: - Geht von diskreten Werten aus - Von physikalischen Signalverläufen wird abstrahiert - Werte sind kontinuierlich - Darstellung real existierender Signalverläufe S. A. Huss / Folie 10-3

4 Vorteile digitaler Systeme Analoge Systeme: kleiner Fehler am Eingang verursacht u. U. grosse Fehler am Ausgang Digitale Systeme: genauer und zuverlässiger Verfügbarkeit modularer, einfach zu verknüpfender Bausteine Computer verwenden intern nur digitale Bausteine. Aber: Schnittstellen, Stromversorgungen und vor allem die Kommunikationseinheiten (z. B. Modems) verwenden jedoch in der Regel analoge Komponenten zur Verarbeitung der vorliegenden kontinuierlichen Signale. S. A. Huss / Folie 10-4

5 Signalverarbeitung Signal Darstellung einer Information durch physikalische - insbesondere elektrische - Grössen (Spannung, Strom, Feldstärke), wobei die Information selbst durch einen ihrer Parameter (Amplitude, Frequenz, Impulsdauer u.a.) beschrieben wird. System An der Wirklichkeit orientiertes mathematisches Modell einer komplexen Anordnung, das zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens von Signalen geeignet ist. System Eingangssignal Ausgangssignal DSP Digitale Verarbeitung von (i. Allg. wert- und zeitkontinuierlichen) Signalen -- Digital Signal Processing S. A. Huss / Folie 10-5

6 Elektrische Kommunikationssysteme: Beispiele: - Telefon (Fest- und Mobilnetz) - Rundfunk und TV - Computerverbindungen Wichtige Grundlagen: Betrachtung der Übertragungseigenschaften der Kommunikationssysteme (Charakteristik des Netzwerks) (Abtast-) Systeme und Signale S. A. Huss / Folie 10-6

7 Voraussetzungen für Informationsübertragung: Modulation: Demodulation: Filterung: Information -> an Verbindungsstrecke angepasstes elektrisches Signal Rückgewinnung der Nachricht Unterdrückung von Störungen Dig. Kommunikation: Protokolle, Kodierung, Datensicherung, Schnittstellen Essentiell für analoge Datenübertragung mittels sog. Modems (Modulator-Demodulator) S. A. Huss / Folie 10-7

8 Signale Definition: Signal Darstellung einer Information durch physikalische, insbesondere durch elektrische Grössen (Strom, Spannung, Feldstärke) Information ist durch einen Parameter der Grösse beschrieben. (Amplitude, Phase, Frequenz, Impulsdauer,...) Klassifikation: Stochastisch / Deterministisch Kontinuierlich / Diskret Signalklassen: Stochastisch: nichtperiodisches, schwankendes Signal (Audio, Video) Deterministisch: Signale, deren Verlauf durch Formeln bzw. Algorithmen eindeutig beschrieben sind - transient/aperiodisch (Einschaltvorgang) - periodisch (Sinusfunktion, Taktsignal) S. A. Huss / Folie 10-8

9 Signalbeschreibung Signal Zeitbereich Frequenzbereich periodisch aperiodisch periodisch aperiodisch S. A. Huss / Folie 10-9

10 Satz: Ein deterministisches Signal wird vollständig durch seine Zeitfunktion s(t) oder durch seine Spektralfunktion S(ω) beschrieben. Beide Darstellungen sind mathematisch gleichwertig. Übergang Zeitbereich Frequenzbereich: durch Transformation Für zeitkontinuierliche Signale: Fourier-Transformation Laplace-Transformation Für zeitdiskrete Signale: Diskrete Fourier-Transformation z-transformation bei periodischen Sig. bei aperiodischen Sig. S. A. Huss / Folie 10-10

11 Kontinuierliche und diskrete Signale Definition: Zeitkontinuierlich: Zeitdiskret: Wertkontinuierlich: Wertdiskret: Funktionswert für jeden Zeitpunkt eines kontinuierlichen Zeitintervalls definiert Funktionswert nur für diskrete (meist äquidistante) Zeitpunkte definiert Wertebereich des Funktionswerts umfasst alle Punkte eines Intervalls Nur diskrete Funktionswerte zulässig S. A. Huss / Folie 10-11

12 - zeit- und wertkontinuierlich: - zeitkontinuierlich und wertdiskret: Analoges Signal - zeitdiskret und wertkontinuierlich: - zeit- und wertdiskret: Digitales Signal S. A. Huss / Folie 10-12

13 Möglichkeiten der Signalumformung: S. A. Huss / Folie 10-13

14 Darstellung von Signalen Zeitkontinuierliche Signale s(t) können durch Überlagerung von Elementarfunktionen approximiert werden: mit Approximation von s(t) konstante Koeffizienten Mögliche Elementarfunktionen: Rechteck (zur Treppenapproximation) Sinus Elementarfunktion, k = 0, +/-1, +/-2,... S. A. Huss / Folie 10-14

15 Treppenapproximation Signalapproximation durch Rechteckimpulse mit gleicher Impulsweite T Die k-te Elementarfunktion lautet: S. A. Huss / Folie 10-15

16 Approximation eines Signals s(t) durch die Überlagerung von Rechteckimpulsen als Elementarfunktionen: Die Approximation von s(t) durch Rechteckimpulsen lautet somit: Je mehr Rechtecke zur Approximation herangezogen werden, um so kleiner wird die Impulsweite T und damit der Approximationsfehler. S. A. Huss / Folie 10-16

17 Fourier-Reihe Die Fourier-Reihe beschreibt ein Signal s(t) als Summe von Sinus- und Cosinus-Schwingungen verschiedener Frequenzen: bzw. als Summe von Cosinus-Schwingungen verschiedener Frequenzen und Phasenlagen: mit: beschreiben s(t) eindeutig S. A. Huss / Folie 10-17

18 Beispiel: Approximation einer Bitfolge durch Sinus-Funktionen S. A. Huss / Folie 10-18

19 Statt der Cosinus-Schreibweise mit Koeffizienten und Phasen wird in der Praxis eine Exponential-Schreibweise mit einer komplexen Folge bevorzugt. Der Zusammenhang der beiden Schreibweisen ergibt sich durch die Euler-Beziehung: Danach ergibt sich für die obige Gleichung für s(t): Beide Summen lassen sich zusammenfassen zu: = Mit d n = erhält man die komplexe Fourier-Reihe: S. A. Huss / Folie 10-19

20 Das allgemeine (periodische) Signal s(t) wird damit eindeutig durch ein (diskretes) Amplitudenspektrum, ein Phasenspektrum und eine Kreisfrequenz ω beschrieben: mit ω 0 : Grundschwingung oder 1. Harmonische nω : (n-1)-te Oberwelle oder n-te Harmonische 0 Es gilt: - Je kürzer/steiler ein Impuls, desto mehr Oberwellen treten auf - Weglassen von Oberwellen: s(t) wird nur angenähert (s. Folie 10-18) S. A. Huss / Folie 10-20

21 Übertragungssysteme Definition: Übertragungssystem Ein an der Wirklichkeit orientiertes mathematisches Modell zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens einer komplexen Anordung. Eindeutige Zuordnung eines Ausgangssignals zu einem Eingangssignal Zuordnung wird meist Transformation genannt. Betrachtung unter Verwendung der Systemtheorie: Gesetzmässige Verknüpfung von Systemanregung, System und Systemantwort. S. A. Huss / Folie 10-21

22 Bandbreite des ÜS Jedes Übertragungssystem (ÜS) benötigt zur Signalübertragung Energie. Ideale ÜS dämpfen alle Fourier-Koeffizienten gleichermassen: Reale ÜS dämpfen Fourier-Koeffizienten (d. h. Frequenzanteile) unterschiedlich, es ergibt sich eine Verzerrung des Signals. Meist werden Frequenzen bis zur Bandbreite des Kanals mehr oder weniger unverändert übertragen, höhere Frequenzanteile werden sehr deutlich abgeschwächt (Tiefpass-Verhalten des ÜS). Gründe: a) Eigenschaften des Übertragungsmediums (z. B. Kupferleitung) b) Filter zur Bandbreitenbegrenzung bei Frequenzmultiplex. S. A. Huss / Folie 10-22

23 Beipiel: Telefonnetz, Kanalbandbreite f = ca Hz c S. A. Huss / Folie 10-23

24 LTI Systeme LTI: Linear und zeitinvariant (Linear, Time-Invariant) Definition: Zeitinvariantes System Ein (Übertragungs-) System heisst zeitinvariant, wenn für jeden festen Wert t 0 und jedes s1(t) gilt: wenn s1(t) s2(t) dann s1(t+t 0 ) s2(t+t 0 ) Definition: Lineares System Ein (Übertragungs-) System heisst linear, wenn für jede Konstante a und beliebige Signale u1(t), v1(t) gilt: wenn s1(t) = u1(t) s2(t) = u2(t) = G{u1(t)} und s1(t) = v1(t) s2(t) = v2(t) = G{v1(t)} dann gelten: G{u1(t) + v1(t)} = G{u1(t)} + G{v1(t)} Superposition und G{a * u1(t)} = a * G{u1(t)} Proportionalität Beachte: Das Übertragungsverhalten eines LTI Systems wird durch seine Impulsantwort h(t) vollständig beschrieben. Passive Übertragungsstrecken sind linear und zeitinvariant. S. A. Huss / Folie 10-24

25 Faltung Der Zusammenhang zwischen Eingangssignal s1(t) und Ausgangssignal s2(t) führt auf das sog. Faltungsintegral. Herleitung: 1. Schritt: Antwort g(t) auf einen einzelnen Rechteckimpuls r(t) der Fläche 1: S. A. Huss / Folie 10-25

26 2. Schritt: Antwort g(t) auf allgemeines Eingangssignal s 1 (t): s 1 (t) der Länge L*T wird durch eine Summe von verschobenen, gewichteten Rechteckimpulsen r(t) approximiert. bezeichnet die Signalapproximation. S. A. Huss / Folie 10-26

27 Für beliebiges n gilt: Für n oo gilt: ; : Dirac - Impuls und konvergieren gegen die Signale s 1 (t) und s 2 (t), da die Fläche des um τ verschobenen Dirac-Impulses δ(t-τ) gleich 1 ist: S. A. Huss / Folie 10-27

28 Für nicht zeitbegrenzte Signale gilt dann: = s1(t) * h(t) : Faltungsintegral, Faltungsoperator (*) Beispiel zur Berechnung des Faltungsintegrals: S. A. Huss / Folie 10-28

29 Abtastsysteme Abtastvorgang: Aus einem kontinuierlichen Signal s(t) werden äquidistante 'Proben' (Abtastwerte) entnommen. s(t) S(ω), wobei S(ω) bandbegrenzt ist, d.h. alle Spektralanteile von S liegen in einer bekannten Frequenzbandbreite. (Zur Erinnerung: ω = 2πf, Kreisfrequenz) ISDN: Integrated Services Digital Network S. A. Huss / Folie 10-29

30 Zeitverlauf und Spektren der Signale: Aus einem kontinuierlichen, bandbegrenzten Signal s(t) wird im Frequenzbereich durch die Abtastung ein unendlich breites, in f a periodisches Spektrum. S. A. Huss / Folie 10-30

31 Abtasttheorem Wie gross muss die Abtastfrequenz sein, damit das (kontinuierliche) Originalsignal eindeutig (re-)konstruiert werden kann? Abtasttheorem (Nyquist-Theorem): Die Zeitfunktion s(t) mit einem Spektrum S(f) im Intervall 0 bis fg wird durch Abtastsignale vollständig beschrieben, wenn gilt: f a 2 f g Die Abtastfrequenz muss somit mindestens doppelt so gross wie die höchste Signalfrequenz sein. Einhaltung des Abtasttheorems: S. A. Huss / Folie 10-31

32 Je grösser die Abtastfrequenz, desto grösser die Abstände der Amplitudenspektren (Oversampling): Abtastfrequenz ist zu niedrig (Aliasing): Amplitudenspektren überlagern sich, sie sind nicht mehr zu trennen. S. A. Huss / Folie 10-32

33 Signalverarbeitungssystem Generische Architektur Komponenten eines Signalverarbeitungssystems: MUX Multiplexer DA D/A Wandler SH Abtastschaltung F Filter AD A/D Wandler V Verstärker µp Mikroprozessor S. A. Huss / Folie 10-33

34 Ah, ein Student! Sie glauben wohl, dass die Signalverarbeitung nur digital erfolgt? VORSICHT, jetzt wird's elektrisch! S. A. Huss / Folie 10-34

35 Operationsverstärker Anwendung: Implementierung von math. Operationen mit analogen Grössen (Addition, Subtraktion, Integration, Logarithmierung,...) Offset-Spannung Schaltsymbol mit Beschaltung Eingangs-Ausgangs- Übertragungskennlinie Ersatzschaltung: Gesteuerte Spannungsquelle Analoge Grösse: Wert- und zeitkontinuierlich z. B. elektrische Spannung S. A. Huss / Folie 10-35

36 Charakteristische Kenngrösse: Differenzverstärkung u A = A d ( up un ) = Ad ud Idealer Operationsverstärker: unendliche hohe Differenzverstärkung unendlicher hoher Eingangswiderstand kein Ausgangswiderstand Realer Operationsverstärker: endliche Werte der oben genannten Größen Offset-Spannung, d. h. Verschiebung der Kennlinie S. A. Huss / Folie 10-36

37 Anwendungen Invertierender Verstärker U = R A U E R1 U A A d U E A d R R 1 Invertierender Verstärker - als Addierer geschaltet Kennlinie S. A. Huss / Folie 10-37

38 Differenzverstärker U A = A U + A U 1 E 1 2 E 2 U A A 2 A 1 A 1 = ( R2 + R4 ) R3 ( R1 + R3 ) R2 U E A 2 = R R 4 2 Subtraktionsschaltung Kennlinie S. A. Huss / Folie 10-38

39 Integrator u A (t)= 1 RC u E dt + u A0 Aus Knotenregel: u E R C du A dt 0 Daraus resultierende Ausgangsspannung: Integratorschaltung u A = 1 RC u E dt + u A0 Ergebnis der Integration Knotenregel: 2. Kirchhoffsches Gesetz "Summe aller Ströme an einem Knoten ist gleich Null". S. A. Huss / Folie 10-39

40 Schmitt-Trigger Anwendung: Einfache A/D-Umwandlung (1 Bit) Hysterese: Δu E = R R 1 2 ( ) U U A max A min Schaltung Kennlinie Besonderheit: Positive Rückkopplung S. A. Huss / Folie 10-40

41 Analog/Digital Signalumwandlung Zweck: Digitale Verarbeitung analoger (realer) Signale Schritte der Digitalisierung (A/D Conversion): 1. Quantisierung der Analoggrösse in diskrete Werte (Amplitudenquantisierung) 2. Kodierung der diskreten Amplituden zu Digitalworten Schritte der Analogisierung (D/A Conversion): 1. Dekodierung zu einer quantisierten Grösse 2. Dequantisierung (Glättung) der Grösse Beachte: Systematischer Quantisierungsfehler - er beträgt die Hälfte des Quantisierungsintervalls. S. A. Huss / Folie 10-41

42 Wandlerkennlinie Definitionen Gesamtbereich (FSR): FSR 2 n LSB Quantisierungsintervall (LSB): LSB = U n 2 max 1 Max. Ausgangsspannung: U max n 2 1 = FSR n Beispiel: 3 Bit Wandler n: Anzahl der Wandler-Bits FSR: Full Scale Range LSB: Least Significant Bit (hier als Intervall benutzt) S. A. Huss / Folie 10-42

43 D/A-Wandler (DAC) Anwendung: Wandlung eines Digitalwortes in eine quantisierte elektrische Grösse Methoden: Direkte Verfahren Indirekte Verfahren Beispiel 1: Paralleler DAC mit direkter Umsetzung U DAC = k U ref n i= 1 a i 2 i a { 0,1 }; a : MSB, a : LSB i 1 n MSB: Most Significant Bit LSB: Least Significant Bit S. A. Huss / Folie 10-43

44 Beispiel 1 - Fortsetzung U DAC = R R F ges U ref : invertierender Verstärker Gesamtwiderstand: n 1 1 a R ges R i 2 i 1 i 1 Resultierende Ausgangsspannung: Stromskalierung mittels kalibrierter Widerstände U DAC 2 R F R k n U ref i 1 a i 2 i S. A. Huss / Folie 10-44

45 Beispiel 2: Serieller DAC mit direkter Umsetzung Algorithmische Methode: ( )... 1 U 1 2 i+ 1 = U i +ai U ref,i = n,, d.h. LSB MSB Aufladung (1. Takthälfte, mit S 1 ): u C (t)= t I Q C Entladung (2. Takthälfte, mit S 2 ): (t)= u( u C t 0 ) exp RC Gesteuerte Auf- und Entladung des Kondensators C Dimensionierung: u C ( T ) = u (T / 2 )/ 2 C T RC = 2 ln2, d.h. S. A. Huss / Folie 10-45

46 Beispiel 2 - Fortsetzung U DAC Verlauf der Spannung am Kondensator Datenwort: Ausgangsspannung: U U DAC = 8 (am Ende von Takt 4) 0 +U = 9 16 U 0 S. A. Huss / Folie 10-46

47 A/D-Wandler (ADC) Zweck: Umwandlung einer analogen Eingangsgrösse in ein digitales Ausgangssignal Prinzip: Bestimmung der Anzahl der Quantisierungseinheiten in der Eingangsgrösse Digitalwort D: D =U / U =U / FSR 2 E LSB E n Methoden: Parallelverfahren ('word at a time') Wägeverfahren ('digit at a time', 'successive approximation') Zählverfahren ('level at a time') S. A. Huss / Folie 10-47

48 Funktionsprinzip: 1. Zeitquantisierung (Abtastung) des Analogsignals 2. Diskretisierung (Amplitudenquantisierung) des abgetasteten Signals 3. Kodierung (Verschlüsselung) des wert- und zeitquantisierten Signals Kennwerte: - Auflösung (Anzahl der Bits) - Quantisierungsrauschen - Umwandlungsrate - Umwandlungszeit S. A. Huss / Folie 10-48

49 Beispiel 1: Paralleler ADC Ermittlung des Digitalwerts D innerhalb einer Taktperiode Kennzeichen: Schnell Umwandlungsrate > 300 MSample/s Sehr aufwendig analog digital S. A. Huss / Folie 10-49

50 Beispiel 2: ADC nach dem Wägeverfahren analog SAR: Successive Approximation Register DAC: Digital/Analog Converter digital S. A. Huss / Folie 10-50

51 Beispiel 3: ADC nach dem Zählverfahren Serielles Umsetzverfahren nach 'Dual-Slope' Prinzip Integrator analog digital Laden: u A ( t1 ) = 1 1 t E U E 0 RC U t dt = RC 1 Entladen: Aus folgt: t u U E t RC x = t 1 1 A +t 1 x 1 U ref dt = 0 RC t 1 U ref ( t1 +tx t1 ) 1 ( t +tx ) = u A( t1 ) = RC U E, d. h. U ref t x t ~ U E : unabhängig von C,R S. A. Huss / Folie 10-51

52 Beispiele von DAC - Schaltkreisen S. A. Huss / Folie 10-52

53 Beispiele von ADC - Schaltkreisen S. A. Huss / Folie 10-53

54 Zusammenfassung Behandelt wurden: Prinzipien und grundlegende Verfahren Wert- und zeitkontinuierliche Signale Abtasttheorem Architektur von DSP Systemen Komponenten für die digitale Signalverarbeitung Operationsverstärker D/A Wandler A/D Wandler S. A. Huss / Folie 10-54

55 S. A. Huss / Folie 10-55