Digitale Kommunikationstechnik

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1 Digitale Kommunikationstechnik Henrik Schulze FH Südwestfalen Standort Meschede Stand:

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3 Vorbemerkungen Digitale Übertragungsverfahren haben sich seit Anfang der 1990er-Jahre in vielen Bereichen des täglichen Lebens etabliert. Den Anfang hat dabei (zumindest in Europa) das digitale Mobilfunksystem GSM 1 gemacht. Wenige Jahre später folgten der digitale terrestrische Rundfunk DAB 2 und das digitale Fernsehen DVB 3 mit seinen drei Varianten DVB-C, DVB-S und DVB-T 4. Heute finden sich in sehr vielen Büros und Haushalten drahtlose W-LAN 5 -Computernetzwerke, insbesondere mit den IEEE 6 -Standards a bzw. -g. Weiterentwicklungen all dieser genannten Systeme sind in Arbeit. Die Vorlesung Digitale Kommunikationstechnik (DKT) befasst sich mit der Übertragung digitaler Daten, wie sie z. B. in den genannten Systemen eingesetzt wird. Oft handelt es sich dabei um Funkverbindungen, aber die Grundprinzipien gelten ebenso für leitungsgebundene Übertragung und sogar wenigstens zum Teil für Techniken der magnetischen oder optischen Speicherung von Daten. Aus Sicht des OSI-Schichtenmodells bleiben wir dabei in der untersten Schicht, dem physical layer. Der Begriff physikalisch ist dabei nicht wörtlich zu nehmen, denn wir befassen uns gar nicht primär mit physikalischen Dingen wie Wellenausbreitung oder Halbleiterbauelementen oder Hochfrequenzschaltungstechnik alles Themen, die bereits in anderen Vorlesungen ihren Platz haben 7. Vielmehr befassen wir uns mit der nachrichtentechnischen Fragestellung, mit welcher Art von Signalen sich ein möglichst großer Datenstrom trotz der Störung durch Rauschen möglichst sicher, aber ohne Energieverschwendung von A nach B übertragen lässt. Dabei kann A zum Beispiel ein Fernsehsatellit sein und B die Empfangseinrichtung zu Hause. Die Begriffe, um die es dabei geht, lauten (digitale) Modulation und Codierung. Im Englischen wird dies oft unter dem Begriff Digital Communications zusammengefasst. Im Deutschen sagt man auch (digitale) Nachrichtenübertragungstechnik dazu. 1 GSM: Global System for Mobile Communications. Ursprünglich bedeutete dieselbe Abkürzung: Groupe Spécial Mobile. Als das System fertig entwickelt war, aber die Hersteller von Mobiltelefonen mit der Entwicklung und Produktion in Zeitverzug waren, dichteten Spötter dies um in God send mobiles!. 2 DAB: Digital Audio Broadcasting 3 DVB: Digital Video Broadcasting 4 C steht für Verbreitung über das Kabel, S steht für Satellit und T steht für terrestrische Verbreitung. Später kamen noch weitere Varianten hinzu wie DVB-H (Handheld) und DVB-S2 (Weiterentwicklung von DVB-S). 5 W-LAN: Wireless Local Area Networks 6 IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) ist ein weltweiter elektrotechnischer Berufsverband. Er gibt viele wichtige wissenschaftliche Fachzeitschriften heraus, veranstaltet bedeutende Fachtagungen und spielt eine große Rolle in der Standardisierung. 7 Wirklich physikalisch ist allerdings das Rauschen, das tatsächlich eine zentrale Rolle bei unseren Betrachtungen spielt. 3

4 4 Das Ziel der Vorlesung ist es, den Hörer mit den modernen digitalen Übertragungstechniken vertraut zu machen. Die Kenntnis dieser Techniken und ihrer Funktionsweise ist aber nur ein erster Schritt. Der wichtige nächste Schritt ist die Fähigkeit, die verschiedenen Verfahren zu beurteilen und gegeneinander abwägen zu können. Ich stelle mir dabei vor, wie ich als Berufsanfänger in einer Arbeitsgruppe sitze, in der die Übertragungstechnik für ein neues digitales Rundfunksystem festgelegt werden soll und verschiedene Systemvorschläge auf dem Tisch liegen, die von den Projektpartnern kontrovers diskutiert werden und jeder dabei hinter den technischen Argumenten durchaus auch seine Eigeninteressen versteckt. In einer solchen Situation ist es wichtig, selbstständig zu denken und die Argumente auf ihre Stichhaltigkeit prüfen zu können. In vielen Fällen ist es notwendig, ein Verfahren mit einem selbstgeschriebenen Softwareprogramm zu simulieren, um dessen Vor- und Nachteile beurteilen zu können. Die Grundlage zu dieser Fertigkeit soll im Praktikum zu dieser Vorlesung erworben werden. Die Vorlesung selbst ist so aufgebaut, dass wir möglichst schnell zu dieser praktischen Seite des Faches kommen. Hierbei müssen die in der Theorie vorgestellten Algorithmen in funktionierende Software umgesetzt werden. Dies ist eine recht typische Entwicklungsaufgabe in der Berufspraxis eines Ingenieurs. Dass die Software dabei zunächst in MATLAB erstellt wird, ist eine übliche Vorgehensweise in der Praxis der Geräteentwicklung. Wenn man alles verstanden hat und die Algorithmen ausreichend getestet sind, ist die Portierung z. B. auf einen Signalprozessor wesentlich leichter und weniger fehleranfällig. Die Grundlagen digitaler Übertragungsverfahren waren lange bekannt, bevor die anfangs erwähnten Systeme eingeführt wurden. Der Durchbruch kam letztlich vor allem wegen der Fortschritte der immer schnelleren Mikroelektronik. Aber zweifellos hat die Entwicklung dieser Systeme die weitere Forschung enorm beflügelt. Entsprechend ist die Menge der Literatur seitdem stark angewachsen, nicht nur was die Menge der veröffentlichten Forschungsergebnisse betrifft, sondern auch die Anzahl und Qualität der Lehrbücher und Monographien. Im Folgenden kann deshalb nur eine kleine Auswahl genannt werden. Auf englischsprachige Literatur kann und soll dabei nicht verzichtet werden. Das wohl wichtigste Werk in deutscher Sprache ist das Buch vom Kammeyer [4], das inzwischen schon in der 4. Auflage erschienen ist. Es behandelt sehr umfassend alle Aspekte der Modulation und geht dabei zum Teil mathematisch weiter in die Tiefe, als es im Rahmen dieser Vorlesung möglich ist. Die Kanalcodierung ist dort bewusst ausgeklammert. Hierzu sei auf das Lehrbuch von Bossert [2] verwiesen, das eines der besten und populärsten Bücher in deutscher Sprache zu diesem Thema ist. Ein Klassiker in englischer Sprache ist das Buch von Proakis [7], von dem kürzlich die 5. Auflage erschienen ist. Der Sichtweise des Verfassers kommt das Buch von Madhow [5] sehr entgegen und ebenso das von Benedetto und Biglieri [1]. Das Buch von Gallager [3] geht sehr viel sorgfältiger auf die mathematischen Grundlagen ein, als es im Rahmen dieser Vorlesung möglich ist. Es sei als weiterführende Literatur empfohlen. Als ein recht leicht lesbares deutschsprachiges Buch über Modulationsverfahren sei auf das von Mäusl [6] verwiesen. Das Buch von Schulze und Lüders [9] ist eine Monographie, die sich mit den Verfahren OFDM (orthogonal frequency division multiplexing) und CDMA (code division multiple access) befasst, die für die modernen digitalen Funksysteme sehr wichtig sind. Es enthält in seinem allgemeinen Teil aber auch Kapitel über Modulation und Codierung, wobei die Darstellungsweise sehr ähnlich zu der in dieser Vorlesung ist. Um die Lesbarkeit zu erleichtern, verzichten wir in dieser Vorlesungsausarbeitung soweit

5 wie möglich auf formale Definitionen und mathematische Sätze. Neue Begriffe werden im Satzzusammenhang erklärt und dabei durch Fettdruck hervorgehoben. Genauso hervorgehoben werden Schlüsselworte und Schlagworte. Ein anschauliches Verständnis der wichtigen Zusammenhänge steht im Vordergrund gegenüber der mathematischen Herleitung. Ich bin zwar unbedingt der Auffassung, dass man eine Behauptung auch mathematisch sauber beweisen können muss. Die Ideen und Assoziationsketten bewegen sich aber oft genug entlang von Skizzen und intuitiven Vorstellungen und dem sollte man so weit es geht entgegenkommen. Die Herleitungen, die den Gedankenfluss zu stark unterbrechen und von der Darstellung der Zusammenhänge ablenken würden, sind deshalb in den Anhang verschoben worden. 5

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7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe digitaler Übertragung Warum digital? Die Bausteine einer digitalen Übertragungskette Quellcodierung Kanalcodierung Digitale Modulation Der Übertragungskanal Das Übertragungsmodell Das kontinuierliche komplexe Basisbandmodell Das zeitdiskrete Basisbandmodell Bandbreiteneffizienz und Leistungseffizienz Bandbreiteneffizienz Leistungseffizienz Rauschabstand versus E b /N Kanalkapazität und Shannon-Grenze Lineare Modulation mit PSK und QAM Was ist lineare Modulation? Signalkonstellationen für PSK und QAM PSK Differentielle PSK (DPSK) QAM Matched Filter und Nyquistpulse Matched Filter Das 1. Nyquist-Kriterium Wellenzüge und Augendiagramme Orthogonale Signale Fehlerwahrscheinlichkeiten im AWGN-Kanal Beschreibung des AWGN-Kanals

8 8 INHALTSVERZEICHNIS Anmerkungen zum Rauschabstand Paarfehlerwahrscheinlichkeiten Bitfehlerkurven und Leistungseffizienz Bitfehlerwahrscheinlichkeiten für PSK Bitfehlerwahrscheinlichkeiten für QAM Bitfehlerwahrscheinlichkeiten für allgemeinere Signalkonstellationen Trägerregelung Modulation durch unterschiedliche Signalformen Übertragung durch unterschiedlichen Pulsformen Pulssequenzen und höherdimensionale Signalräume Der Maximum-Likelihood-Empfänger Fehlerwahrscheinlichkeiten für den MLSE-Empfänger Analyse der Tetraeder-Konstellation Verallgemeinerung auf andere Konstellationen Interpretation als binäre Blockcodes Orthogonale Signalformen Paarfehlerwahrscheinlichkeiten Asymptotischer Gewinn Symbol- und Bitfehlerwahrscheinlichkeit Walsh-Hadamard-Codes Simplex-Codes und biorthogonale Codes Orthogonale FSK Komplexe Signalvektoren FSK und beliebige komplexe Signalformen Kanalcodierung Grundbegriffe der Kanalcodierung Charakterisierung von Faltungscodes Generatorpolynome Das Trellisdiagramm Die Analyse durch das Zustandsdiagramm Der Viterbi-Decoder Rekursive Faltungscodes OFDM Motivation Das Multiträger-Konzept Realisierung durch FFT

9 INHALTSVERZEICHNIS OFDM mit Schutzintervall Der Grundgedanke Die mathematische Formulierung Auswirkungen von Mehrwegeausbreitung Spektrale Eigenschaften Diskretes Kanalmodell und SNR Implementationsaspekte; Synchronisation Vor- und Nachteile von OFDM A Misc (und Beweise) 147 A.1 Die Symbolenergie als Erwartungswert A.2 Die Symbolenergie E S bei QAM A.3 Dimensionsbetrachtungen und zeitdiskrete Kanal- Modelle A.3.1 Variante 1: Die Symbole tragen die Energie A.3.2 Variante 2: Die Symbole sind dimensionslos A.3.3 Variante 3: Die Symbole und die Rauschsamples sind dimensionslos 153 A.4 Die Rauschbandbreite und das Matched Filter A.5 Drehungen des diskreten AWGN-Signales A.5.1 Drehungen in der komplexen Ebene A.5.2 Drehungen in höherdimensionalen Räumen A.6 Maximum Likelihood Sequence Estimation (MLSE) A.7 Union Bounds B Lösungen zu den Aufgaben 163

10 10 INHALTSVERZEICHNIS

11 Kapitel 1 Grundbegriffe digitaler Übertragung 1.1 Warum digital? Bevor wir uns mit den Techniken der digitalen Übertragung befassen, fragen wir zunächst einmal, worin denn die Vorteile gegenüber der guten alten analogen Übetragungungstechnik liegen. Diese Frage stellt sich natürlich nur bei Quellsignalen, die von Natur aus analog sind wie etwa bei Sprache, Musik oder Video. Aber auch hier hat sich die Grenze zwischen analog und digital mittlererweile stark zur digitalen Seite hin verschoben, weil sich digitale Daten viel bequemer speichern und bearbeiten lassen. Es ist seit einigen Jahren völlig selbstverständlich, z.b. Musik im MP3-Format zu speichern und entsprechend dann auch in diesem Format zu übertragen. Welche Vorteile bringt nun die digitale Übertragung von ursprünglich analogen Audio- oder Video-Signalen gegenüber der alten analogen Übertragung mit den Verfahren AM 1 und FM 2? Vorteile digitaler Übertragung von analogen Daten 1. Durch die Datenreduktion der digitalisierten analogen Quelle kann man Bandbreite bei der Übertragung einsparen und so die Bandbreiteneffizienz erhöhen. Man bezeichnet diese Datenreduktion als Quellcodierung. 2. Das digitale Datenformat ermöglicht einen effizienten Fehlerschutz und damit einen fast störungsfreien Empfang. Diesen Fehlerschutz bezeichnet man als Kanalcodierung. 3. In vielen Fällen kann man auf diese Weise die Leistungseffizienz verbessern, d. h. die notwendige Empfangsleistung reduzieren und damit Sendeleistung einsparen. Wir wollen dies anhand des Beipiels der Übertragung von Audiosignalen erläutern. 1 AM=Amplitudenmodulation 2 FM=Frequenzmodulation 11

12 12 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG Bandbreiteneffizienz einer digitalen Audiosignalübertragung: Wir vergleichen FM- Übertragung von Musik (UKW-Radio) mit einer digitalen Übertragung. Die Audiobandbreite liegt beim FM-Radio bei ca. 15 khz. Das FM-Signal in der Luft hat eine Bandbreite zwischen 100 khz und 200 khz 3. Wenn man das Audiosignal digitalisiert, benötigt man nach dem Abtasttheorem eine Abtastrate von mehr als 30 khz. Wir wählen den Wert 32 khz. Pro Stereokanal gehen wir von einer Quantisierung von 14 bit aus 4 und kommen damit auf eine Bitrate von R b = 32 khz 2 14 bit = 896 kbit/s Nehmen wir an, dass wir ein Übertragungsverfahren mit einer hohen (aber noch realistischen) Bandbreiteneffizienz von η = 2 bit/s/hz verwenden. Dies bedeutet, dass wir in einer Bandbreite von B =1 Hz eine Nutz-Bitrate von R b =2 bit/s übertragen können. Für R b = 896 kbit/s benötigen wir also eine Bandbreite von B = 448 khz. Das wesentlich mehr als die FM-Bandbreite für einen Stereokanal! Dies liegt an der hohen Bitrate. Bei einer Quellcodierung mit MP3 5 erreicht man CD-Qualität mit R b = 192 kbit/s. Das selbe Übertragungsverfahren führt hier also auf einen Bandbreitenbedarf von B = 96 khz. Man kann auf diese Weise also zwei Audiokänale in der Bandbreite eines UKW-Kanales übertragen. Mit dem neueren Codierverfahren AAC (Advances Audio Coding) kann man in dieser Bandbreite sogar vier Audiokanäle übertragen. Dies ist in dem neuen Rundfunkstandard DRM+ 6 vorgesehen. 1.2 Die Bausteine einer digitalen Übertragungskette Abbildung 1.1 zeigt das prinzipielle Blockschaltbild einer digitalen Übertragungskette. Im Folgenden diskutieren wir die einzelnen Blöcke Quellcodierung Der Quellen-Encoder liefert den Input für unser digitales Übertragungssystem. Dieser Block umfasst jede Form der Vorverarbeitung und Aufbereitung, insbesondere die im vorherigen Abschnitt beschriebene Datenreduktion. Die Techniken der Quellcodierung sind nicht Gegenstand dieser Vorlesung 7 und wir wollen uns auf folgende kurze Erklärung beschränken: Die Quellcodierung entfernt Redundanz oder Irrelevanz aus den Daten. Wenn man einen redundanten Teil der Daten bei der Übertragung weglässt, können die ursprünglichen Daten verlustfrei rekonstruiert werden. Dagegen geht beim Weglassen nur irrelevanter Daten tatsächlich Information verloren. Dies sind aber solche, die für die 3 Es gibt verschiedene Definitionen der Bandbreite eines FM-Signals, deshalb nennen wir hier nur ungefähre Zahlen. 4 Die Qualität in unserem Beispiel ist also knapp unter der CD-Qualität. 5 Etwas genauer: MPEG-1, Layer 3. MPEG steht für Moving Picture Experts Group. 6 DRM steht für Digital Radio Mondiale. 7 Wir verweisen hier auf die Wahlpflichvorlesung Mustererkennung und Datenkompression.

13 1.2. DIE BAUSTEINE EINER DIGITALEN ÜBERTRAGUNGSKETTE 13 Sender Quellen Encoder Kanal Encoder Digitaler Modulator IQ Mod. Kanal (Funk,..) Receiver Quellen Decoder Kanal Decoder Digitaler DeMod. IQ Dem. Abbildung 1.1: Blockschaltbild einer digitalen Übertragungskette. Anwendung nicht relevant ist, zum Beispiel weil die Sprache trotzdem gut verständlich ist oder weil die Audio-Qualität trotzdem gut genug ist. Eines der bekanntesten Beispiele dafür ist die MP3-Codierung Kanalcodierung Der Kanal-Encoder fügt in definierter und intelligenter Weise den Nutzdaten wieder Redundanz hinzu, um dadurch die Übertragungssicherheit zu erhöhen. Bei fest vorgegebener Empfangsleistung kann so die Bitfehlerrate (BER: Bit Error Rate) gesenkt werden. Andersherum kann bei einer (z. B. von der Anwendung geforderten) fest vorgegebenen Bitfehlerrate so die notwendige Empfangsleistung reduziert werden. Der Preis für diese Verbesserung der Leistungseffizienz ist eine Verschlechterung der Bandbreiteneffizienz: Durch die zusätzliche Redundanz wird für dieselbe Nutzdatenrate eine höhere Bandbreite benötigt. Die Coderate R c charakterisiert den Anteil der Nutzdaten am Gesamtdatenstrom (einschließlich der hinzugefügten Redundanz). Wenn K Nutzdatenbits ( netto ) in den Kanal-Encoder hineingehen und N codierte Bits ( brutto ) herauskommen, so ist R c = K N (1.1) die Coderate. Durch die Kanalcodierung erhöht sich also der Bandbreitenbedarf um den Faktor 1/R c. Der Codierungsgewinn (englisch: Coding Gain) G ist der Faktor für die Leistungsersparnis (durch die Kanalcodierung) bei fester Nutzdatenrate. Meist wird G in Dezibel angegeben.

14 14 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG Wenn nichts anderes gesagt ist, beziehen sich solche Aussagen über die Leistung immer auf die erforderliche Leistung am Empfänger. Der Codierungsgewinn bewirkt also eine Verbesserung der Empfänger-Empfindlichkeit um den Faktor G. Selbstverständlich hat bei konstanten Übertragungsverhältnissen die verbesserte Empfänger-Empfindlichkeit zur Folge, dass die Sendeleistung ebenfalls um den Faktor G reduziert werden kann. Ein Beispiel zum Codierungsgewinn: Eine uncodierte Übertragung mit der Nutzdatenrate R bit =20 Mbit/s in B = 15 MHz benötigt eine Sendeleistung von P TX = 100 mw. Eine Codierung mit R c = 1/2 erreicht G =4 db. Welche Größen ändern sich durch die Codierung, wenn man von einer festen Nutzdatenrate ausgeht? Die Antwort findet sich in der Fußnote 8. Der Kanal-Decoder nutzt die hinzugefügte Redundanz, um die bei der Übertragung aufgetretenen Fehler zu korrigieren. Hierbei ist es häufig von Vorteil, wenn (quasi-) analoge Information über die Zuverlässigkeit der übertragenen Bits mit herangezogen werden können. Man spricht dann von weichen Entscheidungen (soft decision) im Unterschied zu harten Entscheidungen (hard decision), wo nur die binäre Information der Empfangsdaten zur Verfügung steht Digitale Modulation Wir setzen in diesem Abschnitt Grundkenntnisse über die Beschreibung eines Bandpass- Signales durch das (äquivalente) komplexe Tiefpass-Signal voraus und verweisen hierzu auf die Vorlesung Signale und Systeme [8]. Die Begriffe komplexes Basisband und IQ- Modulator und -Demodulator sollten bekannt sein. Um an die Begriffe und die Notation zu erinnern, werden im Folgenden einige wichtige Tatsachen kurz wiederholt. Auf Herleitungen wird dabei mit dem Hinweis auf [8] verzichtet. Der digitale Modulator vollzieht die Umwandlung eines digitalen Datenstromes in ein kontinuierliches Signal zum Zweck der Übertragung. Mathematisch ist dieser Block die Abbildung eines Vektors (aus Binärdaten) auf eine Zeitfunktion (das Signal). Diese Definition ist sehr allgemein, und es liegt eines gewisse Willkür darin, welche Bausteine der Übertragungkette mit dazu zählt werden. Es ist durchaus möglich, den Kanal-Encoder als Teil des digitalen Modulators zu betrachten, was wir aber in Blockschaltbild 1.1 nicht tun. Außerdem trennen wir die IQ-Modulation von dem digitalen Modulator ab. In unserem Blockschaltbild 1.1 wird der Bitstrom b i (i = 0,1,2,...) vom digitalen Modulator zunächst in ein komplexes Basisbandsignal s(t) = x(t)+jy(t) (1.2) umgewandelt. Das relle Signal x(t) wird als I-Komponente bezeichnet und das reelle Signal y(t) als Q-Komponente. Beide Komponenten zusammen nennt man auch die beiden Quadraturkomponenten. 8 Die Sendeleistung kann auf 20 mw reduziert werden. Die Bandbreite erhöht sich dafür auf 30 MHz.

15 1.2. DIE BAUSTEINE EINER DIGITALEN ÜBERTRAGUNGSKETTE 15 Der IQ-Modulator (auch: Quadraturmodulator) in Abbildung 1.2 setzt dieses Kom- x(t) 2cos(2πf0 t) s(t) 2sin(2πf 0 t) y(t) ponentenpaar in ein reelles Bandpass-Signal Abbildung 1.2: IQ- Modulator. s(t) = x(t) 2cos(2πf 0 t) y(t) 2sin(2πf 0 t), (1.3) der Bandbreite B um, welches dann bei der Trägerfrequenz f 0 im Frequenzbereich zwischen f 0 B/2 und f 0 +B/2 übertragen wird. Energie im Basisband und im Bandpass-Bereich Wenn das komplexe Basisbandsignal s(t) eine endliche Energie E s = ˆ s(t) 2 dt (1.4) besitzt, so besitzt das Bandpass-Signal ebenfalls eine endliche Energie und beide Energien sind identisch: ˆ E s = s 2 (t)dt, (1.5) E s = E s (1.6) Dies bedeutet, dass der IQ-Modulator nach Gleichung (1.3) die Energie nicht ändert. Wir haben dies durch den Vorfaktor 2 in der Gleichung erreicht. Diesen Faktor kennen wir schon von der Definition des Effektivwertes in der Wechselstromrechnung. Bei unserem komplexen Basisbandsignal haben wir es also gewissermaßen mit Effektivwerten zu tun. Das Signal im Frequenzbereich Abbildung 1.3 zeigt die Betragsquadrate der beiden Signale im Frequenzbereich: S(f) steht für das Basisband und S(f) für das Bandpass- Signal. Das Basisband-Signal liegt zwischen B/2 und B/2. Die Bandbreite des Tiefpass- Signals im Basisband ist also B/2. Mit B bezeichnen wir immer die Bandbreite des Bandpass-Signals mit Mittenfrequenz f 0 (Annahme: f 0 > B/2). Es gilt wegen der Parsevalschen Gleichung (siehe Vorlesung Signale und Systeme [8]) ˆ E s = S(f) 2 df

16 16 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG a) S(f) 2 f 0 0 f 0 f B B b) S(f) 2 0 f B Abbildung 1.3: Basisband- und Bandpass-Signal im Frequenzbereich. und E s = ˆ S(f) 2 df Man erkennt beim Vergleich zwischen dem Bild oben und dem unten, dass die gelben Flächen unter den Kurven gleich sind und deshalb Gleichung (1.6) gilt. Streng genommen müssen wir dabei voraussetzen, dass die Bandbreite begrenzt ist und das Signal außerhalb davon exakt verschwindet. In der Realität gilt dies aber nur näherungsweise. Gleichung (1.6) ist dann auch nur näherungsweise richtig. Bei unseren prinzipiellen Überlegungen können wir aber von der Vorstellung ideal bandbegrenzter Signale ausgehen. Praktisch ist der Unterschied ohnehin meist nicht messbar. Der IQ- Demodulator (auch: Quadraturdemodulator) ist das Gegenstück zum IQ- Modulator und macht dessen Wirkung gerade wieder rückgängig. Wenn das Bandpass- Signal nicht unterwegs gestört wurde, wandelt er also s(t) exakt wieder in x(t) und y(t) um. Abbildung 1.4 zeigt das Blockschaltbild des IQ-Demodulators. Das Signal wird mit einer Kosinus- und einer (negativen) Sinusschwingung multipliziert und anschließend mit einem idealen Tiefpass (TP) der Bandbreite B/2 gefiltert. Im Prinzip kann hier auch irgendein anderes TP-Filter verwendet werden, solange es nur die Frequenzanteile bei

17 1.2. DIE BAUSTEINE EINER DIGITALEN ÜBERTRAGUNGSKETTE 17 TP x(t) s(t) 2cos(2πf0 t) 2sin(2πf 0 t) TP y(t) Abbildung 1.4: IQ-Demodulator. 2f 0 entfernt, die durch die Multiplikation mit den Trägerschwingungen entstehen 9. Die Trägerschwingungen haben wieder einen Vorfaktor 2, der dafür sorgt, dass die Energie nicht verändert wird Der Übertragungskanal Zwischen Modulator und Demodulator liegt der Übertragungskanal. Der Übertragungskanal entspricht dem physikalischen Medium zwischen Modulator und Demodulator, durch welches das urspüngliche Signal verändert ( gestört ) wird. Hierzu ist nicht nur die eigentliche Übertragungsstrecke (z. B. die Funkverbindung oder das Kabel) zu zählen, sondern auch die verschiedenen Störquellen im Sender und Empfänger. Die wichtigste Störquelle ist das thermische Rauschen im Empfänger. Hinzu kommen aber auch vom Menschen erzeugte Störsignale von außen, die man als man-made noise bezeichnet. Nichtlineare Verzerrungen im Sender oder Empfänger sind ebenfalls dem Übertragungskanal zu zuordnen. Lineare Verzerrungen durch unterschiedliche Signallaufzeiten sind in terrestrischen Funkkanälen fast immer die Regel. In Mobilfunkkanälen verursacht noch die Bewegung von Sender und/oder Empfänger eine Zeitvarianz der Übertragung und damit eine weitere Komplikation. In dieser Vorlesung beschränken wir uns auf eine Übertragung, die nur durch das thermische Rauschen gestört wird, wie dies z. B. bei einem Satellitenempfang mit Parabolspiegel der Fall ist. Mobilfunkkanäle werden in der weiterführenden Vorlesung Mobilfunk- Übertragungstechnik behandelt. AWGN steht für Additive White Gaussian Noise und be- Der AWGN-Kanal: deutet: 9 An späterer Stelle lernen wir das signalangepasste Filter (Matched Filter) kennen, dass vor der Abtastung im Demodulator kommt und ebenfalls ein TP ist. Dann ist der ideale Tiefpass hier redundant.

18 18 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG Das Rauschsignal überlagert sich additiv dem Nutzsignal. Das Rauschsignal hat ein weißes Spektrum, d. h. die Rauschleistung ist von der Frequenz unabhängig, siehe Abbildung 1.5. Die (mittlere) Rauschleistung, die man Spektrale Leistungsdichte (einseitig) N0 B N 0 0 B Abbildung 1.5: Weißes Rauschen in Frequenzbereich. mit einem idealen rechteckigen Bandpassfilter der Breite B misst, ist f P N = N 0 B, (1.7) und zwar unabhängig von der Mittenfrequenz des Filters. Die Größe N 0 nennt man die spektrale Rauschleistungsdichte. Ihre Dimension ist [W/Hz]. Offensichtlich ist [W/Hz]=[Ws]=[J]. Eine spektrale Leistungsdichte hat also dieselbe Dimension wie eine Energie. Das Rauschsignal hat eine Gaußsche Statistik: Wenn man nach einem beliebigen (linearen) Filter das Rauschsignal abtastet, so sind die Abtastwerte x i Zufallsvariablen mit einer Gausschen Wahrscheinlichkeitsdichte ( 1 p Gauss (x) = exp 1 ) 2πσ 2 2σ 2x2 (1.8) mit Mittelwert µ = 0 wie sie in Abbildung 1.6 gezeigt ist. Die Varianz σ 2 entspricht der im Zeitbereich gemessenen mittleren Rauschleistung und hängt von dem Filter und von N 0 ab. Bei einem idealen rechteckigen Bandpassfilter der Breite B ist die Varianz also σ 2 = N 0 B, (1.9) denn die im Zeitbereich gemessene Leistung muss mit der im Frequenzbereich gemessenen übereinstimmen. Bei einem idealen Empfänger gilt für das thermische Grundrauschen Hierbei ist k B = J/K die Boltzmann-Konstante N 0 = k B T 0. (1.10)

19 1.2. DIE BAUSTEINE EINER DIGITALEN ÜBERTRAGUNGSKETTE p(x) x Abbildung 1.6: Die Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichte für σ = 1. T 0 die absolute Temperatur in Kelvin. Streng genommen gilt dies nur im thermschen Gleichgewicht mit der Umgebung. Ansonsten muss man die Temperatur T 0 durch die sogenannte Antennentemperatur ersetzen, die davon abhängt, wohin die Antenne ausgerichtet ist. Dieses Thema wird in der Vorlesung Hochfrequenztechnik [10] ausführlich behandelt. Für T 0 = 290K = 17 C gilt N 0 = J = mw/hz = 174dBm/Hz Für reale Empfänger addiert man dazu die in Dezibel ausgedrückte Rauschzahl. Diese charakterisiert die Implementationsverluste. Ein Beispiel: Rauschzahl = 4 db N 0 = 170dBm/Hz Der Rauschabstand (SNR: signal-to-noise ratio) ist das Verhältnis zwischen Signalleistung P S und Rauschleistung P N : Wir notieren folgende Tatsachen: SNR = P S P N (1.11)

20 20 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG Quadraturmodulator und Quadraturdemodulator ändern weder die Signalleistung noch die Rauschleistung. Der Rauschabstand ist also im komplexen Basisband derselbe wie im Bandpassbereich. Beim optimalem Empfangsfilter ist der analoge Rauschabstand gleich dem Rauschabstand der Abtastwerte nach dem Filter. Die Diskussion hierzu folgt später. Die Rauschleistung P N ist immer definiert als die Leistung nach dem Empfangsfilter, denn bei einer unendlichen Bandbreite ist auch die Rauschleistung unendlich, und die Definition wäre sinnlos. Dieses Empfangsfilter ist in der Praxis nicht rechteckig. Wie in Abbildung 1.7 gezeigt, definieren wir die Rauschbandbreite B Noise des realen Filters (oberes P S SNR N 0 f P N = N 0 B Noise P S SNR N 0 Rauschbandbreite B Noise Abbildung 1.7: Rauschbandbreite. f Bild) als die Breite eines fiktiven Rechteckfilters (unteres Bild), das dieselbe Rauschleistung hindurchlässt wie das reale Filter. Es gilt also P N = N 0 B Noise. (1.12) Die reale Bandbreite ist immer etwas größer als die Rauschbandbreite. 1.3 Das Übertragungsmodell Um möglichst frühzeitig zu konkreten Beispielen für digitale Modulationsverfahren zu kommen und diese auch im Praktikum zu simulieren, führen wir jetzt das dafür benötigte Übertragungsmodell ein. Wir werden hierbei ein paar anschaulich plausible Tatsachen vorwegnehmen und die mathematisch sauberen Beweise dazu auf später verschieben Das kontinuierliche komplexe Basisbandmodell Der IQ- Demodulator am Empfänger verwandelt das additive reelle Rauschsignal in ein additives komplexes Basisband-Rauschsignal n(t). Die IQ-Umsetzung verändert weder die

21 1.3. DAS ÜBERTRAGUNGSMODELL 21 Leistung des Nutzsignals noch die des Rauschens, und der Rauschabstand bleibt dabei natürlich auch gleich. Unser Modell ist deshalb ein Komplexer AWGN-Kanal: Der physikalisch reale AWGN-Kanal für das Bandpass- Signal ist äquivalent zu einem AWGN-Kanal im Basisband mit komplexem Basisbandrauschen. Abbildung 1.8 zeigt dieses Modell. Symbol Mapper Pulsform- Filter b l s l g(t) AWGN ˆb l Entscheider r l T S Empfangs- Filter (MF) g ( t) Abbildung 1.8: Das Basisband-Übertragungsmodell für QAM und PSK. Wir betrachten zunächst nur die wohl wichtigsten Modulationsverfahren PSK (Phase- Shift Keying) und QAM (Quadrature Amplitude Modulation), die wir bereits in der Vorlesung Signale und Systeme [8] kennengelernt haben. Bei diesen Übertragungverfahren wird jeweils pro Symbolperiode T S ein Tupel (b 1,...,b K ) von K Bits auf ein komplexes Symbol abgebildet. Diese Abbildung wird als Symbol Mapping bezeichnet und der zugehörige Funktionsblock als Symbol Mapper. Mit der Folge s l dieser komplexen Symbole wird ein Pulsform-Filter mit Pulsform g(t) angeregt, welches als Output das komplexe Basisbandsignal s(t) liefert. Der zeitliche Abstand zweier aufeinanderfolgender Symbole s l ist die Symbolperiode (oder auch Symboldauer) T S. Zum Takt Nr. l wird also das Signal s l g(t lt S ) erzeugt. Das komplexe Basisbandsignal ist dann die Überlagerung s(t) = l s l g(t lt S ). (1.13) An die Summe haben wir deshalb keine Grenzen geschrieben, um nicht festzulegen, wie viele Symbole übertragen werden. Der Ausdruck kann z. B. für s(t) = s l g(t lt S ) l=0 oder s(t) = s l g(t lt S ) l=

22 22 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG oder stehen. L 1 s(t) = s l g(t lt S ) l=0 In unserem Modell wird das Signal s(t) nun additiv gestört durch weißes komplexes Basisbandrauschen, das wir als komplexes AWGN bezeichnen. Nach dem komplexen AWGN-Kanal erfolgt eine Empfangs-Filterung, die optimal an die Pulsform g(t) angepasst ist. Dieses signalangepasste Filter wird meist (englisch) als Matched Filter (MF) bezeichnet. Nach dem Matched Filter wird das Empfangssignal mit der Taktperiode T S abgetastet. Aus den Abtastwerten r l (den Empfangssymbolen) wird dann eine Entscheidung über die gesendeten Bits b l getroffen. Diese (möglicherweise falsch) entschiedenen Bits nennen wir ˆb l. Wir nehmen folgendes wichtiges Resultat vorweg: Matched Filter: Das Matched Filter zu der Pulsform g(t) hat eine Impulsantwort proportional zu g ( t). Um dies herzuleiten, kann man von zwei verschiedenen Optimierungskriterien ausgehen, die beide auf das selbe Resultat führen. Das MF g ( t) hat nämlich folgende Eigenschaften: 1. Das Matched Filter g ( t) ist das Empfangsfilter, das auf den besten Rauschabstand in den Abtastwerten r l führt. 2. Die Abtastwerter l nach dem Matched Filterg ( t) enthalten (beim AWGN-Kanal) die vollständige statistische Information über das Signal und ermöglichen deshalb die optimale Entscheidung über die Sendefolge s l. Normierung der Pulse: Wir betrachten ein einziges Sendesymbols 0, das unverzögert über einen rauschfreien Kanal übertragen wird. Das Sendesignal lautet dann: s(t) = s 0 g(t) (1.14) Den freien Proportionalitätsfaktor beim MF setzen wir auf Eins. Das Empfangsymbol, d. h. der Abtastwert zur Zeit t = 0 nach dem MF g ( t) ist dann gegeben durch r 0 = [g ( t) s(t)] t=0 = s 0ˆ g(t) 2 dt. Es vereinfacht die Betrachtung erheblich, wenn für die Übertragung eines einzigen unverrauschten Symboles das Empfangssymbol gleich dem Sendesymbol ist und wir nicht noch einen konstanten Faktor mit berücksichtigen müssen. Deshalb normieren wir die Pulse so, dass ˆ g(t) 2 dt = 1 (1.15)

23 1.3. DAS ÜBERTRAGUNGSMODELL 23 gilt 10. Das quadratische Signal s(t) 2 hat die Dimension einer Leistung. Die Energie des Signales (1.14) lautet ˆ 2ˆ s(t) 2 dt = s 0 g(t) 2 dt = s 0 2. Die Pulsnormierung (1.15) hat also zur Konsequenz, dass s 0 2 und r 0 2 und damit auch s l 2 und r l 2 die Dimension einer Energie haben. Für unterschiedliche Zeitindizes l ist diese Energie im allgemeinen verschieden. Wir verwenden deswegen als Bezugsgröße die Mittlere Symbolenergie: Dabei ist mit Sie ist definiert durch { E S = E s l 2}. (1.16) E { X 2} der statistische Mittelwert (d. h. der Erwartungswert) der Zufallsvariablen X gemeint. An dieser Stellen muss man eigentlich ein wenig genauer sein: Eine Energie ordnet man einem Signal zu, mit dem im Allgemeinen viele Symbole übertragen werden. Damit diese Definition zu dieser Vorstellung passt, muss die mittlere Energie eines Signales L 1 s(t) = s l g(t lt S ) l=0 aus einer beliebigen Anzahl von L Symbolen gerade den Wert LE S haben. Es muss also gelten: ˆ L 1 2 { E s l g(t lt S ) dt = LE s l 2} (1.17) l=0 Unter vernünftigen Annahmen kann man die Richtigkeit dieser Gleichung (für beliebige L) auch beweisen, siehe Anhang A.1. Wir gehen im Folgenden von der Richtigkeit dieser Gleichung aus. Die mittlere Signalleistung P S ergibt sich aus der mittleren Symbolenergie E S einfach, indem man durch die Symbolperiode T S teilt: P S = E S T S. (1.18) Achtung: Mit E S bzw. mit P S ist die Symbolenergie bzw. die Signalleistung am Empfänger zu gemeint, und zwar nach der Antenne, aber vor der ersten Verstärkerstufe. Dieses Definition ist vernünftig, wenn es um die Bewertung der Verfahren geht. 10 Man kann also sagen, dass die Pulse auf die Energie Eins normiert sind. Es gibt andere Möglichkeiten der Normierung. Wir gehen darauf ausführlich im Anhang A.3 ein.

24 24 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG Das zeitdiskrete Basisbandmodell Wir betrachten zunächst eine Übertragung wie in Abbildung 1.8, aber ohne Rauschen, und stellen die Forderung, dass dabei r l = s l für alle l gilt. Dies bedeutet, dass das Empfangsymbol r l nur von einem einzigen Sendesymbol s l abhängt und nicht auch noch z. B. von s l 1 und s l 2. Man sagt in diesem Fall: Es tritt keine Intersymbolinterferenz (ISI) auf. Hierzu sind besondere Anforderungen an die Pulsform g(t) zu stellen, die wir aber erst an späterer Stelle diskutieren werden (Stichwort: Nyquist-Kriterium). Wir nehmen im Folgenden an, dass diese Bedingungen erfüllt sind. Nun betrachten wir das komplexe weiße Rauschen n(t) alleine (ohne Signal). Hier liefert unser Blockschaltbild nach der Abtastung am Empfänger die Folge der Rauschsamples n l = [g ( t) n(t)] t=lts = ˆ Dann sind die Empfangssymbole gegeben durch g (τ lt S ) n(τ)dτ. r l = s l +n l. (1.19) Dies bezeichnet man als diskreten komplexen AWGN-Kanal. Alle Größen in dieser Gleichung sind im Allgemeinen komplex. Die Empfangssymbole, die Sendesymbole und die Rauschsamples kann man zerlegen in Real- und Imaginärteil: I Komponente Komplexes Basisband x l x l +ξ l ξ l Q Komponente s l r l y l y l +ζ l n l ζ l Abbildung 1.9: Das zeitdiskrete Übertragungsmodell für QAM und PSK. r l = u l +jv l s l = x l +jy l n l = ξ l +jζ l

25 1.3. DAS ÜBERTRAGUNGSMODELL 25 Damit gilt: u l = x l +ξ l v l = y l +ζ l Der komplexe, diskrete AWGN-Kanal zerfällt also in zwei reelle, diskrete AWGN-Kanäle wie in Abbildung 1.9 dargestellt. Diese beiden Kanäle kann man tatsächlich getrennt betrachten (der Beweis folgt später), denn: Diskretes komplexes weißes Rauschen n l = ξ l +jζ l hat folgende Eigenschaften: Die reellen Rauschsamplesξ l undζ l in beiden Komponenten sind voneinander statistisch unabhängige Zufallsgrößen mit derselben Gaußverteilung (2.69). Außerdem sind die reellen Rauschsamples ξ l und ζ l für unterschiedliche Taktindizes l voneinander unabhängig. Für die Varianz der reellen Samples gilt σ 2 = E { ξl 2 } { } = E ζ 2 l σ 2 = N 0 2, (1.20) wobei wir wieder die Pulsnormierung (1.15) verwendet haben. Für die Varianz der komplexen Rauschsamples gilt dann { E n l 2} = 2σ 2 = N 0, (1.21) d. h. die mittlere Leistung eines Rauschsamples setzt sich zusammen aus der Summe der Rauschleistungen in I und Q. Achtung: Die Varianz (1.21) hat aufgrund der Pulsnormierung (1.15) die Dimension einer Energie und nicht die einer Leistung. Die zugehörige echte physikalische Rauschleistung (der Samples) ist gegeben durch P N = N 0 T S. (1.22) Tatsächlich stimmt dies mit der oben gewonnenen Formel für die analoge Rauschleistung überein, wenn die Bedingung P N = B Noise N 0 (1.23) B Noise = 1 T S (1.24) erfüllt ist. Diese ist für eine wichtige Klasse von Pulsen erfüllt und wir können bei unseren Betrachtungen in der Regel die Gültigkeit dieser Bedingung voraussetzen. Eine genauere Diskussion findet sich im Anhang A.4.

26 26 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG Der zeitdiskrete Rauschabstand ist nun auf natürliche Weise gegeben als das Verhältnis der Varianzen von Signal und Rauschen: SNR diskret = E { s l 2} { E n i 2} = E S (1.25) N 0 Wenn die Bedingung (1.24) erfüllt ist, stimmt dies mit überein. SNR analog = P S B Noise N 0 = E S/T S B Noise N 0 Beachte: Die Größen E S und N 0 besitzen dieselbe Dimension [J]=[W/Hz]. Daher ist die Größe E S /N 0 dimensionslos. 1.4 Bandbreiteneffizienz und Leistungseffizienz Ein wichtiges Ziel bei dem Entwurf eines digitalen Übertragungssystem ist die Optimierung der Parameter Bandbreiteneffizienz und Leistungseffizienz. Die für die Übertragung zur Verfügung stehende Bandbreite und die erreichbare Empfangsleistung sind beides in der Regel begrenzte und kostspielige Ressourcen, mit denen man möglichst sparsam umgehen muss. Mit diesen zur Verfügung stehenden Ressourcen möchte man einen möglichst hohen Datenstrom als Nutzlast transportieren. Wir machen also eine Kosten-Nutzen-Rechnung: Die Kosten werden durch Bandbreite und Empfangsleistung verursacht, welche notwendig sind, um einen erforderlichen Nutzen zu bringen. Dieser Nutzen ist die sichere Übertragung eines Datenstroms. Bitrate: Der Größe des Datenstromes bezeichnen wir als Bitrate R b. Die Einheit für R b ist [bit/s] (sprich: Bit pro Sekunde ) oder auch [kbit/s] und [Mbit/s] ( Kilobit pro Sekunde und Megabit pro Sekunde ) 11. Die Zeit T b = 1 R b (1.26) ist die Bitperiode (auch: Bitdauer), also die Zeitdauer, die für die Übertragung eines Bits benötigt wird. Unter der Bitrate R b verstehen wir immer die Bitrate der Nutzlast, d. h. die Netto-Bitrate. Welche Brutto -Bitrate nach einem eventuell eingesetzten Kanal- Encoder auftaucht, interessiert hier nicht. Wir vermeiden es der Eindeutigkeit halber deshalb lieber, bei dem Takt des codierten Datenstromes von Bitrate zu sprechen und dessen Takt in bit/s zu messen. Dieser Takt ist aber insofern von Bedeutung, als er die Bandbreite bestimmt. 11 Vorsicht, Falle: Ein kbit/s sind genau 1000 bit/s und nicht etwa 1024, wie man vielleicht in Anlehnung an die Gepflogenheiten in der Informatik meinen könnte. Entsprechend sind 1 Mbit/s genau 1000 kbit/s.

27 1.4. BANDBREITENEFFIZIENZ UND LEISTUNGSEFFIZIENZ 27 Bandbreite: Die zum Übertragung benötigte Bandbreite B wird in der Einheit [Hz] oder auch [khz] und [MHz] gemessen. Unter der Bandbreite versteht man hier die wirklich von dem Signal im Spektrum belegte Bandbreite und nicht etwa die 3-dB-Bandbreite oder eine ähnliche Filter-Kenngröße. Bei theoretischen Untersuchungen kann man mit Spektren arbeiten, die exakt auf Null abfallen und wo die Definition der Bandbreite deshalb kein Problem darstellt. Für prinzipielle Betrachtungen hilft dies weiter. In der Praxis fällt kein Spektrum exakt auf Null ab. Daher ist hier die Definition der belegten Bandbreite schwieriger und hängt davon ab, in welchem Abstand man das Spektrum wieder verwenden kann ( frequency reuse factor ), ohne dass gegenseitige Störungen auftreten. Empfangsleistung: Um ein Empfangssignal (möglichst) fehlerfrei demodulieren und decodieren zu können, ist bei jedem Übertragungsverfahren eine gewisse Mindest - Empfangsleistung P S des Signals notwendig. Leistung misst man in Watt [W]. Weil Empfangsleistungen aber sehr klein sind, verwendet man die Dezibel-Skala und macht die Angaben in [dbmw] (Dezibel Milliwatt), abgekürzt geschrieben [dbm]. Bei einem Mobilfunk- Handy nach dem Standard GSM gewährleistet z. B. P S = 100 dbm = mw = W einen hinreichend guten Empfang für Sprache. Die Empfangsleistung ist gegeben durch die Sendeleistung abzüglich (in Dezibel) der Streckendämpfung. Eine typische Sendeleistung einer Basisstation beim Mobilfunk ist 10 W = 40 dbm. Die Streckendämpfung bei diesem Beispiel beträgt also 140 dbm, d. h. das Empfangssignal ist um den Faktor gegenüber dem Sendesignal gedämpft. Proportionalitätsregel von Kosten und Nutzen: Für einen fairen Vergleich verschiedener Verfahren ist es wichtig, die Bandbreite und die notwendige Empfangsleistung (die Kosten ) immer auf eine feste Bitrate (also einen festen Nutzen ) zu beziehen. Bei jedem gegebenen Übertragungsverfahren sind die Kosten Bandbreite und Leistung proportional zu dem Nutzen Bitrate. Eine doppelt so hohe Bitrate benötigt jeweils doppelt so viel Bandbreite und Leistung. Nach dieser Klärung der Begriffe wollen wir die Merkmale Bandbreiteneffizienz und Leistungseffizienz erläutern Bandbreiteneffizienz Die Bandbreiteneffizienz η gibt an, welche Bitrate (wieviel bit/s) pro Hz Bandbreite übertragen wird: η[bit/s/hz] = R b[bit/s] (1.27) B[Hz] Die Einheit ist [bit/s/hz] oder auch [Mbit/s/MHz]. Die Bandbreiteneffizienz von M-PSK und M-QAM: Um den Begriff an konkreten Beispielen zu erläutern, geben wir die theoretischen Obergrenzen für die Bandbreiteneffizienz von PSK und QAM hier schon an. Bei diesen Verfahren werden jeweils K Bits auf ein komplexes Symbol abgebildet. Es gibt also M = 2 K (1.28)

28 28 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG verschiedene Symbole. Man spricht deshalb von M-PSK und M-QAM. Die Symbolperiode T S ergibt sich aus der Bitperiode T b als T S = log 2 (M) T b. (1.29) Die theoretische Mindestbandbreite B min ergibt sich aus der Symbolperiode durch B min = 1 T S. (1.30) Dies führt auf die Zahlen in Tabelle 1.1. Offenbar gilt hier gerade η = log 2 (M). (1.31) Die Zahlen in der Tabelle setzen ein ideales Rechteckspektrum voraus, welches nicht realisierbar ist. Näher an der Realität sind sogenannte Raised-Cosine-Spektren, die wir später ausführlicher diskutieren. Sie werden durch einen Rolloff-Faktor α (0 α 1) charakterisiert. Hier gilt die Beziehung B = 1+α T S. (1.32) Bei einem Rolloff-Faktor von beispielsweise α = 0.5 vergrößern sich die aus der Tabelle berechneten Werte für die Bandbreite also um 50%. Tabelle 1.1: Bandbreiteneffizienz η von PSK und QAM Verfahren 2-PSK (BPSK) 4-QAM (QPSK) 8-PSK 16-QAM 64-QAM η 1 bit/s/hz 2 bit/s/hz 3 bit/s/hz 4 bit/s/hz 6 bit/s/hz Leistungseffizienz Die Leistungseffizienz gibt an, welche Bitrate R b = 1/T b man pro Watt Signalleistung P S (gemessen nach der Empfangsantenne) hinreichend fehlerfrei empfangen kann. Dieser Quotient lautet R b = 1 = 1. P S P S T b E b Hier haben wir die Bitenergie E b = P S T b = P S R b (1.33) eingeführt. Dies ist die Energie, die pro Nutzbit am Empfänger amkommt.

29 1.4. BANDBREITENEFFIZIENZ UND LEISTUNGSEFFIZIENZ BPSK u. 4 QAM 8 PSK 16 QAM 64 QAM 10 2 P b E b /N 0 [db] Abbildung 1.10: Bitfehlerkurven für einige Übertragungsverfahren. Merke: Energie pro Bit = Leistung pro Bitrate Offenbar ist es dasselbe, ob man angibt, wieviel Joule ein Bit benötigt oder ob man angibt, wieviel Watt man pro bit/s benötigt. Merke: Die Leistungseffizienz ist gegeben durch 1/E b. Natürlich benötigt ein Empfänger mit stärkerem Rauschen eine höhere Empfangsleistung pro Bitrate als einer mit schwächerem Rauschen. Es ist anschaulich direkt verständlich und wir werden später beweisen, dass dieser Zusammenhang eine direkte Proportionalität ist: Bei doppelt so starkem Rauschen benötigt man doppelt soviel Leistung pro Bitrate. Merke: Bitfehlerwahrscheinlichkeiten sind Funktionen von E b /N 0. Abbildung 1.10 zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten 12 P b für verschiedene PSK- und QAM-Verfahren als Funktion von E b /N 0. In solchen Bitfehlerkurven wird die Bitfehler- 12 Man spricht von Bitfehlerwahrscheinlichkeiten bei theoretisch berechneten und von Bitfehlerraten bei gemessenen Größen. Wir nehmen es mit der Unterscheidung nicht so genau.

30 30 KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE DIGITALER ÜBERTRAGUNG Tabelle 1.2: Relative Leistungseffizienz γ von PSK und QAM Verfahren γ γ [db] 2-PSK (BPSK) 1 0 db 4-QAM (QPSK) 1 0 db 8-PSK 3sin 2( π ) db 16-QAM db 64-QAM db wahrscheinlichkeit logarithmisch aufgetragen und E b /N 0 in Dezibel, sodass wir einen doppelt logarithmischen Plot sehen. Offenbar werden alle Kurven mit wachsender Dezibelzahl immer steiler. Wir folgern daraus, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten stärker abfallen als jede inverse Potenz von E b /N 0. Wir haben es also mit Funktionen zu tun, die ein ähnliches Abfallverhalten zeigen wie Exponentialfunktionen. Wir beobachten außerdem, dass alle Kurven praktisch die gleiche Gestalt haben und anscheinend nur um verschiedene Werte horizontal gegeneinander verschoben sind. Diese Beobachtung ist zumindest in guter Näherung 13 richtig. Eine Verschiebung auf der horizontalen Dezibel-Skala entspricht auf einer linearen Skala der Multiplikation von E b /N 0 mit einem Faktor γ im Argument der Funktion. Wenn wir BPSK als Referenzkurve mit γ = 1 = 0 db definieren, so ist der Faktor γ bei den anderen Verfahren der Verlust an Leistungseffizienz gegenüber BPSK. Wir bezeichnen γ daher als die relative Leistungseffizienz gegenüber BPSK. Die Kurven sind um lgγ db nach rechts verschoben. Wir werden diese Werte später berechnen, aber stellen sie jetzt schon einmal in Tabelle 1.2 zusammen. Wie wir daraus erkennen, benötigt zum Beispiel 16-QAM eine um den Faktor 2.5 höhere Empfangsleistung, um für die selbe Nutzbitrate dieselbe (kleine) Restbitfehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen. Die hier aufgeführten Modulationsverfahren haben alle eine geringere Leistungseffizienz als BPSK 14. Durch Modulation mit einzelnen komplexen Symbolen lässt sich in der Tat keine bessere Leistungseffizienz erreichen als mit BPSK bzw. QPSK. Dies schafft man erst durch Kanalcodierung. Übungsaufgabe: Mit 4-QAM kann man eine Datenrate von 20 Mbit/s übetragen und benötigt dafür eine Sendeleistung von 100 W und eine Bandbreite von 15 MHz. Nun soll 16-QAM für die Übertragung der selben Datenrate eingesetzt werden. Beantworten Sie bitte mit Hilfe von Tabelle 1.2 folgende Fragen: 1. Die Datenrate 20 Mbit/s bleibt gleich. Welche Sendeleistung für 16-QAM wird benötigt? Wie verändert sich die Bandbreite? 13 Die Näherung wird beliebig gut im Grenzfall kleiner Werte von P b. 14 Abgesehen von QPSK, dort ist sie gleich.

31 1.4. BANDBREITENEFFIZIENZ UND LEISTUNGSEFFIZIENZ Die Sendeleistung 100 W bleibt gleich. Welche Datenrate kann man mit 16-QAM übertragen? Wie verändert sich die Bandbreite? 3. Die Bandbreite 15 MHz bleibt gleich. Welche Datenrate kann man mit für 16-QAM übertragen? Welche Sendeleistung ist nötig? Rauschabstand versus E b /N 0 Eines der häufigsten Missverständnisse zwischen Theoretikern und Praktikern in der digitalen Übertragungstechnik beruht darauf, dass beide unterschiedliche Bezugsgrößen bevorzugen. Nach den obigen Diskussionen ist für die grundsätzliche Bewertung (Kosten und Nutzen) der erforderliche Wert für E b /N 0 die relevante Bezugsgröße zur Beurteilung der Leistungseffizienz eines Verfahrens. Bei praktischen Messungen z. B. mit einem Spectrum Analyzer kann man diese Größe aber gar nicht erkennen, denn man benötigt dazu die Kenntnis der Bitrate, die aber auf dem Messgerät gar nicht angezeigt wird und der analogen Messtechnik nicht direkt zugänglich ist. Das Messgerät misst die Bandbreite und die Leistung. Die physikalisch direkt zugängliche Größe ist daher der analoge Rauschabstand Wir setzen und SNR = P S P N. (1.34) P S = E b T b = E b R b (1.35) P N = N 0 B Noise (1.36) und erhalten: SNR = E b R b. (1.37) N 0 B Noise Wenn wir nun für den Grenzfall eines ideal rechteckigen Spektrums die Rauschbandbreite B Noise durch die Bandbreite B ersetzen, erhalten wir den Zusammenhang SNR = η Eb N 0. (1.38) Die beiden Größen unterscheiden sich also gerade um die spektrale Effizienz η. Bei den bisherigen Beispielen aus Tabelle 1.1 ist η 1. In diesem Fall sind die Bitfehlerkurven als Funktion von SNR also um 10 lgη gegenüber denen in Abbildung 1.10 nach rechts verschoben. Für M-PSK und M-QAM gilt und deshalb für den diskreten Rauschabstand Für ideale rechteckige Spektren ist E S = log 2 (M) E b (1.39) E S N 0 = log 2 (M) Eb N 0. (1.40) η = log 2 (M), (1.41) und der Ausdruck stimmt mit dem in Gleichung (1.38) überein.

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