Formelsammlung für die Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik / Statistik

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1 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Formelsammlug für de Lehrverastaltug rtschaftsmathemat / Statst zugelasse für de Klausure zur rtschaftsmathemat ud Statst de Studegäge der Techsche Betrebswrtschaft Verso vom 7.5. Korreturhwese a:

2 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst rläuterug: Dese Formelsammlug st ee rweterug der scho vorhadee Formelsammlug zu de Statst- Lehrverastaltuge m Verbudstudum. rgäzt wurde Formel aus de Lehrehete rtschaftsmathemat ud Statst 3 des MBA-Studegags. Da dese Lerehete telwese Formate vorlage de cht mehr atuell sd gab es be der fügug gelegetlch Formaterugsprobleme. So fde Se auf de erste Sete och de Kaptelummer aus der etsprechede Lerehet. De Formelsammlug wrd demächst och etspreched überarbetet. Th. Rose

3 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst.3 Zusammefassug der Smbole ud Formel.3. Smbole K : Afagsaptal Kaptal zum Beg des Jahres K : Kaptal am de des Jahres... K : Kaptal am de des Verzsugszetraums sofer K T : Kaptal ach T Tage T Z Z T : Zse m.te Jahr : Zse ach T Tage : Verzsugsdauer volle Jahre T : Verzsugsdauer Tage m : Azahl der uterjährge Zsperode : Verzsugsdauer Tage Moate Jahre usw.; / : Zsrate Zssatz q + : Zsfator : "omeller" Zssatz R K : "effetver" Zssatz : "relatver" Zssatz : "oformer" Zssatz.3. fache Zse achschüssg ud vorschüssg Z K K K Z + + K T T K K T 365 T 365 Verso vom

4 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst.3.3 Zseszse achschüssg.5 Zusammefassug der Smbole ud Formel.5. Smbole R : Retewert am de des Jahres... be achschüssger Ratezahlug R : Barwert der achschüssge Rete R : dwert der vorschüssge Rete R : Barwert der vorschüssge Rete r : Reterate jährlche Zahluge rm : Reterate uterjährlche Zahluge r : Jahresersatzrate be m achschüssge Rate pro Jahr r : Jahresersatzrate be m vorschüssge Rate pro Jahr : Azahl der jährlche Reterate m : Azahl der Reterate pro Jahr q : Zsfator.5. achschüssge Rete 4 Verso vom 7.5.

5 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Aus der Reteedwertformel abgeletete Formel: Aus der Retebarwertformel abgeletete Formel: q R r q R + r.5.3 Vorschüssge Rete Verso vom

6 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Aus der Reteedwertformel abgeletete Formel: Aus der Retebarwertformel abgeletete Formel:.5.4 Uterjährge Ratezahluge r rm m + m 6 Verso vom 7.5.

7 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst r rm m + m + De Jahresersatzrate ud sd glechwertg äquvalet eer malzahlug zum Jahresede achschüssge Rete. Daher st be Ratezahluge de über mehrere Jahre laufe aschleßed stets mt de Formel gemäß.5. zu reche! Verso vom

8 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst 3.4 Zusammefassug der Smbole ud Formel 3.4. Smbole T : ostate Tlgugsrate t : Jahreslaufde t... : Tlgugsdauer Jahre T t : Tlgugsrate m Jahre t t... T r : Tlgugsrest Restschuld zu Beg des letzte Jahres Z t : Zse des Jahres t A : ostate Autät Zse plus Tlgug A t : Autät m Jahre t m : Azahl der uterjährge Tlgugsperode A m : Autät be m uterjährge Perode Autätetlgug s : Perodelaufde s... m S : Schuldsumme am de des Jahres zu Beg des Jahres S t : Restschuld am de des Jahres t * : - achommastelle vo sofer ; * sofortger : Tlgugsdauer uterjährge Perode be Zs- ud Tlgugsverrechug mest: : Zssatz 8 Verso vom 7.5.

9 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst : Zsfator R m : relatver Zssatz : Zsfator uterjährg 3.4. Tlgug mt ostate Jahresrate T T T... T mt T S Tlgug mt ostate uterjährge Rate T S m Jährlche Autätetlgug Verso vom

10 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst T A Z log A log T mt log q Tlgug mt uterjährge Autäte Be sofortger Zs- ud Tlgugsverrechug gelte de Formel vo aalog. Des bedeutet z.b.: mt Verso vom 7.5.

11 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Glossar Abzse Dsotere Umrechugsverfahre mt dem der Zuuft afallede oder zu lestede Zahluge auf ee frühere Zetput umgerechet werde; z.b. ermttelt ma be gegebeem daptal K Laufzet ud Zsfator q das Afagsaptal K für de Zetput mttels Dsotere durch: K K q Autät Summe aus Zse ud Tlgug de e Schulder a de Gläubger für de Gewährug ees Darlehes je Perode Jahr Halbjahr Quartal oder Moat zu zahle hat Autätetlgug Tlgugsverfahre be dem für alle Perode de Summe aus Zse ud Tlgug ostat st; de Autät A berechet sch be vorgegebeer Laufzet Zsfator q ud Afagsschuld S durch: A S q q q Äquvalezprzp Gruddee der Fazmathemat ach der Zahluge ur verglche werde öe we se auf de gleche Term bezoge sd; Zahluge de zu verschedee Terme afalle müsse durch Umreche Auf- oder Abzse verglechbar gemacht werde Barwert eer Rete auf de Term abgezster ert aller zuüftge Reterate; be jährlche Zahluge glt Verso vom 7.5.

12 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst a achschüssg: R r q q q b vorschüssg: r R q efache leare Zse q q Verzsugsform be der de Perodezse ur vom Afagsaptal berechet werde d.h. de Zse werde be Laufzete de läger als Zsperode mest Jahr sd cht weder mtverzst; Grudformel: effetver Zssatz Zssatz mt dem e Kredt auf der Grudlage tagegeauer Verrechug aller Zahluge ud achschüssger Zsbelastug abgerechet wrd; dabe wrd ach U- Verordug auch m uterjährge Berech mt der poetalfuto gerechet dwert eer Rete ert auf de alle Reterate eschleßlch Zseszse bs zum de des.te Jahres awachse; für jährlche Zahluge glt be a achschüssge Zahluge: R r q q b vorschüssge Zahluge: R rq q q gemschte Verzsug Verzsugsform be der für de Laufzet vo volle Jahre mt Zseszse ud für Bruchtele ees Jahres mt efache Zse gerechet wrd; Grudformel: Verso vom 7.5.

13 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst T K K q T T K K + q Jahresersatzrate ftver ert mt dem ma uterjährge Retezahluge ee äquvalete Jahresrate umrechet; be m uterjährge Zahluge glt r rm m + m + a vorschüssg: rm m + m b achschüssg: oformer Zssatz r rfolgt de Zsgutschrft m uterjährge Perode so gbt es zu eem omelle Jahreszssatz ee äquvalete oforme uterjährge Zssatz K der zum gleche Kaptalwert führt. s glt be m uterjährge Zsperode: K m + achschüssge Rete Rete be der de Reterate jewels zum de der Perode gezahlt oder empfage werde achschüssge deursve Verzsug Zse werde am de eer Perode gezahlt bzw. belastet; der Zssatz wrd % des Afagsaptals agegebe Postumerado-Rete s. achschüssge Rete Praeumerado-Rete Verso vom

14 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst s. vorschüssge Rete Prozetautät Autätetlgug be der de Autät aus Zssatz ud Tlgugssatz des. Jahres berechet wrd; dabe wrd der Tlgugssatz % der Afagsschuld S vorgegebe Ratetlgug Tlgugsverfahre be dem de Gesamtschuld S glechmäßg über Perode getlgt wrd; de Tlgugsrate S T blebt ostat währed de Autät vo Perode zu Perode wege der ersparte Zse abmmt relatver Zssatz Quotet aus omellem jährlchem Zssatz Azahl m der uterjährge Perode: R m Redte ffetvverzsug ud Verzsug ees Kaptals uter geauer Berücschtgug aller perodebezogee zahluge ud Auszah-luge vgl. effetver Zssatz uterjährge Tlgugsverrechug Tlgugsatele werde be uterjährge Zahluge sofort uterjährg verrechet uterjährge Zse Zse de cht erst zum Jahresede gutgeschrebe bzw. belastet werde soder berets zum de der jewelge Telperode Moat Quartal Halbjahr Zseszse Verzsugsform be der de Zse ach Ablauf der jewelge Zsperode dem Kaptal zugeschlage werde 4 Verso vom 7.5.

15 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst ud der Folgeperode mtverzst werde; Grudformel: K K q Verso vom

16 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst 6 Verso vom 7.5.

17 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Häufgete Kommt e statstsches Mermal verschedee Mermalsauspräguge... vor für de be sgesamt Beobachtuge absolute Häufgete h h... h mt beobachtet werde so ergebe sch daraus etsprechede relatve Häufgete f f... f mt f ud h f... h De absolute Häufget h eer Mermalsausprägug st de Azahl der statstsche hete de dese Mermalsausprägug aufwese. st de Summe aller absolute Häufgete de Grudgesamthet s etsteht ee Häufgetsvertelug mt h h De relatve Häufget f eer Mermalsausprägug st der Quotet aus der absolute Häufget h deser Mermalsausprägug ud der Summe aller Beobachtuge. Durch de Multplato mt werde relatve Häufgete Prozet ausgedrüct. De absolute Summehäufget H ees Mermals h j j st de Summe über alle absolute Häufgete bs zu eschleßlch dem bestmmte Messwert. Verso vom

18 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst De relatve Summehäufgete blde de Atel der absolute Summehäufgete a der Grudgesamthet. De über alle erte aufadderte umulerte Summe st stets. Des etsprcht % der erte. Jede Klasse st edeutg defert durch de utere Klassegreze De Klassebrete ergbt sch aus der Dfferez vo Klasseobergreze Klasseutergreze u zu u ud de Klasseobergreze o o u ud. o. Das arthmetsche Mttel berechet sch aus der Summe aller Messwerte a eer statstsche Grudgesamthet getelt durch dere Azahl. Be zelwerte a a... a st das arthmetsche Mttel defert als µ a. Be eer Häufgetsvertelug mt verschedee erte... ergbt sch das gewogee arthmetsche Mttel zu µ h bzw. µ f. Be eer Häufgetsvertelug lassfzerter Date ergbt sch mt Hlfe der Klassemtte... äherugswese µ h bzw. µ f. Der Meda Me st derjege ert der ee der Größe ach geordete Rehe halbert ud de Messergebsse de obere ud utere 5 Prozet auftelt. Für ee ugerade Azahl vo lemete st des der mttlere ert der geordete Lste. 8 Verso vom 7.5.

19 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Für ee gerade Azahl vo lemete st der Meda das arthmetsche Mttel der bede der Mtte stehede Zahle. Zuächst werde de zelwerte a a... a so umgeordet dass glt a[ ] a[ ]... a [ ]. Da st be ugeradem Me a + ud be geradem Me a + a + Für großes a als Meda der größte Mermalswert a [ ] verwedet werde für de F a[ ] 5 glt wobe F a[ ] der ert der Summehäufgetsfuto für a [ ] st. Aalog st das. Quartl Q der größte Mermalswert a [ j] für de F a[ ] 5 j Ud das 3. Quartl Q der größte Mermalswert 3 für de F a[ l ] 75 glt. a [ l] Be lassfzerte Date ergbt sch der feberechete u Meda aus der Klasseutergreze ud der Klas- o seobergreze derjege Klasse der de Summehäufgetsfuto de ert 5 errecht: Me u 5 + F u F o u o u F Der Modus st als de häufgste Mermalsausprägug defert. Be lassfzerte Date wrd als Modus de Klassemtte der Klasse mt der größte Säulehöhe m Hstogramm gewählt. Be zelwerte st de Varaz defert als σ a µ a µ. Be Häufgetsverteluge erhält ma de Varaz zu σ µ h h µ Verso vom

20 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst bzw. µ h σ f f µ f f h Be eer Häufgetsvertelug lassfzerter Date ergbt sch de Varaz äherugswese zu σ í µ h h µ f µ f µ. De Stadardabwechug σ ergbt sch jewels als σ σ. Stchprobevaraz s bzw. dort wrd als Frehetsgrad der Varaz der Stchprobe bezechet. Der Varatosoeffzete bezeht als Quotet de Stadardabwechug auf das arthmetsche Mttel. Varatosoeffzet VC σ σ VC bzw. VC % µ µ Verso vom 7.5.

21 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst De Spawete ergbt sch uomplzert als Dfferez zwsche dem größte ud dem leste Mermalswert ud a scho be ordal salerte Date Verwedug fde. Spawete R De zelwerte a a... ageordet so dass glt a[ ] a[ ]... a [ ]. a werde der Größe ach Da st R a[ ] a [ ] Der Korrelatosoeffzet ach Fecher berechet sch als: r F Des bedeutet Ü Ü + wobe bzw. Ü Azahl der de Vorzeche ü- berestmmede Paare ud oder auch Azahl der de Vorzeche. cht überestmmede Paare Fälle dee ee der Dffereze de ert ergbt werde jewels zur Hälfte de Überestmmuge ud de chtüberestmmuge zugeordet. Se erteberech legt zwsche r. De Kovaraz st ee Kezahl für de gemesame Streuug vo X ud Y ud st we folgt defert. Cov Verso vom 7.5.

22 Verso vom 7.5. Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Learer fachorrelatosoeffzet drete Berechug aus de erte ud r r Dabe st: Dab ;Azahl der statstsche hete vo Azahl Y vo arthmetsches Mttel X vo arthmetsches Mttel Y Varaz vo var X Varaz vo var Y ud X zwsche Kovaraz cov - / var var cov r r Leare Regresso s bedeute m folgede: -ter beobachteter ert der uabhägge Varable... -ter beobachteter ert der abhägge Varable... ŷ -ter geschätzter ert der abhägge Varable... e ˆ Abwechug der geschätzte vom beobachtete ert der abhägge Varable Resduum...

23 Verso vom 7.5. Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst 3 Bestmmug der leare fachregressosfuto ach der Methode der leste Quadrate Stchproberegressosoeffzete b b Stchproberegressosfuto b b ˆ +... bzw. b b ˆ + geschafte der Regressosfuto e e ˆ Formel Zerlegug der Abwechugsquadratsumme SQT e SQR ˆ b b SQ ˆ

24 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst SQT SQR + SQ Streuugsursache SQ Summe der Abwechugsquadrate SQ Quadratsumme der erlärte Abwechuge oder durch de Regresso erlärte Abwechugsquadratsumme SQT Quadratsumme der zu erlärede Abwechuge oder zu erlärede Gesamtabwechugsquadratsumme SQR Quadratsumme der chterlärte Abwechuge Quadratsumme der Resdue oder chterlärte Abwechugsquadratsumme Leares efaches Bestmmthetsmaß r SQ SQT r e ˆ SQR SQT Learer fachorrelatosoeffzet b r r sg r 4 Verso vom 7.5.

25 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Smbole für Prese ud Mege j p : Pres des Gutes j zur Basszet j p : Pres des Gutes j zur Berchtszet j q : Mege des Gutes j zur Basszet j q : Mege des Gutes j zur Berchtszet Presde ach Lasperes L j p q j p q P % % j j p q p q j Presde ach Paasche p j p q j p q P % % j j p q p q j Verso vom

26 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst ahrsche lchet güstges rgebs Azahl güstge rgebsse Azahl möglche rgebsse g m Vorgag habe de rgebsse A ud B. Mt A B wrd de ahrschelchet bezechet dass A etrtt we ma weß dass B scho egetrete st. Des et ma auch de bedgte ahrschelchet für A falls B. r betrachte u ee Vorgag be dem sch uterschedlche rgebsse estelle öe vo dee wr weder ud betrachte. Da st de ahrschelchet dass sch ud estelle gegebe durch de ahrschelchet dass sch estellt multplzert mt der ahrschelchet für falls scho egetrete st. Also Sd de regsse ud uabhägg voeader da glt Köe sch be eem Vorgag de rgebsse ud estelle da st de ahrschelchet dass sch das ee oder das adere rgebs estellt oder bede gegebe durch ODR + + Schleße sch de regsse ud gegesetg aus glt Verso vom 7.5.

27 Verso vom 7.5. Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst 7 Be eem Vorgag gebe es uter aderem e regs A. Deses regs A hägt vo adere regsse des Vorgags ab. Dabe müsse dese j sch gegesetg ausschleße ud alle j zusamme alle möglche rgebsse umfasse. Das heßt also j j j j ud ud j mt alle für Da glt für A... A A A A + + also A A Des st de sogeate Formel für de totale ahrschelchet. Damt st A A A A Also A A A Des st de Baes sche Formel. De Azahl Möglchete aus lemete auszuwähle we de Rehefolge wchtg st st gegebe durch Vde Azahl Varatoe vo aus lemete ud st bestmmt durch + V!! V De Azahl deser Permutatoe P st da gegebe durch

28 Verso vom 7.5. Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst 8!!!!!! P also V P De Azahl Möglchete aus lemete auszuwähle we de Rehefolge cht wchtg st st gegebe durch C de Azahl Kombatoe vo aus lemete ud wrd bestmmt durch!!!! V C C rd e Vorgag be dem e regs mt ahrschelchet p auftrtt -mal wederholt da st de ahrschelchet dass dabe geau -mal auftrtt gegebe durch de Bomalvertelug bom p p p dabe sd p p p µ σ I eer Ure befde sch lemete vo dee M lemete de geschaft habe. s wrd ee Stchprobe vo lemete aus der Ure zufällg ausgewählt. Da st de ahrschelchet dass sch der Stchprobe geau de geschaft habe gegebe durch M M M hp Des st de hpergeometrsche Vertelug. dabe st M µ M M σ

29 Verso vom 7.5. Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst 9 Be eem Vorgag be dem sch ee mttlere Azahl µ vo regsse bezoge auf ee bestmmte Fläche Zet oder adere Größe ergbt a de ahrschelchet dass sch geau regsse ergebe berechet werde durch µ posso e µ µ! Des st de Posso-Vertelug. dabe st µ σ Gaußvertelug Sd Mttelwert µ ud Stadardabwechug σ gegebe da beträgt de ahrschelchet ee ert m Itervall [ + ] zu fde σ π σ σ σ µ gauß gauß e µ w mt µ w ahrschelchet Itegrale Gaußvertelug: ] [ µ gauß d e µ σ π σ σ σ µ z

30 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst mt gauß µ σ [ z z z ] gauß µ σ z [ z z ] µ µ ud z σ σ π e z dz z z π z z e z dz e π z dz z z z z z π e z dz z z π e. 683 % 37 %. 954 % 46 % % 3 % z dz 3 Verso vom 7.5.

31 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst.. Kovaraz De Kovaraz st e Ausdruc des leare Zusammehags zweer metrsch salerter Varable. Se st defert als: m.3 s j j h Lege zelbeobachtuge vor verefacht sch de Formel zu.4 s I vele Fälle a es efacher se de Kovaraz mt Hlfe des Verschebugssatzes zu bereche. r lautet für zelbeobachtuge.5 s De Kovaraz st dabe we folgt zu terpretere: j.. Korrelato Korrelatosoeffzet ach Bravas-Pearso. r st defert als.9 r s s s. r +..3 Ragorrelato ach Spearma Im Falle ordalsalerter Date öe zur Berechug des Zusammehags de orgäre ordalsalerte Beobachtuge verwedet werde. Das beateste Zusammehagsmaß für Ragplätze st der Ragorrelatosoeffzet ach Spearma. De Vorgeheswese des Ragorrelatosoeffzete ach Spearma besteht dar de Korrelatosoeffzete ach Bravas-Pearso auf Ragplätze azuwede. Formel.9 st also übertragbar allerdgs werde de Varableauspräguge ud durch dere Räge R ud R ersetzt. Da de Ragplätze ee uuterbrochee Rehe atürlcher Zahle darstelle verefacht sch de Formel zu. 6 S R d mt d R R Verso vom

32 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst..4 Zusammehagsmaße omal salerter Varable De Messug vo Zusammehäge st be omal salerte Varable verhältsmäßg omple. Da a deser Stelle auf deses Thema ur urz egegage werde soll werde wr us auf de Spezalfall beschräe dass bede Varable dchotom sd also ur zwe Auspräguge habe. Da see de absolute Häufgete useres Datesatzes als sogeate Verfeldertafel gegebe: Summe a b a+b c d c+d Summe a+c b+d a+b+c+d Maß zur Bestmmug der Abhägget omal salerter Varable st de Verfelderorrelato:. A ad bc a + b a + c b + d c + d Das Maß a de Auspräguge A + aehme. 3 Verso vom 7.5.

33 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Regresso. Leare fachregresso Der geschätzte Zusammehag zwsche X ud Y drüct sch aus : 3. ŷ â + bˆ 3.4 â + bˆ. ormalglechug bˆ â. ormalglechug s s bˆ â bˆ.. Varazzerlegug ud Bestmmthetsmaß De Atel der erlärte Varaz a der Gesamtvaraz sŷ 3.8 B s bezechet ma als Bestmmthetsmaß. Da das Bestmmthetsmaß ee relatve Häufget darstellt glt atürlch 3.9 B Im Fall eer leare fachregresso glt außerdem verefached: 3. B r Verso vom

34 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst.3 cht-leare Regresso.3. Varabletrasformato Futo Learsert: f * * a a + b a + b b a e a e b a+ b * * * a + b * * b * a b a b l l a b l l a b l a b + e 34 Verso vom 7.5.

35 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Zetreheaalse r wolle m Folgede aehme dass sch de ver Kompoete Tred Kojutur Saso ud Zufall addtv überlager. 4. t mt + t + st + rt.. Methode zur Tredbestmmug.. Tredberechug mt der Methode der Kleste Quadrate 4. a + b t ŷ t st 4.3 bˆ s a bˆ t 4.4 â ud t t t bˆ. t.. Tredberechug mt der Methode der gletede Durchschtte. Der gletede Durchschtt für ugerade p berechet sch somt als 4.5 ~ t p mt p + t t+ t t+ + Im Fall ees gerade p z.b. be Quartals- oder Moatsdate mt p erhält ma sogeate zetrerte gletede Durchschtte: z 4.6 ~ t t + t t t+ + t+ p t+ Verso vom

36 36 Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst smmetrsche Itegrale Gaußvertelug: z Verso vom 7.5.

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