Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ Def.: eine Formel ϕ heißt allgemeingültig (oder Tautologie), wenn für alle I gilt: I = ϕ Lemma: ϕ ist erfüllbar gdw. ϕ nicht allgemeingültig ist Beweis: beachte: ϕ unerfüllbar gdw. ϕ allgemeingültig

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 45 Beispiele die folgenden Formeln sind erfüllbar A, A, A B, (A B) ( A B) (A B) die folgenden Formeln sind unerfüllbar A A, (A B) ( A B) (A B) ( A B) die folgenden Formeln sind Tautologien A A, (A B) (B C) (A C), A A beachte: ist nicht assoziativ; Konvention: rechts geklammert

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 46 Zusammenhänge Theorem 3 a) ϕ ψ ist allgemeingültig gdw. ϕ und ψ allgemeingültig sind b) ϕ ψ ist erfüllbar gdw. ϕ oder ψ erfüllbar ist c) ϕ ψ gdw. ϕ ψ allgemeingültig d) ϕ allgemeingültig gdw. ϕ tt e) ϕ unerfüllbar gdw. ϕ ff Beweis: (Übung)

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 47 Fallstricke Vorsicht! Folgendes gilt nicht: ϕ ψ allgemeingültig gdw. ϕ oder ψ allgemeingültig ϕ ψ erfüllbar gdw. ϕ und ψ erfüllbar Gegenbeispiele? aber es gelten jeweils eine der beiden Richtungen, welche?

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 48 Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und Negation Übung: Was ist jeweils möglich bzw. unmöglich? a) ϕ und ϕ beide erfüllbar b) ϕ und ϕ beide allgemeingültig c) ϕ und ϕ beide unerfüllbar d) ϕ erfüllbar und ϕ unerfüllbar e) das Gegenteil von (d)

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 49 Ein naiver Erfüllbarkeitstest Def.: Vars(ϕ) bezeichnet die in ϕ vorkommenden Variablen es gilt also: Vars(ϕ) =Sub(ϕ) V Übung: definiere Vars(ϕ) per Induktion über den Formelaufbau Theorem 4 Zu einer Formel ϕ lässt sich in Zeit O( ϕ 2 Vars(ϕ) ) und Platz O( ϕ ) entscheiden, ob diese erfüllbar ist. Beweis: Übung

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 50 Def.: Normalformen Ein Literal ist eine Variable A oder ihre Negation A. Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen, n i=1 i. Ein Minterm ist eine Konjunktion von Literalen, n i=1 i. Eine Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von Klauseln ist, n mi i=1 j=1 i,j. Eine Formel ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von Mintermen ist, n mi i=1 j=1 i,j. Bsp. (A B) (B C A) ist in KNF wir schreiben Formeln in KNF (oder DNF) wegen Assoziativität, Kommutativität und Idempotenz auch als Mengen von Mengen von Literalen

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 51 Substitutionen Def.: ϕ[ψ/a] bezeichne die simultane Ersetzung von jedem Vorkommen der Variablen A in ϕ durch ψ Übung: definiere ϕ[ψ/a] durch Induktion über den Formelaufbau Theorem 5 Aussagenlogische Äquivalenz ist eine Kongruenzrelation: Wenn ψ θ dann ϕ[ψ/a] ϕ[θ/a]. Beweis: Übung Frage: macht es einen Unterschied, wenn man nicht simultan ersetzt?

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 52 Existenz von Normalformen Theorem 6 Für jedes ϕ existiert ein ψ in KNF / DNF, so dass ϕ ψ. Beweis: Durch schrittweises Umbauen von ϕ: 1 Elimination von, mittels ϕ 1 ϕ 2 (ϕ 1 ϕ 2 ) (ϕ 2 ϕ 1 ), ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 2 Anwenden der de Morgan-Gesetze und θ θ liefert Formel, die nur aus Literalen mit, gebaut ist. 3 Anwenden der Distributivgesetze liefert KNF oder DNF. Alle Schritte sind äquivalenzerhaltend laut Thm. 5.

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 53 Beispiel wandele ( A ( B C)) (B C) in KNF um

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 54 Das Erfüllbarkeitsproblem für DNF Theorem 7 DNF-SAT (SAT für Formeln in DNF) lässt sich in Zeit O( ϕ log ϕ ) entscheiden. Beweis: Ein Minterm n i=1 l i ist erfüllbar gdw. es keine A, i, j gibt, so dass l i = A und l j = A für 1 i, j n. Eine Disjunktion n i=1 ϕ i ist erfüllbar gdw. es ein i gibt, so dass ϕ i erfüllbar ist. Somit kann Erfüllbarkeit einer DNF in einem Durchlauf (nach Sortierung) durch die Formel entschieden werden. Warum dann nicht Erfüllbarkeitstest für allgemeine Formel ϕ so: Wandle ϕ in äquivalente DNF ψ um. Teste Erfüllbarkeit von ψ.

12 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 55 Erfüllbarkeitsäquivalenz neben dem starken Äquivalenzbegriff führen wir noch einen schwächeren ein Def.: ϕ und ψ sind erfüllbarkeitsäquivalent, ϕ sat ψ, falls gilt: ϕ erfüllbar gdw. ψ erfüllbar beachte: sat ist Äquivalenzrelation mit nur zwei Äquivalenzklassen; kanonische Vertreter sind tt, ff Wofür kann das dann überhaupt gut sein? Ist man (nur) an Erfüllbarkeit von ϕ interessiert, so reicht es aus, Erfüllbarkeit von ψ zu testen, falls ϕ sat ψ (aber evtl. nicht ϕ ψ).

13 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 56 Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Theorem 8 Für jedes ϕ gibt es ein ψ in KNF, sodassϕ sat ψ und ψ = O( ϕ ). Beweis: Für jede nicht-atomare Subformel θ von ϕ führen wir eine Variable X θ ein. Dann wird ϕ sukzessive nach folgender Vorschrift von unten nach oben umgebaut. Solange es noch eine nicht-atomare Subformel θ gibt, ersetze diese durch X θ und definiere eine KNF ψ θ je nach Junktor in θ, z.b. Falls θ = Y Z, dann ψ θ := ( X θ Y ) ( X θ Z) (X θ Y Z) Definiere schlussendlich ψ := X ϕ {ψ θ θ Subformel von ϕ}

14 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 57 Beispiel wandele ( A ( B C)) (B C) in erfüllbarkeitsäquivalente KNF um

15 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 58 Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Beachte: Es gilt in obiger Konstruktion nicht nur ϕ sat ψ, sondern noch etwas stärkeres: Vars(ϕ) Vars(ψ) Ist I = ψ, so auch I = ϕ (aber nicht unbedingt umgekehrt). Soll heißen: ψ ist nicht nur erfüllbarkeitsäquivalent zu ϕ, sondern jede erfüllende Variablenbelegung für ψ ist auch eine für ϕ. Beachte: Erfüllbarkeitstest in O(n log n) war für DNF, nicht KNF! Umwandlung in erfüllbarkeitsäquivalente DNF ist wohl nicht mit nur polynomiellem Aufwand möglich.

16 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 59 Beispiel Gesucht ist Formel ExactlyOne(V ) für endliche Variablenmenge V, so dass I = ExactlyOne(V ) gdw. I(A) =1für genau ein A V Einfache Lösung: ExactlyOne(V ) := A V(A B V B=A B) beachte: dies hat Größe O(n 2 ) Geht es auch mit Formel der Größe O(n)?

17 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 60 Genau eins mit linearem Aufwand angenommen V = {A 1,...,A n }. spendiere zusätzliche Variablen B i, i =1,...,n, diejeweils ausdrücken sollen eine der A 1,...,A i ist wahr ExactlyOne(V ):=ϕ 1 ϕ 2, wobei ϕ 1 := n A i i=1 ϕ 2 := (A 1 B 1 ) n (( B i 1 A i ) B i ) (B i 1 A i ) i=2

18 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 61 Horn-Formeln Def.: Eine Horn-Formel ist ein ϕ in KNF, sodassinjederklausel höchstens ein positives Literal vorkommt. Beachte: A 1... A n B A 1... A n B A 1... A n A 1... A n ff Theorem 9 HORN-SAT (Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln) ist in Zeit O( ϕ 2 ) lösbar. Beweis: Übung Beachte: mit etwas Cleverness lässt es sich sogar in O( ϕ ) lösen

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