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1 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken Erklärungen zu den Beweistechniken Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten Beweistechniken, dem direkten, dem indirekten Beweis und der vollständigen Induktion, gewidmet. Wir werden diese zuerst erklären und danach an sehr vielen Beispielen einüben. 5.1 Drei wichtige Beweistechniken Definition 5.1 Direkter Beweis) Man geht von der (gegebenen, wahren) Voraussetzung (Aussage) aus und zeigt durch Umformen oder Folgern, dass aus die Aussage folgt. Mathematisch ausgedrückt untersucht man: Definition 5. Indirekter Beweis) Der indirekte Beweis ist einer der elegantesten und auch einfachsten Beweise. Man geht dabei so vor: 1. Man geht vom Gegenteil der Behauptung aus (dies ist die Annahme).. Man versucht diese Annahme zu einem Widerspruch zu führen. 3. Wenn der Beweisgang legitim und logisch war, muss die Annahme falsch gewesen sein und damit die Behauptung wahr. Definition 5.3 Vollständige Induktion) Wir möchten uns der vollständigen Induktion nun mithilfe der sogenannten Peano-Axiome annähern, die Folgendes besagen: Die natürlichen Zahlen können durch die folgenden Axiome charakterisiert werden:

2 56 5 Beweistechniken 1. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger. Zu jedem existiert also ein ist die kleinste natürliche Zahl. 3. Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element. 4. Zwischen zwei natürlichen Zahlen liegen nur endlich viele weitere natürliche Zahlen. 5. Durch Abzählung, beginnend bei 1, durchläuft man in Einerschritten alle natürlichen Zahlen. Diese Peano-Axiome macht man sich bei der vollständigen Induktion zunutze. () sei eine Aussage, die für alle natürlichen Zahlen 0 getroffen wird. 1. Man zeigt zuerst, dass die Aussage für ein bestimmtes 0 gilt (zum Beispiel für 0 1) (Induktionsanfang).. Man zeige, dass wenn () gilt, auch ( + 1) gültig ist (Induktionsschritt). Und das ist der ganze Trick bei der vollständigen Induktion. Denn wenn man zeigt, dass die Aussage auch für den entsprechenden Nachfolger gilt, hat man die Aussage für alle 0 bewiesen. 5. Erklärungen zu den Beweistechniken Zum direkten Beweis: Das Prinzip des direkten Beweises sollte durch Definition 5.1 klar geworden sein. Bevor wir zu einigen Beispielen kommen, möchten wir noch eine wichtige Anmerkung machen: Und zwar beweist man Äquivalenzen, also Behauptungen der Form, indem man zuerst die Richtung beweist. Also die Aussagen von als gegeben voraussetzt und die Aussage zeigt. Danach zeigt man die Richtung, indem man die Aussagen aus voraussetzt und die Aussagen aus zeigt. Mehrere Äquivalenzen beweist man meist mit einem sogenannten Ringschluss. Gegeben seien also zum Beispiel drei Aussagen und, die alle äquivalent sind. Zunächst beweist man die Richtung, danach und dann. Damit hat man alles gezeigt. Wir betrachten nun ein paar Beispiele zum direkten Beweis. Beispiel 0 Bekanntlich gilt: Die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade.

3 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 57 Wie wird solch ein Beweis genau geführt? Wir nehmen uns einfach zwei gerade ganze Zahlen, aber machen das allgemein. Genauer: Für beliebige gerade ganze Zahlen. Beweis: Seien und gerade ganze Zahlen (unsere Voraussetzung). Weil gerade sein soll, wissen wir, dass durch teilbar ist, d.h teilt oder anders geschrieben. Dasselbe machen wir mit. Weil gerade ist, wissen wir, dass durch teilbar ist, d.h teilt oder. Weil gilt, gibt es eine ganze Zahl, so dass ist. Weiterhin gibt es wegen eine ganze Zahl, so dass ist. Um uns das zu verdeutlichen, nehmen wir uns zwei ganz bestimmte gerade Zahlen und : Seien 4 und 6 gerade ganze Zahlen (unsere Voraussetzung). Weil 4 ist, wissen wir, dass 4 durch teilbar ist, das heißt, teilt 4 oder 4. Weil 6 ist, wissen wir, dass 6 durch teilbar ist, das heißt, teilt 6 oder 6. Weil 4 gilt, gibt es eine weitere ganze Zahl, sodass 4 ist. (Hier ist.) Weil 6 gilt, gibt es eine weitere ganze Zahl sodass 6 ist. (Hier ist 3.) Nun führen wir unseren Beweis fort: Durch Einsetzen und Ausklammern erhalten wir: + + (+) Es gibt also eine ganze Zahl, nämlich : +, sodass +. Daher gilt (+) und + ist damit gerade. Damit haben wir unseren Satz bewiesen. Für unser spezielles Beispiel heißt das: Durch Einsetzen und Ausklammern erhalten wir: (+3) Es gibt also eine ganze Zahl, nämlich : +3, so dass Daher gilt 4+6 und 4+6 ist gerade. Beispiel 1 Dritte binomische Formel) Wir beweisen die Gültigkeit der dritten binomischen Formel. ( ) (+) + +

4 58 5 Beweistechniken Es gilt also: ( ) (+). Beispiel Quadrate ungerader Zahlen sind ungerade.) Man beweise die Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade. Beweis: sei eine ungerade Zahl. Somit lässt sich eindeutig als 1 darstellen ( ist eine natürliche Zahl. Daraus folgert man: ( +1) ( +)+1 ist ungerade, weil aus N 0 leicht ( +) N 0 folgt. Beispiel 3 Quadrate gerader Zahlen sind gerade.) Man beweise: Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl ist gerade. Beweis: sei eine gerade natürliche Zahl. Somit lässt sich eindeutig als darstellen ( ist eine natürliche Zahl aus N ohne die Null). Daraus folgert man: () 4. Da aus N leicht N folgt, ist das Doppelte einer natürlichen Zahl und damit gerade. Jetzt wollen wir noch einige Beispiele für direkte Beweise aus der Mengenlehre und der Aussagenlogik geben, um die Vielfalt des direkten Beweises deutlich zu machen. Beispiel 4 Aussagenlogik) Beweise: Seien und Aussagen, dann gilt: ( ). Das hört sich erst einmal sehr schwierig an, aber mit einer Wahrheitstafel kann dies sehr leicht gelöst werden: Schritt für Schritt müssen die Wahrheitswerte eingetragen und jeder Fall betrachtet werden. Wir machen es vor.

5 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 59 Beweis: 1. Schritt: Wir tragen bekannte Wahrheitswerte ein: ( ) w w w w w w f w w w f w f f f f f f f f. Schritt: Auch die Wahrheitswerte der Negation können ohne Probleme eingetragen werden: ( ) w w w w f w w f w w w w f w f f f f f f f f w f 3. Schritt: Wir überlegen uns, was die Konjunktion bedeutet. ( ) w w w w f f w w f w w w w w f w f f f f f f f f f f w f 4. Schritt: Was bedeutet die Disjunktion, also das Oder? ( ) w w w w w f f w w f w w w w w w f w f f f f f f f f f f f f w f

6 60 5 Beweistechniken 5. Schritt: Nun bleibt noch die Äquivalenz zu untersuchen. Das bedeutet, wir müssen schauen, ob die in der vorigen Tabelle fett markierten Wahrheitswerte übereinstimmen: ( ) w w w w w f f w f w w w w w f w f f f f f f f f f f f w w w f f Die s über den Äquivalenzpfeilen sollen andeuten, dass die Äquivalenzen wirklich wahr sind. Es stimmt also alles überein. Und damit ist die Aussage bewiesen. Dieses schrittweise Verfahren müssen wir nun aber üben. Beispiel 5 Gesetze der Aussagenlogik) Beweise mithilfe von Wahrheitstafeln die folgenden Aussagen: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) a) und b) stellen die sogenannten De Morganschen Gesetze dar. Beweis: Da man ganz einfach, so wie oben beschrieben, vorgehen kann, zeigen wir hier nur die fertigen Wahrheitstafeln auf, aber auch das, was wir zuletzt vergleichen müssen. Überprüft bitte jeden Schritt einzeln und vollzieht diesen vor allem nach. a) ( ) ( ) w w f w w w w f w f f w w f w w f f w f w w w f f w w f f w w w f w f w f f w f f f w w f w f f

7 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 61 b) ( ) ( ) w w f w w w w f w f f w w f f w w f w f w f w f f w f f w w w w f f f w f f w f f f w w f w w f c) ( ) w w w w w w w w w w f w f w f f w f f w f f f w w w w f f f f f w f w f d) ( ) ( ) w w w w w w f w w w w f w f f w f w f f f w f w w w w f w w f f f w f w w f w f e) ( ) ( ) ( ) w w w w w w w w w w w w w w f w f f w w f f f f w w f w f f w w f w w f w f f f f f w f w f w f w f w f So, nun haben wir also Beweise mit Wahrheitstafeln geführt. Die Aussagen wurden durch logische Schlussfolgerungen bewiesen. Wir fassen zusammen: Beim direkten Beweis beweist man die Aussage durch logische Schlussfolgerungen. Genau dies wollen wir anhand der Mengenlehre nochmal einüben.

8 6 5 Beweistechniken Beispiel 6 Mengenlehre) Zeige Folgendes: a) ( ) ( ) ( ). b) ( ) ( ) ( ). Seien Ω und Ω, dann gilt: c) Ω. d) Ω Ω. Beweis: a) Zu zeigen ist aufgrund der Definition der Verknüpfungen: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). b) Zu zeigen ist aufgrund der Definition der Verknüpfungen: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). c) Zu zeigen ist: Ω. Ω, da Ω und, da. Aus diesen beiden Erkenntnissen folgt nun Ω. d) Zu zeigen ist einmal: Ω. Ω, da Ω und, da Ω. Aus diesen beiden Erkenntnissen folgt nun Ω. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass Ω. Ω, da Ω und, da Ω. Aus diesen beiden Erkenntnisse folgt nun Ω.

9 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 63 Beispiel 7 Fakultät und Binomialkoeffizient) Zu beweisen: Es seien N mit 1. Dann ist ) 1 ) ). Beweis: Dies kann man durch direktes Nachrechnen leicht zeigen, wir rechnen die rechte Seite einfach aus. 1 1 ( 1) + 1 ( 1 +1) ( 1) + ( 1) ( 1 ) ( 1) ( ) ( 1) + ( 1) ( 1 ) Jetzt bedenken wir, dass wir ja am Ende irgendetwas stehen haben wollen wie ) ( ). Wir bringen die beiden Brüche also auf den Hauptnenner. ( ) ( 1) ( ) + ( ) ( 1) ( ) ( 1)+( ) ( 1) ( ) ( 1) ( + ) ( ) ( 1) ( ) ( ) Wir hoffen, dass jeder von euch den Schritt ( ) versteht? Eigentlich ganz einfach, man muss nur Folgendes bedenken:. bzw. ( 1) 1 ( 1) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) Alles klar? Beispiel 8 Bildungsgesetz des Pascalschen Dreiecks) Mit derselben Idee zeigen wir nun noch: Wir wollen aber anmerken, dass wir diese Aussage sofort aus Beispiel 7 erhalten, wenn wir die Variablen umbenennen.

10 64 5 Beweistechniken Beweis: Wir rechnen auch hier die linke Seite einfach aus ( ) + ( 1) ( +1) ( +1) ( ) ( +1) + ( +1) +( ) ( ) ( +1) ( +1+ ) ( ) ( +1) (+1) ( ) ( +1) (+1) ( ) ( +1) ( ) ( ) ( +1) Damit ist alles gezeigt. Das war der direkte Beweis. Was wir eben gerade bewiesen haben, ist das Bildungsgesetz im Pascalschen Dreieck, das so aussieht: Das Pascalsche Dreieck ist ein Zahlenschema, in dem jede neue Zahl die Summe der diagonal darüber stehenden ist. Auf dem obersten Platz steht eine 1. So ist der Zusammenhang zu den Binomialkoeffizienten: 0 0) 1 ) 1 0 1) ) ) 0 1 ) 3 ) 3 ) ) 3 3) 4 ) 0 4 ) 1 4 ) 4 3. ) 4 4)

11 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 65 Zum indirekten Beweis: Das Prinzip des indirekten Beweises, siehe Definition 5., ist ein sehr wichtiges. Wir gehen vom Gegenteil der Behauptung aus und führen dies dann zum Widerspruch. Somit muss unsere Annahme falsch und damit die Behauptung richtig sein. Schauen wir uns Beispiele an, die das Prinzip verdeutlichen. Beispiel 9 Wurzel aus ist nicht rational) Behauptung: ist nicht rational. Beweis: Wir führen den Beweis indirekt, nehmen also das Gegenteil an und führen dies zu einem Widerspruch. Annahme: ist rational. Wenn rational ist, dann lässt sie sich als Bruch zweier ganzer Zahlen und darstellen. Also /. Dabei seien schon gekürzt, insbesondere also teilerfremd. Nun können wir / umschreiben zu (5.1) Daraus ergibt sich, dass gerade ist. Damit lässt sich also auch als (wobei Z) schreiben. Einsetzen in (5.1) liefert: () 4 Hieraus ergibt sich, dass auch gerade ist. Insbesondere haben und damit den gemeinsamen Teiler. Wir hatten aber angenommen, dass und teilerfremd sind. Das ist ein Widerspruch zu unserer Annahme. Und da eine Behauptung (also die Aussage, die dahintersteckt, siehe auch Kapitel 1, Definition 1.1) entweder richtig oder falsch ist, folgt die Richtigkeit der Behauptung. Raffiniert oder? ;-) Beispiel 30 Es gibt unendlich viele Primzahlen) Jetzt zu einem Beweis, den Euklid schon vor ca. 300 Jahren angab. Es gibt durchaus viele Möglichkeiten die folgende Behauptung zu beweisen (so stehen in [AZ03] (ein sehr lesenswertes Buch) insgesamt sechs verschiedene Beweise für die folgende Behauptung), aber dennoch wollen wir den Widerspruchsbeweis von Euklid angeben: Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Wir führen den Beweis indirekt. Nehmen also das Gegenteil an und führen dies zu einem Widerspruch. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Wenn es nur endlich viele Primzahlen geben würde, dann könnten wir diese in einer endlichen Menge 1... } von Primzahlen zusammenfassen. Nun können wir eine neue Zahl konstruieren, indem wir die Primzahlen

12 66 5 Beweistechniken multiplizieren und 1 addieren. Diese neue Zahl sei : und sei ein Primteiler von. Man sieht aber, dass von allen verschieden ist, da sonst sowohl die Zahl als auch das Produkt 1... teilen würde, was nicht sein kann (da sich immer Rest 1 ergibt). Und hier haben wir unseren Widerspruch Es kann also nicht endlich viele Primzahlen geben. Damit muss es unendlich viele Primzahlen geben. Vielleicht war das etwas zu viel des Guten: Hier nochmal etwas langsamer für diejenigen, die mit den obigen Ausführungen nicht so recht etwas anfangen konnten: Wenn der Satz nicht gilt, dann gibt es nur endlich viele Primzahlen: wobei die größte Primzahl sei. Man bildet das Produkt aller Primzahlen und addiert 1: : Die entstehende Zahl ist keine Primzahl, weil sie größer ist als die größte Primzahl. Sie muss sich daher aus den Primzahlen 1... multiplikativ zusammensetzen. muss daher durch mindestens eine der Primzahlen 1... teilbar sein. Anderseits erkennt man bei Division von durch eine Primzahl, dass wegen der Addition von 1 durch keine Primzahl teilbar ist. (Anmerkung: Wenn man einen Widerspruch andeuten will, dann setzt man diesen Pfeil.) Zur vollständigen Induktion: Jeder von euch hat sicherlich schon einmal Domino-Day gesehen. Wenn ihr aber zufällig wieder mal reinschaut, dann werdet ihr eventuell eine vollständige Induktion sehen. Das Prinzip der vollständigen Induktion kann man mit dem Umfallen von Dominosteinen vergleichen. Wenn der Anfangsstein fällt, fallen auch alle anderen (So jedenfalls in der Theorie.) Mathematisch betrachtet bedeutet das gerade: Wenn die Aussage () für ein 0 und ein beliebiges gilt, dann gilt sie auch für den Nachfolger, also für (+1). Die nachfolgenden Dominosteine (+1) fallen aber nur dann, wenn die Reihe der Dominosteine richtig aufgebaut wurde. Wenn zum Beispiel der Abstand von einem zum anderen Stein zu groß ist, dann kann der andere Stein auch nicht fallen, und damit wäre die Induktion zu Ende. Dem Prinzip der vollständigen Induktion werdet ihr noch sehr oft im Studium und dem ersten Semester begegnen. Es ist daher sehr wichtig, sich die Idee klarzumachen. Wir müssen nun einige Beispiele behandeln, damit das klar wird, und werden uns zunächst dabei auf die klassischen Beispiele beschränken. Darüber hinaus werdet ihr sehen, dass die Induktion als Hilfsmittel eine breite Anwendung in der Mathematik findet.

13 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 67 Beispiel 31 Der kleine Gauß) Beweise: Für alle N gilt: 1 (+1) Dazu gibt es auch eine nette kleine Geschichte: Der Lehrer von Gauß soll einmal seinen Schülern die Aufgabe gegeben haben (da er keine Lust auf Unterricht hatte) die ersten 100 natürlichen Zahlen aufzusummieren. Nach ein paar Minuten meldete sich dann der kleine Gauß und nannte dem Lehrer das richtige Ergebnis, Anmerkung: Gauß führte damals noch keine vollständige Induktion durch, sondern sortierte die Zahlen zu Zweierpaaren, deren Summe 101 ergibt, und stellte fest, dass es hiervon genau 50 gibt, also Beweis: Induktionsanfang für 1: 1 1 (linke Seite) 1 und 1(1+1) 1 (rechte Seite) Beide Seiten stimmen überein. Der Induktionsanfang ist erfüllt. Induktionsschritt: Von auf +1: Dabei sei 1 (+1) wahr (Induktionsvoraussetzung). Im Folgenden steht (IV) für die Induktionsvoraussetzung. Zu zeigen ist also, dass gilt: Es gilt (+1)(+1+1) +(+1) 1 (+1) +(+1) (+1)+ (+1) (+1)(+). Und genau dies hatten wir zu zeigen. (+1)(+) Anwendung der IV. Beispiel 3 Zeige: Die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen ist. Also: ( 1). 1

14 68 5 Beweistechniken (Alternativ kann auch 1 0 Beweis: Induktionsanfang für 1: ( +1) gezeigt werden.) 1 ( 1) (linke Seite) und 1 1 (rechte Seite). 1 Beide Seiten stimmen überein. Der Induktionsanfang ist erfüllt. Induktionsschritt: Von auf +1: Dabei sei 1 ( 1) für ein N wahr (Induktionsvoraussetzung). Zu zeigen ist also, dass gilt: +1 1 ( 1) (+1). Wir haben: +1 1 ( 1) ( 1)+(+1) 1 Anwendung der IV 1 +(+1) (+1). Und genau dies war zu zeigen. Beispiel 33 Bernoullische Ungleichung) Beweise: Für N R 1 gilt: (1+) 1+. Beweis: Induktionsanfang für 1: (1+) Beide Seiten stimmen überein, bzw. wir erhalten eine wahre Aussage, da ja auch die Gleichheit zugelassen wird. Der Induktionsanfang ist damit erfüllt. Induktionsschritt: Von auf + 1: Dabei sei (1 + ) 1 + wahr (Induktionsvoraussetzung). Zu zeigen ist also, dass gilt (1+) +1 1+(+1). Es ist wegen 1+ 0: (1+) +1 (1+) (1+) (1+) (1+) (+1)+. Anwendung der IV Da nun 0 gilt, folgt: 1+(+1)+ 1+(+1).

15 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 69 Tja, und das hatten wir zu zeigen Also haben wir die Bernoullische Ungleichung bewiesen. Beispiel 34 Zeige: Für N 5 gilt: >. Beweis: Dieses Beispiel zeigt, dass der Induktionsanfang nicht immer mit 0 oder 1 beginnen muss. Induktionsanfang für 5: 5 3 > 5 5 Wahre Aussage. Der Induktionsanfang ist also erfüllt. Induktionsschritt: Dabei sei > wahr (IV ). Zu zeigen ist also, dass gilt +1 > (+1). Es gilt: +1 IV) > + *) ++1 (+1). (*) Hier nutzen wir aus, dass für 3 gilt: + 1. Dies kann ebenfalls mit vollständiger Induktion bewiesen werden (Übung für euch). Also sind wir fertig. Beispiel 35 Für alle 4 gilt: >. Beweis: Induktionsanfang für 4: > Der Induktionsanfang ist damit erfüllt. Induktionsschritt: Von auf +1 Zu zeigen ist, dass unter der Induktionsvoraussetzung (IV) > für ein gilt, die Ungleichung (+1) > +1 gültig ist. Wir starten: (+1) (+1) IV) > (+1) > +1. Den letzten Schritt verifizieren wir noch: (+1) > +1 > > 1. was offenbar wahr ist.

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