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1 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Strobel Stefan 29. Januar 2006 Inhaltsverzeichnis I. Mathematik 2 1. Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche 2 2. Differentiationsregeln Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Logarithmierte Funktion 3 4. Wurzeln 3 5. Potenzen 4 6. Newton-Formel 4 7. Partielle Ableitungen höherer Ordnung Extremwertbedingungen Sattelpunkt Schemata Lagrange-Multiplikator 6 9. Integrale 7.e-Funktionen 8 II. Matrizen und Vektoren 9 1

2 11.Zeilen und Spalten 9 12.Transponierte Matrix 9 13.Multiplikation von Matrizen ( Falksches Schema ) 9 14.Leontiefmodell 15.Lineare Optimierung (Schemata) 11 III. Finanzmathematik Einfache Verzinsung vorschüssig nachschüssig Einmalzahlung mit Zinseszins Einmalzahlung bei einfacher Verzinsung (ohne Zinseszins) bei m-maliger unterjähriger Verzinsung Jährlicher Einzahlung E bei vorschüssiger Einzahlung bei nachschüssiger Einzahlung Einmaleinlage heute (Barwert B 0 Rentenzahlung R über n Jahre bei jährlicher vorschüssiger Rentenzahlung bei jährlicher nachschüssiger Rentenzahlung bei halbjähriger Verzinsung bei monatlicher Verzinsung bei täglicher Verzinsung bei stetiger Verzinsung Tilgungsrechnung (Annuität) Tilgungsplan konstante Annuität(Schemata) Tilgungsplan konstante Tilgung (Schemata) Investition = Kapitalwert 18 2

3 30.Interner Zinsfuß = Interner Zinssatz 18 IV. Überblick über die wichtigsten Funktionstypen Kostenfunktion Stückkostenfunktion Preis-Absatz-Funktion = Nachfragefunktion Umsatzfunktion Gewinnfunktion Gewinngrenzen: maximaler Gewinn: Break-Even-Punkt Produktionsfunktion Konsumfunktion Nutzenfunktion Grenzkosten GK Durchschnittskosten DK Variable Durchschnittskosten VDK Fixe Durchschnittskosten FDK Minimalkostenkombination = Produktionsfunktion Isokostengerade

4 Teil I. Mathematik 1. Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche 6, = , = ürsprünglicher Teil, daraus ergeben sich die Nullen im Bruch 1234 = periodischer Teil Differentiationsregeln Minimum (= konvex) Maximum (= konkav) 2.1. Summenregel y = (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2.2. Produktregel y 0 f(x)g(x) = y = f (x)g(x) + f(x)g (x) 2.3. Quotientenregel y = f(x) g(x) (g(x) 0) = y = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2 4

5 2.4. Kettenregel y = f(g(x)) = f(z), = z = g(x) y = df(g(x)) dx = df(z) dz dg(x) dx = dy dz dz dy = f (g(x))g (x) 3. Logarithmierte Funktion y = ln f(x) y = f (x) f(x) y = f(x) y = f (x) = d ln f(x) dx * f(x) = y (x) * f(x) 4. Wurzeln 1 n a = an 1 a = a 1 1 = a m a n = a n m m a * n a = a 1 1 m n = a 1 m + 1 n = a n+m n m = n m a n+m m n a = m a 1 n = (a 1 n ) 1 m = a 1 nm = nm a 5

6 n a * n b = a 1 n *b 1 n = (ab) 1 n = n ab 5. Potenzen a 1 = a a m * a n = a m+n a n * b n = (a * b) n (a m ) n = a m n = (a n ) m an b n = (a b )n 6. Newton-Formel Bestimmung von Nullstellen (Näherungsverfahren) x n+1 = x n - f(x n) f (x n ) 1. es muss ein geeigneter Startwert gesucht werden: x f x 2. Vorzeichenwechsel zeigen, das zwischen den jeweiligen x-werten eine Nullstelle liegen muss. 3. Nun wählt man einen Startwert x 1, der zwischen den jeweiligen x-werten liegt. 4. x 2 = x 1 - f(x 1) f (x 1 ) 6

7 Abbildung 1: Lösungsbaum 5. x 3 = x 2 - f(x 2) f (x 2 ) 6. x 4 = x 3 - f(x 3) f (x 3 ) Partielle Ableitungen höherer Ordnung Wobei gilt: fxy = fyx fxxy = fyxx fxyy = fyyx 7.1. Extremwertbedingungen 1. f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 0 7

8 2. f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) > (f xy (x 0, y 0 )) 2 3. f xx (x 0, y 0 ) < 0 es muss auch gelten f yy (x 0, y 0 ) < 0 = Maximum 4. f xx (x 0, y 0 ) > 0 es muss auch gelten f yy (x 0, y 0 ) > 0 = Minimum 7.2. Sattelpunkt es gilt anstelle von Bedingung 2: f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) < (f xy (x 0, y 0 )) 2 so hat die Funktion bei (x 0, y 0 ) einen Sattelpunkt (= Wendepunkt) 7.3. Schemata (x i, y i ) f xx f yy f xx * f yy < = > f ( xy ) 2 f xy = = = = = = 8. Lagrange-Multiplikator Funktion: f(x 1,..., x n ) = f(x) max (oder min) Nebenbedingung: g i (x 1,..., x n ) = g i (x) = 0 8

9 L(x 1,..., x n, ( 1,..., m) = L(x, ) = = f(x 1,..., x n ) + 1 g 1 (x 1,..., x n ) m g m (x 1,..., xn) = f(x) + 1 g 1 (x) m g m (x) 9. Integrale Integrale: Schwarze Band 2: S.117ff. besondere Integrale Rechenregeln: Bartsch; Taschenbuch Mathematischer Formeln S.397 Integrale rationaler Funktionen: S.397 Integrale irrationaler Funktionen: S.400 Integrale Trigometrischer Funktionen: S.404 Unterschiedliche Winkel: S.406 Integrale der Exponentialfunktion: S411 Integrale der logarithmischen Funktion: S.412 x n dx = xn+1 n c Beispiel: f(x) = 5x 5 5x 5 dx = 5x c = 5 6 x6 + c f(x) = ln x f (x) = 1 x F(x) = x(ln x -x) + C F(x) = ln x Integrale: Schwarze Band 2: S.117ff. besondere Integrale Rechenregeln: Bartsch; Taschenbuch Mathematischer Formeln S.397 9

10 Integrale rationaler Funktionen: S.397 Integrale irrationaler Funktionen: S.400 Integrale Trigometrischer Funktionen: S.404 Unterschiedliche Winkel: S.406 Integrale der Exponentialfunktion: S411 Integrale der logarithmischen Funktion: S.412. e-funktionen f (x) = a * e kx f (x) = k * a * e kx F (x) = a k * ekx Bespiele Ableitung: f(x) f (x) f(x) = 3 * e 2x f (x) = 3 * 2e 2x 3 = a; 2=k f (x) = 4x 2 * e 2x4 f (x) = 8x * e 2x4 + 4x 2 * 8x 3 * e 2x4 8x * e 2x4 + 32x 5 * e 2x4 8x * e 2x4 * (1+4x 4 ) zuerst wird 4x 2 abgeleitet e-funktion wird ohne Änderung übernommen zweitens 4x 2 wird ohne Änderung übernommen, multipliziert mit der abgeleiteten Potenz der e-funktion (8x 3 ) mulipliziert mit e-funktion

11 Teil II. Matrizen und Vektoren 11. Zeilen und Spalten a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a ij = a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a i = Spalte j = Zeile 12. Transponierte Matrix A = a ij a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a A = a ji a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a Multiplikation von Matrizen ( Falksches Schema ) b 11 b b 1j b 21 b b 2j... b i1 b i2... b ij a 11 a a 1j c 11 c c 1j a 21 a a 2j c 21 c c 2j a i1 a i2... a ij c i1 c i2 c ij 11

12 14. Leontiefmodell Nachfrage = Technologiematrix * Produktion y = (E-q) * q Q = Produktionsmatrix E = Einheitsmatrix (E - Q) = Technologiematrix (E -Q) 1 = Inverse der Technologiematrix q = Produktion y = Nachfrage Beispiel: Sektor Produktion Lieferung an den Endverbrauch Sektor = Nachfrage Q = Lieferung P roduktion = = E - Q = (E - Q) =

13 Produktion gegeben, Endverbrauch gesucht. (E - Q) * q = y * 30 = 0 Nachfrage gegeben, Produktion gesucht (E - Q) 1 * y = q * 19 = Lineare Optimierung (Schemata) ZF = Zielfunktion (meist die Kosteneinschrankung bei der Produkiton) x 1 + x 2 max x 1 = Vorgabe 1 x 2 = Vorgabe 2 x 3 = Vorgabe 3 13

14 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 b ZF -x -y -z y y y Achtung: Die Zielfunktion muss maximiert werden. Die Restriktionen müssen immer sein wenn das nicht der Fall ist, wird die entsprechende Ungleichung mit (-1) multipliziert, dadurch dreht sich das Ungleichheitszeichen um und die Vorzeichen ändern sich. Beispiel Angaben nach Umformung, geeignet zum weiterrechnen x 0 x 0 5x 1-7x x 3-12 *(-1) - 5x 1 + 7x 2-14x 3-12 x 1 + x 2 + x 3-7 x 1 + x 2 + x 3-7 4x 1 - x 2 - x 3 0 *(-1) - 4x 1 + x 2 + x 3 0 ZF -x 1 - x 2-3x 3 min! *(-1) ZF x 1 + x 2 + 3x 3 max! 14

15 Teil III. Finanzmathematik q = 1 + i p = xx% i = p 0 vorschüssige Einzahlung = Zahlung am Jahresanfang nachschüssige Einzahlung = Zahlung am Jahresende 16. Einfache Verzinsung vorschüssig K n = K 0 * (1 + n*i) K 0 = K n 1 + n i n = i = K n K 0 1 p K n K 0 1 n nachschüssig K 0 = K n * (1 - n*i) K n = K 0 1 n i 17. Einmalzahlung mit Zinseszins K n = K 0 * q n K 0 = K n * 1 q n 15

16 q = n Kn K 0 n = ln K n ln K 0 ln q 18. Einmalzahlung bei einfacher Verzinsung (ohne Zinseszins) K n = K 0 *q *n + K 0 K 0 = K n 2 q n 19. bei m-maliger unterjähriger Verzinsung K n = K 0 * ( 1 + p 0 m )n m K 0 = (1 + K n p 0 m )n m p = n m Kn K 0-1 n = ln K n ln K 0 p m ln(1 + 0 m) 20. Jährlicher Einzahlung E bei vorschüssiger Einzahlung K n = E * q * qn 1 q 1 = E*q 1 + E*q 2 + E*q E*q n = E*(q 1 + q 2 + q q n ) = E * q * Rentenendwertfaktor(n;i) 16

17 E = K n (q 1) q (q n 1 n = ln[ K n (q + 1) E q ln q + 1] bei nachschüssiger Einzahlung K n = E * qn 1 q 1 = r * Rentenendwertfaktor(n;i) E = K n (q 1 q n ) = 1 n = ln[ K n (q + 1) E ln q K n Rentenendwertf aktor(n; i) + 1] 21. Einmaleinlage heute (Barwert B 0 Rentenzahlung R über n Jahre bei jährlicher vorschüssiger Rentenzahlung B 0 = R * q * q n 1 q n (q 1) R = B 0 q n (q 1) q (q n 1) n = ln[1 B 0(q 1) ] R q ln q bei jährlicher nachschüssiger Rentenzahlung B 0 = R * q n 1 q n (q 1) R = B 0 q n (q 1) q n 1 17

18 ln[1 B 0(q 1) ] n = R ln q B n = R * qn 1 q bei halbjähriger Verzinsung Rentenzahlung (nachschüssig) B n = (R * q )) * Rentendwertfaktor(n;i) 2 i = xy% p.a. wird immer über für ein Jahr angegeben 23. bei monatlicher Verzinsung Einmalzahlung K n = K 0 * (1 + q 1 ) n Rentenzahlung (nachschüssig) jeden Monat wird ein gleichbleibender Betrag zu einem bestimmten Zinssatz über einen bestimmten Zeitraum angelegt B n = R * 12 * (1 + i 12 * 12 1 ) 2 i = xy% p.a. wird immer über für ein Jahr angegeben 24. bei täglicher Verzinsung K n = (K 0 * (1 + q )n 360 ) * Rentendwertfaktor(n;i) 18

19 25. bei stetiger Verzinsung K n = K 0 * en(q 1) q = K 0 * e n(q 1) = K n * en(q 1) q = ln( K n K 0 ) n = ln( K n K 0 ) q 26. Tilgungsrechnung (Annuität) 0 = -K 0 * q n + Z * qn 1 q 1 = Z = K 0 * q n * q 1 q n Tilgungsplan konstante Annuität(Schemata) Jahr Schuld Zins Tilgung Annuität , , , , , Tilgungsplan konstante Tilgung (Schemata) Jahr Schuld Zins Tilgung Annuität

20 29. Investition = Kapitalwert K 0 = a 1 (1 + p) 1 + a 2 (1 + p) 2 + a 3 (1 + p) a n (1 + p) n Kapitalwert: K 0 = -A 0 + E 1 A 1 (1 + i) 1 + E 2 A 2 (1 + i) 2 + E 3 A 3 (1 + i) E n A n (1 + i) n 30. Interner Zinsfuß = Interner Zinssatz r = i 1 - KW 1 * i 2 i 1 KW 2 KW 1 Interner Zinssatz: 0 = -A 0 + E 1 A 1 (1 + i) 1 + E 2 A 2 (1 + i) E n A n (1 + i) n 20

21 Teil IV. Überblick über die wichtigsten Funktionstypen Kostenfunktion Zusammenhang zwischen Produktionsmenge und Gesamtkosten K(x) = K variabel + K fix = variable Kosten + fixe Kosten Stückkostenfunktion Zusammenhang zwischen Produktionsmenge und Stückkosten; ergibt sich aus der Gesamtkostenfunktion k(x) = K(x) x = K variabel(x) x + K fix x Preis-Absatz-Funktion = Nachfragefunktion Zusammenhang zwischen Stückpreis p und der Absatzmenge (=Nachfrage) x. Sie kann in der Form p(x) oder x(p) gegeben sein Umsatzfunktion Zusammenhang zwischen Absatzmenge x und Verkaufserlöse [U(x)] oder Zusammenhang zwischen Stückpreis p und Verkaufserlös [U(p)]. U(x) = p * x oder U(p) = p * x Gewinnfunktion Zusammenhang zwischen Produktionsmenge (= Absatzmenge) und dem Gewinn. G(x) = U(x) -K(x) = p * x - (k v * x + K f ) = (p - k v ) * x + K f 21

22 Gewinngrenzen: G(x) = U(x) - K(x) maximaler Gewinn: G (x) = 1. Ableitung von G(x) Break-Even-Punkt K(x) = U(x) G (x) = Produktionsfunktion Zusammenhang zwischen Input und Output zur formalen Beschreibung eines Produktionsprozesses. x =x(r) r 0r: Input(Faktoreinsatzmenge x: Outputmenge Die Produktionsfunktion eines Einproduktunternehmens, das die Gütermenge x mit Hilfe zweier Produktionsfaktoren (Faktormengen v1 und v2) herstellt, lautet x = x(v1, v2). Dabei wird das Problem einer technisch effizienten Produktion als gelöst betrachtet, das heißt vereinfachend: 1. Die Menge x bezeichnet den maximalen Output, der mit den gegebenen Faktormengen v1 und v2 hergestellt werden kann. 2. Um die Menge x herzustellen, werden mindesten die Faktormengen v1 und v2 benötigt. Die Kombination (x, v1, v2) heißt Aktivität des Unternehmens; sie ist zulässig, wenn x x(v1, v2) Konsumfunktion Zusammenhang zwischen Volkseinkommen und gesamtwirtschaftlichen Konsumausgaben. 22

23 C(Y) C: Konsum; Y:Volkseinkommen S(Y) = Y - C(Y) (Sparfunktion) Nutzenfunktion Zusammenhang zwischen Haushaltskonsum und seinem Nutzen, d.h. seinem Grad der Bedürfnisbefriedigung Grenzkosten GK Grenzkostenfunktion K (x) GK sind Stückkosten und zwar solche Kosten, die für jede zusätzlich produzierte Einheit anfallen. GK = K k (x + 1) - K k (x) oder GK = dk k dx (x) Durchschnittskosten DK Kosten je Stück, berechnen sich also aus Gesamtkosten dividiert durch die Produktionsmenge. DK = K k(x) x = VDK + FDK Variable Durchschnittskosten VDK Variable Kosten dividiert durch die Produktionsmenge. VDK = Kv k (x) x Fixe Durchschnittskosten FDK Die fixe Kosten je produzierter Einheit. 23

24 FDK = Kf k x Minimalkostenkombination = Produktionsfunktion Die Zielsetzung des Unternehmens liegt darin, die gewünschte Produktionsmenge x mit den geringst möglichen Produktionskosten K herzustellen, die nach K = q 1 * v 1 + q 2 * v 2 berechnet werden Isokostengerade Die Steigung der Isokostengerade bringt zum Ausdruck, wie viele Einheiten von beiden Produktionsfaktoren mit einem gegebenen Kostenbudget gekauft werden können. Sie lässt sich aus K = q 1 * v 1 + q 2 * v 2 ableiten. v 2 = K q 2 - q 1 q 2 * v 1 24

25 Abbildung 2: Kurvendiskussion 25

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