Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11

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Holger Winter
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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 22. Juni 2012 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 1

2 2. Fall: Optimal geschichtete Stichproben Bei optimal geschichteten Stichproben werden die Stichprobenumfänge für die einzelnen Schichten n i, i = 1,..., k mit Hilfe der folgenden Extremwertaufgabe bestimmt. Aufgabe: Bestimme n i, i = 1,..., k, so dass die Varianz Varˆµ = k minimal wird, wobei die Nebenbedingung p 2 i σ 2 i n i k n i = n erfüllt sein soll! Die Lösung kann nach Verstetigung des Problems mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren gefunden werden, sie lautet n n i = p i σ i, i = 1,..., k. k p j σ j j=1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 2

3 Optimal geschichtete Stichproben II Dabei müssen die Ergebnisse durch die nächsten natürlichen Zahlen approximiert werden. Außerdem müssen im Allgemeinen die Streuungen in den Schichten geschätzt werden, z.b. aus alten Daten. In dem Spezialfall, wenn alle Varianzen in den Schichten übereinstimmen, d.h. σ1 2 =... = σ2 k gilt, erhält man die Beziehung n i = np i, i = 1,..., k. In diesem Fall sind also proportional geschichtete Stichproben optimal. Im obigen Beispiel erhält man als optimale Stichprobenumfänge n 1 = 56, n 2 = 116, n 3 = 28 und eine Varianz der Schätzung von k Varˆµ = p 2 σi 2 i = (im Vergleich zu im n i proportional geschichteten Fall). Der relative Schichtungseffekt beträgt dann 21.2%. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 3

4 3. Fall: Kostenoptimal geschichtete Stichproben Werden die (möglicherweise unterschiedlichen) Kosten für die Stichprobenerhebungen mit berücksichtigt, sind im Allgemeinen andere Stichprobenumfänge für die einzelnen Schichten optimal. Geg.: Gesamtkosten c für die Stichprobenerhebung, Kosten c i für die Auswahl einer Untersuchungseinheit aus Schicht i, i = 1,..., k. Optimierungsproblem: Bestimme n i, i = 1,..., k, so dass Varˆµ = k p 2 i σ 2 i n i minimal wird, wobei k c i n i = c gelten soll! Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 4

5 Kostenoptimal geschichtete Stichproben II Lösung: Optimal sind die Werte n i = c k p j σ j cj j=1 p i σ i ci = c k p j σ j cj j=1 p i σ i ci c i, i = 1,..., k. Im Spezialfall übereinstimmender Kosten c i, d.h. falls c 1 =... = c k gilt, erhält man die Formeln für die optimal geschichteten Stichproben. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 5

6 Beispiel kostenoptimal geschichtete Stichprobe I Ein Unternehmen möchte c = e für Informationsbeschaffung über den Absatz im kommenden Jahr einsetzen. Das Unternehmen hat N = Kunden in k = 3 Schichten. i Schicht N i σ i in e c i in e 1 Kleinabnehmer mittlere Abnehmer Großabnehmer k p j σ j cj = = 221. j= n 1 = = 15.08, n 2 = und n 3 = = = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 6

7 Beispiel kostenoptimal geschichtete Stichprobe II Gerundet erhält man n 1 = 15, n 2 = 23, n 3 = 90. Damit werden erst e ausgeschöpft. Wenn die e maximal ausgeschöpft werden sollen, gibt es zwei Möglichkeiten mit in natürlicher Weise verringerter und somit besserer Varianz: n 1 = 19, n 2 = 23, n 3 = 90 oder n 1 = 15, n 2 = 24, n 3 = 90. Eine etwas kleinere Varianz erreicht die 2. Möglichkeit n 1 = 15, n 2 = 24, n 3 = 90. Vergleich Beispielvarianten: (n=129) Stichprobe n 1 n 2 n 3 Varˆµ Kosten in e kostenoptimal geschichtet varianzoptimal geschichtet proportional geschichtet Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 7

8 d) Klumpenstichproben Bisher wurde die Grundgesamtheit in Schichten unterteilt, die im Allgemeinen verschieden in Erwartungswerten und Varianzen sind. Jetzt erfolgt eine Einteilung der Grundgesamtheit in M Klumpen, die jede für sich die Grundgesamtheit schon recht gut repräsentieren. Beispiel: Alter der Personen in Vierpersonenhaushalten Nr. Vater Mutter 1. Kind 2. Kind Klumpen Klumpen Klumpen Klumpen Schicht 1 Schicht 2 Weitere Beispiele für Klumpen sind: Bevölkerung in Kreisen für Bevölkerung in BRD, Studenten einer Uni für Studenten in BRD, usw. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 8

9 Auswertungen im Beispiel Gleichgültig, ob Schichten oder Klumpen: beides sind Zerlegungen der Grundgesamtheit, für die die Zerlegungsformeln für Erwartungswerte und Varianzen gelten, d.h. M µ = p i µ i, σ 2 = M M p i σi 2 + p i (µ i µ) 2. i Vater Mutter 1. Kind 2. Kind µ i σ i µ I = µ II = µ = σ I = 2.78 σ II = 4.14 σ = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 9

10 Prinzipielle Betrachtungen am Beispiel I Aufgabe: Schätzung von µ durch Stichprobe vom Umfang n = 4 ( ) 16 a) Reine Zufallsausawahl: = 1820 mögliche Stichproben, 4 7,8,10,11 x = 9; darunter die extremen : 43,41,40,39 x = Die Standardabweichung σ X von X müsste sich reduzieren lassen, wenn man extreme Stichproben nicht zulässt, also eine eingeschränkte Zufallsauswahl durchführt. b) Prortional geschichtete Stichprobe: Wähle n 1 = 2 statistische Einheiten aus ( ) Schicht ( ) I und n 2 = Einheiten aus Schicht II. Dies ergibt = 784 mögliche ,37,7,8 x = 21.25; Stichproben mit den extremen : 43,41,18,18 x = 30. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 10

11 Prinzipielle Betrachtungen am Beispiel II c) Klumpenstichprobe: Wähle zufällig einen der 4 Klumpen und mache dort eine Totalerhebung. Dies ergibt 4 mögliche Stichproben mit Schätzwerten x = Klumpen Klumpen Klumpen Klumpen 4 Diese Variante scheint bezüglich der Streuung von X am besten zu sein. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 11

12 Zufällige Auswahl der Klumpen Wir betrachten ein Untersuchungsmerkmal X und wollen den Erwartungswert EX = µ schätzen. Bei einer klassischen reinen Zufallsauswahl erhalten wir für die Schätzungfunktion ˆµ = X die Varianz VarX = σ2 n, wobei σ2 die (exakte) Varianz von X ist und n der Stichprobenumfang. Demgegenüber betrachten wir jetzt eine Klumpenstichprobe: Es werden zufällig m Klumpen aus den M vorhandenen Klumpen ausgewählt. Dabei wird diejenige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Menge {1,..., M} gewählt, bei der die Einzelwahrscheinlichkeit p i proportional zur Elementanzahl N i im Klumpen K i ist. Damit wird der i-te Klumpen mit einer Wahrscheinlichkeit von p i = N i N (i = 1,..., M) ausgewählt. Dann erfolgt eine Totalerhebung in den m Klumpen, d.h. die exakte Ermittlung des dortigen Mittelwertes µ i. Damit liegt auch hier wieder eine eingeschränkte Zufallsauswahl vor. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 12

13 Auswahlmechanismus der m Klumpen Die Auswahl der m Klumpen kann zum Beispiel mit Hilfe von Zufallszahlen (ZZ) erfolgen. Beispiel: Beschäftigte N i in Betrieb i i N i p i kumulativ Auswahl i falls ZZ in [0; 0.053) [0.053; 0.169) [0.169; 0.253) [0.253; 0.453) [0.453; 1.000) N = 95 Zum Beispiel: ZZ Auswahl i 3 5 5, verworfen 1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 13

14 Schätzung von µ bei einer Klumpenstichprobe Es seien h 1,..., h m die Indizes der m ausgewählten Klumpen und µ h1,..., µ hm die exakt ermittelten Mittelwerte in diesen Klumpen. Dann wird der Mittelwert µ = EX geschätzt durch ˆµ = 1 m m µ hi. Diese Schätzung ist unverzerrt (erwartungstreu), denn es gilt Eˆµ = 1 m m Eµ hi = 1 m m M p j µ j = 1 m m µ = µ. j=1 Für die Varianz der Schätzung gilt Varˆµ = 1 Nm M N i (µ i µ) 2. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 14

15 Statistische Vorteile von Klumpenstichproben Klumpenstichproben sind häufig kostengünstiger als reine Zufallstichproben vom gleichen Umfang (geringere Reisekosten o.ä.). Bei statistischen Untersuchungen muss man berücksichtigen, dass eine Klumpenstichprobe im Allgemeinen einen zufälligen m Stichprobenumfang besitzt: n = N hi. Daher beschränken wir uns beim Vergleich mit dem Fall einer reinen Zufallsauswahl auf den Spezialfall N i = N M = const, d.h. p i = 1 M, i = 1,..., M und einen Stichprobenumfang n = m N M. Für die reine Zufallsauswahl gilt wegen p i = 1 M ( VarX = σ2 n = Mσ2 Nm = 1 M ) M σi 2 + (µ i µ) 2. Nm Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 15

16 Vergleich Klumpenstichprobe und reine Zufallsauswahl I Für die Klumpenstichprobe gilt mit der vorherigen Beziehung ( ) Varˆµ = 1 M (µ i µ) 2 = 1 M σ 2 M σi 2. Mm Mm Folglich gilt [ VarX Varˆµ = 1 1 M ( σi 2 σ 2 1 M ) ], m M N d.h. Klumpenstichproben sind statistisch vorteilhafter als X, falls 1 M M σi 2 > ( 1 M ) σ 2 N (Klumpeneffekt). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 16

17 Vergleich Klumpenstichprobe und reine Zufallsauswahl II Die Bedingung für den Klumpeneffekt ist auf jeden Fall erfüllt, falls alle µ i gleich sind, denn dann folgt aus der Zerlegungsformel für die M Varianzen (siehe Folie 9) σi 2 = Mσ 2. Die Schätzung ˆµ aus der Klumpenstichprobe ist auch besser als X, wenn die Klumpen fast gleiche Mittelwerte haben und (bei einer anderen Zerlegung) die Grundgesamtheit deutlich geschichtet ist. Im Beispiel von vorn gelten M = 4, m = 1, N = 16 und 1 M M σi 2 = > = ( 1 4 ) (13.35) 2, 16 also VarX = (13.35)2 4 = 44.56, Varˆµ = (µ i µ) 2 = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 17

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