6 Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung

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1 6 Berechnung der Kaitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung 61 Wertentwicklung ohne Gut- oder Lastschrift von Zinsen Beisiele: 1 Konstante Produktionszunahme Produktion im 1 Jahr: P 1 Produktion im Jahr: P mit P P 1 = d Produktion im 3 Jahr: P 3 mit P 3 P = d P = P 1 + d, P 3 = P 1 + d,, P n = P 1 + n 1d Gesamtroduktion in n Jahren bei konstantem Produktionszuwachs: P = P 1 + P + + P n = P k = P 1 + k 1d = P 1 d + d k nn + 1 = np 1 d + d nn 1 = np 1 + d Lineare Abschreibung: Anschaffungswert: K Euro Nutzungsdauer: N Jahre } Abschreibung auf Null in N Jahren in gleichen Abschreibungsraten Wert nach 1 Jahr: Wert nach Jahren: Wert nach 3 Jahren: B 1 = K K N B = B 1 K N = K K N B 3 = B K N = K 3K N B n = K n K N B n = Bilanzwert nach n Jahren 3 Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen: Darlehenshöhe: S DM Zinssatz: % fester Tilgungssatz S N Laufzeit: N Jahre

2 Tilgungslan: Schuld Zinsen Beginn S 0 nach 1 Jahr nach Jahren S S N S S N S S S N nach N 1 Jahren S N 1 S N S N S N nach N Jahren S N S N = 0 S N 1 S N Berechnung der insgesamt gezahlten Zinsen: Z = S N S N = S = S N 1 N N + 1 N 1 k N 1N 6 Kaitalentwicklung ohne Zahlungsaktivitäten Auf ein Konto wird ein Kaital K 0 eingezahlt und ruhen gelassen, dh es gibt keine weiteren Ein oder Auszahlungen Es wird mit einem Jahreszinssatz von % verzinst und die Zinsen werden auch am Ende jeden Jahres gutgeschrieben und damit im Folgejahr mitverzinst Zinseszins Bezeichnet man mit K n das Kaital am Ende des n ten Jahres einschließlich der dann gutgeschriebenen Zinsen so erhält man die folgende Rekursionsformel für den Übergang von einem Jahr zum nächsten: K n+1 = K n + K n = K n 1 + =: K n q Den hier eingeführten Faktor q := 1 + bezeichnet man als Zinsfaktor Aus der Rekursionsformel gewinnt man sofort eine Gesamtformel für die Kaitalentwicklung: K 1 = K 0 q, K = K 1 q = K 0 q, K 3 = K q = K 0 q 3, allgemein: K n = K 0 q n, n Z 61 Diese Formel ist nicht nur in dem bei der obigen Anwendung vorliegenden Fall, K 0 > 0 und n N 0 anwendbar, sondern auch allgemeiner:

3 Ist K 0 < 0, so handelt sich um die Entwicklung einer Schuld, die stehengelassen wird K n ist also der negative Kontostand am Ende des n ten Jahres, K n also die Schuld zu diesem Zeitunkt Ist < 0, so hat man einen Wertverlust von % ro Jahr und K n ist dann der Restwert am Ende des n ten Jahres von einer Anlage mit dem Anschaffungswert K 0 Man sricht dann von geometrisch degressive Abschreibung und nennt den Abschreibungsrozentsatz Ist n Z \ N 0 so ist K n das Kaital, dass man vor n Jahren hätte einzahlen müssen, damit man zum gegenwärtigen Zeitunkt über das Kaital K 0 verfügen kann Diese Rückrechnung geschieht aber meist in einer anderen Form: Wenn man in n Jahren n wieder N 0 über das Kaital K n verfügen möchte, muss man nach Formel 61 K 0 = K n q n =: K n ϱ n einzahlen Man bezeichnet K 0 dann auch als den Barwert oder Gegenwartswert des künftigen Kaitals K n Den in dieser Formel eingeführten Kehrwert ϱ := q 1 = 1/q bezeichnet man als Diskontfaktor Man kann Formel 61 auch nach nach und nach n auflösen: q = n Kn K 0, = q 1 Dies ist also der Jahreszinssatz, wenn ein Kaital K 0 nach n Jahren einen Betrag von K n erbringt Bei der Auflösung nach n muss man aber etwas vorsichtiger sein, weil 61 nur für ganzzahlige n gilt Die assende Fragestellung dazu ist: Nach wieviel Jahren hat bei vorgegebenen Startkaital K 0 > 0 und vorgebenen Jahreszinssatz > 0 das Guthaben einen vorgegebenen Wert G > K 0 erreicht oder überschritten: Aus der strengen Monotonie des natürlichen Logarithmus folgt: K n = K 0 q n! G q n G K 0 n ln q ln G K 0 und damit erhalten wir, da q > 1 und damit ln q > 0 ist, für die Laufzeit : n lng/k 0 ln q = ln G ln K 0 ln q Wenn nun die Zinsen nicht erst am Ende Jahres, sondern am Ende eines Zeitabschnittes von 1/m Jahr gutgeschrieben Lastschrift ist negative Gutschrift werden, so kann man Formel 61 direkt übernehmen Man braucht dann nur den Jahreszinssatz durch den entsrechenden Zinssatz /m für 1/m Jahr zb /1 für einen Monat oder /360 für einen Tag zu ersetzen,

4 und mit n nicht die Zahl der Jahre, sondern die Zeitabschnitte von der Länge 1/m Jahr zu bezeichnen Wir erhalten so für den Übergang von einem Zeitabschnitt zum nächsten: K n+1 = K n 1 + /m = K n 1 + =: K n q m 6 m und damit K n = K 0 q n m, n Z 63 für das Kaital am Ende des n ten Zeitabschnittes also zum Beisiel am Ende des n ten Monats bei m = 1 ist dabei der Zinsfaktor für 1/m Jahr q m := 1 + m Wenn man nun die Kaitalentwicklung bei Zinsgutschrift nach 1/m Jahr mit der bei Zinsgutschrift nach einem Jahr vergleichen will, ist es zweckmäßig, die Zeit wieder in Jahren anzugeben Um Verwechslungen zu vermeiden, verwenden wir dazu folgende Bezeichnung: Wir erhalten die Formel: K ; m t := Kaital nach t Jahren bei Zinsgutschrift nach 1/m Jahr K ; m t = K t m = K 0 qm t m = K t m m = K m t, t m Z m Der letzte Ausdruck legt nahe, eine Größe m mit einzuführen; denn dann gilt 1 + m K ; m t = K 0! = 1 + m m t 1 + m, t m Z 64 und dies entsricht im Sonderfall t Z der Kaitalentwicklung mit jährlicher Zinsgutschrift mit einem Jahreszinssatz von m% Deshalb nennt man m := 1 + m 1 m den effektiven Jahreszinssatz, den man bei einer Zinsgutschrift nach 1/m Jahr, m N erhält Zur Unterscheidung davon bezeichnet man dann als nominellen Jahreszinsatz Dieser effektive Jahreszinssatz ist aber nur eine Vergleichsgröße Für Kaitalberechnungen verwendet man besser Formel 63

5 Macht man die Zeitabschnitte immer kleiner, dh lässt man m gegen unendlich, so führt das auf die Kaitalentwicklung bei stetiger oder momentaner Zinsgutschrift Dies wird wohl kaum bei Bankguthaben angewendet, ist aber die geeignete Beschreibung von natürlichen Wachstumsvorgängen In Analogie zu Formel 63 ist das Kaital oder besser zb die Poulationsgrösse nach t Jahren durch K ; t = K 0 t 1 +, t R 65 zu berechnen ist dabei der effektive Jahreszinssatz bei stetiger oder momentaner Zinsgutschrift Die Formel 63 wäre auch für n R gültig und damit als Gelichung nach n auflösbar, wenn man stetige Zinsgutschrift voraussetzen würde und durch ersetzen würde Gibt es nun wie bei m einen Zusammenhang zum nominellen Jahreszinssatz? Dazu rüfen wir die Poulationsentwicklung in einen kleinen Zeitintervall: K ; t + t K ; t t d dt K ; t = K = K ; t ln t ln K ; t + t K ; t + t K ; t = K ; t 1 + t ln 1 + Der zugehörige nominelle Jahreszinsatz ist also: = ln 1 + Die Umkehrung dieser Formel liefert den effektiven Jahreszinssatz, wenn der nominelle Jahreszinssatz bekannt ist: = e / 1 66 Bemerkung: Alle Formeln lassen sich auch verwenden, wenn man alles statt auf den Grundabschnitt ein Jahr einen beliebigen anderen Grundzeitabschnitt bezieht 63 Kaitalentwicklung bei regelmäßigen Ein oder Auszahlungen Wir gehen von einer beliebig festgelegten Zinsgutschrifteriode von 1/m Jahr aus K 0 sei wieder das Startkaital = Anfangsschuld, wenn K 0 < 0 ist Wir gehen zunächst davon aus, dass am Ende der Zinsgutschriftsseriode ein fester Betrages R Rate eingezahlt wird nachschüssige Zahlung Bei R < 0 handelt es sich um eine regelmäßige Auszahlung Dann bekommen wir folgende Rekursionsformel K n+1 = K n q m + R, q m := 1 + 1, m N, 67 m

6 da das vorherige Kaital verzinst wird und die Rate R unverzinst dazu kommt Wir berechnen zunächst, bei welchem Wert K des Startkaital K 0 sich das Kaital immer gleich bleibt, also K n = K für alle n Z Damit erhalten wir K! = K q m + R K = R 1 q m Wenn zb der Betrag von R > 0 regelmäßig ausgezahlt wird, so kann man beliebig lange von den Zinsen leben, wenn man über ein Kaital von K = R/1 q m > 0 verfügt ewige Rente Die allgemeine Kaitalentwicklung erhalten wir am einfachsten über die Hilfsgröße Für diese gilt K n, h := K n K K n+1, h = K n+1 K = K n q m + R K q m R = K n K q m = K n, h q m dh für K n, h gilt die Rekursionsformel 6 und damit erhalten wir nach 63: K n, h = K 0, h q n m Kombinieren wir die gewonnenen Formeln für K und K n, h so erhalten wir und damit K n = K n, h + K = K 0, h q n m + K 0 = K 0, h 1 + R 1 q m = K 0, h q n R R K 0, h = K 0 + R 1 q m K n = K 0 q n m + R qn m 1, n Z 68 Bei Einzahlung des Betrages R am Anfang der Zinsgutschriftseriode vorschüssige Zahlung erhalten wir die Rekursionsformel: K n+1 = K n + R q m = K n q m + R q m, q m := In der Formel 68 ist also nur R durch R q m zu ersetzen: K n = K 0 q n m + R q m qn m m, n Z 69 Wir wollen nun die Formeln 68 und 68 wie in Abschnitt 6 nach den darin vorkommenden Größen auflösen: K 0 = R = q n m q n m K n R qn m 1 K n R q m qn m 1 K n K 0 q n m q n m 1 K n K 0 q n m q m q n m 1 nachschüssig vorschüssig nachschüssig vorschüssig 610

7 Für die erste der beiden Formeln gibt es noch einen wichtigen Sezialfall: Nehmen wir an, eine konstante Rente R > 0 wird von einem unbekannten Kaital K 0 > 0 gezahlt, das dadurch nach n Jahren aufgebraucht ist, dh K n = 0 Dann erhalten wir qm n R qn m 1 nachschüssig K 0 = qm n+1 R qn m 1 vorschüssig Diesen Wert K 0 bezeichnet man als Barwert der Rente 611 Eine Auflösung nach q m und damit nach ist rinziiell auch möglich, erfordert aber meist die Lösung einer Polynomgleichung höheren Grades Die Auflösung nach n ist wie in Abschnitt 6 wieder nur in Ungleichungsform möglich: Wann ist ein Guthaben von G erreicht oder überschritten, wenn wir, R > 0 voraussetzen? Aus der strengen Monotonie des natürlichen Logarithmus folgt im nachschüssigen Fall:! G K 0 + K n = K 0 q n m + R qn m 1 ln R K 0 + R m! G + R = G + R m + n ln q m ln G + R m q n m Damit erhalten wir wegen ln q m > 0 für die Zahl n der Zeitabschnitte die Ungleichung lng + R m/ lnk 0 + R m/ n ln q m lng + R q m m/ lnk 0 + R q m m/ ln q m nachschüssig vorschüssig 61 Regelmässige Einzahlung innerhalb einer Zinsgutschrifteriode: Bei manchen Kontoführungen, zb bei Sarbüchern, ist es üblich, erst am Ende eines Jahres die Zinsen gutzuschreiben Beisiel: Bei einem Ratensarvertrag, für den ein Zinssatz von 3% vereinbart ist, werden monatlich vorschüssig 00 Euro eingezahlt Dies ergibt für das erste Jahr folgende Kontoübersicht:

8 Einzahlung Verzinsungszeitabschnitt Zinsen am Guthaben in Monaten Ende des Jahres / Summe = = 39 Die Zinsen für den Januarbetrag werden also nicht schon zum Zeitunkt der nächsten Einzahlung gutgeschrieben, sondern erst am Ende des Jahres Für die Kaitalentwicklung wollen wir nun allgemeine Formeln herleiten: Wir gehen von einer Zinsgutschriftseriode von 1/m Jahr aus und nehmen an, dass im Abstand von dem l ten Teil davon ein Betrag in Höhe von r vorschüssig eingezahlt wird Bei dem obigen Beisiel ist m = 1 und l = 1 Wenn nach einem Quartal die Zinsen gutgeschrieben werden und monatliche Einzahlungen erfolgen ist m = 4 und l = 3 Die Verzinsungzeiträume für die Einzahlungen innerhalb eines Zinsgutschriftszeitabschnitts sind k/l m Jahre, wobei k die Zahlen von 1 bis l durchläuft Der Übergang von dem Kaital nach n Zinsgutschriftserioden zu dem Kaital nach n + 1 Zinsgutschriftserioden ist somit: K n+1 = K n q m + r l + l r k/l m = K n q m + r l + l + 1 r = K n q m + r l + 00 m Dies entsricht dem in Formel 67 beschriebenen Übergang mit R := r l + l + 1 r 00 m l l + 1 r l m Die Katalentwicklung ist damit nach Formel 68 durch K 0 q n l + 1 r m + r l + qn m 1 vorschüssig 00 m q K n = m K 0 qm n l 1 r + r l + qn m 1 00 m nachschüssig Die Formel im nachschüssigen Fall ergibt sich daraus, dass man einen Zeitabschnitt der Länge von 1/l m Jahre weniger verzinst und damit einen die folgende Übergangsformel erhält: K n+1 = K n q m + r l + l r k 1/l m = K n q m + r l + l 1 l r l m

9 l 1 r = K n q m + r l + 00 m 64 Tilgungsrechnung In Abschnitt 61 wurde bereits ein Tilgungsvorgang beschrieben, bei dem die anfallenden Zinsen mit eingezahlt werden Die Rückzahlungsbeträge werden folglich von Jahr zu Jahr geringer Nun wird aber die Rückzahlung meist so vereinbart, zb bei Hyothekentilgung, dass die Rückzahlungsbeträge konstant sind, um etwa eine zu hohe Belastung am Anfang zu vermeiden Wir gehen also von einem festen Rückzahlungsbetrag A > 0 aus, den man Annuität nennt, und der nachschüssig eingezahlt wird Ausserdem schränken wir uns auf den Fall ein, dass der Betrag am Ende des Zinsgutschriftszeitabschnitts bezahlt wird Die Restschuld nach n Zinsgutschriftszeitabschnitten bezeichnet man mit S n, n N, und die Anfangsschuld mit S Dann kann man die Formel 68 anwenden mit K 0 := S < 0, K n := S n und R := A > 0 : S n = S q n m A qn m 1, n N 614 Tilgungslan bei jährlicher konstanter Rückzahlung: Jahr Zinsen Annuität Tilgung Restschuld 1 S A A S S 1 = S A + S = Sq A S 1 A A S 1 S = S 1 A + S 1 = S 1q A = Sq A1 + q 3 S A A S S 3 = S A + S = S q A = Sq 3 A1 + q + q n S n 1 A A S n 1 S n = Sq n A1 + q + + q n 1 Formel 614 kann nach den einzelnen Größen aufgelöst werden, wobei hier von besonderem Interesse ist, wann die Schuld vollständig getilgt ist Bezeichnen wir diesen Zeitunkt mit N N Laufzeit, dh ist S N = 0 oder wenigstens S N 0 und S n > 0 für n < N, so erhalten wir nach 610 und 61: N lna m/ lna m/ S ln q m A = S qm N qm N = ln1 S /A ln q m

10 65 Formeln zur Investitionsrechnung In diesem Abschnitt setzen wir wieder voraus, dass Kontobewegungen nur am Ende von Zinsgutschriftszeitabschnitten erfolgen Diskontfaktor: ϱ := qm 1 = m Um die Bezeichnungen zu vereinfachen, lassen wir hier den Index m bei ϱ weg Einzahlungsüberschuss im k ten Zeitabschnitt: E k :=Summe aller Einzahlungen im k ten Zeitabschnitt Summe aller Auszahlungen im k ten Zeitabschnitt Kaitalwert bei einer Betriebsdauer von n Zeitabschnitten von je 1/m Jahr: vϱ := E k ϱ k Dabei ist E 0 der Einzahlungsüberschuss am Beginn des ersten Jahres, also E 0 := investierte Summe Eine Investition lohnt sich genau dann, wenn ihr Kaitalwert v > 0 ist Die Bedeutung des Kaitalwertes sieht man, wenn man das Investitionsergebnis mit der Kaitalentwicklung bei dem Anfangskaital v vergleicht: Verfügt man am Anfang über ein Kaital v, so verfügt man nach n Zinsgutschriftszeitabschnitten über ein Kaital von v q n m Investiert statt dessen man die Summe E 0 und erhält man die Einzahlungsüberschüsse E k, k = 1,,, n, so verfügt man nach n Zinsgutschriftszeitabschnitten über ein Kaital von E 0 q n m + E 1 q n 1 m + E q n m + + E n 1 q 1 m + E n q 0 m = E k q n k m, da E 0 nach n Zeitabschnitten, E 1 nach n 1 Zeitabschnitten, E nach n Zeitabschnitten usw verzinst wird In beiden Fällen soll das gleiche Kaital herauskommen Also soll sein v q n m! = E k q n k m und damit erhalten wir den Kaitalwert nach Division durch q n m : v = E k qm k = E k ϱ k

11 Durch die Einführung von ϱ können wir v als Polynom in ϱ darstellen, was insbesondere für die im Folgenden eingeführte Methode des internen Zinssatzes von erheblichem Vorteil ist: Wenn bei einer Investition der Zinssatz nicht festgelegt ist, sondern zb in gewissem Rahmen ausgehandelt werden kann, ist sicher der Zinssatz von besonderem Interesse, bei dem der Kaitalwert genau an der Grenze der Rentabilität, also = 0 ist Ob einen solchen Zinssatz gibt und ob er die gewünschte Information liefert, wird in dem folgenden Satz geklärt: Satz 651: Es sei E 0 < 0, E k 0 für alle k = 1,,, n und E k > 0 Dann gibt es genau ein ϱ 0, 1 mit vϱ = 0 und vϱ > 0 1 ϱ > ϱ 0 < := ϱ 1 1 m heißt der interne Zinsatz Eine Investition lohnt sich also genau dann, wenn der tatsächliche Zinssatz zb für ein Darlehen kleiner ist als der interne Zinssatz Für die konkrete Berechnung kann man, wenn eine direkte Auflösung der Polynomgleichung vϱ := E k ϱ k! = 0 nicht möglich ist aber die Vorrausetzungen des Satzes 651 gelten, das säter allgemein eingeführte Newtonverfahren verwenden: Man wählt ϱ 0 = 1 als Anfangsnäherung und verbessert iterativ: Ist ϱ ν die im ν ten Schritt berechnete Näherung, so erhält man die nächste verbesserte Näherung mit der Formel: ϱ ν+1 := ϱ ν E k ϱ k ν ke k ϱ k 1 ν Ob die Näherung ϱ ν+1 gut genug ist, lässt sich leicht überrüfen: Wenn wir fordern, dass sein soll, so ist ϱ ν+1 gut genug, wenn ist ϱ ν+1 ϱ < δ vϱ ν+1 δ < 0

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