F 0 =0, F 1 =1 und F n+1 =F n +F n-1 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

Transkript

1 F 0 0, F und F n+ F n +F n- 0,,,,,, 8,,, 4,, N A U T I L U S Fiboncci - Zhlen S. Nutilus - Nmen gebend für ds berühmte U-Boot des Kpitäns Nemo us Jules Vernes Romn "0 000 Meilen unter dem Meer" - ist ein Kopffüßler (Cephlopode), der ein klkiges Außenskelett besitzt. Die Kopffüßler, populärer unter der Bezeichnung "Tintenfische", sind eine urlte Tiergruppe, deren erste Vertreter bereits gegen Ende des Kmbriums in den dmligen Meeren uftuchten, lso vor über einer hlben Millirde Jhre. Der Nutilus besitzt eine eng ufgerollte einteilige Schle, in die sich ds Tier bei Gefhr zurückziehen knn. Die Tentkel, die krnzförmig m Kopf befestigt sind verweisen uf den Nmen der gnzen Gruppe ("Kopffüßler"). Die Nutiliden leben lle im westlichen Pzifik und in einigen Bereichen des Indischen Ozens, usschließlich im tropischen Bereich und vor llem m Hng von Riffen. Normlerweise hlten sich die Tiere in Tiefen von etw 400 Metern uf, können bis zu 600 Meter tief tuchen, sie kommen jedoch nchts uch bis in eine Tiefe von 00 Metern heruf. Sie ernähren sich vor llem von Krebsen.

2 Inhltsverzeichnis in der Seitenreihenfolge Mthemtische Symbole und Bezeichnungen... 8 Zhlenmengen... 8 Stufenzhlen / Zehnerpotenzen... 9 Große Zhlen... 9 Kleine Zhlen... 0 Wissenschftliche Schreibweise... 0 Potenzen... Rechnen mit Potenzen... Qudrtwurzeln (Multipliktion / Division)... Wurzeln zusmmenfssen / teilweises Wurzelziehen... Größen... Längenmße... Mßstb... 4 Flächenmße... 4 Rummße / Hohlmße (Volumen)... Gewichtsmße... Zeiteinheiten / Zeitspnnen... 6 Rechnen mit Zeitspnnen... 6 Addition... 7 Subtrktion... 7 Multipliktion... 8 Division... 8 Quersumme / Teilbrkeitsregeln / Primzhlen / Primzhlzerlegung... 9 Brüche... 0 Erweitern und Kürzen... 0 Addition / Subtrktion von Brüchen... Multipliktion von Brüchen / Division durch Brüche... Dezimlzhlen / Dezimlbrüche... Von der Bruchschreibweise zur Dezimlschreibweise... Periodische Dezimlzhlen... Runden von Zhlen... Runden uf Stellenwerte... 4 Runden uf geltende Ziffern... 4 Addition / Subtrktion von Dezimlzhlen... Multipliktion von Dezimlzhlen...

3 Division: Dezimlzhl durch ntürliche Zhl... 6 Division: Dezimlzhl durch Dezimlzhl... 6 Gegenzhl / Betrg... 7 Addition / Subtrktion von rtionlen Zhlen... 7 Multipliktion / Division von rtionlen Zhlen... 8 Vorzeichenregeln (Übersicht)... 8 Rechenvereinbrungen... 9 Klmmern / Klmmern uflösen (in Summen und Differenzen)... 9 Terme / Termvereinbrungen... 0 Klmmern (Ausmultiplizieren und Ausklmmern) / Summe ml Summe... 0 Binomische Formeln... Umformen und Lösen von Gleichungen... Koordintensystem... Linere Funktionen (zeichnen)... Linere Funktionen (Funktionsgleichung bestimmen)... Linere Gleichungssysteme (Gleichsetzungsverfhren)... 4 Linere Gleichungssysteme (Additionsverfhren / Subtrktionsverfhren)... 4 Qudrtische Funktionen... Qudrtische Gleichungen... Proportionle Zuordnungen / Dreistz... 6 Antiproportionle Zuordnungen / Dreistz... 6 Zusmmengesetzter Dreistz... 7 Prozent / Prozentrechnung / Promille... 7 Prozentwert berechnen... 8 Prozentstz berechnen... 8 Grundwert berechnen... 9 Vermehrter Grundwert / Verminderter Grundwert... 9 Zinsrechnung (Lufzeit Jhr) Jhreszinsen berechnen (Lufzeit Jhr!) Zinsstz berechnen (Lufzeit Jhr!)... 4 Kpitl berechnen (Lufzeit Jhr!)... 4 Zinsen berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!)... 4 Kpitl berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!)... 4 Zinsstz berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!)... 4 Lufzeit berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!)... 4 Exponentielle Zunhme (z.b. Zinseszinsrechnung: Lufzeit beträgt mehrere Jhre!). 44 Exponentielle Abnhme... 44

4 Winkel / Winkelbezeichnungen... 4 Winkelsummen... 4 Scheitelwinkel / Nebenwinkel Stufenwinkel / Wechselwinkel Dreieck Umkreis / Inkreis Qudrt / Rechteck Prllelogrmm / Trpez Kreis Kreisring / Kreisusschnitt (Sektor) Würfel / Quder... 0 Prism / Zylinder... 0 Qudrtische Pyrmide... Regelmäßige Pyrmide... Kegel... Kugel... Zentrische Streckungen... Zentrische Streckungen... Thlesstz / Stz des Pythgors... 4 Sinus / Kosinus / Tngens... 4 Sinusstz / Kosinusstz...

5 Alphbetisches Inhltsverzeichnis A bbrechende Dezimlzhl... Abnhme, exponentielle Abrunden... Abszisse (x-wert)... Addition (Begriffe)... 7 Brüche... 4 Dezimlzhlen... rtionle Zhlen... 7 Additionsverfhren... 4 Ankthete... 4 Antiproportionle Zuordnung... 6 Ar... 4 Aufrunden... Ausklmmern... 0 Ausmultiplizieren von Klmmern... 0 B Bsis... Betrg... 7 Binomische Formeln... Bruch... 0 C cos... 4 D Dezimlschreibweise... Dezimlzhlen... Digonle... 48, 0 Differenz... 7 Diskriminnte... Dividend... 8 Division (Begriffe)... 8 Brüche... durch Dezimlzhl... 6 durch ntürliche Zhl... 6 Potenzen... Qudrtwurzeln... rtionle Zhlen... 8 Divisor... 8 Dreieck Dreistz... 6 zusmmengesetzter... 7 Durchmesser E echter Bruch... 0 endliche Dezimlzhl... erweitern... 0 Exponent... exponentielle Abnhme exponentielle Zunhme F Fktor... 8 Flächendigonle Flächenmße... 4 foot... G Gnze Zhlen... 8 Gegenkthete... 4 Gegenzhl... 7 gemischte Zhl... 0 gemischtperiodische Dezimlzhl... Gewichtsmße... Gig Gitternetz... gleichnmige Brüche... Gleichsetzungsverfhren... 4 Gleichungen lösen... große Zhlen... 9 Größen... Grundwert (Begriff)... 7 berechnen... 9 vermehrter... 9 verminderter... 9 Grundzhl... H Huptnenner... Hektr... 4 Hektoliter... Hochchse... Hochzhl... Hohlmße... Hypotenuse... 4 I inch... Inkreis Irrtionle Zhlen... 8

6 J Jhreszinsen (Begriff) berechnen K Kpitl (Begriff) berechnen... 4, 4 Krt... Kegel... Kehrwert... 0 Kilo Klmmern uflösen... 9 Klmmern usmultiplizieren... 0 kleine Zhlen... 0 Kommschreibweise... Kommzhlen... Koordintensystem... Kosinus (cos)... 4 Kosinusstz... Kreis Kreisusschnitt (Sektor) Kreisbogen Kreisring Kugel... kürzen... 0 L Längenmße... Lufzeit (Begriff) berechnen... 4 Linere Funktionen... Linere Gleichungssysteme... 4 M Mßeinheit... Mßstb... 4 Mßzhl... Meg Meile... Minuend... 7 Montszinsen Multipliktion (Begriffe)... 8 Brüche... Dezimlzhlen... Potenzen... Qudrtwurzeln... rtionle Zhlen... 7 N Ntürliche Zhlen... 8 Nebenwinkel Nenner... 0 Normlform... O Ordinte (y-wert)... P Prllelogrmm periodische Dezimlzhlen... Pfund (D, GB, USA)... Potenzen... Potenzgesetze... Potenzwert... Primzhlen... 9 Primzhlzerlegung... 9 Prism... 0 Produkt... 8 Promille... 7 Proportionle Zuordnung... 6 Prozent... 7 Prozentrechnung (Begriffe)... 7 Prozentstz (Begriff)... 7 berechnen... 8 Prozentwert (Begriff)... 7 berechnen... 8 Pyrmide, qudrtische... Pythgors... 4 Q Quder... 0 Qudrt Qudrtische Funktionen... Qudrtische Gleichungen... Qudrtische Pyrmide... Qudrtwurzel... Quersumme... 9 Quotient...8 R Rdiknd... Rdius Rtionle Zhlen... 8 Rumdigonle... 0 Rummße... Rechenregeln... 9 Rechteck Rechtschse... Reelle Zhlen... 8 reinperiodische Dezimlzhl... Runden... uf geltende Ziffern... 4 uf Stellenwerte... 4

7 S Stz des Pythgors... 4 Stz des Thles... 4 Stz von Viet... Scheitel... 4 Scheitelpunkt... Scheitelwinkel Schenkel... 4 Seemeile... Sinus (sin)... 4 Sinusstz... 4 Streckfktor... Stufenwinkel Stufenzhlen... 9 Subtrhend... 7 Subtrktion (Begriffe)... 7 Brüche... Dezimlzhlen... Rtionle Zhlen... 7 Subtrktionsverfhren... 4 Summnd... 7 Summe... 7 Symbole... 8 T Tgeszinsen berechnen... 4 Tngens (tn)... 4 Teilbrkeitsregeln... 9 teilweises Wurzelziehen... Terme... 0 Thlesstz... 4 Trpez U umgekehrt proportionle Zuordnung... 6 Umkreis unechter Bruch... 0 ungleichnmige Brüche... V vermehrter Grundwert... 9, 44 verminderter Grundwert... 9, 44 Viet, Stz von... Volumen... Vorzeichenregeln... 8 W Wechselwinkel Winkel... 4 Winkelbezeichnungen... 4 Winkelfunktionen... 4 Winkelsummen... 4 wissenschftliche Schreibweise... 0 Würfel... 0 Wurzel... zusmmenfssen... X x-achse... Y y-achse... yrd... Z Zhlenmengen... 8 Zähler... 0 Zehnerbrüche... Zehnerpotenzen... 9 Zeiteinheiten / Zeitspnnen... 6 Zentner... Zentrische Streckungen... Zentrum... Zinsen (Begriff) berechnen... 40, 4 Zinseszinsrechnung...44 Zinsrechnung (Begriffe) Zinsstz (Begriff) berechnen... 4, 4 Zoll... Zunhme, exponentielle Zuordnung ntiproportionle... 6 proportionle... 6 zusmmengesetzte Größe... zusmmengesetzter Dreistz... 7 Zylinder... 0 Klssenstufe /6 Klssenstufe 7/8 Klssenstufe 8/0

8 Mthemtische Symbole und Bezeichnungen gleich nicht gleich, ungleich ungefähr gleich < kleiner > größer kleiner oder gleich größer oder gleich Menge der ntürlichen Zhlen Menge der gnzen Zhlen Menge der rtionlen Zhlen Menge der reellen Zhlen { }, Leere Menge x M x ist Element der Menge M x M x ist kein Element der Menge M Betrg der Zhl Bsp. - ; +, b, c,... Bezeichnungen für Strecken g, h, i,... Bezeichnungen für Gerden A, B, C,. Bezeichnungen für Punkte AB Strecke zwischen A und B bzw. Länge der Strecke zwischen A und B g h g steht senkrecht uf h rechter Winkel g h g ist prllel zu h P( 4) Punkt mit der x-koordinte und der y-koordinte 4 α, β, γ, δ Bezeichnungen für Winkel bzw. Winkelgrößen ASB Winkel mit dem Scheitel S und dem Punkt A uf dem ersten Schenkel und dem Punkt B uf dem zweiten Schenkel π (pi) Kreiszhl π,49... Zhlenmengen {0,,,,...} ist die Menge der ntürlichen Zhlen einschließlich der Null. Mn verwendet ntürliche Zhlen zum Zählen und Nummerieren. {...,,,, 0,,,,...} ist die Menge der gnzen Zhlen. ist die Menge der rtionlen Zhlen. Sie besteht us der Menge der gnzen Zhlen und llen Brüchen. ist die Menge der reellen Zhlen. Sie besteht us der Menge der rtionlen Zhlen und der Menge der irrtionlen Zhlen. Irrtionle Zhlen sind lle nicht-bbrechenden, nicht-periodischen Dezimlzhlen. Drgestellt werden irrtionle Zhlen, indem mn die ersten Stellen ngibt und die weiteren - lso unendlich vielen - Stellen durch Punkte ndeutet. Beknnte irrtionle Zhlen sind:,44..., die Kreiszhl π,49... und die Eulersche Zhl e, Seite 8

9 Stufenzhlen / Zehnerpotenzen 0 0 Eins 0 0 Zehn 00 0 Hundert Tusend Zehntusend Hunderttusend Million Millionen Millionen Millirde Millirden Millirden Billion Billionen Billionen Billirde Billirden Billirden Trillion Große Zhlen Die Stufenzhlen des Dezimlsystems lssen sich ls Zehnerpotenzen mit positiven gnzen Exponenten übersichtlich und kurz schreiben n mit n Nullen In Verbindung mit Größen werden bestimmte Zehnerpotenzen häufig durch Vorsilben gekennzeichnet: Potenz Vorsilbe Zeichen Beispiele 0 Kilo k Kilogrmm: kg 000 g 0 6 Meg M Meghertz: MHz Hz 0 9 Gig G Gighertz: GHz Hz Seite 9

10 Kleine Zhlen Die Systembrüche des Dezimlsystems lssen sich ls Zehnerpotenzen mit negtiven gnzen Exponenten übersichtlich und kurz schreiben. 0 0, 0 6 0, , , ,00 0 n n Nullen vor der In Verbindung mit Größen werden bestimmte Zehnerpotenzen häufig durch Vorsilben gekennzeichnet: Potenz Vorsilbe Zeichen Beispiele 0 - Dezi ( Zehntel) d Dezimeter: dm 0, m 0 - Zenti ( Hundertstel) c Zentimeter: cm 0,0 m 0 - Milli ( Tusendstel) m Milligrmm: mg 0,00 g 0-6 Mikro ( Millionstel) µ Mikrogrmm: µg 0,00000 g 0-9 Nno ( Millirdstel) n Nnogrmm: ng 0, g Wissenschftliche Schreibweise Große Zhlen werden oft ls Produkt us einer Zhl zwischen und 0 und einer Zehnerpotenz mit positivem gnzen Exponenten geschrieben. Diese Drstellung nennt mn Wissenschftliche Schreibweise. Beim Tschenrechner wird die Bsis 0 in der Regel nicht ngezeigt. Zhl Wissenschftliche Schreibweise Anzeige Tschenrechner , , Kleine Zhlen werden oft ls Produkt us einer Zhl zwischen und 0 und einer Zehnerpotenz mit negtivem gnzen Exponenten geschrieben. Diese Drstellung nennt mn Wissenschftliche Schreibweise. Beim Tschenrechner wird die Bsis 0 in der Regel nicht ngezeigt. Zhl Wissenschftliche Schreibweise Anzeige Tschenrechner 0, , ,00004, Seite 0

11 Potenzen Multipliziert mn eine Zhl wiederholt mit sich selbst, so lässt sich ds Produkt verkürzt schreiben: n n n ml heißt Bsis oder Grundzhl. heißt Exponent oder Hochzhl. heißt Potenz und wird gelesen hoch n. Die usgerechnete Potenz nennt mn Potenzwert. Mn drf Bsis und Exponent nicht vertuschen. Berechne die fünfte Potenz von. Berechne die zweite Potenz von. Potenziere mit 4 und berechne den Potenzwert. 4 8 Potenziere 4 mit und berechne den Potenzwert Außerdem wird festgelegt: und 0 für 0 und 4 0 n Rechnen mit Potenzen Für Potenzen mit gnzzhligen Exponenten gilt: n mit 0 und n > 0 n n m n + m Potenzen mit gleicher Bsis Potenzen mit gleicher Bsis werden dividiert, indem werden multipliziert, indem mn die mn die Exponenten subtrhiert und die Bsis Exponenten ddiert und die Bsis beibehält: beibehält: n Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem mn die Bsen multipliziert und den Exponenten beibehält: n b n n ( b) ( ) 6 6 n : : m n m bzw. 9 m 8 n m Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem mn die Bsen dividiert und den Exponenten beibehält: n : b n : ( : b) n bzw. b b ( : ),, 7 Potenzen werden potenziert, indem mn die Exponenten multipliziert: n m n m 6 ( ) ( ) 79 n n n Seite

12 Qudrtwurzeln (Multipliktion / Division) Ist eine positive Zhl, dnn bezeichnet mn mit Qudrt gleich ist: ( ) bzw. diejenige positive Zhl, deren heißt Qudrtwurzel us oder kurz Wurzel. heißt Rdiknd ( weil 4 4 6) 0, 0,, Multipliktion b , 4, 9 b Division b 9 b für b 0 Wurzeln zusmmenfssen / teilweises Wurzelziehen Zusmmenfssen von Wurzeln mit gleichen Rdiknden: Sind in einer Summe die Summnden Produkte us Zhlen und Qudrtwurzeln, so lässt sich bei gleichen Rdiknden die Summe vereinfcht schreiben. x + b x ( + b) x x b x ( b) x ( ) 7 6 ( 4 ) 6 + ( + ) Teilweises Wurzelziehen: Lässt sich der Rdiknd ls Produkt us einer Qudrtzhl und einer nderen Zhl schreiben, so knn die Wurzel vereinfcht geschrieben werden nch der Regel: b c b 7 + c b c Seite

13 Größen Eine Größe besteht us einer Mßzhl und einer Mßeinheit. 7 kg Mßzhl Mßeinheit Besteht die Mßeinheit us mehreren Mßeinheiten, so spricht mn von einer zusmmengesetzten Größe. 80 km h Mßzhl zusmmengesetzte Mßeinheit (Geschwindigkeit) Längenmße Stndrdmße: mm Millimeter 0 mm cm Zentimeter 0 cm dm Dezimeter 0 dm m Meter.000 m km Kilometer Andere Mße: Die Umrechnungszhl bei den benchbrten Längenmßen ist 0, zwischen m und km ist sie ,08 km 80 m 800 dm cm mm 40 mm 4 cm,4 dm 0,4 m 0,0004 km,047 km km 4 m 7 dm cm 7 m cm 7,0 m 70, dm 70 cm 7.00 mm Seemeile: sm.8 m (interntionl) inch, Zoll: in,4 mm (GB, USA) foot, Fuß: ft 0,48 cm (GB, USA) yrd, Elle: yd ft 9,44 cm (GB, USA) mile, Meile: mile.760 yds..609, m (GB, USA) 0 mm cm 000 dm :0 m km :000 Seite

14 Mßstb Der Mßstb gibt n, wie vielml größer oder kleiner die Strecken in Wirklichkeit sind. Der Mßstb : n bedeutet: Jede Strecke ist in Wirklichkeit n ml so groß. Ist uf einer Buzeichnung im Mßstb : 00 eine Strecke 4 cm lng, so ist sie in Wirklichkeit 4 cm cm 4 m lng. Ist eine Strecke in Wirklichkeit 00 m ( cm) lng, so ist sie in einer Zeichnung im Mßstb : genu cm : cm lng. Der Mßstb n : bedeutet: Jede Strecke ist in Wirklichkeit n ml so klein. Ist im Biologiebuch eine Abbildung im Mßstb 0 :, so ist ein dort bgebildetes 6 cm großes Tier in Wirklichkeit 6 cm : 0 0, cm mm groß. Ist ein Tier in Wirklichkeit 7 mm groß (,7 cm), so ist es in einer Abbildung im Mßstb 0 : genu,7 cm 0 7 cm groß. wichtige Mßstäbe: : 00 :.000 : :.000 : cm m 0 m 00 m 0 m km Flächenmße mm Qudrtmillimeter 00 mm cm Qudrtzentimeter 00 cm dm Qudrtdezimeter 00 dm m Qudrtmeter 00 m Ar 00 h Hektr 00 h km Qudrtkilometer Die Umrechnungszhl bei den benchbrten Flächenmßen ist mm cm dm :00 m h km 0,0 km h m 670 mm 6,7 cm 0,067 dm 0,00067 m,0674 km km 6 h 7 40 m m 8 cm,0008 m 00,08 dm Seite 4

15 Rummße / Hohlmße (Volumen) Rummße: mm Kubikmillimeter.000 mm cm Kubikzentimeter.000 cm dm Kubikdezimeter ( Liter).000 dm m Kubikmeter (.000 Liter) Die Umrechnungszhl bei den benchbrten Rummßen ist ,07 m 70 dm cm mm 890 mm 0,89 cm 0,00089 dm 0, m,068 m m 6 dm 80 cm 9 m 7 cm 9, m 9.000,007 dm 000 mm cm dm :000 m Hohlmße: ml Milliliter ml cm 0 ml cl Zentiliter 0 cl dl Deziliter 0 dl l Liter l dm 00 l hl Hektoliter 0 hl m Kubikmeter m.000 l Rummße, die mn zum Messen von Flüssigkeiten benutzt, heißen uch Hohlmße Gewichtsmße Der hier verwendete Begriff Gewicht ist umgngssprchlich und bezeichnet die Größe, die in der Physik Msse gennnt wird. Stndrdmße: t mg Milligrmm.000 mg g Grmm kg.000 g kg Kilogrmm 000 g.000 kg t Tonne ndere Mße: Die Umrechnungszhl bei den benchbrten Gewichtsmßen ist , t 00 kg g mg 70 mg 0,7 g 0,0007 kg 0, t,070 t t 7 kg 0 g 40 t 90 kg kg 40,09 t Pfund: Pfd. 00 g (Deutschlnd) Zentner: Ztr. 0 kg (Deutschlnd) Krt: k c 00 mg (interntionl) ounce, Unze: oz 8, g (GB, USA) pound, Pfund: lb 6 oz 4,6 g (GB, USA) mg :000 Seite

16 Zeiteinheiten / Zeitspnnen s Sekunde 60 s min Minute 60 min h Stunde 4 h d Tg 6 d Jhr ( Schltjhr ht 66 Tge) Bei Zeiteinheiten ist die Umrechnungszhl unterschiedlich. im Bnkwesen gilt: Mont ht 0 Tge, Jhr ht 60 Tge d.90 d.90 4 h.60 h 7 h 7 60 min 40 min s.00 s d + 7 h 4 h + 9 h 7 h + 9 h 8 h 84 h 84 d 84 d 7 6 d 7 d 6 h 48 min h h h 0,8 h 0,4 min 0,4 60 s 4 s 8,4 min 8 min + 0,4 min 8 min 4 s 0,4 d 0,4 4 h 9,6 h 9 h + 0,6 60 min 9 h 6 min Rechnen mit Zeitspnnen Beim Rechnen mit Zeitspnnen werden zusmmengesetzte Einheiten getrennt berechnet. Beispiele zur Addition: Beispiele zur Subtrktion: h min + h min + 7 h 4 min h min Beim Addieren muß mn oft nch dem Ausrechnen in größere Einheiten umwndeln: d 7 h + 40 d h d 9 h 4 d h 6 h min h 4 min h 7 min 9 h min Beim Subtrhieren muß mn oft vor dem Ausrechnen in kleinere Einheiten umwndeln: 4 d h d 9 h d 7 h d 7 h 40 d h Seite 6

17 Addition Summnd + Summnd Wert der Summe Summe Sprechweisen: plus 6 ist 48. oder: 48 ist die Summe von und 6. oder: Die Summe von und 6 ist 48. Mn drf die Reihenfolge der Summnden vertuschen. Addiere zu Berechne die Summe von und. + 8 Ein Summnd heißt, der ndere. Wie groß ist die Summe? + Subtrktion Minuend Subtrhend Wert der Differenz 48 6 Differenz Minuend: Subtrhend: Differenz: Zhl, von der etws bgezogen werden soll. bzuziehende Zhl Unterschied Sprechweisen: 48 minus 6 ist. oder: ist die Differenz von 48 und 6. oder: Die Differenz von 48 und 6 ist. Mn drf Minuend und Subtrhend nicht vertuschen. Subtrhiere 4 von Berechne die Differenz von 8 und. 8 Der Minuend heißt 7, der Subtrhend. Wie groß ist die Differenz? 7 4 Seite 7

18 Multipliktion Fktor Fktor Wert des Produktes 6 7 Produkt Sprechweisen: 6 ml ist 7. oder: 7 ist ds Produkt von 6 und. oder: Ds Produkt von 6 und ist 7. Mn drf die Reihenfolge der Fktoren vertuschen. Multipliziere 7 mit. 7 Berechne ds Produkt von und Ein Fktor heißt 9, der ndere. Wie groß ist ds Produkt? 9 7 Division Dividend : Divisor Wert des Quotienten 7 : 6 Quotient Dividend: Divisor: Quotient: Zhl, die geteilt werden soll. Zhl, durch die geteilt wird. Ergebnis einer Division. Sprechweisen: 7 geteilt durch 6 ist. oder: ist der Quotient von 7 und 6. oder: Der Quotient von 7 und 6 ist. Mn drf Dividend und Divisor nicht vertuschen. Durch 0 knn mn nicht dividieren. Dividiere 7 durch 9. 7 : 9 Berechne den Quotienten von 6 und 4. 6 : 4 9 Der Dividend heißt 4, der Divisor. Wie groß ist der Quotient? 4 : 7 Seite 8

19 Quersumme / Teilbrkeitsregeln / Primzhlen / Primzhlzerlegung Unter Quersumme versteht mn die Summe ller Ziffern einer (ntürlichen) Zhl. Quersumme von 08: Quersumme von 4.87: Eine Zhl ist teilbr durch......, wenn ihre letzte Ziffer eine 0,, 4, 6 oder 8 ist...., wenn ihre Quersumme durch teilbr ist.... 4, wenn die Zhl us ihren letzten beiden Ziffern durch 4 teilbr ist...., wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder ist.... 6, wenn die Zhl durch und teilbr ist.... 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbr ist. Eine Zhl, die genu zwei Teiler ht, heißt Primzhl. und sind Primzhlen: T {, } T {, } und 4 sind keine Primzhlen: T {} T 4 {,, 4} Wenn mn eine Zhl in Fktoren zerlegt, die lle Primzhlen sind, dnn erhält mn die Primzhlzerlegung der Zhl. Beispiel: Seite 9

20 Brüche Bruch: Bruchstrich Zähler Nenner echter Bruch: Zähler < Nenner: unechter Bruch: Zähler > Nenner: Jeder unechte Bruch lässt sich uch ls gemischte Zhl schreiben: 8 7 : 4 4 Rest zum Divisor Jede gemischte Zhl lässt sich uch ls 7 7 unechter Bruch schreiben: Kehrwert (Kehrbruch): Bruch Kehrwert Vertuscht mn Zähler und Nenner eines Bruches, so erhält mn seinen Kehrwert oder Kehrbruch. Die Zhl 0 ht keinen Kehrwert ( 8 ) Erweitern und Kürzen Erweitern Multipliziert mn Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben ntürlichen Zhl ( 0), so spricht mn vom Erweitern. Beispiel: erweitert mit : 6 0 Kürzen Dividiert mn Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe ntürliche Zhl ( 0), so spricht mn vom Kürzen. Beispiel: 0 gekürzt mit : 0 0 : : Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern useinnder hervorgehen, heißen gleichwertig. Sie stellen uf dem Zhlenstrhl dieselbe Bruchzhl dr Seite 0

21 Addition / Subtrktion von Brüchen Addition Gleichnmige Brüche werden ddiert, indem mn die Zähler ddiert und den gemeinsmen Nenner beibehält. + Brüche mit gleichen Nennern heißen gleichnmig. Subtrktion Gleichnmige Brüche werden subtrhiert, indem mn die Zähler subtrhiert und den gemeinsmen Nenner beibehält Brüche mit verschiedenen Nennern heißen ungleichnmig. Addition Um ungleichnmige Brüche zu ddieren, werden diese zunächst uf einen gemeinsmen Nenner erweitert und ddurch gleichnmig gemcht. Der kleinste gemeinsme Nenner wird Huptnenner (HN) gennnt Subtrktion Um ungleichnmige Brüche zu subtrhieren, werden diese zunächst uf einen gemeinsmen Nenner erweitert und ddurch gleichnmig gemcht. Der kleinste gemeinsme Nenner wird Huptnenner (HN) gennnt Multipliktion von Brüchen / Division durch Brüche Multipliktion Zwei Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert wird (flls möglich vorher kürzen): Ist ein Fktor eine ntürliche Zhl, so wird diese ls Bruch mit dem Nenner geschrieben: Ist ein Fktor eine gemischte Zhl, so wird diese zuerst in einen unechten Bruch verwndelt: Division Mn dividiert durch einen Bruch, indem mn mit seinem Kehrwert multipliziert: us : wird : 4 Kehrwert Ist der Divisor eine ntürliche Zhl, so wird diese ls Bruch mit dem Nenner geschrieben: 6 : : Ist der Divisor eine gemischte Zhl, so wird diese zuerst in einen unechten Bruch verwndelt: 6 : : 8 Seite

22 Dezimlzhlen / Dezimlbrüche Kommzhlen nennt mn uch Dezimlzhlen. Vor dem Komm stehen die Gnzen, nch dem Komm die Bruchteile (Zehntel, Hundertstel, Tusendstel,...). Die Bruchteile werden uch Dezimlen gennnt. Gnze, Bruchteile 00 0, 0 Hunderter Zehner Einer, Zehntel Hundertstel Tusendstel 0, 00, 7 8, Von der Bruchschreibweise zur Dezimlschreibweise Brüche, deren Nenner eine Zehnerpotenz ist, bezeichnet mn ls Zehnerbrüche oder Dezimlbrüche. Alle Zehnerbrüche lssen sich ls endliche oder bbrechende Dezimlzhl schreiben. Die Stellen hinter dem Komm heißen Dezimlen. Einer, Zehntel Hundertstel Tusendstel 4 0 0, 4 0, , 0 Mn knn genu solche Brüche in Zehnerbrüche umwndeln, bei denen nch vollständigem Kürzen der Nenner nur die Primfktoren und/oder enthält Einer, Zehntel Hundertstel Tusendstel 0, 0,,4, 4 6,6 6, 6 Seite

23 Periodische Dezimlzhlen Dividiert mn den Zähler eines Bruches durch den Nenner, so knn zweierlei pssieren (Bruchstrich und Divisionszeichen hben die gleiche Bedeutung): Die Division geht uf. In diesem Fll lässt sich der Bruch ls endliche oder bbrechende Dezimlzhl schreiben: : 8 0, 8 Die Division geht nicht uf. In diesem Fll wiederholt sich eine Ziffernfolge ( Periode ) unendlich oft. Dies drückt mn ddurch us, dss mn die erste Periode hinter dem Komm mit einer Linie überstreicht. Dezimlbrüche, die sofort nch dem Komm mit der Periode beginnen, heißen reinperiodische Dezimlbrüche: : 0,... 0, : 99 0, ,0 [ Null Komm Periode drei ] 99 [ Null Komm Periode null eins ] Dezimlbrüche, die nicht sofort nch dem Komm mit der Periode beginnen, heißen gemischtperiodische Dezimlbrüche: : 6 0,8... 0,8 9 9 : 44 0, ,48 6 [ Null Komm cht Periode drei ] 44 [ Null Komm vier drei Periode eins cht ] Runden von Zhlen Beim Runden wird eine Zhl durch einen Näherungswert ersetzt. Mn verbindet die Zhl mit ihrem Näherungswert durch ds Zeichen, gelesen ist ungefähr gleich. Die Aufgbenstellung bestimmt, wie weitreichend eine Zhl zu runden ist. Liegt die zu rundende Stelle fest, betrchtet mn die nächste Ziffer: Ist die nächste Ziffer eine 0,,, oder 4, wird bgerundet: die Ziffer n der Rundungsstelle bleibt unverändert. Steht die Rundungsstelle vor dem Komm, werden lle folgenden Ziffern durch Nullen ersetzt. nch dem Komm, werden lle folgenden Ziffern weggelssen. Ist die nächste Ziffer eine, 6, 7, 8 oder 9, wird ufgerundet: die Ziffer n der Rundungsstelle wird um erhöht. vor dem Komm, werden lle folgenden Ziffern durch Nullen ersetzt. Steht die Rundungsstelle nch dem Komm, werden lle folgenden Ziffern weggelssen. Eine zwei- oder mehrfche Rundung ist unzulässig. Die Rundung ist unzulässig, weil Bei längeren Rechnungen sollte erst ds Endergebnis gerundet werden. Mn muss unterscheiden, ob uf eine gegebene Stelle oder uf eine bestimmte Anzhl geltender Ziffern zu runden ist. Seite

24 Runden uf Stellenwerte Beim Runden uf einen bestimmten Stellenwert ist der gesuchte Näherungswert der nächstgrößere oder nächstkleinere Zehner, Hunderter, Tusender,... - je nchdem, uf welche Stelle zu runden ist - oder die nächstgrößere oder nächstkleinere Dezimlzhl, deren letzte Stelle Zehntel, Hundertstel Tusendstel,... sind - je nchdem, uf welche Stelle zu runden ist. Zu runden ist uf: Zhl Zehner Hunderter Tusender Zu runden ist uf: Zhl Tusendstel Hundertstel Zehntel,748,7,7, 8,047 8,047 8,0 8,0 0,9798 0,980 0,98,0 Runden uf geltende Ziffern Die erste geltende Ziffer einer Zhl ist - von links us - die erste von Null verschiedene Ziffer der Zhl. Rechts dneben steht die zweite geltende Ziffer usw. Beim Runden uf n geltende Ziffern wird uf die n-te geltende Ziffer gerundet. Es wird lso von vorne die Anzhl der Ziffern bgezählt. Führende Nullen bei Dezimlzhlen werden nicht berücksichtigt. Zu runden ist uf: Zhl geltende Ziffern geltende Ziffern geltende Ziffer , ,07 8,0 8,0 8 0,0896 0,090 0,09 0,0 Seite 4

25 Addition / Subtrktion von Dezimlzhlen Addition Beim Addieren werden die Dezimlzhlen zuerst stellenrichtig (Komm unter Komm) untereinnder geschrieben. Dnn wird von rechts nch links beginnend ddiert. 4, ,77 4, ,7700 Übertrg:. 0,40 Subtrktion Beim Subtrhieren werden die Dezimlzhlen zuerst stellenrichtig (Komm unter Komm) untereinnder geschrieben. Dnn wird von rechts nch links beginnend subtrhiert. 7,84 9,6 7, ,6 Übertrg:. 8,7669 Multipliktion von Dezimlzhlen Die Multipliktion mit Zehnerpotenzen erfolgt durch Kommverschiebung. Bei Multipliktion mit 0, 00, 000,... wird ds Komm um,,,... Stellen nch rechts verschoben., 0,8 00 8,, Treten keine Zehnerpotenzen uf, verfährt mn bei der Multipliktion zunächst wie bei der Multipliktion ntürlicher Zhlen. Bei der bschließenden Kommsetzung ist druf zu chten, dss ds Produkt genuso viele Nchkommstellen (Dezimlen) ht wie beide Fktoren zusmmen. Beispiel: // ///,4 8, Übertrg:. 44,786 \\\\\ Seite

26 Division: Dezimlzhl durch ntürliche Zhl Die Division durch Zehnerpotenzen erfolgt durch Kommverschiebung. Bei Division durch 0, 00, 000,... wird ds Komm um,,,... Stellen nch links verschoben. : 0, 8, : 00,8 0,06 : 000 0, ,6 :, Überschreitet mn 40 beim Dividieren ds 6 Komm, so wird im Ergebnis ein Komm gesetzt. 0 Division: Dezimlzhl durch Dezimlzhl Ist der Teiler (Divisor) eine Dezimlzhl, so muss bei beiden Zhlen ds Komm um gleich viele Stellen nch rechts verschoben werden, so dss der Teiler eine ntürliche Zhl wird. 46,4 : 0,8 464 : , : 0,4 7, : 4 8, 4 0 9, : 0,6 90 : ,07 : 0,7,7 : 7 0, Seite 6

27 Gegenzhl / Betrg Spiegelt mn eine Zhl m Nullpunkt, so erhält mn ihre Gegenzhl. Ist positiv, so ist negtiv. Ist negtiv, so ist positiv. Die Gegenzhl von 0 ist 0. Zhl 6,7 4 Gegenzhl 6,7 4 (gelesen: Betrg von ) ist der Abstnd einer Zhl vom Nullpunkt. Eine Zhl und ihre Gegenzhl hben den gleichen Betrg Der Betrg einer Zhl ist immer positiv oder Null. Addition / Subtrktion von rtionlen Zhlen Addition Zwei rtionle Zhlen mit gleichen Vorzeichen werden ddiert, indem mn ihre Beträge ddiert und ds gemeinsme Vorzeichen setzt. (+ 8) + (+ ) + ( 8) + ( ) Zwei rtionle Zhlen mit verschiedenen Vorzeichen werden ddiert, indem mn den kleineren Betrg vom größeren Betrg subtrhiert und ds Vorzeichen der Zhl setzt, die den größeren Betrg ht. (+ 8) + ( ) + ( 8) + (+ ) Subtrktion Eine rtionle Zhl wird subtrhiert, indem mn ihre Gegenzhl ddiert. (+ 8) (+ ) (+ 8) + ( ) + (+ 8) ( ) (+ 8) + (+ ) + ( 8) ( ) ( 8) + (+ ) ( 8) (+ ) ( 8) + ( ) Seite 7

28 Multipliktion / Division von rtionlen Zhlen Multipliktion Zwei rtionle Zhlen werden multipliziert, indem mn zunächst ihre Beträge multipliziert. Ds Produkt ist positiv, wenn beide Fktoren ds gleiche Vorzeichen hben. (+ 8) (+ 7) + 6 ( 8) ( 7) + 6 Ds Produkt ist negtiv, wenn beide Fktoren verschiedene Vorzeichen hben. (+ 8) ( 7) 6 ( 8) (+ 7) 6 Für ein Produkt us mehreren Fktoren gilt: Ist die Anzhl negtiver Fktoren ungerde, dnn ist ds Produkt negtiv, sonst ist es positiv. Division Zwei rtionle Zhlen werden dividiert, indem mn zunächst ihre Beträge dividiert. Der Quotient ist positiv, wenn Dividend und Divisor ds gleiche Vorzeichen hben. (+ 40) : (+ ) + 8 ( 40) : ( ) + 8 Der Quotient ist negtiv, wenn Dividend und Divisor verschiedene Vorzeichen hben. (+ 40) : ( ) 8 ( 40) : (+ ) 8 Vorzeichenregeln (Übersicht) Addition (+ ) + (+ 4) (- ) + (+ 4) (+ ) + (- 4) (- ) + (- 4) Subtrktion (+ ) - (+ 4) (- ) - (+ 4) (+ ) - (- 4) (- ) - (- 4) Multipliktion (+ ) (+ 4) (- ) (- 4) (+ ) (- 4) - (- ) (+ 4) - Division (+ ) : (+ 4) (- ) : (- 4) (+ ) : (- 4) - (- ) : (+ 4) - Seite 8

29 Rechenvereinbrungen Rechenrten gleicher Stufe sind:. Stufe: Addieren und Subtrhieren (Strichrechnung). Stufe: Multiplizieren und Dividieren (Punktrechnung) Kommen in einem Rechenusdruck nur Rechenrten gleicher Stufe vor, so wird von links nch rechts gerechnet, wenn durch Klmmern nichts nderes festgelegt ist : 0 : 60 : 0 : 6 : Kommen in einem Rechenusdruck Rechenrten verschiedener Stufen vor und ist die Reihenfolge nicht durch Klmmern festgelegt, dnn gilt: Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Potenzrechnung geht vor Punktrechnung : : : Klmmern / Klmmern uflösen (in Summen und Differenzen) Kommen in einem Rechenusdruck Klmmern vor, so werden diese zuerst berechnet. Bei verschchtelten Klmmern wird die innere Klmmer zuerst berechnet. (7 4) ( (6 4)) ( ) 0 ( ) 6 6 ( ) 8 64 Steht vor einer eingeklmmerten Summe oder Differenz ein Pluszeichen, so knn die Klmmer weggelssen werden: + (b + c) + b + c + (b c) + b c + ( + 9) ( 9) ( ) Steht vor einer eingeklmmerten Summe oder Differenz ein Minuszeichen, so knn die Klmmer weggelssen werden, wenn gleichzeitig die Vorzeichen und Rechenzeichen in der Klmmer umgekehrt werden: (b + c) b c (b c) b + c 97 (6 + 8) (6 8) Seite 9

30 Terme / Termvereinbrungen Terme sind Summen ( + b), Differenzen ( b), Produkte ( b) und Quotienten ( : b). Vrible stehen in Termen nstelle von Zhlen. Setzt mn für die Vriblen Zhlen ein, erhält mn eine Zhl ls Rechenergebnis. Für gleiche Vriblen müssen gleiche Zhlen eingesetzt werden. Auch zusmmengesetzte Terme sind Summen, Differenzen, Produkte oder Quotienten. Über die Art entscheidet die Rechenopertion, die ls letzte uszuführen ist. + b ist eine Summe (4 + x) ( y 7) ist ein Produkt Vereinbrungen: Ds Multipliktionszeichen in Termen lässt mn weg, ußer zwischen Zhlen. x x ( + b) (4 ) ( + b) (4 ) b b 0 b In Produkten schreibt mn zuerst die Zhlen (Koeffizienten) und dnn die Vriblen in lphbetischer Reihenfolge. Beispiel: c ( 4) x ( 4) c x cx und Klmmern (Ausmultiplizieren und Ausklmmern) / Summe ml Summe Ausmultiplizieren einer Summe: Jeder Summnd wird mit dem Fktor multipliziert. Wichtig: 4x(y + ) Ausmultiplizieren Ausklmmer n xy + 8x Ausklmmern einer Summe: Ein Fktor, der in llen Summnden vorkommt, knn usgeklmmert werden. Ein Minuszeichen vor dem Fktor wird beim Ausmultiplizieren sofort berücksichtigt: ( 4b) 0b 8b b + Summe ml Summe: Beispiel: Summe ml Differenz: Beispiel: ( + b) ( c + d) c + d + bc + bd ( + y) ( 9x + 6b) 8x + b + 4xy + 0by ( + b) ( c d) c d + bc bd ( x + y) ( 7 4y) x xy + y 0y Seite 0

31 Binomische Formeln. Binomische Formel ( + b) + b + b. Binomische Formel ( b) b + b. Binomische Formel ( + b) ( b) b ( + b) ( ) + b + ( b) 9 + 0b + b ( 0,4x + 0,y ) 0,6x + 0,4xy + 0,y ( 4 6b) ( 4) 4 6b + ( 6b) 6 48b + 6b ( 0,m 0,6n ) 0,09m 0,6mn + 0,6n ( + b) ( b) ( ) ( b) 4 9b ( 0,x + 0,y ) ( 0,x 0,y ) 0,04x 0,09y Umformen und Lösen von Gleichungen Gleichung: 7 + (x + 8) (7 x) Auf beiden Seiten der Gleichung Klmmern uflösen: Beide Seiten der Gleichung ordnen und nschließend zusmmenfssen (nur Summnden mit gleichen Vriblen dürfen zusmmengefsst werden): Auf beiden Seiten der Gleichung so ddieren bzw. subtrhieren, dss uf einer Seite (links) nur ein Vielfches der Vriblen und uf der nderen Seite (rechts) nur eine Zhl steht: Auf beiden Seiten durch den Fktor vor der Vriblen dividieren: 7 + x x x x + 6 x + 9 x + x + 9 x + + x x x 4 Lösung der Gleichung: L {8} x 4 : x 8 Seite

32 Koordintensystem Ein Koordintensystem ist festgelegt durch: die x-achse (Rechtschse) und die y-achse (Hochchse). Beide Achsen stehen senkrecht zueinnder und schneiden sich im Punkt (0 0). Dieser Punkt wird uch Koordintenursprung gennnt. Auf beiden Achsen werden die verwendeten Längeneinheiten ngegeben. 4 0 y y-koordinte P ( ) x-koordinte x 4 Die x-koordinte wird uch Abszisse gennnt. Die y-koordinte wird uch Ordinte gennnt. Seite

33 Linere Funktionen (zeichnen) Der Grph einer lineren Funktion y mx + b ist eine Gerde. m heißt Steigung ; m > 0: die Gerde steigt m 0: die Gerde verläuft prllel zur x-achse m < 0: die Gerde fällt 7 6 y b heißt y-achsenbschnitt ; Schnittpunkt der Gerden mit der y-achse bei (0 b) 4 gegeben: Funktionsgleichung y 0, x + gesucht: Grph der Funktion x y 0, x + 0, ( ) +, 0, +, 0 4 x Linere Funktionen (Funktionsgleichung bestimmen) gegeben: gesucht: Grph der Funktion durch die Punkte A ( ) und B ( ) Funktionsgleichung. Schritt: Steigung m berechnen y ( ) ( ) m y + 6 x x ( + ) ( ) + oder y ( ) ( ) m y x x ( ) ( + ). Schritt: y-abschnitt b berechnen y mx + b b y mx b y mx ( ) + oder b y mx ( ) ( ) 4 Funktionsgleichung: y x y A (x y ) x 0 4 B (x y ) Seite

34 Linere Gleichungssysteme (Gleichsetzungsverfhren) gegeben: zwei linere Funktionsgleichungen gesucht: Lösung der Funktionsgleichungen (Schnittpunkt der Funktionsgrphen) Gleichsetzungsverfhren y x + und y 0, x + Im Schnittpunkt S gilt: NR: y y x + 0, x + 0, x, x +, x : (,) x für x in y oder y einsetzen: y x + + oder y 0, x + 0, + + Mn erhält den Schnittpunkt S( ). 7 y y S y x 4 Linere Gleichungssysteme (Additionsverfhren / Subtrktionsverfhren) Additionsverfhren Die Vorzhlen (Koeffizienten) einer Vriblen in beiden Gleichungen müssen den gleichen Betrg ber verschiedene Vorzeichen hben. x + 4y 8 x + 9y 7 ( ) 6x +y 84 Gleichungen 6x 8y 4 ddieren 6y 0 : ( 6) x + 4y 8 4y y x 8 4y für y in die. Gleichung einsetzen: NR: x 8 4 x 8 : x 4 L {(4; )} Probe nicht vergessen. Subtrktionsverfhren Die Vorzhlen (Koeffizienten) einer Vriblen in beiden Gleichungen müssen den gleichen Betrg und gleiche Vorzeichen hben. 4x y 6 x + 6y 4 x 6y 8 Gleichungen x +4y subtrhieren 0y 0 : ( 0) 4x y 6 + y y 4x 6 + y für y in die. Gleichung einsetzen: NR: 4x 6 + ( ) 4x 4 : 4 x L {(; )} Probe nicht vergessen. Seite 4

35 Qudrtische Funktionen Der Grph einer qudrtischen Funktion y x + bx + c ( 0) heißt Prbel. > 0: Die Prbel ist nch oben geöffnet. < 0: Die Prbel ist nch unten geöffnet. Der höchste bzw. tiefste Punkt einer Prbel heißt Scheitelpunkt. gegeben: Funktionsgleichung y x x + gesucht: Grph der Funktion x y x x + ( ) ( ) y O 4 x Qudrtische Gleichungen Gleichungen der Form x + bx + c 0 (mit 0) heißen gemischt-qudrtische Gleichungen. Dividiert mn die Gleichung durch, erhält mn die Normlform der qud. Gleichung: x + px + q 0 (mit p b/ und q c/). Die Normlform der qudrtischen Gleichung ist genu dnn lösbr, wenn der p Ausdruck D ( ) q (Diskriminnte gennnt) größer oder gleich Null ist. Beim Lösen der Normlform der qud. Gleichung können drei Fälle uftreten: D > 0: Mn erhält zwei Lösungen: L p p { + D, D} Geometrische Bedeutung: Der Grph der qud. Funktion schneidet die x-achse zweiml. D 0: Mn erhält eine Lösung: L p { } Geometrische Bedeutung: Der Grph der qud. Funktion berührt die x-achse (n einer Stelle). D < 0: Mn erhält keine Lösung. L { } Geometrische Bedeutung: Der Grph der qud. Funktion schneidet bzw. berührt die x-achse nicht. Stz von Viet (Probe): sind x und x zwei Lösungen einer qud. Gleichung in Normlform, dnn gilt: x + x p und x x q. Seite

36 Proportionle Zuordnungen / Dreistz Eine Zuordnung zwischen zwei Größen heißt (direkt) proportionl, wenn gilt: Multipliziert mn die eine Größe mit einer Zhl, so muss uch die ndere Größe mit derselben Zhl multipliziert werden. Dividiert mn die eine Größe durch eine Zhl, so muss uch die ndere Größe durch dieselbe Zhl dividiert werden. doppeltes Gewicht doppelter Preis hlbes Gewicht hlber Preis dreifches Gewicht dreifcher Preis ein Drittel Gewicht ein Drittel Preis Verhältnisrechnen: kg,0 6 kg,00 6 kg,00 : : kg,00 6,0 kg Dreistz bei proportionlen Zuordnungen: kg Äpfel kosten 6,0. Wie viel kosten 7 kg? kg 6,0 : : kg, kg 4,70 x 6,0 7kg 7kg x 4,70 7kg kg Antiproportionle Zuordnungen / Dreistz Eine Zuordnung zwischen zwei Größen heißt ntiproportionl (uch umgekehrt proportionl ), wenn gilt: Multipliziert mn eine Größe mit einer Zhl, so muss mn die ndere Größe durch dieselbe Zhl dividieren. Dividiert mn die eine Größe durch eine Zhl, so muss mn die ndere Größe mit derselben Zhl multiplizieren. doppelte Geschwindigkeit hlbe Zeit hlbe Geschwindigkeit doppelte Zeit dreifche Geschwindigkeit drittel Zeit drittel Geschwindigkeit dreifche Zeit 7 km/h 6 h : 0 km/h h km/h h : 7 km/h 6 h Verhältnisrechnen: Seite 6 Dreistz bei ntiproportionlen Zuordnungen: Kräne entlden ein Schiff in 8 Stunden. Wie lnge bruchen 4 Kräne? Kräne 8 h : Krn 4 h 4 : 4 4 Kräne 6 h Kräne 8h Kräne 8h 4Kräne x :4 x 6h 4Kräne

37 Zusmmengesetzter Dreistz Beispiel: 8 Bgger heben in 0 Tgen.400 m Erde us. Wie lnge bruchen Bgger für.700 m Erde? Überlegung: Gefrgt ist nch der Zeit. Bgger Zeit [Tge] Erde [m ] Rechnung: Anzhl Bgger Zeit: ntiproportionl m Erde Zeit: proportionl Bgger bruchen 8 Tge für.700 m. 8 : : 6 : : Prozent / Prozentrechnung / Promille Prozent bedeutet Hundertstel. % ist eine ndere Schreibweise für den Bruch. 00 % 00 0,0 % 00 0 % 00 0,0 0 % , 4 0, 0 % , 7 % ,7 0 % , 00 % 00 Der Grundwert G ist ds Gnze. Der Prozentstz p % gibt n, welcher Bruchteil vom Gnzen zu bilden ist. Der Prozentwert P gibt n, wie groß dieser Teil ist. % von Schülern 44 4 Pr ozentstz p % Grundwert G 8 Schüler 44 Pr ozentwert P Promille bedeutet Tusendstel. 6 ist eine ndere Schreibweise für den Bruch Seite 7

38 Prozentwert berechnen Sind der Grundwert G und der Prozentstz p % gegeben, so lässt sich drus der Prozentwert P berechnen. Beispiel: Ein Mntel zu 80 wird um 40 % reduziert. Wie hoch ist der Preisnchlss? gegeben: Grundwert G 80 Prozentstz p % 40 % gesucht: Prozentwert P?. Lösungsweg: Dreistz 00 % 80. Lösungsweg: Formel : 00 : 00 %, % 7 P G p Prozentstz berechnen Sind der Grundwert G und der Prozentwert P gegeben, so lässt sich drus der Prozentstz p % berechnen. Beispiel: Ein Mntel zu wird um 0 reduziert. Wie viel Prozent beträgt der Preisnchlss? gegeben: Grundwert G Prozentwert P 0 gesucht: Prozentstz p %? %. Lösungsweg: Dreistz. Lösungsweg: Formel 00 % : : 0,80 % % 0 p 00 P G Seite 8

39 Grundwert berechnen Sind der Prozentwert P und der Prozentstz p % gegeben, so lässt sich drus der Grundwert G berechnen. Beispiel: Ein Mntel wird um 40 % reduziert und kostet dnch 96 weniger. Wie teuer wr er ursprünglich? gegeben: Prozentwert P 96 Prozentstz p % 40 % gesucht: Grundwert G?. Lösungsweg: Dreistz. Lösungsweg: Formel 40 % 96 : 40 : 40 %, % 40 G P p Vermehrter Grundwert / Verminderter Grundwert 00 zuzüglich % % von 00 0 Grundwert G 00 + Prozentwert P + 0 vermehrter Grundwert 0 Zunhmefktor vermehrter Grundwert G + P p G + ( G ) 00 p G ( + ) Beispiel: 70 zuzüglich 7, % 70 ( + 0,07) 70,07 806, Zunhme fktor 00 bzüglich % % von 00 0 Grundwert G 00 Prozentwert P 0 verminderter Grundwert 9 Abnhmefktor verminderter Grundwert G P Beispiel: 00 bzüglich 0 % 00 ( 0,) 00 0,8 40 p G ( G ) 00 p G ( ) Abnhme fktor Seite 9

40 Zinsrechnung (Lufzeit Jhr) Ds Kpitl K ist der verliehene oder usgeliehene Geldbetrg. Die Jhreszinsen Z sind die Leihgebühr für ein Jhr. Der Zinsstz p % legt fest, wie viel Prozent des Kpitls die Jhreszinsen betrgen. 8 { % von Zinsstz p % Kpitl K Zinsen Z Jhreszinsen (i Bruchteil eines Jhres) p 00 Z K i ( Kip -Regel) Montszinsen (m Zeit in Monten) Z m K m p 00 Tgeszinsen (t Zeit in Tgen) Z t K t 60 p 00 Die Zeit, während der ein Kpitl usgeliehen oder verliehen wird, nennt mn Lufzeit. Im Bnkwesen gilt: Ein Mont ht 0 Tge. Ein Jhr ht 60 Tge. Jhreszinsen berechnen (Lufzeit Jhr!) Sind ds Kpitl K und der Zinsstz p % gegeben, so lssen sich drus die Jhreszinsen Z berechnen. Beispiel: Ein Drlehen von wird mit 7, % verzinst. Wie hoch sind die Jhreszinsen? gegeben: Kpitl K Zinsstz p % 7, % gesucht: Jhreszinsen Z?. Lösungsweg: Dreistz 00 %. Lösungsweg: Formel : 00 % 7, 7, % Z K p : , , Seite 40

41 Zinsstz berechnen (Lufzeit Jhr!) Sind ds Kpitl K und die Jhreszinsen Z gegeben, so lässt sich drus der Zinsstz p % berechnen. Beispiel: Für ein Drlehen von betrgen die Jhreszinsen.400. Wie hoch ist der Zinsstz? gegeben: Kpitl K Jhreszinsen Z.400 gesucht: Zinsstz p %? %. Lösungsweg: Dreistz Lösungsweg: Formel : % : ,00 % %.400 p K Z Kpitl berechnen (Lufzeit Jhr!) Sind die Jhreszinsen Z und der Zinsstz p % gegeben, so lässt sich drus ds Kpitl K berechnen. Beispiel: Für ein Drlehen zu 8 % sind 800 Jhreszinsen zu zhlen. Wie hoch ist ds Drlehen? gegeben: Jhreszinsen Z 800 Zinsstz p % 8 % gesucht: Kpitl K?. Lösungsweg: Dreistz. Lösungsweg: Formel 8 % : 8 % % 800 : K Z p Seite 4

42 Zinsen berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!) gegeben: Kpitl K 7.00 Zinsstz p % % Lufzeit t 40 Tge gesucht: Zinsen Z?. Lösungsweg: Dreistz. Lösungsschritt Jhreszinsen berechnen 00 % : 00 % %. Lösungsweg: Formel 7.00 : t 60 p 00. Lösungsschritt Zinsen für 40 Tge berechnen Tge : 60 Tg Tge 00 Zt K : 60 0, Kpitl berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!) gegeben: Zinsen Z 0 Zinsstz p % 4, % Lufzeit t 8 Tge gesucht: Kpitl K?. Lösungsweg: Dreistz. Lösungsschritt Jhreszinsen berechnen 8 Tge : 8 Tg Tge. Lösungsweg: Formel 0 : 8, t 00 p. Lösungsschritt Kpitl berechnen , K Zt 0 4, % : 4, % % : 4, Seite 4

43 Zinsstz berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!) gegeben: Kpitl K Zinsen Z 00 Lufzeit t 40 Tge gesucht: Zinsstz p %? %. Lösungsweg: Dreistz. Lösungsschritt Jhreszinsen berechnen 40 Tge : 40 Tg Tge. Lösungsweg: Formel 00 : 40, t 00 K. Lösungsschritt Zinsstz berechnen : p Zt 00 4, 00 % : ,00 % 900 4, % Lufzeit berechnen (Lufzeit Jhr / in Tgen!) gegeben: Kpitl K gesucht: Zinsstz p % % Zinsen Z Lufzeit t? Tge. Lösungsweg: Dreistz. Lösungsschritt Jhreszinsen berechnen 00 % : 00 % %. Lösungsweg: Formel : p 00 K. Lösungsschritt Lufzeit berechnen : 900 t Zt 0 60 Tge : 900 0,4 Tge 0 Tge Seite 4

44 Exponentielle Zunhme (z.b. Zinseszinsrechnung: Lufzeit beträgt mehrere Jhre!) Bei konstnter Zunhme um p % wächst eine Größe G 0 nch n Zeitspnnen uf die Größe G n, wobei gilt: G n G 0 oder q n n n G0 ( p %) G + G 0 : Anfngsgröße p %: prozentule Zunhme q: Wchstums- oder Zunhmefktor + p % n: Zhl der Zunhmeschritte (Anzhl der gleichen Zeitspnnen) G n : Endgröße nch n Zunhmeschritten bzw. nch n Zeitspnnen Beispiel: Zinseszinsrechnung Ein Kpitl von wird für Jhre fest ngelegt und jährlich mit % verzinst. Über welchen Betrg knn mn nch Jhren verfügen? K 0 : p %: % n: Jhre K (Anfngskpitl) ( + %) ( + 0,0) 0.000, , ,6 Exponentielle Abnhme Bei konstnter Abnhme um p % vermindert sich eine Größe G 0 nch n Zeitspnnen uf die Größe G n, wobei gilt: G G n G 0 oder q n n n G0 ( p%) G 0 : Anfngsgröße p %: prozentule Abnhme q: Wchstums- oder Abnhmefktor p % n: Zhl der Abnhmeschritte (Anzhl der gleichen Zeitspnnen) G n : Endgröße nch n Abnhmeschritten bzw. nch n Zeitspnnen Beispiel: Ein Sthlblock wurde zur Berbeitung uf eine Tempertur von 90 C erhitzt. Die Tempertur dieses Blockes nimmt pro Stunde um etw 8 % b. Welche Tempertur besitzt der Sthlblock noch nch cht Stunden? T 0 : 90 C (Anfngstempertur) p %: 8 % n: 8 Stunden T 8 90 C ( 8%) 90 C ( 0,8) 90 C 0,8 90 C 0,044 94, C Seite 44

45 Winkel / Winkelbezeichnungen Scheitel S Schenkel g Winkelfeld Schenkel h Winkelbezeichnungen: α lph β bet γ gmm δ delt ε epsilon Nullwinkel 0 < α < 90 spitzer Winkel 90 rechter Winkel 90 < α < 80 stumpfer Winkel 80 gestreckter Winkel 80 < α < 60 überstumpfer Winkel 60 Vollwinkel Winkelsummen C Winkelsumme im Dreieck: α + β + γ 80 α A α γ β B α BAC ; β CBA α CAB (gegen den Uhrzeigersinn) C Winkelsumme im Viereck: α + β + γ + δ 60 D δ A α β B γ Winkelsumme im n-eck: (n ) 80 Seite 4

46 Scheitelwinkel / Nebenwinkel Scheitelwinkel Beim Schnitt zweier Gerden gilt: Zwei gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel; sie sind jeweils gleich groß. Scheitelwinkel: δ α γ α γ β δ β Nebenwinkel Beim Schnitt zweier Gerden gilt: Zwei nebeneinnderliegende Winkel heißen Nebenwinkel; ihre Summe beträgt immer 80. Nebenwinkel: α + β 80 β + γ 80 γ + δ 80 α + δ 80 δ α γ β Stufenwinkel / Wechselwinkel Stufenwinkel An prllelen Gerden sind Stufenwinkel jeweils gleich groß. An nicht prllelen Gerden ist ds nicht so. g g h g g δ α γ β g Wechselwinkel An prllelen Gerden sind Wechselwinkel jeweils gleich groß. An nicht prllelen Gerden ist ds nicht so. δ α γ β h g α δ γ β Stufenwinkel: α α β β γ γ δ δ g α δ γ β Wechselwinkel: α γ β δ γ α δ β Beispiel: α Scheitelwinkel g Stufenwinkel γ γ Seite 46

47 Dreieck Dreieck Umfng (u): u + b + c C Ein Dreieck ist ein hlbes Prllelogrmm. C b h c h h h b A g B A c B Flächeninhlt (A): A g h A c h c h b h b Umkreis / Inkreis In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises. C In jedem Dreieck schneiden sich die drei Winkelhlbierenden in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises. C M A B M A B Seite 47

48 Qudrt / Rechteck Qudrt Rechteck d d b u 4 u + b ( + b) A A b d (Flächendigonle) d + b (Flächendigonle) Prllelogrmm / Trpez Prllelogrmm Trpez c h b d m b h u + b ( + b) Ein Prllelogrmm knn in ein gleich großes Rechteck umgewndelt werden. A h u + b + c + d Ein Trpez ist ein hlbes Prllelogrmm. ( + c) h A + c h m h Seite 48

49 Kreis M Rdius r Durchmesser M d d r r d A r π d π r 4 u r π d π r A π u π Kreisring / Kreisusschnitt (Sektor) Kreisring Kreisusschnitt (Sektor) b (Kreisbogen) r r α r r A π ( r r ) u π ( r + r ) A r π b r π α 60 α 80 Seite 49

50 Würfel / Quder Würfel Quder d d c b Volumen (V): V V b c Mntelfläche (M): M 4 M ( c + b c) Oberfläche (O): O 6 O ( b + c + b c) d (Rumdigonle) d + b + c (Rumdigonle) Prism / Zylinder Prism Zylinder h h G r V G h (Grundfläche Höhe) M u h O G + M V G h r π h M u h r π h O G + M r π + r π h r π (r + h) Seite 0

51 Qudrtische Pyrmide Qudrtische Pyrmide V G h h h M 4 h s h h O G + M + h + h h ( ) s + h Regelmäßige Pyrmide Regelmäßige Pyrmide Eine regelmäßige Pyrmide besteht in der Grundfläche us n gleichschenkligen Dreiecken. 60 Der Mittelpunktswinkel ε beträgt: ε n V G h Teilnsicht der Grundfläche: A ε r h ε r B (n h ) h M n h s n Anzhl der Seiten Teilnsicht der Pyrmide: O G + M n h + n h s s h h s s weiter gilt: s ( ) s h s h + s h + r h + h A r h r B Seite

52 Kegel Kegel V G h r π h M π r s h s O G + M r π + r π s r π (r + s) r s r + h Kugel Kugel V 4 r π 6 d π r V 4 π O 4 r π d π d M r r O 4 π Seite

53 Zentrische Streckungen Bei den zentrischen Streckungen hndelt es sich um mßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern. Alle Winkelgrößen bleiben dbei erhlten, d. h. die Form der Figur ändert sich nicht. Für Strecken gilt: Für Flächen gilt: vergrößerte / verkleinerte k (Streckfktor) Strecke Originlstrecke oder vergrößerte / verkleinerte Strecke k Originlstrecke vergrößerte / verkleinerte Fläche Originlfläche oder k vergrößerte / verkleinerte Fläche k Originlfläche positiver Streckfktor negtiver Streckfktor 0 < k < : die Figur wird verkleinert. k > : die Figur wird vergrößert. < k < 0: die Figur wird verkleinert und um 80 um ds Zentrum Z gedreht. k < : die Figur wird vergrößert und um 80 um ds Zentrum Z gedreht. Zentrische Streckungen 4 y positiver Streckfktor C 4 y negtiver Streckfktor A 0 C A A B Z 4 B x 6 C 0 Z B B A 4 C x 6 Im Beispiel gilt: ZC' ZC A'C' AC B'C' BC ZA ZB' A'B' k ' ZA ZB AB A' k A A 4 A Im Beispiel gilt: k 0, A' k A ( ) A 4 A Seite