Aus Knoten und Kanten, die Bezeichnungen haben können. Ein Graph, bei dem die Kanten Richtungen haben.

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1 ormale Methoden der Informatik WS 2/2 Lehrstuhl für atenbanken und Künstliche Intelligenz ProfrrJRadermacher H Ünver T Rehfeld J ollinger 3 ufgabenblatt esprechung in den Tutorien vom 72 (ab Übungstermin) bis 242 (bis Übungstermin) ufgabe (8 Punkte) Verständnisfragen: Graphen: a) Woraus besteht ein Graph? us Knoten und Kanten, die ezeichnungen haben können b) Was ist ein gerichteter Graph? in Graph, bei dem die Kanten Richtungen haben c) Was ist eine Schlinge? ine Kante, die einen Knoten mit sich selbst verbindet d) Was ist ein schlichter Graph? in Graph, welcher weder Schlingen noch Mehrfachkanten enthält e) Wann sind die Graphen G =(V, ) und G 2 =(V 2, 2 ) isomorph? Wenn es eine bbildung f : V V 2 gibt: (x, y) (f(x),f(y)) 2 f) Was bedeutet bijektiv? Wenn eine unktion in beide Richtungen eindeutig ist g) Was ist eine Menge? ine gedankliche Zusammenfassung von ingen, bei der es nicht auf die Reihenfolge ankommt und bei der jedes lement nur einmal vertreten ist (schreibweise mit geschweiften Klammern) h) Was ist ein Tupel? ine gedankliche Zusammenfassung von ingen unter eachtung der Reihenfolge und jedes der lemente kann auch mehrfach vertreten sein (schreibweise mit runden Klammern) Typisch ist, dass man sich von vorne herein festlegt, wieviele lemente das Tuppel haben soll

2 ufgabe (5 Punkte): Multiplikationen ühren Sie die folgenden Multiplikationen im jeweiligen asis-system durch: a) b) Multipliziere beide Zahlen ziffernweise und schreibe die Zwischenergebnisse jeder inzelmultiplikation entsprechend eingerückt untereinander Summiere schließlich alle Zwischenergebnisse zu einem Gesamtergebnis as gleiche Verfahren wird bei anderen Zahlensystemen angewendet eide Zahlen werden ziffernweise durchgegangen Jede Kombination der Ziffern wird ihrem Wert nach im fremden System multipliziert er einzige Unterschied besteht darin, dass die rgebnisse jeder inzelmultiplikation auch wieder im fremden System aufgeschrieben werden uch diese Summation findet wieder vollständig im remdsystem statt c) d) Je kleiner die asis eines Zahlensystems, desto kleiner ist dessen Multiplikationstabelle aher ist die Multiplikation in Zahlensystemen kleinerer asen einfacher, da hier weniger älle zu unterscheiden sind ies geht auf Kosten der Zahlenlänge a die Multiplikation von der Länge der ingangszahlen abhängt, müssen mehr inzelmultiplikationen durchgeführt werden Multiplikationen im 2er-System sind am einfachsten ie Multiplikationstabelle ist trivial: Sie besteht nur aus vier möglichen Kombinationen und hat als rgebniswerte nur die Ziffern und ls Konsequenz braucht man die eine Zahlnurimmerwiederholtbündig beginnend unter die Spalten der anderen Zahl schreiben, in denen eine steht ie Spalten, in denen eine steht multiplizieren die Zahl zu und lassen sie wegfallen Nur die Spalten mit den en behalten ihren nteil Und eine Multiplikation mit der ist trivial ie abessinische auernregel auf dem letzten Übungsblatt lässt sich letztendlich auf dieses Prinzip zurückführen (ohne eweis)

3 e) ie einzige neue Schwierigkeit, die sich bei einer Multiplikation im 2er-System ergibt (neben der Tatsache, dass es nun mehr Kombinationsmöglichkeiten bei der Multiplikation zweier einfacher Ziffern als im er-system gibt), ist, dass nun ungewohnte Ziffern (,z = 2 ) auftreten können uch hier werden alle einzelnen Rechenschritte im 2er-System ausgeführt 2 ufgabe (3 Punkte) Isomorphie: Gegeben seien die folgenden Graphen: i) I II III ii) iii) a b iv) v) a b vi) IV V VI 5 6 c d e f c d e f Welche der hier gezeigten Graphen sind isomorph? egründen Sie Ihre ntwort Vorgehensweise: a) Überprüfen auf gleiche nzahl Knoten lle Graphen besitzen die gleiche nzahl Knoten b) Überprüfen auf gleiche Gradsequenz (ii)+(iv)+(v) stimmen überein c) etrachte die benachbarten Knoten Versuche die Graphen gleich aufzubauen (a) Knoten mit eindeutigem Grad finden, (b) dessen Kanten hinzufügen (dabei Grade der Nachbarn vergleichen) (bbruch, wenn Unterschiede festgestellt werden gescheitert), (c) Prozedur mit den Knoten der Nachbarn wiederholen (bbruch, wenn keine weiteren Knoten mehr vorhanden erfolgreich) (iv)+(v) sind gleich Überführungsfunktion: (iv) d (v) a e f c b

4 3 ufgabe (3 Punkte): Gegeben seien die folgenden Graphen in Mengen- und Tuppelschreibweise: a) G = (V, ) V = {,,,,, }, = {{, }, {,}, {,}, {, }, {, }, {,}} b) G 2 = (V 2, 2 ) V 2 = {,,,,, }, 2 = {(, ), (,), (,), (, ), (, ), (, ), (,), (,), (,), (, )} c) G 3 = (V 3, 3 ) V 3 = {,,,,,, G, H, I, J, K}, 3 = {{, }, {,}, {, G}, {, }, {,}, {,I}, {, G}, {, J}, {G, H}, {G, K}} Zeichnen Sie die Graphen a) b) c) I J G K H

5 4 ufgabe (5 Punkte) zum Knobeln: ine bwandlung des Umfüllproblems: Gegebensindein5-Liter-undein3-Liter-Gefäß Ihre ufgabe ist es, eine Wassermenge von 4 Litern abzumessen ohne zu schätzen Geben Sie, nach Möglichkeit, alle Lösungswege an Hinweis: s steht eine unbegrenzte Wasserquelle zur Verfügung s kann in einem Schritt immer nur eine Operation durchgeführt werden Ziel Ziel (4,) (,3) (4,3) (,) (5,2) (,) (,2) (5,) (2,) Start (,) (3,3) (2,3) (3,) (5,) (,3) (5,3) Start