IT-Sicherheitsmanagement. Teil 12: Asymmetrische Verschlüsselung

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1 IT-Sicherheitsmanagement Teil 12: Asymmetrische Verschlüsselung

2 Literatur [12-1] Beutelspacher, A.; Schwenk, J.; Wolfenstetter, K.-D.: Moderne Verfahren der Kryptographie. 4. Auflage, Vieweg 2001 [12-2] Schmeh, Klaus: Kryptografie. dpunkt, 4. Auflage, 2009 [12-3] Schneier, Bruce: Angewandte Kryptographie. Addison-Wesley [12-4] Freiermuth, Karin; Hromkovic, Juraj; Keller, Lucia; Steffen, Björn: Einführung in die Kryptologie. Vieweg+Teubner, 2010 [12-5] Buchmann, Johannes: Einführung in die Kryptographie. 5. Auflage, Springer, 2010 [12-6] Burnett, Steve; Paine, Stephen: Kryptographie. RSA Security s Official Guide. RSA Press, mitp,

3 Übersicht Ergänzungen zur Modulo-Arithmetik Diffie-Hellman-Verfahren RSA-Verfahren 3

4 Kleiner Satz von Fermat I Der kleine Satz von Fermat: a p-1 1 (mod p), mit a>0 und p ist eine Primzahl Das bedeutet auch, dass p-1 auf den Exponenten beliebig oft addiert oder subtrahiert werden kann, ohne die Kongruenz zu ändern. 1 1*1*1*1*1= 1 2 2*2*2*2*2= 32 -> 4 3 3*3*3*3*3= 243 -> 5 4 4*4*4*4*4= > 2 a*a p-2 1 (mod p) Das kann zur Berechnung des multiplikativen inversen Elements benutzt werden. 5 5*5*5*5*5= > 3 6 6*6*6*6*6= > 6 Beispiel mod 7 4

5 Euler'sche Φ-Funktion a relativ prim zu b bedeutet, dass a und b außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, d.h. ggt(a,b)=1 Eine andere Bezeichnung für relativ prim ist teilerfremd Beispiel: 21=3*7 und 40=2*2*2*5 sind zueinander relativ prim. Euler'sche Φ-Funktion Φ(n) ist die Anzahl der positiven ganzen Zahlen, die kleiner als n und zu n relativ prim sind. Beispiele: Φ(4)= 2, da {1,3} teilerfremd zu 4 Φ(6)= 2, da {1,5} teilerfremd zu 6 Φ(7)= 6, da {1,2,3,4,5,6} teilerfremd zu 7 (Primzahl) Für alle Primzahlen gilt: Φ(p)= p-1 5

6 Satz von Euler Wenn zwei positive Ganzzahlen a und m teilerfremd sind, also wenn ggt(a,m)=1, dann gilt: a Φ(m) 1 (mod m), mit a>0 und ggt(a,m)=1 Beispiel: m= 5,Φ(5)= 4 mit a=3 a 4 (mod 5) = 3 4 = 3*3*3*3 81 (mod 5) = 1 6

7 Kleiner Satz von Fermat II Ein Spezialfall vom Euler'schen Satz ist der kleine Satz von Fermat: a m-1 1 (mod m), mit a>0 und ggt(a,m)=1 Das bedeutet auch, dass m-1 auf den Exponenten beliebig oft addiert oder subtrahiert werden kann, ohne die Kongruenz zu ändern. Es kann aber auch modulo m-1 auf den Exponenten ohne Auswirkungen auf die Kongruenz angewendet werden (folgt aus der Definition von Modulo): a r a r mod m-1 (mod m), mit a>0 und ggt(a,m)=1 Dieser Satz bzw. die dadurch ausgedrückte Eigenschaft wird in der Kryptographie oft benutzt. 7

8 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Entwickelt Witfield Diffie und Martin Hellman 1976: "New Directions in Cryptography" Verfahren zum Schlüsselaustausch Idee der Public-Key-Verfahren, jedoch kein Algorithmus Epoche machende Arbeit Aus: 8

9 Bemerkung In den 90er Jahren gab es Veröffentlichungen von der NSA, dass die Ideen von Diffie-Hellman sowie auch die späteren Public-Key-Verfahren im Rahmen des Echelon-Netzwerkes (NSA, Britische und Australische "Abhör"-Geheimdienste) schon in den 60er Jahren entwickelt und benutzt wurden. Diese Verfahren wurden jedoch geheim gehalten... Siehe auch: 9

10 Das Verfahren I Vorbereitung: A und B einigen sich auf eine Primzahl p und eine natürliche Zahl g mit g<p. p und g sind öffentlich. 1) A wählt zufällig x mit x<p 2) A berechnet a g x mod p 3) A schickt a an B (öffentlich) 4) A erhält b von B (öffentlich) 5) A berechnet K 1 b x mod p 1) B wählt zufällig y mit y<p 2) B berechnet b g y mod p 3) B schickt b an A (öffentlich) 4) B erhält a von A (öffentlich) 5) B berechnet K 2 a y mod p K 1 = K 2 (!) 10

11 Das Verfahren II - Ein Beispiel Vorarbeiten: g=3 und p=7 (1) A wählt zufällig x=2 mit x<7 (2) B wählt zufällig y=5 mit y<7 (3) A berechnet a g x mod 7 -> a 3 2 mod 7 2 mod 7 (4) A schickt a=2 an B (A's öffentlicher Schlüssel) (5) B berechnet b g y mod 7 -> b 3 5 mod 7 5 mod 7 (6) B schickt b=5 an A (B's öffentlicher Schlüssel) (7) A berechnet K 1 b x mod 7 -> K mod 7 4 mod 7 (8) B berechnet K 2 a y mod 7 -> K mod 7 4 mod 7 K 1 = K 2 = 4 11

12 Sicherheit von Diffie-Hellman Bitlängen für g, x und y sind frei wählbar - je größer, desto besser; es gibt aber bei der Wahl der Werte einschränkende Regeln. Vollständiges Durchprobieren ist nicht effektiv, da es schnellere Algorithmen zur Lösung des diskreten Logarithmus gibt: 1024 bit sind in Ordnung 2048 bit sind für Paranoide 512 bit für den Hausgebrauch (NSA kann da mithalten) Bisher ist kein Verfahren bekannt, das einen 1024 bit-schlüssel innerhalb eines Menschenlebens knacken konnte. DH ist aber für den Man-in-the-Middle-Angriff empfindlich, d.h. es muss eine Authentifizierung zusätzlich durchgeführt werden. 12

13 RSA-Verfahren Entwickelt 1977 aufgrund der Veröffentlichung von Diffie-Hellman Erfinder: R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman (RSA) Verfahren ist im PKCS#1 beschrieben. Siehe auch: Das RSA-Verfahren war bis zum Jahr 2000 patentiert. Die drei vor längerer Zeit am MIT 13

14 RSA-Algorithmus I 14

15 RSA-Algorithmus II - Korrektheit 1) Es wurden d und e gewählt, wobei gilt: d*e 1 (mod Φ(n)) also gilt auch: d*e k*φ(n)+1 2) C P e (mod n) mit P als Plaintext // Verschlüsselung 3) P' C d (mod n) // Entschlüsiselung wenn P'=P 4) P' P e*d (mod n) // C wird ersetzt durch P (Zeile 2) 5) P' P (k*φ(n)+1) (mod n) // wegen Zeile 1) 6) P' P k*φ(n) *P (mod n) // +1 aus dem Index zum Faktor P 7) P' (P Φ(n) ) k *P (mod n) // Produkt der Potenz 8) P' (1) k *P (mod n) // Euler: a Φ(n) 1 (mod n) 9) P' P (mod n) // q.e.d. 15

16 RSA-Algorithmus III - Schlüsselerzeugung 1) Wähle zwei zufällige Primzahlen p, q (mind. 200 Stellen) 2)Berechne n=p*q und Φ(n)= Φ(p)*Φ(q)= (p-1)*(q-1) 3) Wähle ein e und berechne ggt(e,φ(n))=1, falls ungleich 1 ist, dann wähle ein neues e (oder neues n) 4)Berechne d mit (d*e) mod Φ(n)=1 bzw. d*e 1 (mod Φ(n)) 5) Öffentlicher Schlüssel ist {e,n} 6) Geheimer Schlüssel ist {d,n} e sollte nicht zu klein gewählt werden, üblich ist die 4. Fermatzahl = Die Sicherheit beruht auf der aufwendigen Bestimmung von p und q anhand von n. 16

17 Ein Beispiel Wahl: p= 5, q= 17 n= p*q= 85 und e= 3 Φ(n)= Φ(85)= (p-1)*(q-1)= 4*16= 64 d*e 1 mod 64 mit d= 43 da 43*3 1 mod Φ(85) e = 3 und d = 43, d.h. Öffentlicher Schlüssel ist { 3,85} Geheimer Schlüssel ist {43,85} Beispiel Verschlüsselung m= 2 (Nachricht) C m e mod n, also C 2 3 mod 85 C= 8 Entschlüsselung m' C d mod n, also m' 8 43 mod 85 p'= 2 17

18 Sicherheit von RSA Schlüssellängen 1024 bit üblich, aber nur für Hausgebrauch 2048 bit in Ordnung Unter 512 bit nicht zu empfehlen Faktorisierungsattacke: Rekord liegt bei 512 bit (entspricht ca. 155 Dezimalstellen) im Jahr 2000 mit 292 Rechnern über 5 Monate 18

19 Performanz RSA ist langsam: RC4 ist ca. 700x schneller als 1024 bit-rsa RC5 ist ca. 500x schneller als 1024 bit-rsa Dies ist der Hauptgrund, dass RSA nicht zum Verschlüsseln größerer Datenmengen benutzt wird. Das Prüfen, ob eine Zahl prim ist, ist nicht ganz einfach; es gibt Tests, die eine hohe Wahrscheinlichkeit in der Korrektheit haben, es gibt aber auch aufwendige Tests, die absolut korrekt arbeiten. 19

20 Weitere asymmetrische Verfahren Digital Signature Algorithm (DSA) Elliptic Curve Cryptography (ECC) Cailey-Purser ElGamal Es gibt ca Variationen bei den Verfahren der Gruppe, die auf den diskreten Logarithmen beruhen (DLSS: discrete logarithm signature systems): u.a. DSA und ElGamal 20

21 Nach dieser Anstrengung etwas Entspannung... 21

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