Optimierung. Florian Jarre Josef Stoer. Springer

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1 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Florian Jarre Josef Stoer Optimierung Springer

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Modellbildung, mathematische Formulierung Nichtlineare Programme Einteilung von nichtlinearen Programmen Ausblick Zur Anwendung in der Praxis... 5 Teil I Lineare Programmierung 2 Lineare Programme. Beispiele und Definitionen Definition und Anwendungen Das Diätproblem Beispiel zum Flugplanentwurf Die Standardform Geometrische Grundlagen Das Simplexverfahren Lineare Gleichungscysteme und Basen Das spezielle Simplexformat Durchführung der Simplexmethode Benachbarte Basen Abbruchkriterien Geometrische Interpretation Simplexschritt Allgemeine Simplexmethode Die lexikographische Simplexmethode Ein Hilfsproblem für den Startpunkt Zusammenfassung Dualität bei linearen Programmen Der Dualitätssatz Duale Simplexmethode Beispiel für eine Sensitivitätsanalyse Ubungsaufgaben... 63

3 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Innere. Punkte. Methoden für Lineare Programme Exkurs: Newton.Verfahren, Konvergenzraten Anwendung: Newton -Verfahren Konvergenzgeschwindigkeiten, 0. Notation Der Innere. Punkte -Ansatz Das primal. duale System Der zentrale Pfad Newton -Verfahren für das primal- duale System Lösung der linearen Gleichungssysteme Analyse des Newton. Schrittes Ein Kurz. Schritt. Algorithmus Konvergenz von Innere. Punkte -Verfahren Zur Konvergenzrate des Kurz- Schritt.Verfahrens Ein praktisches Innere. Punkte -Verfahren Ein Trick zur Berechnung von Startpunkten Selbstduale lineare Programme Zusammenhang mit anderen linearen Programmen Übungsaufgaben Lineare Optimierung: Anwendungen. Netzwerke Das Transportproblem Problemstellung und Grundbegriffe der Graphentheorie Simplexverfahren zur Lösung des Transportproblems Das Transshipment -Problem Bestimmung kürzester und längster Wege in einem Netzwerk Reduktion auf ein Transshipment - Problem Die Methode von Dantzig Der Algorithmus von Dijkstra Die Methode von Fulkerson Übungsaufgaben Teil I1 Nichtlineare Minimierung I 6 Minimierung ohne Nebenbedingungen Minimierung skalarer Funktionen. direkte Suchverfahren Das Verfahren des goldenen Schnitts zur Bestimmung des Minimums einer unimodalen Funktion Verallgemeinerung auf stetiges f: [U. b] IR, Nichtrestringierte Minimierung. Abstiegsmethoden Einfache Grundlagen Einige negative Beispiele Abstiegsverfahren Steilster Abstieg für konvexe quadratische Funktionen Konjugierte- Gradienten Verfahren (cg-verfahren)

4 Inhaltsverzeichnis IX Präkonditionierung Das Verfahren von Polak-Ribiere Trust - Region Verfahren zur Minimierung ohne Nebenbedingungen Das Newton -Verfahren Der Satz von Newton- Kantorovich Affine Invarianz Interpretation des Newton -Verfahrens als 6.6 Trust - Region Verfahren Quasi - Newton -Verfahren Nichtlineare Gleichungssysteme Minimierung glatter Funktionen Nichtlineare Ausgleichsprobleme Gauß - Newton -Verfahren Quasi - Newton Ansatz für Ausgleichsprobleme Ein praktisches Anwendungsbeispiel Übungsaufgaben Allgemeine Aufgaben Aufgaben zum Satz von Newton Kantorovich Teil I11 Optimalitätsbedingungen 7 Konvexität und Trennungssätze Allgemeine Grundlagen Trennungssätze Schwache Trennungssätze Das relativ Innere einer konvexen Menge Eigentliche Trennung Polare Kegel und konvexe Funktionen Übungsaufgaben Optimalitätsbedingungen für konvexe Optimierungsprobleme Konvexe Ungleichungssysteme Die KKT-Bedingungen Die Lagrangefunktion Dualität bei konisch konvexen Programmen Dualität bei semidefiniten Programmen Übungsaufgaben Optimalitätsbedingungen für allgemeine Optimierungsprobleme Optimalitätsbedingungen erster Ordnung Tangentialkegel und Regularität...

5 X Inhaltsverzeichnis Der Satz von Kuhn und Tucker Beweis von Satz Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung Sensitivität der Lösungen Übungsaufgaben Teil IV Nichtlineare Minimierung I1 10 Projektionsverfahren Allgemeine Konvergenzeigenschaften Der Spezialfall affiner Nebenbedingungen Quadratische Optimierungsprobleme Übungsaufgaben Penalty -Funktionen und die erweiterte Lagrangefunktion Straffunktionen und Penalty.Verfahren Differenzierbare exakte Penalty. Funktionen Übungsaufgaben Barrieremethoden und primal. duale Verfahren Klassische Barrieremethoden Das Konzept der Barrieremethoden Ein allgemeines Barriereverfahren Ein Primal. Duales Innere. Punkte -Verfahren Beziehungen zwischen beiden Verfahren Vergleich der Newton. Schritte Unterschiede bei beiden Verfahren Übungsaufgaben SQP-Verfahren Der SQP-Ansatz Quasi. Newton. Updates Konvergenz Modifikation zur globalen Konvergenz Der Maratos. Effekt Schlussbemerkung Übungsaufgaben Global konvergente Verfahren Trust. Region. Methoden I Filter.Verfahren Übungsaufgaben

6 Inhaltsverzeichnis XI 15 Innere -Punkte -Verfahren für konvexe Programme Theoretische Grundlagen Ein konvexes Programm und Voraussetzungen Die Methode der Zentren Selbstkonkordanz Assoziierte Normen zu selbstkonkordanten Barrierefunktionen Das Newton -Verfahren zur Minimierung selbstkonkordanter Funktionen selbstkonkordante Barrierefunktionen und äußere ellipsoidale Approximationen Ein einfacher Modellalgorithmus Ein implementierbares Verfahren Probleme mit linearen Gleichungen als Nebenbedingungen Die Berücksichtigung linearer Gleichungen im Newton -Verfahren Berechnung eines strikt zulässigen Startpunktes Ein primaler Prediktor - Korrektor - Algorithmus Einige Anwendungen Übungsaufgaben Semidefinite Programme Notation und einige Grundlagen Ein semidefinites Programm und seine duale Form Darstellung des zentralen Pfades Ein primal - duales Verfahren Bestimmung der Newtonrichtungen Die Klasse MZ Numerischer Aufwand zur Lösung der linearen Gleichungssysteme Einige spezielle Suchrichtungen Skalierungsinvarianz Konvergenz eines Kurzschrittverfahrens Anwendungen Lyapunovungleichung Strikte Matrixungleichungen Eigenwertoptimierung Das Schurkomplement Ein Rezept zur Lagrangedualität Anwendungen auf kombinatorische Probleme Das Problem der maximalen stabilen Menge Das Max- Cut Problem Das Graphenpartitionierungsproblem Lineare Programme

7 XI1 Inhaltsverzeichnis Nichtlineare semidefinite Programme Übungsaufgaben Direkte Suchverfahren bei mehreren Variablen Die Simplexmethode" von Nelder und Mead Das Kriging -Verfahren Modellbildung Minimierungsschritt Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Index

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