Knut Bartels / Hans Gerhard Strohe. Arbeitsblätter. zur Vorlesung im Wintersemester 2005/06. Statistik II Induktive Statistik

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1 Knut Bartels / Hans Gerhard Strohe Arbeitsblätter zur Vorlesung im Wintersemester 2005/06 Induktive Statistik Dies ist kein Vorlesungsskript

2 Wirtschafts- und Sozialwissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie Prof. Dr. Hans Gerhard Strohe Dr. Knut Bartels Sekretariat: Frau Viola Schölzel Campus Griebnitzsee, Haus 1, Zi. 307 Telefon: 0331 /

3 Diese Blätter sind nicht die Statistik-Vorlesung, auch kein Vorlesungs-Skript, sondern nur eine unverbindliche und sehr unvollständige Mitschreibe- und Erinnerungshilfe. Sie finden darin die Begriffe und Schwerpunkte, mit denen Sie sich tiefer beschäftigen sollten. Sie können auf keinen Fall den Vorlesungsbesuch, die aktive Mitarbeit in den Übungen und das Literaturstudium ersetzen. Prüfungsrelevant sind nicht diese Folien, sondern die in der eigentlichen Vorlesung angebotenen Inhalte, die einer ständigen Aktualisierung und Ergänzung unterliegen. Statistik I I. 3

4 Gliederung 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung in Mathematik und Wirtschaft 1.0 Voraussetzungen 1.1 Zufällige Ereignisse Definition Wirtschaftswissenschaftliche Relevanz Ereignisoperationen 1.2 Wahrscheinlichkeit Definitionen Rechengesetze Bedingte Wahrscheinlichkeit Formel von Bayes und praktische Nutzung 1.3 Zufallsvariable und Verteilungen Definitionen Diskrete Zufallsvariable in Theorie und Praxis Stetige Zufallsvariable in Mathematik und Wirtschaft Allgemeine Verteilungsgesetze 1.4 Stichprobenfunktionen I. 4

5 2. Schätzverfahren 2.1 Punktschätzung wirtschaftlicher Kennzahlen Angestrebte Eigenschaften von Schätzern Beispiele: Durchschnitt und Varianz Schätzprinzipien LS und ML 2.2 Schätzen von Vertrauensintervallen Schwankungsintervall Konfidenzintervall, Konfidenzniveau Intervallschätzung des Erwartungswertes wirtschaftlicher Größen Intervallschätzung von ökonomischen Anteilszahlen I. 5

6 3. Das Prüfen von Hypothesen 3.1 Signifikanztests in der Wirtschaft 3.2 Hypothesen über Durchschnitte 3.3 Hypothesen über Anteile 3.4 χ² -Tests Prüfen der Varianz Prüfen der Unabhängigkeit statistischer Merkmale Prüfen von Verteilungen 3.5 Prüfen des Medians 3.6 Fehler erster und zweiter Art I. 6

7 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung in Mathematik und Wirtschaft 1.0 Voraussetzungen Fragen: Beispiele für Unsicherheiten im täglichen Leben? In der Wirtschaft? Haben wir ein zuverlässiges Gefühl für Wahrscheinlichkeit? Wodurch wird die Wahrnehmung verzerrt? Was ist Wahrscheinlichkeit? - Wahr oder Schein? Subjektiv oder Objektiv? I. 7

8 Fachliche Voraussetzungen: Mengenlehre Kombinatorik Grundbegriffe von BWL und VWL Bitte unbedingt wiederholen! I. 8

9 Geschichte (I): Altertum und Mittelalter: - subjektiv - nicht quantitativ - wahrsagerisch 16. Jh.: Erste Versuche: - Cardano: De ludo aleae - Galilei ( - ) : 3 Würfel, P(10)>P(9)? I. 9

10 Geschichte (II): 17. Jh.: - Glückspielprobleme des Chevalier de Mere : Teilungsproblem - Briefwechsel zwischen B. Pascal und P. Fermat (1654 Geburtsjahr der Wahrscheinlichkeitsrechnung = Geometrie des Glücks ); - Ganz andere Fragen in England: Graunt s... ( , s. Statistik I) I. 10

11 Geschichte (III): 18. Jh.: - Theorie und Empirie: Datenanalyse Astronomie und Versicherung herausragend: - Jakob Bernoulli (Schweiz): Theorie, Kombinatorik, Binomialverteilung, Spiele und ökonomische Anwendungen - Bruder Nikolaus Bernoulli: Formel für die Ruin-Wahrscheinlichkeit I. 11

12 Geschichte (IV): noch 18. Jh.: noch herausragend: - Bayes: Neuer, allgemeinerer Wahrscheinlichkeitsbegriff - Laplace: Wahrscheinlichkeit, Statistik und Prognose -... Statistik I. II I. 12

13 Geschichte (V): 19. Jh.: Weiterentwicklung, Vervollständigung und Ausdehnung in fast alle Wissenschaften - Gauß ( ): Normalverteilung, Methode d. kleinsten Quadrate, Schätztheorie - Poisson, Quetelet, Galton: Wahrscheinlichkeit in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften und Biologie (Genetik) -... I. 13

14 Geschichte (VI): 20. Jh.: Unüberschaubar viel - Mathematische Statistik R.A.Fisher ( ), Pearson, Gosset - Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit (Kolmogorow 1933) -... Neue Anwendungen: - Wahrscheinlichkeit am Finanzmarkt ( ; wieder zurück zum Glücksspiel?) I. 14

15 1.1 Zufällige Ereignisse Definition Zufallsversuch (= Zufallsvorgang, hier kurz V): (theoretisch) wiederholbarer Vorgang oder Fragestellung mit ungewissem Ausgang Beispiele?? Zufälliges Ereignis: (genau definiertes, aber ungewisses) Resultat eines... I. 15

16 1.1 zufällige Ereignisse (II) Beispiele 1. V: Münzenwurf E 1 = Zahl ; E 2 = Bild 2. V: Erhebung der Beschäftigungsdauer eines Erwerbstätigen z.b.: A 1 = weniger als 3 Monate, A 2 = genau 5 Monate weitere?? 3. V: Kurs einer Aktie bei Börsenschluss? Zufällige Ereignisse?? I. 16

17 1.1 zufällige Ereignisse (III) Spezielle theoretische zufällige Ereignisse: Sicheres Ereignis: (= Ereignisraum ) Unmögliches Ereignis: (=leere Menge Ø) Beispiel: V: Würfeln Sicheres Ereignis: Augenzahl kleiner als 10 Augenzahl größer als 0 oder Unmögliches Ereignis: Augenzahl = 20 u.a. Besonderheit? I. 17

18 1.1 zufällige Ereignisse (IV) Elementarereignisse entsprechen genau je einem unteilbaren Versuchsausgang, d. h. sie enthalten keine unterschiedlichen Möglichkeiten und schließen einander aus. Beispiele: V1: einfaches Würfeln, 6 Elementarereignisse: : : :: : : ::: V2: Aktienkurs bei Börsenschluss: Wie viele Elementarereignisse I. 18

19 1.1 zufällige Ereignisse (V) weitere Beispiele: V3: Familienbildung mit 3 Kindern: Ereignis drei Jungen ist Elementarereignis Ereignis zwei Jungen - nicht. Warum nicht?? V4: Energieverbrauch eines Haushalts: jede einzelne nichtnegative reelle Zahl ist Elementarereignis Unterschiede? I. 19

20 1.1 zufällige Ereignisse (VI) Ereignisraum, Ereignismenge, Stichprobenraum: Menge Ω aller Elementarereignisse eines Zufallsvorganges Beispiele Beim Würfeln = {, :,..., ::, : :, ::: } Beim Energieverbrauch? I. 20

21 1.1 zufällige Ereignisse (VII) Darstellung von Ereignissen wie in Mengenlehre A 1 A 2 A 3 : I. 21

22 1.1 zufällige Ereignisse (VIII) Beispiel Versuch: Würfeln; z. B. 3 Ereignisse A 1 ungerade Augenzahl A 2 Augenzahl 1 A 3 Augenzahl durch 3 teilbar Ist ein Elementarereignis darunter??? Jedes Ereignis setzt sich aus Elementarereignissen zusammen. Ausnahme:... I. 22

23 1.1 zufällige Ereignisse (IX) Wirtschaftswissenschaftliche Relevanz Ereignisoperationen: Durchschnitt: A B = "A und B treten ein" Beispiele: - Würfel: A 1 A 3 = {} -Kurs: z.b. A = höher als 200 B = unter 210 A B = zwischen 200 und 210 I. 23

24 1.1 zufällige Ereignisse (X) Vereinigung: A B = A oder B tritt ein (nicht...!) Beispiel: -Würfel: A 1 A 3 = {,, : :, } I. 24

25 1.1 zufällige Ereignisse (XI) weiteres Beispiel: - Kurs: C = zwischen 200 und 210" D = zwischen 206 und 215" C D = zwischen 200 und 215 C D =?? I. 25

26 1.1 zufällige Ereignisse (XII) Komplementäres Ereignis (Negation): A = "A tritt nicht ein" Beispiel: A 1 - Würfeln: = {:, ::, ::: } - Kurs: =?? D I. 26

27 1.1 zufällige Ereignisse (XIII) leicht zu zeigen (Übungsaufgabe) E E... E E... de-morgansche Formeln: E D E D E D E D I. 27

28 1.1 zufällige Ereignisse (XIV) Relationen (wie in der Mengenlehre): A B : Wenn Ereignis A eintritt, tritt auch B ein, d. h. A zieht B nach sich Beispiel: (Würfeln) A2 A 1 Analog: Beispiele?, I. 28

29 1.1 zufällige Ereignisse (XV) Folgerungen: Aus A B und B A folgt... Aus A B folgt A B B Wiederholung: Jedes zufällige Ereignis ist selbst eine Menge von Ereignissen. Wann? I. 29

30 1.1 zufällige Ereignisse (XVI) Ereignisfeld : Menge aller zufälligen Ereignisse (Mengen), die als Ausgang eines Zufallsversuchs eintreten können, einschließlich des unmöglichen Ereignisses, = Menge aller Ereignisse, die sich aus den Elementarereignissen des Ereignisraums bilden lassen: = Menge aller Teilmengen von = Potenzmenge des Ereignisraumes. I. 30

31 1.1 zufällige Ereignisse (XVII) Beispiel: Würfeln: Ø, { }, {:},..., {:::} (Anzahl = 7) {, : }, {: :, ::: } 6! ( K 6,2 4!2! 15) {, :, },..., (... = 20) {, :,,, : : },..., (... = 15) {, :,,, : :, : : },..., (... = 7) I. 31

32 1.1 zufällige Ereignisse (XVIII) noch Beispiel: noch Würfeln: Summe aller Kombinationen ohne Wdh.: K (6,0) + K (6,1) + K (6,2) K (6,6) = 64 = 2 6 Verallgemeinert: Ereignisanzahl =... bei n Elementarereignissen I. 32

33 1.2. Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Definitionen (I) Wahrscheinlichkeit als Maß für den Grad der Sicherheit des Eintretens eines Ereignisses bei einem Zufallsversuch. Definitionen b) Klassische Definition nach Laplace ( ) P(A) = Anz. d. für A günstigen Möglichkeiten... I. 33

34

35 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (II) noch a) Klassische Definition nach LaPlace ( ) Annahme: Alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich. Anzahl der in A enthalt. El.ereign. n (A) P(A) = = Gesamtanzahl an Elementarereign. n () Beispiele: c) (Münze) P("Zahl") = 1 /2 = 0.5 e) (Würfel) P(A 1 ) = 3 /6 = 0.5 I. 35

36 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (III) noch Beispiele: c) Wahrscheinlichkeit des Knackens K ihres Kontos bei 4-stelligem Pin-Code, wenn dem Dieb bekannt ist, dass er mit einer 7 beginnt. Variationen (Reihenfolge spielt Rolle) mit Wiederholungen von 10 Elementen (Ziffern) zur Ordnung 3 (noch freie Pins): P(K) = 1 /V w (10;3) = 1 /10 3 = 0,001 d.h.?? I. 36

37 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (IV) noch Beispiele: d) (nach Bamberg/Baur) 5 Folienschreiber, 2 Stifte wasserlöslich. Arbeit immer mit blind gegriffenem Stift. A = Folien mit Wasser korrigierbar Frage 1): P(A) =? Lösung: 1 = {wählbare Stifte} n( 1 ) = 5; n(a) = 2 P(A) = 2/5 = 0,4 I. 37

38 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (V) weiterhin noch Beispiel d) : Jetzt 3 Tage Arbeit, jeden Tag zufällig einen Stift benutzen (abends zurücklegen!) B= "Keine Folie mit Wasser korrigierbar" Frage 2) P(B)=? I. 38

39 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (VI) weiterhin noch Beispiel d) : Lösung: Neuer Ereignisraum 2 (3 Tage): Jeden Tag n=5 Möglichkeiten: 1.Tag 2.Tag 3.Tag = 125 Elementarereignisse Wiederholung möglich, Reihenfolge wichtig Variationen n( 2 ) = V w (5,3) =5 3 =125 I. 39

40 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (VII) Analog allein mit den 3 wasserfesten Stiften: n(b)=v w (3,3)=33=27 Also P(B) = n(b)/n(ω 2 ) = 27/125 =... Interpretation?? Prof. Dr. H. G. Strohe I. 40

41 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (VIII) Ohne theoretisches Wissen: b) Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit: Relative Häufigkeit, n-malige Wiederholung des Versuchs h-maliges Auftreten von A: P n (A) =p n =... Von n abhängig, aber mit wachsendem n immer kleinere Unterschiede I. 41

42 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (IX) Beispiel: 400 importierte Kälber, V 1 = Prüfung auf Rückst. v. Antibiotika V 2 = Prüfung auf Hormongaben (A 1 =positiv) (A 2 = positiv) V 1 50-mal positiv, V 2 40-mal pos., 20-mal beide positiv (= A 1 A 2 ) I. 42

43 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (X) noch Beispiel: P P P (A (A (A ) 0,125 P(A1) A2 ) P(A1 A ) P(A 2 ) ) I. 43

44 1.2.1 Wahrscheinlichkeit Definitionen (XI) c) Axiomatische Definition Wahrscheinlichkeitsbegriff erst Anfang 20.Jh. mathematisch präzisiert: Kolmogorowsches Axiomensystem 1) Für jedes E gilt 0 P(E) 1. 3) P() = 1 3) Für E 1, E 2 mit E 1 E 2 =Ø gilt P(E 1 E 2 ) =... (Additivität). I. 44

45 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (I) Aus den Axiomen abgeleitete Sätze: a) P(Ø) =... Beispiel: (Würfeln) P( ) = P(Ø) = 0 Achtung: Aus P(A) = 0 folgt nicht immer A = Ø Beispiel: P("DAX = 3937, ") = 0 warum?? Aber Ereignis nicht unmöglich. Elementarereignis ist hier atomares Ereignis. I. 45

46 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (II) a) P( A) = 1 - P(A) c) Additionssatz: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = P(A) + P( B) A Beweise?? I. 46

47 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (III) Beispiele: a) (Würfeln, Ereignissymbole wie zuletzt) P(A 1 A 3 ) = 3/6 + 2/6-1/6 = 4/6 = 2/3 b) (Kälber, entspr. Bezeichnungen) Aussage? P(A 1 A 2 ) = 1/8 + 1/10-1/20 = 7/40 = I. 47

48 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (IV) d) A B P(A) P(B) Beispiel: (Würfeln) A 2 A 1 P(A 1 ) = 3 /6; P(A 2 ) = 1 /6 Komplexbeispiel: Lieferung eines Gerätes. Gelegentlich Zurückweisung, I. 48

49 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (V) noch Komplexbeispiel: Mögliche Gründe: Ereignisse A 1 = Maße falsch P(A 1 ) = 0.08 A 2 = Materialfehler P(A 2 ) = 0.12 A 3 = Verspätung P(A 3 ) = 0.05 Weiter vorgegeben: P(A 1 A 2 ) = 0.02; P(A 1 A 3 ) = 0.02; P(A 2 A 3 ) = 0.02 P(A 1 A 2 A 3 ) = 0.01 I. 49

50 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (VI) Gesucht: a) Wahrscheinlichkeit, dass Lieferung zurückzuweisen ist b) Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung nicht zurückzuweisen ist c) Wahrscheinlichkeit, dass an einer Lieferung nur Materialfehler zu bemängeln sind. I. 50

51 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (VII) Lösungen: a) P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 {A 2 A 3 }) = P(A 1 ) + P(A 2 A 3 ) - P(A 1 {A 2 A 3 }) = P(A 1 ) + P(A 2 A 3 ) - P( {A 1 A 2 } {A 1 A 3 } ) = P(A 1 ) + [P(A 2 ) + P(A 3 ) - P(A 2 A 3 )] - [P(A 1 A 2 ) + P(A 1 A 3 ) - P(A 1 A 2 A 3 )] = 0,08 + 0,12 + 0,05-0,02 - [0,02 + 0,02 0,01] = 0,23-0,03 = 0,2 Interpretation? I. 51

52 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (VIII) noch Lösungen b) P A A A = 1 - P(A 1 A 2 A 3 ) = Mit Wk. v. 80% ist ein beliebiges Teil nicht fehlerhaft c) gesucht: P(A 2 {A 1 A 3 }) (nur A 2!) zunächst: A 1 A 2 A 3 = (A 1 A 3 ) (A 2 {A 1 A 3 }) warum? I. 52

53 1.2.2 Wahrscheinlichkeit Rechengesetze (IX) noch Lösungen noch c) Weil einander ausschließend: P (A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 A 3 ) + P(A 2 {A 1 A 3 }) Umgekehrt: P (A 2 {A 1 A 3 }) = P(A 1 A 2 A 3 ) - P( A 1 A 3 ) = P(A 1 A 2 A 3 ) - [P(A 1 ) + P(A 3 ) - P(A 1 A 3 )] d.h.? = [ ] =

54 1.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Frage nach stochastischer Unabhängigkeit von Ereignissen Wahrscheinlichkeit unter Zusatzinformationen P(A B) = Wahrscheinlichkeit für Eintreffen d. Ereignisses A unter der Bedingung, dass Ereignis B eintritt (eingetreten ist) I. 54

55 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (II) Beispiele: a) (wieder mangelhafte Lieferung) P(A 1 A 2 ) ist Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück mit Materialfehler (A 2 = Bedingung) nicht maßgerecht (A 1 ) ist. Unterschied zu P(A 1 )?? I. 55

56 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (III) noch noch Beispiele: b) (Würfeln, alte Bezeichnungen) P(A 2 A 1 ) ist Wahrscheinlichkeit, dass eine (A 2 ) gewürfelt, wenn eine ungerade Augenzahl (A 1 = Bedingung) gewürfelt wurde. Unterschied zu P(A 2 )?? I. 56

57 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (IV) noch Beispiele: c) Statistisch bestimmte Wahrscheinlichkeiten für 2002: Einwohner Deutschlands: n = Versuche I = Tod eines beliebigen Einwohners Deutschlands 2002 durch Infektionskrankheit P(I) = n(i)/n = G = Tod durch Gewalt; P(G)= (für Männer...51; für Frauen...27) I. 57

58 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (V) noch Beispiele: noch c) S = Sterben im geg. Jahr; P(S)= Wahrscheinlichkeit, dass ein Infekt Ursache eines gegebenen Todesfalles war, zunächst intuitiv: P(I S) P(I) P(S) 0, , , I. 58

59 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (VI) noch Beispiele: noch c) analog: P(G S) P(G) P(S) 0, , , gilt nur, weil I S, G S I. 59

60 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (VII) noch Beispiele: noch c) Jetzt schwieriger F= Person ist weiblich, n(f) = , Zahl weiblicher Gewalttoter: 1121 Wahrscheinlichkeit, dass weibliche Person durch Gewalt umkommt: P(G F) , I. 60

61 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (VIII) Oder erweitern mit n: P(G F) 1121/ / P(G F) P(F) 0, , , Zeigt allgemeine Formel: I. 61

62 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (IX) Sei P(B) 0 Die bedingte Wahrscheinlichkeit von E bei gegebenem B (=Bedingung) ist dann P(E B) P(E B) P(B) I. 62

63 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (X) Beispiele: a) (Lieferung mit Mängeln, alte Bezeichnungen) mit Wahrscheinlichkeit von... ist ein Stück mit Materialfehler (A2) auch nicht maßgerecht (A1). P(A A ) 0, P(A 1 A 2) 0,167 P(A ) 0, a) (Würfeln, Forts.) Interpretation? P(A2 A 1) P(A A 1) P(A ) 1/6 1/ I. 63

64 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (XI) Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeit: b) P ( B) =... b) Additionssatz: P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) - P(A 1 A 2 B) c) speziell: A 1 A 2 = Ø P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) I. 64

65 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (XII) d) Multiplikationssatz: P(A B ) = P(A B) P(B) e) P(Ø B) = 0 für alle B h) P( A B) = 1 - P(A B) g) B A P(A B) = 1 I. 65

66 1.2.3 bedingte Wahrscheinlichkeit (XIII) Beispiele: 1. (Würfeln) P(A 1 A 2 ) = 1, weil A 2 A 1 Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird, wenn eine 1 gewürfelt wird, ist 100% 2. (Krankheiten) P (S I) = 1 Interpretation??? I. 66

67 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung A 1, A 2,... A n heißt vollständiges System von Ereignissen, wenn bei jedem Versuch genau eins dieser Ereignisse eintreten muss, d.h. A 1 A 2... A n = (Erschöpfend) A i A j = Ø für i j (Disjunkt) Vgl. Klassifizierung in Statistik I I. 67

68 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (II) A 3 A 4 A 5 A 2 EA 4 EA 2 EA 1 E EA 6 A 1 P(E) n A 6 i1 P(E A ) i I. 68

69 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (III) Beispiele: b) Würfeln: A 1 = "ungerade Zahl", A 4 = "gerade Zahl"; {A 1, A 4 } vollständiges System z.b. E={ ; ::}, EA 1 ={}; EA 4 ={::} P(E)= + = I. 69

70 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (IV) noch Beispiele: b) Einkommensklassen u.v.a. Aus Multiplikationssatz: P(E) n i1 P(E A )P(A ) i (= gewogenes arithmetisches Mittel) i Totale Wahrscheinlichkeit I. 70

71 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (V) Beispiel: Vermögensberatung Berater Betreuter Vermögensanteil 60% 25% 15% Wahrscheinlichkeit v. Verlusten 9% 12% 4% Mit welcher Wahrscheinlichkeit führt eine beliebige Empfehlung zu Verlusten? I. 71

72 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (VI) noch Beispiel: E = eine zufällige geprüfte Empfehlung bringt Verlust B i = die Empfehlung stammt von i-tem Berater Drei Berater = vollständiges System. Verwendung der Vermögensanteile als Wahrscheinlichkeit P(E) = P(E B 1 ) P(B 1 ) + P(E B 2 ) P(B 2 ) + P(E B 3 ) P(B 3 ) = 0,09 0,6 + 0,12 0,25 + 0,04 0,15 =... Interpretation? I. 72

73 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (VII) Wenn P(E B) = P(E), dann heißt E stochastisch unabhängig v. B Wenn P(E B) =P(E) dann P(B E) =P(B) Bitte beweisen Sie das! Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse: E, B stochastisch unabhängig P(E B) = P(E) P(B) Bitte beweisen! I. 73

74 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (VIII) Herleitung der Formel von Bayes ( ) A 1,... A n vollständiges System von Ereignissen Noch einmal totale Wahrscheinlichkeit: n i i P E = P E A P A i1 I. 74

75 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (IX) Umgekehrt: P A j E PA j E = P E P E A = P E j nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit j PA j P E A = P E nach Multiplikationssatz I. 75

76 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (X) n i=1 j PA j P E A P A P E A i i totale Wahrscheinlichkeit einsetzen i1 j PA j P E A P A E = Formel von Bayes j n PA P E A i i I. 76

77 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (XI) P(A j ) P(A j E) - a-priori-wahrscheinlichkeit - a-posteriori-wahrscheinlichkeit Beispiel a) (Vermögensberatung) Eine spezielle Empfehlung bringt Verlust Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie von Berater 2 (a-posteriori)? P(B 2 ) = 0,25 (a-priori) Warum? I. 77

78 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (XII) noch Beispiel a) P( B 2 E) P( E B2) P( B2 ) P( E B ) P( B ) P( E B ) P( B ) P( E B 1 0,12 0,25 0,333 0, ) P( B Mit der Wahrscheinlichkeit von 33.33% stammt eine Empfehlung von Berater 2, wenn sie verlustreich ist. 3 3 ) I. 78

79 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (XIII) Beispiel b) Rasterfahndung Ereignisse: T = Terrorist/in R T = verdächtig nach Raster Schärfe des Raster kann eingestellt werden: P R T =0,99, Sensitivität 99% T P R T T =0,90, Spezifität 90% (Wie verhalten sich beide zueinander??) I. 79

80 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (XIV) noch Beispiel b) angenommen 0.02% der Bevölkerung sind Terroristen/innen (oder Schläfer/innen ), d.h. P(T)= (a-priori) Ableitungen: T T P T =0,9998 P R T =0,01 P R T =0,10 I. 80

81 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (XV) noch Beispiel b) Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein im Raster Gefangener wirklich Terrorist (a-posteriori)? Satz von Bayes: T P R T P T P T R T = P R T P T +P R T P T T T 0,99 0,0002 = = 0,99 0,0002+0,10 0,9998 I. 81

82 1.2.4 Formel von Bayes und praktische Nutzung (XVI) noch Beispiel b) T Interpretation?? 0, , P T R =0, , , 2%! d.h. v verdächtigten Personen sind 998 in Wirklichkeit harmlos. I. 82