Skript WS 2006/07. Prof. Dr. Waike Moos Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Hochschule Niederrhein

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1 5.8.6 Sipt Fiazmathemati WS 6/7 Pof. D. Waie Moos Fachbeeich Witschaftswisseschafte Hochschule Niedehei

2 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Egäzede Liteatuempfehluge Wofü beötigt ma Fiazmathemati? Mathematische Gudlage: Aithmetische ud geometische Folge ud Reihe5. Aithmetische Folge ud Reihe Geometische Folge ud Reihe Zis- ud Ziseszisechug.... Eifache Zise Ziseszise Utejähige Vezisug Utejähige eifache Vezisug Utejähige Vezisug mit Ziseszise Nicht gazzahlige Laufzeite i de Paxis Effetivzis ud Nomialzis Ei Catoo Effetive Zis bei utejähige Vezisug ofome utejähige Peiodezissatz Stetige Vezisug Abscheibugsechug Lieae Abscheibug Aithmetisch degessive Abscheibug Geometisch degessive Abscheibug Reteechug Begiffe de Reteechug Jähliche ostate achschüssige Rete bei feste Laufzeit Reteedwetfomel Retebawetfomel Jähliche voschüssige ostate Rete bei feste Laufzeit Utejähige ostate Rate bei feste Laufzeit ud jähliche Vezisug Ewige Rete mit ostate Rate Tilgugsechug Begiffe de Tilgugsechug Jähliche Ratetilgug Jähliche Auitätetilgug Exate Auitätetilgug Fomel fü die Restschuld RS bzw. S Fomel fü die Tilgugsate T... 6

3 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Fomel fü die Zise im Jahe Z Pozetauitäte Sodefome de Tilgugsechug Tilgugsfeie Zeite editgebühe Ivestitios- ud Fiazieugsetscheiduge Gudsätzliche Übeleguge apitalwetmethode Methode des itee Zissatzes Festvezisliche Wetpapiee Begiffe ud Symbole Zusammehag zwische uswet ud Effetivzis bei festvezisliche Wetpapiee Festvezisliche Wetpapiee mit vom Newet abweichede Rüczahlugsus

4 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Egäzede Liteatuempfehluge...falls das Sipt icht ausfühlich geug ist... Locae, Hema: Fiazmathemati, Oldeboug Velag Tietze, Jüge: Eifühug i die Fiazmathemati, 6. Auflage, Vieweg Velag, Wiesbade. Zu Witschaftsmathemati I ud II i eiem Buch: Petes, Host: Witschaftsmathemati lausu Itesiv Taiig. ohlhamme Stuttgat. Peuß, Wolfgag ud Güte Weisch: Leh- ud Übugsbuch Mathemati i Witschafts- ud Fiazwese. Fachbuchvelag Leipzig 4

5 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte. Wofü beötigt ma Fiazmathemati? Die Fiazmathemati ist ei Teilgebiet de agewadte Witschaftsmathemati, isbesodee fü Ivestitios- ud Fiazieugspobleme geeiget echet mit Eiahme ud Ausgabe vo Geld, echet mit de Vegabe, Vezisug ud Rüczahlug vo edite, beschäftigt sich mit dem Zis, de eie etscheidede Rolle spielt. Das Poblem de Usicheheit vo zuüftige Zahlestöme wid veachlässigt. Zahlugsausfälle, ouse ud Matzusammebüche spiele bei de hie vogestellte Vefahe eie Rolle (Idealwelt de Öoome!). Die Usicheheit ommt est i de Statisti II! Mathematisches Hadweszeug? Poteze ud Logaithme Summezeiche Polyome Nullstellebestimmug ud......ei paa Gezwete. Mathematische Gudlage: Aithmetische ud geometische Folge ud Reihe Defiitio: Ute eie Zahlefolge vesteht ma eie Abbildug a (vo de Mege de atüliche Zahle i die Mege de eelle Zahle) a : N R mit de eelle Wete a ( ),..., a( i),..., a( ) bzw. a, a,..., a i,..., a Wet a i das i -te Glied de Folge ist., wobei de 5

6 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Ma iteessiet sich also fü de Wet eies Folgegliedes ud seie Positio bzw. Numme i de Folge. Üblicheweise fägt ma beim. Folgeglied a zu zähle Bei apitalwachstumsvogäge fägt ma alledigs imme beim. Folgeglied a zu zähle, um deutlich zu mache, dass beim. Folgeglied och ichts gewachse ist. Eigetlich ist es abe egal, ob ma beim. ode. Folgeglied afägt, da ma sich imme u fü die Azahl de Wachstumsvogäge zwische zwei Folgegliede iteessiet. We dieses das. Glied ist, ist jees das 7. Glied. Es liege 7 Wachstumsvogäge dazwische. We dieses das. Glied ist, ist jees das 8. Glied. Es liege 7 Wachstumsvogäge dazwische. Beispiele:,3,5,7,9,,...,8,6,4,,,...,4,8,6,3,... 6

7 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte. Aithmetische Folge ud Reihe Defiitio: Eie Zahlefolge, bei de die Diffeez zweie aufeiadefolgede Gliede jeweils gleich ist, heißt aithmetische Folge, z.b. a a d ode a 3 a a + d a + d ode a + d + d a + d a a 4 a3 + d ode a + d + d a + d + d + d a + 3d a + d a ( ) d a + d + Beachte Sie: a ( ) abe a a + d + d a je achdem, ob ma beim. ode beim. Folgeglied zu zähle begit. Bemeug: Folge öe asteiged sei bei positivem d ode falled bei egativem d. Defiitio: Als aithmetische Reihe s bezeichet ma die Summe de Folgegliede de aithmetische Folge. Vo besodeem Iteesse ist die Summe de este Folgegliede, d.h. die -te Patialsumme de aithmetische Folge. s a + a + a3 + a a i [ a + ( i ) d] 7

8 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte De Wet de edliche aithmetische Reihe beechet sich als: s + ( a ) a Beweis: Wie ommt ma auf obige Ausduc (Gauß sche Tic)? s ( a + d ) + ( a + d ) ( a + ( ) d ) + ( a + ( ) d ) a + Scheibe Sie die Summe zweimal uteeiade, eimal vo voe ud eimal vo hite. s a ( ( ) ) (( ) + ( ) + + ) + d... s a + d... + s a + d ( ( ) + ( ) + ( ) ) die Summe i de lamme lässt sich zusammefasse zu: s a + d ( ) i de lamme stehe - Summade. Nu wid alles duch geteilt: s a + d ( ) Jetzt wid ausgelammet: s ( a + d ( ) ) ( a + a + ( ) d ) ( a + a ) Bemeug: Jedes Glied eie aithmetische Folge ist duch sei Afagsglied a, die ostate Diffeez d ud die Stellezahl bestimmt. Jedes Glied eie aithmetische Folge ist das aithmetische Mittel seie beide ( a + + a ) diete Nachba, d.h. a. Eie uedliche aithmetische Reihe besitzt eie Summe, da das Edglied bei asteigede Folge uedlich goß wid, d.h. gege + geht (bzw. gege bei fallede Folge) Gauß als Etdece de Fomel fü die aithmetische Reihe. 8

9 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 4 a Aithmetische Folge Folge Folge Folge 3 Folge : a, d Folge : a 5, d Folge 3: a, d, 5. Geometische Folge ud Reihe Defiitio: Eie Zahlefolge, bei de de Quotiet zweie beliebige beachbate Gliede ostat ist, heißt geometische Folge. z.b.: ode a a a a a 3 a a a 3 4 a3 a a allgemei: a a bzw. a a bzw. a a 9

10 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Bemeug: Jedes Glied eie geometische Folge ist duch sei Afagsglied a, de ostate Fato ud die Stellezahl bestimmt. Jedes Glied eie geometische Folge ist das geometische Mittel seie beide diete Nachba, d.h. a a + a. Defiitio: Bildet ma die Summe de Gliede eie geometische Folge, so ehält ma eie geometische Reihe s. s a + a + a +... s + a a + a a ( ) ( ) + a s s a a bzw. ach Auslamme s ( ) a ( ) s a fü > ud (aus ovetiosgüde wede Zähle ud Nee mit (-) multipliziet) s a fü < Bishe wude u edliche Reihe betachtet. Bei uedliche Reihe, dei Fälle zu utescheide: ) De Fato ist göße als, sid Da wede die Folgegliede imme göße. Fü wede auch die Folgegliede uedlich. Solche Reihe besitze eie edliche Summe.

11 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte ; a 3 3 a 6; a ; a 4 usw. Die Folgegliede wede schell seh goß. ) De Fato ist leie als ud > Da wede die Folgegliede imme leie. ; a 3 a ; a ; a usw. 4 Solche Folge heiße auch Nullfolge, i symbolische Scheibweise: lim a. 3) De Fato ist egativ Da spige die Wete de Folgegliede hi ud he. ; a Die Folge lautet:, -, 4, -8, 6, -3, usw. Solche Folge spiele i de betiebswitschaftliche Paxis eie Rolle. a 5 Geometische Folge 5 5 Folge Folge Folge

12 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Folge : a,, 8 Folge : a 3,, Folge 3: a,, a Geometische Folge Folge Folge Folge 3 Folge : a,, Folge : a,, 5 Folge 3: a,,. Zis- ud Ziseszisechug Zise sid de Peis, de ei Schulde dem Gläubige fü die befistete Übelassug vo apital bezahle muss. De Betag de Zise wid aus dem Zissatz, de Höhe des übelassee apitals ud de Daue de Übelassug beechet. Ma utescheidet zwische jähliche Vezisug ud utejähige Vezisug. Bei de jähliche Vezisug betägt die Zispeiode ei Jah. Die Zise wede eimal im Jah zu eiem bestimmte Zeitput gezahlt. Nach 68 BGB ist die Fälligeit vo Zise ach eiem Jah eeicht, we ichts adees veeibat ist. Bei de utejähige Vezisug betägt die Zispeiode eie Buchteil eies Jahes, z.b. 3 Moate, 8 Tage o.ä.. Zispeiode vo meh als eiem Jah spiele i de Paxis eie Rolle.

13 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Im weitee wid u die achschüsssige Vezisug betachtet, bei de die Zise am Ede de Zispeiode fällig wede. Die voschüssige Vezisug ist i de Paxis uüblich. Symbole Bedeutug Beispiel Afagsapital Edapital 5 gazzahlige Laufzeit Jah Z Zis 5 p (omiale) Pozetzissatz 5% p i (omiale) Zissatz,5 + i Aufzisugsfato +,5,5 Abzisugsfato, 954,5 f gebochee Laufzeit 8 fü ei halbes Jah 36 Zistage de Laufzeit Zistage po Jah Alagedaue. Eifache Zise Bei de eifache Vezisug wede die Zise bei lägee Alagedaue icht wiede mitvezist, sode ausgezahlt. ( i) + i + ( i) + i + ( i) + i ( i) + i Satz: Das Edapital bei eifache Vezisug ud gazjähige Laufzeit ach Jahe ehält ma als + i ( + i ) 3

14 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Ei Betag vo wid bei eie eifache Vezisug vo % geau dei Jahe lag ausgeliehe. Die Ziszahlug soll am Ede de Laufzeit efolge. Wie goß ist die am Ede de Laufzeit agesammelte Summe aus apital ud Zise? 3; ; i,; p 3 +, 3 6 ode ( +,3) ( +, 6) 6, 6 3 Eie Mutte vespicht ihe Tochte ih ach Ede des Studiums, d.h. i dei Jahe, 5. zu zahle. Was muss Sie heute alege, um i dei Jahe übe diese Betag vefüge zu öe (4%, eifache Vezisug). 5. +,43 5., 4.464,9. Ziseszise Bei de Ziseszisechug efolge wähed de mehjähige Laufzeit eie apitalalage Ziszahluge jeweils am Ede eies Jahes. Diese Zise wede sofot wiede agelegt ud zum apital dazu addiet, so dass ab dem Zeitput de Wiedealage auch die Zise mitvezist wede. ( i) + i + ( + i) ( i) + + i ( + i) ( i) i ( + i) ( i) i 3 ( + i) ( i) + + i Satz: Das Edapital bei ziseszisliche Vezisug ud gazjähige Laufzeit ach Jahe ehält ma als ( + i) 4

15 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Eie Sie: Geometische Folge a a ( ) ( ) Ziseszisechug: ( + i) Die apitalbetäge stelle also Gliede eie geometische Folge mit ostatem Quotiete ( + i) bzw. ud dem Afagsglied ( + i) da. ( ) Eie Spaeilage vo wid fü 4 Jahe agelegt ud mit 6% vezist. Welche Höhe hat das apital bei ziseszisliche Vezisug ach 4 Jahe? 4 ; ; p 6 ; i,6 ;,6 4 6, 6, 5 4 Bei eifache Vezisug betägt die apitalsumme: ( + i) ( +, 4) 4, 4 Bei eifache Vezisug ist die apitalsumme am Ede des mehjähige Alagezeitaums leie als bei de Ziseszisechug. Satz: Die Zise Z des Jahes beeche sich als Z i 5

16 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Tabelle : apital ud Zise bei Ziseszisechug ,,36 9, 6, ,76 3.9, , Z 6 6,36 6,74 7, ,3.8,87.9,58 Im o.g. Beispiel wede ute Beücsichtigug vo Ziseszise ach Jahe.9,58 Zise gezahlt. Die apitalsumme betägt am Ede de Laufzeit 33.93,. Tabelle : apital ud Zise bei eifache Vezisug ,, 8, 4, , 694, 7, Z 6, 6, 6, 6,... 6, 6, 6, Ei bei de Güdug de Stadt Möchegladbach agelegte Cet soll. Jahe späte wiede abgehobe wede. Wie lautet de auszuzahlede Betag, we de veeibate Zissatz % bzw. 4% betägt ud das Geld mit eifache Vezisug ziseszislich agelegt wude? ( +,.), p ; i, ;,. ( +, 4. ), p ; i, 4 ;., 8 4 p ; i, ;. ( +, ) ,., 5. 3 ( +, 4) 7, p 4 ; i, 4 ;., 6

17 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Tabelle 3: Aufzisugsfatoe i Jahe p i %,,,33,46,5,65,7,89,937,46,,44,6,84,4,6,487,77,95,9 3,3,69,97,55,593,94,99,668,348,3439 4,4,86,49,699,67,653,359,3686,433,48 5,5,5,576,55,763,34,47,4775,553,689 6,6,36,9,65,338,485,536,5938,6895,798 7,7,449,5,38,46,57,658,78,8385,967 8,8,664,597,365,4693,5869,738,859,999,589 9,9,88,95,46,5386,677,88,996,79,3674,,,33,464,65,776,9487,436,3579,5937 Tabelle 4: Abzisugsfatoe i Jahe p i %,99,983,976,96,955,94,937,935,943,953,984,96,943,938,957,888,876,8535,8368,83 3,979,946,95,8885,866,8375,83,7894,7664,744 4,965,946,889,8548,89,793,7599,737,76,6756 5,954,97,8638,87,7835,746,77,6768,6446,639 6,9434,89,8396,79,7473,75,665,674,599,5584 7

18 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 7,9346,8734,863,769,73,6663,67,58,5439,583 8,959,8573,7938,735,686,63,5835,543,5,463 9,974,847,77,784,6499,5963,547,59,464,44,99,864,753,683,69,5645,53,4665,44,3855 Bemeug: Die Ziseszisfomel a ach jede i ih ethaltee Vaiable duch eifache Umfomug aufgelöst wede. Auflösug ach : Eie Sie: + i ist de Aufzisugsfato, ist de Abzisugsfato. Fü Fagestelluge, we ach dem Bawet eies Vezisugsvogages gefagt ist: Wie viel muss heute agelegt wede, damit i Zuuft ei gewisses Edapital eeicht wid? Auflösug ach i : Wege, gilt ud i mit + i Fü Fagestelluge de Fom: Welche Zissatz muss gebote wede, damit sich das apital ach Jahe vevielfacht (z.b. doppelt so goß wie ach 8 Jahe)? Auflösug ach : De Ausduc muss logaithmiet wede. Mit de Recheegel fü de Logaithmus ehält ma: l ( ) l l l l 8

19 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Daaus folgt: l l. l Achtug: Die Lösug ist i de Regel icht meh gazzahlig, so dass ma etspeched auf- ode abude muss ud besse x scheibt Fü Fagestelluge: Wie lage dauet es, bis sich ei mit 5% agelegte Betag vedeifacht? i,5 ;,5 l 3 l l 3+ l l l 3,5 Jahe, d.h. bei l,5 l,5 l,5 achschüssige, jähliche Vezisug 3 Jahe..3 Utejähige Vezisug Bei de utejähige Vezisug betägt die Alagedaue des apitals weige als ei Jah. I Deutschlad ist es üblich zu eche: Zisjah 36 Zistage Zismoate mit jeweils 3 Zistage We ichts adees agegebe ist, beechet ma die Alagedaue imme vom folgede Tag bis zum Tag de Abhebug: z.b. Alage am 6.3, Abhebug am 3.3. umfasst 4 Zistage, Alage am 6.3., Abhebug am 3. umfasst 4 Tage ud 7 Moate (7 mal 3 Tage) also isgesamt 4 Tage. Auch hie a ma die eifache Vezisug vo de Vezisug mit Ziseszise utescheide..3. Utejähige eifache Vezisug Bei de eifache utejähige Vezisug wede die Zise mehmals im Jah ausgezahlt ud ebe dem apital uvezislich agesammelt. Satz: Das Edapital bei utejähige eifache Vezisug beechet sich als: f ( + i f ) 9

20 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Woa eiet Sie diese Fomel? 8 f, 5 fü eie halbjähige Alage, 36 9 f fü eie uatalsweise Alage f fü eie moatliche Alage 36 Fü uzfistige Festgeldalage gewäht die Schweize Ba Toble&Oe 8% eifache Zise po Jah. Ei Uteehme zu Hestellug vo Schoolade möchte. fü 36 Tage alege.., eifache Jaheszis,8 f 36 36, ( +, 8, ) 8 ", ".. Das Schoolade-Uteehme beötigt die. est i dei Jahe. Das Geld wid zu 4% eifache Halbjaheszise agelegt.., eifache Halbjaheszis,4, Alagedaue 6 Halbjahe ( +, 4 6) Bei umme, icht gazzahlige Laufzeite bei eifache Vezisug, die übe ei Jah hiausgehe, muss die Laufzeit de apitalalage i de Eiheit [i Jahe] agegebe wede, wobei die Laufzeit da eie atüliche gaze Zahl meh, sode eie eelle, ( umme ) ist. Die Studeti Viola ete hat. übig, die sie fü die Daue ihes Hauptstudiums (zwei Jahe, 4 Moate ud 7 Tage lag) zu 8% eifache Jaheszise alegt. 4 7., Alagedaue: + +, eifache Jaheszis i,8

21 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte ( +, 8, 386) 9. 44, ", 386" Utejähige Vezisug mit Ziseszise Bei de utejähige Vezisug mit Ziseszise bestehe allgemei m Zispeiode po Jah (z.b. fü die halbjähliche, 4 fü die uatalsweise Vezisug, fü Moate, 36 fü Tage usw.). Am Ede eie Zispeiode wede die Zise ausgezahlt ud dem apital zugeechet, so dass die gezahlte Zise beeits i de ächste Zispeiode mitvezist wede. Bei m Zispeiode po Jah a de elative Peiodezissatz aus i i m beechet wede mit i de elative Peiodezissatz, i de omiale Jaheszissatz. Satz: Das Edapital eies Ziseszisvogags, bei dem mehmals jählich ( m mal jählich) Zise gezahlt ud im weitee mitvezist wede beechet sich als ( i ) m + Achtug: De Expoet betägt m, (astatt bei de jähliche Vezisug). i Alledigs ist auch de elative Zissatz i leie als de m Jaheszissatz i. Die Ba Ba36 bietet eie tägliche ziseszisliche Vezisug zu eiem jähliche Nomialzis vo 6%, (i,6). Auf wie viel wachse a, die ei Jah lag agelegt wede?, 6 36 ( + ) ,

22 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte.3.3 Nicht gazzahlige Laufzeite i de Paxis Bei umme, icht gazahlige Laufzeite i de Paxis muss die übliche Baepaxis beücsichtigt wede, dass fü das och icht abgelaufee Jahe u eifache Vezisug vogeomme wid. Es wid da eie gemischte Vezisug duchgefüht mit Ziseszisechug fü die abgelaufee Jahe ud eifache Vezisug fü das och icht abgelaufee Jah. Ma zelegt die gesamte Alagedaue i eie Daue, fü die mit Ziseszise geechet wid, ud eie Alagedaue f, fü die mit eifache Zise geechet wid. Satz: Das Edapital bei gemischte Vezisug ist: gemischt ( + i) ( + i f ) Das apital vo Viola ete i Höhe vo. wid zwei Jahe, 4 Moate ud 7 Tage lag zu 8% Jaheszise agelegt. Ziseszise wede est bei eie Alagedaue ab eiem Jah gezahlt. 4 7., Alagedaue: ud f +, ( +, 8) ( +, 8, ) ,45 gemischt

23 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte.3.4 Effetivzis ud Nomialzis Ei Catoo Hohoho! Ich bi ei Nomialzis vo 8%! Das sagt och ga ichts! Vielleicht bis du tatsächlich u ei Effetivzis vo 6% Effetive Zis bei utejähige Vezisug Bemeug: Solage och eie utejähige Vezisug auftat, ehöhte sich das apital ach eiem Jah Alagedaue gemäß des agegebee Zissatzes. De Name bzw. die Gößeodug des Zissatzes gab exat die Vegößeug des apitals ach eiem Jah a. Deswege wede solche Zissätze auch als omiale Zissätze bezeichet. Sobald igedei Sachvehalt eititt, de zu eiem abweichede apitalwachstum füht, als de Name des Zissatzes bzw. de omiale Zissatz vespicht, spicht ma vom effetive Zissatz. De effetive Zissatz gibt die apitalvegößeug a, die effetiv (tatsächlich) ach eiem Jah aufgetete ist. Vom omiale Zissätze abweichede effetive Zissätze tete auf bei - Utejähige, ziseszisliche Vezisug, - Geschee i Fom vo Statguthabe, - Aufschläge bei de Rüczahlug des agelegte apitals,

24 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Fage: Ist de effetive Zissatz bei utejähige ziseszisliche Vezisug göße ode leie als de omiale Zissatz? wede bei jähliche Vezisug zu 6% agelegt. Alteativ wid eie i, 6 moatliche ziseszisliche Vezisug zu. i, 5 elativem m Zissatz gebote. Das apital betägt bei de jähliche Vezisug ach eiem Jah 6. Bei moatliche Vezisug betägt das apital m ( + i ) ( +, 5) 6, 7, so dass hie a ma das Egebis diet ablese de effetive Pozetzissatz 6,7 % betägt, wähed de omielle Zissatz u 6% betägt. Satz: Allgemei gilt fü die Beechug des effetive Jahes-Zissatzes j aus dem elative Zissatz i : j ( + i ) m Beweis: We de effetive Zissatz j gesucht ist, muss die Gleichug ach j aufgelöst wede. m ( + i ) ( j) + ( ) m + i ( + j) m ( + i ) ( + j) j ( + i ) m I obigem Beispiel egibt sich u echeisch fü de Effetivzissatz: j ( +,5), 67, d.h. 6,7% Effetivzis. 4

25 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Effetivzissatz j bei m utejähige Zispeiode m i Effetivzissatz j,,,4,4,5,5,5,,,5,7,8,,,3,3,334,338,34,345,345,4,44,46,467,474,479,48,5,56,595,55,56,55,57,6,69,636,65,668,68,683,7,7,786,77,79,746,75,8,86,843,87,83,83,838,9,9,938,9344,938,949,946,,5,38,46,47,56,56 I de Tabelle fü die Effetivzissätze bei uteschiedliche omielle Zissätze i ud uteschiedliche utejähige Peiodeazahl m ist eeba, dass de Effetivzis j icht beliebig weit wächst, sode gege eie Obegeze ovegiet..3.6 ofome utejähige Peiodezissatz Oft wid i de Paxis gewüscht, dass totz mehfache Ziszahluge po Jah bei utejähige Vezisug ei omiale Jaheszissatz icht übeschitte wid. De duch die utejähige Vezisug eeichte Effetivzissatz fü das Jah soll also de omielle Jaheszissatz icht übescheite. Ute diese Bediguge a fü die utejähige Vezisug icht de elative Zissatz vegütet wede, sode ei adee, etwas geigee, de ma ofome utejähige Zissatz et. Satz: Bei utejähige Vezisug ist de ofome utejähige Zissatz zum omiale Jaheszissatz i m + i Beweis: Zu Beechug des ofome utejähige Zissatzes gilt die Bedigug, dass ei Edapital, das i eiem jähliche 5

26 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Vezisugsvogag mit dem omielle Jaheszissatz i eeicht wid, gleich sei muss eiem Edapital eies utejähige Vezisugsvogags mit dem ofome utejähige Peiodezis : ( ) ( ) m + i + We de ofome utejähige Zissatz gesucht ist, muss die Gleichug ach aufgelöst wede. ( ) ( ) + i + m ( + i ) ( + ) m m + i I obigem Beispiel wüde de ofome utejähige Peiodezissatz +,6, (statt dem elative Peiodezissatz vo i ( ) 487,6,5 ) betage. Vevollstädigug de Symbolliste: Symbole Bedeutug Beispiel i omielle Jaheszis,6 m Azahl utejähige Peiode Moate i elative Peiodezis,5 j effetive Zissatz (jählich),67 ofome utejähige Peiodezis,487.4 Stetige Vezisug Eie stetige Vezisug esultiet, we bei de utejähige Vezisug die Peiodezahl m imme weite ehöht wid, so dass die eizele Zispeiode ifiitesimal lei wede. Pobleme diese At spiele i de Fiazmathemati eie utegeodete Rolle. Sie sid jedoch wichtig fü demogaphische, öologische, physialische, chemische ud biologische Fagestelluge. 6

27 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Auch bei besodee Pobleme de Ivestitiosechug, wie z.b. de Bestimmug des optimale Esatzzeitputes eie Maschie ode bei de Fage ach de optimale Nutzugsdaue ommt die stetige Vezisug zu Awedug. Heleitug de Fomel fü die stetige Vezisug: State Sie mit de Fomel fü die utejähige Vezisug m i + m i m Setze Sie bzw. v...da echet es sich leichte m v i Aus diese Defiitio folgt: m v i Setzt ma diese Ausduc fü m i die obige Gleichug ei, da egibt sich: vi + bzw. duch geeigetes lammesetze v v + v i We u ageomme wid, dass die Läge de utejähige Zispeiode imme leie wid, da wid m (die Azahl de utejähige Zispeiode) imme göße (z.b. 36 Tage, 8.64 Stude usw.). Aus de Beziehug m v i folgt, dass bei Awachse vo m auch v awachse muss. We die Läge de Zispeiode ifiitesimal lei wid, d.h. we ma bspw. die apitalalage fü Tage, Stude ode ga Miute betachtet, wid die Zahl m de Zispeiode po Jah ( Jah 36 Tage 8.64 Stude 58.4 Miute usw.) ud damit auch de oeffiziet v uedlich goß. De Mathematie Eule hat achgewiese, dass fü diese Fall gilt: v lim v +, Das ist die Eulesche Zahl e. v Die Gleichug fü de Edwet eies Vezisugsvogags bei utejähige Vezisug mit ifiitesimal leie Peiode wid da zu e i 7

28 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Diese Gleichug wid auch als Wachstumsfutio (siehe Witschaftsmathemati I) ud Vezisugsvogäge diese At als stetige Vezisug bezeichet. Wachstumsfutioe diee de Bescheibug des Bevöleugswachstums ode adee volswitschaftliche Fagestelluge, des Wachstums vo ultue vo Zelle, Vie Bateie o.ä. Die Bedeutug de Wachstumsfutio liegt dai, dass hiebei i ifiitesimal leie Abstäde zu eiem Bestad etwas hizuommt, dass scho im ächste Momet selbe wiede zu eie weitee Vemehug beitägt. 3. Abscheibugsechug Abscheibuge sid die buchmäßige Efassug de Wetmideug eies Witschaftsgutes wähed de Nutzugsdaue (AfA Absetzug fü Abutzug). Stichwote: Vebauchsbedigte ode witschaftliche Veschleiß füht zu Wetmideug Begezte Nutzugsdaue Die Wetmideug wid auf die Nutzugsdaue veteilt Das EStG ethält Rahmevoschifte fü die azusetzede Nutzugsdaue Eieugswet ode Schottwet Symbole Bedeutug Beispiel Neuwet Restwet, Schottwet gazzahlige Nutzugsdaue Jahe A m Abscheibugsbetag i Peiode m z.b. i Peiode m 5 Am p m Abscheibugspozetsatz m vom Restwet (ach m Peiode) m,...,, hie m 4 8

29 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte p p Abscheibugssatz bei li. Abscheibug p p m Abscheibugssatz bei geo. deg. Abscheibug N Am pm Abscheibugspozetsatz vom Neuwet 3. Lieae Abscheibug Eie At de Wetmideug ist die Bildug gleiche Abscheibugsbetäge fü jede Peiode de Nutzugsdaue. Fomal lässt sich diese lieae Abscheibug folgedemaße dastelle: A m d cost., fü m,..., Daaus egebe sich die Restwete m am Ede de Abscheibugspeiode m : 3 d d d d 3d ( ) d d d Allgemei egibt sich fü eie beliebige Abscheibugspeiode m : m m d. Bei de Folge de Buchwete Folge. m hadelt es sich also um Gliede eie aithmetische De Abscheibugsbetag d ist bei gegebeem Neu- ud Restwet ud gegebee Abscheibugsdaue: d Die Abscheibugspozetsätze lasse sich folgedemaße heleite: 9

30 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte d Abscheibugspozetsatz vom Restwet: p m d Abscheibugssatz: p p d Abscheibugspozetsatz vom Neuwet: p N m m Eie Maschie zu Hestellug vo Niceliete fü Jeasleidug mit Aschaffugsoste vo 5. soll ach Jahe auf eie Restwet vo. abgeschiebe wede. Wie laute die jähliche Abscheibuge, die Abscheibugspozetsätze ud wie sieht de Abscheibugspla aus? m m A m d N p m p m , 8, , 8, , 9, ,, ,, , 3, , 5, , 8, ,,. 4. 8, 8,57 3

31 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 3. Aithmetisch degessive Abscheibug Die Abscheibugsbetäge A m solle jedes Jah um eie feste Betag d falle. m m A m N p m p m ,5, ,75, ,5, ,75, ,5 3, ,75 4, ,5 5, ,75 7, ,5 9, ,75,33 Die Abscheibugsbetäge falle jedes Jah um d5. De Abscheibugsbetag im Jah m ist: A m A ( m ) d A 5. 5 ( 5 ) Um ach Jahe vom Neuwet auf de Restwet zu gelage, muss fü de Veädeugsbetag d gelte: d A ( ( ) ) Ma will die Maschie fü Niceliete ach Jahe vo 5. auf. abscheibe. De este Abscheibugsbetag A soll 5.5 sei. 3

32 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 5. 5 ( 5.. ) d 5 ( ) Damit die aithmetisch degessive Abscheibug futioiet, d.h., damit die Abscheibugsate falle ud auch i Peiode och etwas abgeschiebe wede a, muss fü de este Abscheibugsbetag folgede Bedigug gelte: < A < De Abscheibugsbetag öte im gewählte Beispiel de Maschie fü Niceliete zwische < A <, d.h. zwische 4. ud 8. liege. 3.3 Geometisch degessive Abscheibug Machmal ist es sachlich icht eizusehe, dass ei imme gößee Ateil vom Buchwet abgeschiebe wid. Im Beispiel de lieae Abscheibug de Nicelietemaschie wede im. Jah fast 3% des Buchwetes aus dem 9. Jah i Höhe vo 4. abgeschiebe. Bei de geometisch degessive Abscheibug wid ezwuge, dass de Abscheibugsbetag A m ei feste Pozetsatz p m des Buchwetes de Vopeiode ist. p m p A m m cost. Setzt ma fü Am m m ei, löst die Gleichug ach m auf ud esetzt m schittweise, bis ma u och auf de echte Gleichugsseite hat, so ehält ma die Folge de Restwete bei geometisch degessive Abscheibug. 3

33 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte m m p fü m,..., Fü die Abscheibugsbetäge bei geometisch degessive Abscheibug egibt sich: A m m m m p bzw. A m m p p Die Abscheibugsbetäge eie geometisch degessive Abscheibug bilde eie geometische Folge, ud zwa eie Nullfolge. De Restwet a zwa duch die geometisch degessive Abscheibug ie gaz eeicht wede, ma a abe imme ach eie gewisse Azahl vo Peiode auf eie adee Abscheibugsat umstelle, so dass de Restwet vo doch och eeicht wid. Im o.g. Beispiel de Maschie fü Niceliete egibt sich bei geometisch degessive Abscheibug ud eie vogegebee Nutzugsdaue vo Jahe: m m A m N p m p m ,87 4, ,66 4, ,77 4, ,7 4, ,8 4, ,65 4, ,66 4, ,8 4, , 4, ,49 4,87 33

34 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Vegleich vo lieae, aithmetisch degessive ud geometisch degessive Abscheibug m Restwete lieae Abscheibug Restwete aithmetisch degessive Abscheibug Restwete geometisch deg. Abscheibug m Die Gleichug de Folge de Restwete bei geometisch degessive Abscheibug m p m lässt sich ach alle i ih voommede Vaiable auflöse, um uteschiedliche Fagestelluge zu beatwote. Auflösug ach p : Bei vogegebee Wete fü die Nutzugsdaue, de Neuwet ud de Restwet egibt sich fü de Abscheibugspozetsatz p : p Im Beispiel de Maschie fü Niceliete egibt sich bei eie Nutzugsdaue vo Jahe ei Abscheibugspozetsatz. p 4, 87% 5. 34

35 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Auflösug ach : Bei vogegebee Wete fü de Abscheibugspozetsatz p, de Neuwet ud de Restwet egibt sich fü die Azahl de efodeliche Abscheibugspeiode ode die Nutzugsdaue (Achtug: da oft icht gazzahlig ist, scheibt ma besse x fü!) l l p l x Im Beispiel de Niceliete egibt sich fü die Nutzugsdaue l. l5. x, d.h. Jahe. 4, 87 l I spätestes wie viele Jahe ist eie Fabieiichtug fü die Hestellug vo Lishäde-Nähmaschie mit eiem Aschaffugswet vo 6. bei geometisch degessive Abscheibug mit eiem Abscheibugssatz vo 5% auf eie Restwet vo 4. abgeschiebe? l 4. l 6. x 6,66, d.h. 7 Jahe 5 l Nach dem EstG beechet sich de maximale Abscheibugssatz bei de geometisch degessive Abscheibug aus dem leiee Wet zwische - dem Doppelte des Abscheibugssatzes bei lieae Abscheibug - abe maximal %. Eie Maschie mit Aschaffugsoste vo. ud Jahe Laufzeit soll geometisch-degessiv mit dem maximale Abscheibugssatz abgeschiebe wede. 35

36 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Abscheibugssatz bei lieae Abscheibug:. d 5. d 5. p 5%. Mi{5%;%}%. 4. Reteechug 4. Begiffe de Reteechug Defiitio: Ute eie Rete vesteht ma eie Zahlugsstom, i gleiche Abstäde i gleiche Höhe egelmäßig wiedeehed Die Gesamtheit de Zahluge heißt Rete. Die eizele Zahlug heißt Reteate. Defiitio: De Abstad zwische zwei Retezahluge heißt Retepeiode (z.b. Moat bei Rete, Jah bei de meiste hie vewedete Beispiele). Es gibt achschüssige Rete am Ede (übliche Fall) ud voschüssige Rete am Afag de Retepeiode. Bemeug: We das apital läge als eie Zispeiode agelegt wid, wid ziseszislich vezist. We das apital üze als eie Zispeiode agelegt wid, wid eifach vezist. 36

37 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Übesicht übe die vewedete Retefome Abschitt 4. Abschitt 4.3 Abschitt 4.4 Abschitt 4.5 Retepeiode Jah Jah m utejähige Peiode Jah Vo- ode achschüssige Zahlug ach vo ach ach Vezisug Ziseszis Ziseszis bis zu eiem Jah: eifach, daach ziseszislich Ziseszis Laufzeit begezt begezt begezt ewig Bemeuge Stadadfall mit Eule RBF ud REF Veschiebug sämtliche Zahluge um eie Peiode ach voe zuest Umechug i hypothetische, ofome Jahesete, da "Stadadfall" 4. Jähliche ostate achschüssige Rete bei feste Laufzeit Die Reteate wid zum Ede de jeweilige Retepeiode (des Jahes) ausgezahlt. Ab diesem Zeitput wede die Reteate mit dem Zissatz i ziseszislich mitvezist. Bei eie Laufzeit vo Retepeiode wede Reteate gezahlt.. Beispiele: () Theo app bigt 5 Jahe lag eimal jählich am Jahesede zu Ba, die diese Eizahluge bei 5% Ziseszise asammelt. Welche Betag wid Theo ach Ablauf vo 5 Jahe zu Vefügug stehe (Reteedwet)? () Aus eiem Lottogewi stehe Beta Gieig fü die ächste Jahe jähliche Zahluge i Höhe vo je. zu. Welche Wet hat diese Lottogewi heute, we vo 6% Ziseszise ausgegage wid, d.h. mit welchem Betag öte Beta heute ihe Rete apitalisiee lasse (Retebawet)? (3) I 8 Jahe solle dem eugeboee id Bejami de Familie Ve Wöh 5. zu Vefügug stehe. Wie hoch müsse die jähliche Rate sei, die die Ve Wöhs wähed de ächste 8 Jahe bei 5% Zise eizahle müsse, damit ach 8 Jahe exat de gewüschte Betag fü Bejami zu Vefügug steht? (4) Dem selbstädige Matfosche ai Risio wede aus eie Lebesvesicheug a seiem 65. Gebutstag. ausgezahlt. Diese Betag möchte ai Risio veete. E legt ih zu 6% Ziseszise bei eie Ba mit de Maßgabe a, ihm jählich. 37

38 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte auszuzahle. Wie lage dauet es, bis das apital aufgezeht ist (Retedaue)? Symbole Bedeutug Beispiel ostate Reteate. gazzahlige Laufzeit Jahe i Zissatz,4 R Bawet de achschüssige Rete 5. R Edwet de achschüssige Rete 37.6 ' R ' R 4.. Reteedwetfomel Bawet de voschüssige Rete Edwet de voschüssige Rete Theo app bigt am Ede eies jede Jahes zu Spaasse, die diese Eizahluge mit 5% vezist. Welche Betag wid Theo ach Ablauf vo 5 Jahe zu Vefügug stehe? Heleitug de achschüssige Reteedwetfomel (REF): Allgemei gilt: R Auslamme vo liefet: R , + ( ) Gliede eie geometische Reihe mit dem Afagsglied a ud dem ostate Fato! Fü die Beechug de Summe de geometische Reihe Summefomel vewede! Nachschüssige REF: i R De Ausduc bezeichet. wid als achschüssige Reteedwetfato 38

39 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 5 5, I o.g. Beispiel ehält Theo 55, 56. 5, achschüssige Reteedwetfatoe p%, 3,3 4,64 5, 6,5 7,35 8,857 9,3685,46 p%, 3,64 4,6 5,4 6,38 7,4343 8,583 9,7546,9497 3,3 3,99 4,836 5,39 6,4684 7,665 8,893,59,4639 4,4 3,6 4,465 5,463 6,633 7,8983 9,4,588,6 5,5 3,55 4,3 5,556 6,89 8,4 9,549,66,5779 6,6 3,836 4,3746 5,637 6,9753 8,3938 9,8975,493 3,88 7,7 3,49 4,4399 5,757 7,533 8,654,598,978 3,864 8,8 3,464 4,56 5,8666 7,3359 8,98,6366,4876 4,4866 9,9 3,78 4,573 5,9847 7,533 9,4,85 3, 5,99, 3,3 4,64 6,5 7,756 9,487,4359 3,5795 5,9374 Ehält ma eie Rete fü die Daue vo 5 Jahe bei 6% Ziseszise, so betägt de Reteedwet das 5,637-fache de Reteate. 4.. Retebawetfomel Nebe dem Edwet eie Rete iteessiet auch häufig dee Bawet. Beta Gieig möchte beeits heute übe de Gesamtwet ihe Rete abzüglich de zu zahlede Zise vefüge. Aus dem eechete Edwet R des Retevogags, de Laufzeit ud de Vezisug mit p % bzw. i a de Retebawet emittelt wede. 39

40 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Ma zist de zum Edzeitput feststehede Reteedwet auf de Afagszeitput, d.h. de Begi de Rete ab. R R De Edwet muss im o.g. Beispiel och eechet ode die Reteedwetfomel eigesetzt wede. Die achschüssige Retebawetfomel (RBF) lautet: R De Edwet vo Beta Gieigs Lottogewi betägt 6,. 387., 95. 6, De Bawet Betas Lottogewis betägt 387., , 87., 6 Sie öte sich also 73.6,87 sofot auszahle lasse. achschüssige Retebawetfatoe p%,974,94 3,9 4,8534 5,7955 6,78 7,657 8,566 9,473 P%,946,8839 3,877 4,735 5,64 6,47 7,355 8,6 8,986 3,935,886 3,77 4,5797 5,47 6,33 7,97 7,786 8,53 4,886,775 3,699 4,458 5,4 6, 6,737 7,4353 8,9 5,8594,73 3,546 4,395 5,757 5,7864 6,463 7,78 7,77 6,8334,673 3,465 4,4 4,973 5,584 6,98 6,87 7,36 7,88,643 3,387 4, 4,7665 5,3893 5,973 6,55 7,36 4

41 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 8,7833,577 3,3 3,997 4,69 5,64 5,7466 6,469 6,7 9,759,533 3,397 3,8897 4,4859 5,33 5,5348 5,995 6,477,7355,4869 3,699 3,798 4,3553 4,8684 5,3349 5,759 6,446 Ehält ma eie Rete fü die Daue vo 8 Jahe bei 8% Ziseszise, so betägt de Retebawet das 5,7466-fache de Reteate. Ma öte sich also heute das 5,4766-fache de Reteate auszahle lasse. Eie Steuebeatei auft die Paxis eies ältee ollege ud muss als aufpeis Jahe lag jählich achschüssig.5 a ih zahle. Duch welche Betag öte sich die Steuebeatei sofot feiaufe, we mit 8% Ziseszise aluliet wid? Mit dem 6,7-fache de Jahesate, 6, , 5 öte sich die Steuebeatei sofot feiaufe. Alteativ a ma mit de Retebawetfomel eche: 8, R , 8, 8, (Die Betäge weiche duch Rudugsfehle voeiade ab. De oete Retebawetfato lautet eigetlich 6,783989) Familie Ve Wöh fagt ach de Rate de Retezahlug. Dazu muss die Reteedwetfomel ach aufgelöst wede. R, , 66. 8, 5 Familie Ve wöh müsste jählich 888,66 eizahle, damit Bejami ach 8 Jahe übe 5. vefüge a. Die Retedaue fü ai Risio eechet sich aus de Auflösug de Retebawetfomel ach bzw. ach x, da icht imme gazzahlig. Ma echet aus, zu welchem Zeitput die letzte Retezahlug efolge a. 4

42 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Aus R folgt ( ) R R R i + i + ( R i + ) R i l R i x l. l..,6 l,5 x 5,73 Jahe l,6 l,6 Nach gut 5 Jahe ist das apital vo ai Risio aufgebaucht! 4.3 Jähliche voschüssige ostate Rete bei feste Laufzeit Die Reteate wid zu Begi de jeweilige Retepeiode (des Jahes) ausgezahlt. Ab diesem Zeitput wede die Reteate mit dem Zissatz i ziseszislich mitvezist. Bei eie Laufzeit vo Retepeiode wede Reteate gezahlt (geau wie bei de achschüssige Rete). Jede Zahlug efolgt geau eie Peiode fühe als im achschüssige Fall. Die voschüssige Reteate eechet sich aus de achschüssige duch ' mit die jähliche voschüssige Zahlug ud die jähliche achschüssige Zahlug. Die voschüssige Reteedwetfomel egibt sich als: 4

43 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte R ' + mit die voschüssige Reteate. Die voschüssige Retebawetfomel lautet da: mit die voschüssige Reteate. R + ' Bemeug: Auch bei de voschüssige Retebawetfomel wid geau Peiode abgezist! Duch eie geschicte Eiommesteueeläug ehält He Ausgefuchst jeweils zum Jahesafag. Eiommesteueüczahlug. Wie viele Jahe muss e bei 6% Zise jählich das Geld alege, bis das agewachsee apital samt Zise. übesteigt? Auflöse de voschüssige Reteedwetfomel ach : R ' ' ( ) ( R i ( ' + R i + ) + + ) ' R i l + l, 6 l +, 6 3, 54 l, 6 Nach 33 Jahe hat He Ausgefuchst die. übeschitte. 43

44 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 4.4 Utejähige ostate Rate bei feste Laufzeit ud jähliche Vezisug De typische Rete ehält seie Rete icht eimal im Jah sode moatlich. Bei de utejähige Rete wede peiodisch i jedem Jah m Reteate gezahlt (z.b. m 4 Quatale ode m Moate). Theoetisch öe eie achschüssige ud eie voschüssige Zahlug de Rete uteschiede wede. Daübe hiaus utescheidet ma eie jähliche Vezisug vo eie utejähige Vezisug. - Übeeistimmug vo Zis- ud Retepeiode (z.b. Moatszise ud moatliche Rete) - Abweichug vo Zis- ud Retepeiode (z.b. Quatalszise ud moatliche Rete ode Moatszise ud Quatalsete.) Im weitee wid u eie achschüssige Rete mit m Rate po Jah bei jähliche Vezisug betachtet. Wichtige Awedugsbeispiele sid: Rechuge zu Witschaftlicheit vo Ivestitioe Aalyse vo Betiebsete Die m mal jählich achschüssig fließede Reteate sid bei eie jähliche Zispeiode duch Aufzise i eie ofome achschüssige Jahesete e umzuwadel. Eie Sie: Bei jähliche Ziszahluge wede iehalb des Jahes eie Ziseszise beechet! Daaus folgt: Die Aufzisug de m utejähige Reteate efolgt wie bei de eifache Vezisug! Eläuteug:Die Ba gewäht die Ziszahluge po Jah, die Eizahluge efolge jedoch m mal utejähig. Die im Laufe des Jahes eigezahlte Betäge wede deshalb icht mit Ziseszise sode u mit eifache Zise vezist. Die este Reteate eies Jahes ist bei bspw. Moatsate och fü Moate agelegt, die zweite fü Moate usw. ud die letzte, die 44

45 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 45 geau zum Jahesede eigezahlt wid, wid im betachtete Jah ga icht meh vezist. Die Summe de m aufgeziste utejähige Reteate etspicht de achschüssige ofome Jahesete e. ( ) m i m m i m i m i e... 3 ( ) 3 m m m i m m m i m ) (... ( ) + m i m e Itepetatio: Aus de m utejähige Zahluge wede ofome (gleichwetige) jähliche Esatzzahluge eechet. Ei Fußballspiele ehält vo seiem ehemalige Veei 5 Jahe lag eie vieteljähliche achschüssige Rete vo. Welches apital besitzt de Spiele bei 6% jähliche Ziseszise ach 5 Jahe? Die ofome (jähliche) Esatzeteate betägt: ( ), e Duch Additio de ofome Esatzeteate egibt sich de Edwet de Rete (das Edapital) R : ( ) + m i m R e Alteativ: Aus Tabelle de Reteedwetfatoe: 637 5,,., R Ewige Rete mit ostate Rate

46 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Defiitio: Wid fü die Rete ei Edtemi ud damit bei de jähliche Rete ei edliche Wet fü veeibat, so bezeichet ma die Retevepflichtug als ewige Rete. De Edwet eie ewige Rete ist uedlich goß! Ma a also sivolleweise u de Bawet ud die Höhe de Reteate eie ewige Rete betachte. Üblicheweise wid vo jähliche achschüssige Reteate ausgegage. Bei eie ewige Rete a ma sich vostelle, dass sie aus de Zise eies seh goße apitalbestads gezahlt wid. De apitalbestad muss so goß sei, dass ma aus de daauf etfallede Zise ubegezt viele Peiode lag Reteate zahle a. Offesichtlich ist das u da de Fall, we duch die Retezahluge de uspügliche apitalbestad icht geschmälet wid. Das bedeutet, dass die Retezahluge ausschließlich aus de Zise fiaziet wede. Wid zwische de beide Gudstücseigetüme He Zufuß ud Fau Mitweg veeibat, dass He Zufuß fü ei Wegeecht jählich achschüssig je auf ubegezte Zeit a Fau Mitweg zahle muss, ist de Bawet de ewige Rete de apitalbetag, mit dem He Zufuß die gesamte Retevepflichtug sofot ablöse a. Fau Mitweg öte diese Bawet zu eiem veeibate Zissatz i bei eie Ba alege, die ih aus dem Ziselös am Ede eies jede Jahes auszahlt. He Zufuß wid dabei de zu zahlede apitalbetag so bemesse, dass desse Zisetäge ach eiem Jah geau ausmache. Heleitug: Zu Emittlug des Bawetes müsse alle zuüftige Reteate auf de Afagszeitput de Betachtug abgezist wede. Aus de abgeziste Betäge wid da die Summe gebildet. Auslamme vo egibt: R i + i + + i 3 R i + i + i... 46

47 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte De Ausduc i de ecige lamme ist eie uedliche geometische Reihe mit dem Afagsglied a ud dem ostate Fato <. + i + i Vewedet ma fü die Umechug die Fomel fü die geometische Reihe mit dem ostate Fato < : + i s i a + + i, ( + i wid fü Null), so ehält ma + i + i + i + i + i i + i i Duch Eisetze des Wetes de ecige lamme i die Fomel fü R egibt sich i als Bawet de ewige Rete: R i Fü die Vepachtug des Audimax a eie Spotveei fü Papieschwalbeweitflug muss de Veei de Hochschule eie ewige Rete vo. jählich achschüssig zahle. Wie goß ist de Bawet diese Rete, we mit 8% Jaheszise geechet wid?. R 5., 8 De Bawet eie ewige Rete, die jählich achschüssig fällig ist, betage 5.. Wie hoch sid bei 7,5% Jaheszis die Reteate? 5., 3. 75, 75 47

48 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Ei eiche Eboel hat 5. übig. Bei welchem Jaheszis a e seie abeitslose Nichte, jählich achschüssig eie ewige Rete i Höhe vo je.5 fiaziee, damit sie totz appe asse jedes Jah fü 4 Woche ach Malloca fliege a?.5 5., i,6 i 48

49 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 5. Tilgugsechug 5. Begiffe de Tilgugsechug Gegestad de Tilgugsechug ist ei vo eiem Gläubige (z.b. Ba) a eie Schulde (z.b. Baude) ausgeliehee Geldbetag S (Schuld, Dalehe, edit). De Geldbetag soll i egelmäßige Betäge (Auitäte A ) schittweise zuücgezahlt wede. I jede Auität ist ei Rüczahlugsbetag (Tilgugsateil T ) ud ei Zisbetag Z ethalte. Gezahlt wid imme die Auität!. Je göße de Tilgugsateil i eie Auität ist, umso schelle wid die Schuld zuücgezahlt. Je göße de Tilgugsateil i eie Auität ist, umso leie ist de Schuldestad S ach eie gewisse Laufzeit. Symbole Bedeutug T Z Laufzeit des edits i Jahe Tilgugsate am Ede des Jahes,,..., Ziszahlug fü das Jah (achschüssig) A Auität fü das Jah, A T + Z RS S Schuldestad zu Begi des Jahes Schuldestad am Ede des Jahes S Gesamtschuld, Schuldestad am Ede des Jahes i Nomialzissatz des edites Tilgugssatz (bei Pozetauitätetilgug) i T Außedem gilt: De Schuldestad zu Begi des este Jahes stimmt mit dem Betag de Schuld übeei: RS S Am Ede des Jahes ist die Schuld getilgt ud es falle eie weitee Zahluge meh a. S RS+ Die Restschuld veiget sich um die jeweilige Tilgugszahluge ( T + T + T T ) S ( A Z ) ( A Z ) RS... S 3 De Tilgugspla ist eie tabellaische Dastellug vo Restschuld Tilgug T ud Auität A fü jede Peiode. RS, Zis Z, 49

50 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Beispiel eies Tilgugsplaes: RS Z T S S i S T ( S T ) i T T + Z S T T T + Z S T T 3 S T3 T T A S T + T i T T + Z Zu Begi des Jahes hat de Schuldestad de Wet de Gesamtschuld mius de Tilgug aus dem Jah. Die Ziszahluge betage de Wet des Schuldestades mal Zissatz. Die Auität des Jahes setzt sich aus de Tilgug ud de Ziszahlug des Jahes zusamme. De Schuldestad am Ede des Jahes etspicht de Gesamtschuld mius de Tilguge aus de Jahe ud. Zu Begi des letzte Jahes betägt de Schuldestad och geau eie Tilgug. We ma im Laufe des letzte Jahes och eimal tilgt (plus de etspechede Zise), ist ma schuldefei. Im letzte Jah falle Ziszahluge i Höhe vo eie Tilgug mal Zissatz a. Die Auität des letzte Jahes setzt sich zusamme aus de Tilgug ud de Ziszahlug des letzte Jahes. De Schuldestad am Ede des letzte Jahes ist, weil ma im Laufe des letzte Jahes die letzte Tilgug ud die letzte Zise gezahlt hat. Zu Begi des eue Jahes + ist ma schuldefei. 5.. Jähliche Ratetilgug Im Falle de Ratetilgug sid alle Tilgugsate gleich hoch (ählich wie bei de Abscheibugsbetäge de lieae Abscheibug), T T T... T T 3 5

51 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte wobei die Summe alle Tilguge de Schuld S etspeche muss, damit de Schuldestad zu Begi des Jahes + ist, d.h. T S. Es wid also die Fodeug aufgestellt: S T T fü,..., Die zu zahlede Zise beeche sich, idem de Zissatz auf die Restschuld bzw. de Schuldestad agewedet wid: Z RS i Die Schuld am Ede eie Peiode bzw. die Restschuld am Afag eie Peiode eechet sich übe die Tilgugszahlug de Peiode. S S RS T T ode ( ) ode S S Ute Vewedug vo RS RS S T S ( + ) Duch die Festlegug de Tilgugsate a u die jähliche Auität beechet wede. A T + Eisetze vo obige Fomel A Z A S + RS i S S + ( + ) i S T ud Z RS i egibt 5

52 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Nach Umfome egibt sich A S [ + ( + ) i] Satz: Die gesamte Zisbelastug bei de Ratetilgug ist: Z Z i RS i ( + ) T + i S Beweis: i ( + ) i T ( + ) RS i T [( + ) + ( + ) ( ( ) + ) + ( + ) ] [( ) + ( ) ( ( ) ) + ( ( ) )] i T i T ( ) i T... + i T + Weil ( ) S T gilt: i T ( + ) i ( + ) S. Fü oete Vogabe fü die Schuld S, de Zissatz i ud die Laufzeit des edits, a u ei oete Tilgugspla aufgestellt wede. De Studet Ato Mobil beötigt 36. fü de auf eies leiwages. E immt zu Jahesbegi zu % eie etspechede edit auf, de ach dei Jahe zuücgezahlt wede muss. Wie sieht de Tilgugspla aus? Bleibt Ato och Geld fü de auf vo Mathemati- Lehbüche übig? 5

53 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte RS Z T A S Σ7. Die Zeile fü das Jah 4 a ma weglasse, da ma am Ede des Jahes 3 (ebeso wie am Afag des Jahes 4) beeits schuldefei ist. Eie Schuld vo. soll bei eie jähliche Vezisug vo 9,5% i 6 Jahe duch jählich gleich hohe Tilgugsate getilgt wede. Estelle Sie de Tilgugspla. Wie äde sich die Auitäte A 5 ud A, we im 5. ud 6. Jah de Zis plötzlich auf,5% steigt? 6 RS Z T A S Fall de plötzliche Zisehöhug

54 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte 5.3 Jähliche Auitätetilgug Wie i de Beispiele de jähliche Ratetilgug zu sehe ist, wid de Schulde duch die Zahlug de Auitäte i de este Jahe viel stäe belastet als i de spätee Jahe. Das liegt daa, dass zwa die Tilgugszahluge i jedem Jah gleich hoch ausfalle, die Ziszahluge im Laufe de Zeit abe abehme, da die Restschuld im Laufe de Zeit ebefalls leie wid (Eie Sie: Die Ziszahluge eeche sich aus Restschuld mal Zissatz). Diese ugleichmäßige Belastug eies Schuldes i de uteschiedliche Jahe, i dee e die Schuld zuüczahlt, a uewüscht sei. Bei de Auitätetilgug ist die Belastug des Schuldes i jede Tilgugspeiode gleich hoch. Nicht die Tilgugsate, sode die Auitäte als Summe aus Tilgug ud Zise sid i jede Peiode gleich hoch. Ma utescheidet exate Auitäte ud Pozetauitäte Exate Auitätetilgug Bei de exate Auitätetilgug (ebeso wie bei de Pozetauitätetilgug) ist die Auität ostat A A... A A Wie hoch muss diese Auität u sei, damit am Ede de Laufzeit geau die Schuld eischließlich Zise zuücgezahlt wid? Dazu geht ma vo folgede Übelegug aus: Am Afag de editlaufzeit steht die ausgezahlte Schuldsumme S. Sie stellt damit eie Bawet da: Idee: Itepetiee Sie die Schuld S als Retebawet eie jählich achschüssige Retezahlug i ostate Höhe A, wobei die Laufzeit de Rete geau Jahe betägt. Jahe lag wid eie Auität A gezahlt. We ma diese Zahluge addiee ud aufzise wüde, hätte ma de Reteedwet. 54

55 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Ohe Tilgug wüde die Schuld bis zum Ede de editlaufzeit auf eie bestimmte Edwet awachse Gesucht ist u de ostate, i mehee Rate zu zahlede gleichbleibede Betag A, de im Laufe de Jahe exat auf dieselbe Summe wie de Edwet de Schuld S awächst. Idee: Zu Veaschaulichug stelle ma sich vo, dass die Schuldsumme auf eiem oto eischließlich de Zise auf eie Edwet awächst. Auf eiem adee oto sammelt de Schulde seie Tilgugszahluge vezislich a. Am Ede de editlaufzeit müsse die Betäge auf beide ote übeeistimme, so dass das Guthabe des Schuldes geade auseicht, um die Schuld auf dem adee oto zu dece. Die Beechug de ostate Auität etspicht also de Bestimmug eie Reteate bei vogegebeem Bawet (Eie Sie: R ach auflöse egibt: R ). etspicht hie de gesuchte Auität A, de Retebawet R etspicht de Schuldsumme S. Daaus folgt fü die ostate Auität A : A S De Auitätefato Retebawetfatos. ist de ehwet des achschüssige Ma a u auch folgede Fagestellug beatwote: Jemad a eie jähliche Auität A fü eie edit aufbige, de bei p % i Jahe getilgt wede soll. Wie hoch a de editbetag S gewählt wede? Solche Fagestelluge sid bspw. fü Bauwillige iteessat, die wisse möchte, welche edithöhe sie zu Fiazieug ihes Bauvohabes aufehme öe. Die Lösug ehält ma, idem ma die Fomel A S ach S auflöst. 55

56 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Ma ehält: S A Übiges: Letztgeate Fomel ist bis auf die abweichede Symboli - idetisch mit de achschüssige Retebawetfomel R Die Auflösug de o.g. Fomel fü die Auität ach de Laufzeit bzw. x lautet: l A lt x l Beweis: S Z ( ) A( ) fü die lie Seite gilt: S ( ) S i Z A( ) Z A( ) A ausmultipliziee Z Z A A A A ( A Z ) A auslamme weil A Z T gilt A Logaithmiee T l l A l bzw. T l A lt l 56

57 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Auitätefatoe bei veschiedee editlaufzeite ud Zissätze i,,575,34,563,6,75,486,37,67,56,,55,3468,66,,785,545,365,5,3,3,56,3535,69,84,846,65,45,84,7,4,53,363,755,46,98,666,485,345,33,5,5378,367,8,3,97,78,547,47,95,6,5454,374,886,374,34,79,6,47,359,7,553,38,95,439,98,856,675,535,44,8,568,388,39,55,63,9,74,6,49,9,5685,395,387,57,9,987,87,668,558,,576,4,355,638,96,54,874,736,67 Bei eiem Zissatz vo 7% ( i, 7 ) ud eie editlaufzeit vo 5 Jahe muss de Schulde 5 Jahe lag das,439-fache de Schuld zuüczahle. Bei eie Schuld vo. zahlt e füf Jahe lag jeweils.439 zuüc. Pobe: Isgesamt wede gezahlt. De Bawet dieses Betags (abgezist übe 5 Jahe bei 7% Zise ist: R 5,7, d.h ,.. 5,7,7 De Bawet etspicht also exat de uspüglich ausgeliehee Summe. Eiem Bauhe wid eie Hypothe vo. bei % Auszahlug ud 8,5% Jaheszis agebote, die i 6 Jahe duch exate Auitätetilgug zuücgezahlt wede soll. Wie hoch ist die Auität? 57

58 Fiazmathemati Pof. D. Waie Moos FB Witschaftswisseschafte Es gilt: S., 6, p 8, 5%, i, 85, + i 85, Vewede Sie: A S 6, 85 A., , 66., 35 6, 85 De Bauhe muss jedes Jah.66,35 zuüczahle, damit e ach 6 Jahe schuldefei ist. De Tilgugspla sieht wie folgt aus: Jah RS Z () ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) () 3 ( ), 85 ( 4) ( 5) ( 3) ( 6) ( ) ( 4) , , , , , , , , , , , , , , , ,35 T A S Fomel fü die Restschuld RS bzw. S Hat ma eie Tilgugspla aufgestellt, a ma fü jedes Jah die Restschuld RS bzw. S ach Jahe, die Tilgugsate T ud die Zisbelastug Z im -te Jah ablese. Um diese Wete auch ohe Tilgugspla emittel zu öe, sid bestimmte Fomel ötig. 58

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