Braucht man Determinanten für die Ingenieurausbildung?

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1 lobal J. of Engng. Educ., Vol.6, No.3 Publihed in Auralia 00 UICEE Brauch man Deerminanen für die Ingenieuraubildung? Raimond Srauß Univeriä Roock, Fachbereich Mahemaik Univeriäplaz 1, D Roock, Deuchland Die Deerminane gehör zu den Sandardbegriffen der Mahemaikaubildung für Ingenieurudenen. Im Beirag wird ihre Verwendung al Beandeil der Vorleungen zur Ingenieurmahemaik einer Prüfung unerzogen. Dazu werden die Lehrinhale zu Deerminanen und deren Anwendungen dikuier. Abchließend wird gezeig, wie mi Hilfe von Deerminanen ein einheilicher Blick auf Kurven- und Oberflächeninegrale gewonnen wird. Beide Begriffe können auf naürliche Weie auf den R n überragen werden. Dieer Weg wird biher in der Lehre nich genuz. Er i angeich de großen Aufwande bei der Einführung von Inegralen über Kurven und Flächen beachenwer. EINLEITUN Deerminanen werden in allen Ingenieurudiengängen und in allen Einrichungen (FH, HS, UNI) im ebie lineare Algebra und analyiche eomerie gelehr. Wie pa da zu den folgenden Überlegungen? Die Deerminane i für Anfänger nich inuiiv verändlich und chein zunäch unmoivier zu ein. Sie exiier nur al Beiwerk zu einer quadraichen Marix. Sie beiz keine relevanen Anwendungen, die für einen Ingenieurudiengang unverzichbar ind. Für viele der urprünglichen Anwendungen wie z.b. lineare leichungyeme und die Inverion von Marizen gib e beere Mehoden. Trozdem werden gerade diee Anwendungen in der Ingenieuraubildung behandel. Viele geomeriche Themen, für die die Deerminane eine einfache Darellung geae und zuäzliche Einichen liefer, bleiben zunehmend unberückichig. Die Deerminane wurde zunäch nich al eigenändiger Begriff angeehen. Bi zu Jacobi grundlegenden Arbeien i ie fa nur zur Bearbeiung von Anwendungproblemen benuz worden. Mi den Arbeien von Jacobi und Weierraß gewann die Deerminane innermahemaiche Bedeuung und wurde egenand mahemaicher Berachungen. Ihre prakiche Nuzung ging zurück. Zu den genannen Argumenen pa, da von Sheldon Axler kürzlich ein Lehrbuch erchienen i, in Zu Ehren von Profeor Dr-Ing. habil H.W. Solle anlälich eine 75. eburage. dem die lineare Algebra ohne Deerminanen behandel wird [1]. E i bekann, da man in vielen Abchnien der linearen Algebra ohne Deerminanen aukomm. So i für die Behandlung von linearen leichungyemen die Deerminane nich erforderlich und nur elen wird die Invere einer Marix mi Hilfe der Adjunken berechne []. Axler geh aber weenlich weier. Er zeig ohne Verwendung von Deerminanen die Exienz von Eigenweren linearer Abbildungen auf endlichdimenionalen (komplexen) Vekorräumen. Er verwende den Begriff de verallgemeineren Eigenvekor. In der äleren Lieraur wird die Menge der verallgemeineren Eigenvekoren zu einem Eigenwer auch Haupraum de Eigenwere genann. Die Dimenion de Haupraume zu einem Eigenwer imm mi deen algebraicher Vielfachhei überein. Man kann Eigenwere ohne Deerminane berechnen, wenn man ich frag, für welche Were l die Marix A-lI nich injekiv i. Allerding i ihre Berechnung auf diee Weie aufwendiger al die übliche Nullellenberechnung de charakeriichen Polynom uner Nuzung der Deerminane. Die Deerminane einer linearen Abbildung wird er im Schluabchni von [1] al Produk ihrer Eigenwere definier. Ihre einzige Anwendung in der Anfängeraubildung i nach [1] die Tranformaion von mehrdimenionalen Inegralen. Dafür behandel Axler die Volumenänderung bei linearen Tranformaionen. Bei Axler ehen die Beweie im 51

2 5 R. Srauß Vordergrund. Sie ind einfach gehalen. In der Mahemaik wird alle bewieen, dehalb i der Tex von Axler für Mahemaiker ehr inerean. In der Ingenieurmahemaik wird gewöhnlich weniger bewieen und mehr berechne. Dehalb i hier die einfache Berechenbarkei wichiger. Ein anderer eichpunk i die An- und Verwendbarkei der mahemaichen Begriffe, die in der Ingenieurmahemaik gelehr werden. Darüber hinau können Lehrinhale, die kaum prakiche Anwendungen haben, in der Ingenieuraubildung gerechferig ein. E i fragenwer, wa warum in der Ingenieurmahemaik gelehr wird. Die Frage oll für die Deerminane uneruch werden. HISTORISCHES ZUR DETERMINANTE Um die Deerminane einzuordnen, i die Berückichigung der hiorichen Enwicklung nüzlich [3]. E i bemerkenwer, da der heue o wichige Begriff der Marix hiorich nach der Deerminane aufgereen i. Die Deerminane i eine Schöpfung von Leibniz. Sie wurde mi der Bezeichnung Reulane 1678 al kombinaoriche Summe definier und zur Behandlung von linearen leichungyemen genuz gab er lineare leichungyeme mi allgemeinen Koeffizienen an und verwendee die Indexchreibweie. Leibniz kanne die Cramerche Regel. Er wue, da Deerminanen nach einer Spale enwickel werden können. Seine Arbeien gerieen in Vergeenhei. Seki Shinuke Kowa (Japan 1683) ha fa gleichzeiig kleine Deerminanen bi zur Ordnung (5 5) berechne und ie zur Löung von linearen leichungyemen angewende. MacLaurin gab 1730 die Cramerche Regel für, 3 3, 4 4 leichungyeme an veröffenliche Cramer eine Mehode zur Auflöung eine Syem von n leichungen mi n Unbekannen. Die Löung wurde mi Hilfe von deerminanenähnlichen Audrücken angegeben. Bezou (1764) und Vandermonde (1771) gaben Mehoden zur Berechnung von Deerminanen an. Laplace fand 177 den Enwicklungaz der Deerminanen. Lagrange wendee 1773 (3 3)-Deerminanen in der eomerie an. Inbeondere enhiel eine Arbei eine Volumeninerpreaion (Teraedervolumen) der Deerminane. Da Wor Deerminane wurde von au 1801 im Zuammenhang mi quadraichen Formen eingeführ. Er verwendee e aber nich im heuigen Sinn. 181 wurde von Cauchy der Muliplikaionaz für Deerminanen angegeben. Er verwendee die Bezeichnung Deerminane al erer im heuigen Sinn. Durch Jacobi wurden Deerminanen ab 1830 zu einem umfaendem Hilfmiel für Mahemaiker. Er verwendee da quadraiche Schema und wendee e in der Algebra, der eomerie und der Analyi an. Allgemeine Bedingungen für die Löbarkei von linearen leichungyemen waren noch nich bekann. E fehlen die Begriffe Marix und Rang einer Marix. Die Arbeien zu Marizen begannen er mi Sylveer, der 1850 den Begriff präge. Der wichige Beirag zur Enwicklung der Marizen amm von Frobeniu (1878). Kronecker (1850) und Weierraß (1860) beracheen den Begriff der Deerminane im Konex mi linearen Tranformaionen. Kronecker (1870) definiere den Deerminanenrang. Kennzeichnung der Deerminane nach Weierraß (1864): Ein Polynom P in den Elemenen a ik der (n, n)- Marix A habe die folgenden Eigenchafen: - (Lineariä) P i linear und homogen in den Elemenen jeder Zeile. - (Alernierend) P wechel ein Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen verauch. - (Normierung) P = 1 für aik = δik. Dann i P = De(A). Kennzeichnung der Deerminane nach Sephano (1913). E ei F(aik) = F(A) eine differenzierbare Funkion in den n Elemenen aik der (n, n)-marix A mi der Eigenchaf F( A B) = F( A) F( B) Dann i mi einer Konanen c. ( de( A ) c F ( A) = ) Wenn F zuäzlich ein Polynom von niedrig möglichem rad 0 i, o gil F = de(a). Au heuiger Sich i die Deerminane ohne Marix cheinbar undenkbar. Sie wird in der Ingenieurmahemaik al Deerminane einer Marix eingeführ. Hiorich wurde die Marix al

3 Brauch man Deerminanen mahemaicher Begriff er behandel, nachdem der Begriff der Deerminane geklär war, wie die folgende Aufzählung zeig. Cauchy (186) führ im Zuammenhang mi quadraichen Formen in n Variablen da Wor Tableau für die Marix der enprechenden Koeffizienen ein. Er uneruche ähnliche Marizen uner anderer Bezeichnung und zeige, da ähnliche Marizen der gleichen charakeriichen leichung genügen. Er zeig im gleichen Konex die Diagonaliierbarkei von reellen ymmerichen Marizen. Surm berachee die Verallgemeinerung de Eigenwerproblem im Zuammenhang mi der Löung von gewöhnlichen Differenialgleichungyemen. Sylveer definiere 1850 Marizen und gab Löbarkeibedingungen für lineare leichungyeme an. Caley chuf 1858 den Marizenkalkül. Er gab die Invere einer Marix an und erkanne, da die Marix eine lineare Tranformaion darell. Er zeige, da ( ) Marizen ihrer eigenen charakeriichen leichung genügen (Saz von Caley-Hamilon). Jordan gab 1870 die Jordanche Form für lineare Tranformaionen über einem Körper von Primzahlordnung an. Durch Frobeniu wurden ab 1878 Marizen al weireichende mahemaiche Hilfmiel mi zahlreichen Anwendungen weierenwickel. Er bewie, da Marizen von Jordancher Normalform Repräenanen von Klaen ähnlicher Marizen ind. Der Saz von Caley- Hamilon wurde von ihm bewieen und Caley zugeeigne. Frobeniu führe den Rang einer Marix ein. Im 0. Jahrhunder wurden die Marizen zum encheidenden Hilfmiel der Quanenmechanik (Born, Heienberg). Die Lie der Enwicklungen und Anwendungen zu Marizen lä ich forezen. Die Einbeziehung von Namen und Daen i für jede Lehrveranalung empfehlenwer. AUFTRETEN VON DETERMINANTEN IN DER INENIEURAUSBILDUN Deerminanen werden in allen Ingenieurudiengängen und in allen Einrichungen (FH, HS, UNI) im ebie lineare Algebra und analyiche eomerie gelehr. Sie folgen of nach der Einführung der Marizen und nach den linearen leichungyemen und gehen den Eigenweraufgaben vorau. Selen ehen ie am Anfang oder am Ende der linearen Algebra. Inhale de Deerminanenabchni ind: Definiion: - Die Definiion nach Leibniz i üblich. - E gib die Einführung der Deerminanen mi Hilfe de Enwicklungaze. - Die Definiion nach Weierraß al Mulilinearform wird mei nich erwähn. - Der Zuammenhang zwichen Deerminane und Volumen wird nich immer gebrach. Mei werden nur Teraeder und Spa behandel. Eigenchafen; Enwicklung einer Deerminane; Muliplikaionaz. Jez werden Haupanwendungen der Deerminane beprochen, von denen die meien roz großer Unerchiede zwichen den Sudiengängen in vielen Mahemaikvorleungen für Ingenieure vorkommen. Die Haupanwendungen der Deerminane können Argumene liefern, die den Sinn der Deerminane in der Aubildung unerreichen. E ind in der linearen Algebra: Rang einer Marix, lineare Unabhängigkei von Vekoren. Lineare leichungyeme. Eigenwerprobleme für Marizen. Die Berechnung der Inveren, die Ermilung de Range einer Marix und dami die Uneruchung der linearen Unabhängigkei von Vekoren mi Hilfe von Deerminanen i für prakiche Zwecke ungeeigne. Da gil ebeno für die Cramerche Regel zur Löung linearer leichungyeme. Lineare leichungyeme ind für Anfänger am been mi dem au- Algorihmu zu löen. Wichiger al die Cramerche Regel ind numeriche Verfahren zur Löung von linearen leichungyemen, welche aber elener zum Lehrangebo für Ingenieure gehören. Für die Säze, die die Srukur der Löung von linearen leichungyemen behandeln, i die Deerminane nich erforderlich. Die Begriffe Rang, Defek und Injekiviä ind beer geeigne. Die Theorie der Eigenwerprobleme lä ich nach dem Vorbild von Axler ohne Deerminanen behandeln. Für die Ingenieuraubildung i da nich von Voreil, denn die Berechnung von Eigenweren i mi

4 54 R. Srauß Hilfe de charakeriichen Polynom am einfachen. Dafür werden Deerminanen gebrauch. Weiere Haupanwendungen der Deerminane finde man in der eomerie. Leider ind diee Anwendungen endenziell rückläufig. Einige ind: leichung einer eraden durch zwei Punke. Fläche eine Parallelogramm oder Dreieck. Drei Punke liegen auf einer eraden. Teraeder- und Spavolumen. Vier Punke liegen in einer Ebene. Ebenengleichung durch drei Punke. Aband windchiefer eraden. Darellung von Kreuz-, Spaproduk. Wenn man ich in der Lehrveranalung darauf bechränk Deerminanen zu berechnen, ind viele der Anwendungen nur abkürzende Schreibweien für den Sachverhal, die einfach umzuchreiben ind. Anderenfall biee die Verwendung der Deerminane of zuäzliche Einblicke in Zuammenhänge. Einige der geomerichen Anwendungen, die weniger gelehr werden, ollen genann werden: Drei eraden der Ebene gehen durch denelben Punk oder ind parallel. Fläche eine n-eck. Beziehung zwichen den Enfernungen a jk von vier Punken der Ebene. leichung eine Kreie durch drei Punke. Kegelchni durch fünf Punke. In der Analyi finde man weiere Haupanwendungen. Für diee i die Deerminane unverzichbar. Lineare Unabhängigkei von Funkionen. Lineare Differenialgleichungyeme. Tranformaionen von mehrdimenionalen Inegralen. Im Zuammenhang von Fundamenalyemen für lineare Differenialgleichungen wird die lineare Unabhängigkei von Funkionen mi Hilfe der Wronky- Deerminane uneruch. Für die Löung eine homogenen Syem gewöhnlicher Differenialgleichungen erer Ordnung werden Eigenwere und Eigenvekoren berechne. Die Funkionaldeerminane i Beandeil der Tranformaionformel für mehrdimenionale Inegrale. Of werden nur ehr einfache Fälle behandel und man könne die enprechende Funkionaldeerminane einfach angeben. Wenn die Volumenänderung bei linearen Tranformaionen nich behandel wurde, kann man die Tranformaionformel zwar mi Deerminane angeben, ie bleib aber unverändlich. Im nächen Abchni wird die Tranformaionformel auf den Fall von ebieen verchiedener Dimenion verallgemeiner. KOORDINATENTRANSFORMATION Da zwei- und dreidimenionale Bereichinegral owie Weg- und Oberflächeninegrale ind Beandeil vieler Vorleungen zur Ingenieurmahemaik. Der Aufwand, ie mi Hilfe von Riemannchen Summen geeigne einzuführen, i berächlich. Hier wird ein Weg vorgechlagen, diee Inegrale in gewier Hinich einheilich zu behandeln. Dami oll der Aufwand verringer und Zei gepar werden. Durch die Verallgemeinerung der ohnehin zu behandelnden Koordinaenranformaion für mehrdimenionale Inegrale auf den Fall von ebieen verchiedener Dimenion kann man die Tranformaionformel für die Behandlung von Kurven- und Oberflächeninegralen im R und R 3 al Spezialfälle nuzen. Da Vorgehen erlaub die einfache Überragung von Oberflächen- und Kurveninegralen im R 3 auf Inegrale über Mannigfaligkeien im R n. E ei R n ein bechränke, abgechloene einfach zuammenhängende ebie de R n, da eine Randkurve mi eiger Tangene beiz. Für x = (x 1, x,...,x n ) T ei die Dichefunkion f(x) eig. Dann exiier da ebieinegral f (x) Der Bereich R n lae ich durch x=(u), alo x 1 = 1 (u 1, u,, u n ) x = (u 1, u,, u n ) M x n = n (u 1, u,, u n ) bijekiv auf den Bereich R n abbilden, wobei voraugeez wird, da die Funkionen i in eige parielle Ableiungen erer Ordnung beizen und die Funkionaldeerminane: de J ( u) = de u j i n i, j = 1 für kein u au dem Bereich verchwinde. In dieem Fall gil die Formel:

5 Brauch man Deerminanen mi = ( ) Sie wird relaiv häufig in den Spezialfällen n=, 3 für Polar-, Kugel- und Zylinderkoordinaen in den Vorleungen zur Ingenieurmahemaik beprochen. Die Formel (1) lä ich äquivalen in der Form f ( x) = o T ( f )( u) de(j ( u)j ( u)) chreiben. Wenn ein ebie de R n und R m mi n > m i, o i die Jacobimarix nich mehr quadraich, ondern e i J ( ) i u = u j vom Typ n m. E wird voraugeez, da der Rang von J F in jedem Punk von gleich m i. Wenn u da ebie R m durchläuf, o überreich der Punk x da (m-dimenionale) ebie R n. In dieem Fall bleib die leze Tranformaionformel gülig. Bezeichne n D i, i = 1,..., m du die ämlichen m-reihigen Unerdeerminanen von J und wende man auf die Deerminane de(j T J ) die Formel von Cauchy-Bine de( J ( f )( u) de(j ( u)) f ( x) = o du (1) an, geh die Tranformaionformel über in die leichung Im Vergleich mi () wird durch ihre reche Seie in vielen Fällen die Rechnung vereinfach. In dieer Form finde man die Tranformaionformel zur Inegraion über ein m-dimenionale ebie in R n chon bei Couran [4] (1930 im Anhang zu Kapiel [5]). Im Weieren werden Spezialfälle berache. Für n=3 und m= erhäl man Oberflächeninegrale erer Ar. Wenn m=1 und n= bzw. n=3 i, kann man o Kurveninegrale im R bzw. R 3 einführen. E folgen einige Beipiele: n, m i, j = 1 T ( u) J ( u)) = D1 + D D n m f ( x) = ( f o)( u) D1 + D +... D du. (3) m n () E ei n= und m=1. Wenn x = x(), y = y() und x & + y& 0 für [a, b] gil, o i eine Kurve in der Ebene. Die Jacobimarix, gegeben durch: J i für jede [a,b] vom Rang ein. Man finde die Formel für da Kurveninegral erer Ar im R Fall x() =, i = Die bekannen Formeln für die Bogenlänge erhäl man, wenn man in beiden Inegralen f() 1 ez. Analog finde man für n=3 und m=1 die Formel für Kurveninegrale im R 3 Da Inegral über eine Kurve im R n kann man erwarunggemäß al angeben. Sei eine Teilmenge einer Oberfläche (-d Mannigfaligkei) im R 3 gegeben durch x=x(,), y=y(,), z=z(,) mi (,) au. Da ebie ei eine Teilmenge der (,)-Ebene, alo i n=3 und m=. Dann i =( ) oder Die Jacobimarix i b i d =, dy d ( x) = f ( x( ), y( )) x + f & y& d. a b ( x) = f ( x( ), y( )) 1+ f y d. a b ( x) = f ( x( ), y( ), z( )) x& + y& + f z& d. b a f x) = f ( x1 ( ),..., xn ( )) x& ( x& a & x x(, ) y = y(, ) =, z z(, ) J x ( x, y, z) (, ) = = y (, ) z x z y. n d

6 56 R. Srauß E i de( (, ) J (, )) = J T ( x + y + z )( x + y + z ) ( x x + y y + z z ) Mi den Bezeichnungen nimm die Tranformaionformel die bekanne eal an: Wenn peziell x =, y =, z = z(, ) i, o i die Jacobimarix gleich Da ebie i die Projekion von R 3 in die, Ebene. Da Oberflächeninegral ergib ich al: SCHLUSSFOLERUNEN E= x + y + z, = x + y + z undf = x x + y y + z z f ( x) = Allgemeine Schlufolgerungen laen ich nur chlech formulieren. Dazu ind die Sudieninhale und die Aurichung der Aubildung zu unerchiedlich. Für Informaiker und Sudiengänge, die einen arken Aneil Informaik haben (z.b. Wirchafinformaik) mu die Deerminane behandel werden. Bei den dorigen algebraichen und dikreen Inhalen in der Mahemaikaubildung und im Hinblick auf Anwendungen zum Beipiel in kombinaorichen und graphenheoreichen Problemen i ie unverzichbar. Bei den Sudienrichungen, die der radiionellen Ingenieurwienchaf zuzurechnen ind, i die Frage ewa differenzierer. E gib Sudiengänge, in denen die Deerminane im üblichen Rahmen gelehr wird, aber die Haupanwendungen nich behandel werden. Nur in dieem Fall könne man aubildungbezogen auf die Deerminane verzichen. Dagegen prich, da e in der Praxi zahlreiche Themen gib, in denen der augebildee Ingenieur auf Deerminanen reffen kann [6].. f ( x(, ), y(, ), z(, )) E F dd. 1 0 ( x, y, z) J (, ) = = 0 1 (, ) z z f ( x) = f ( x, y, z(, )) 1+ z + z dd. Wenn Eigenwere oder mehrdimenionale Inegrale oder lineare Differenialgleichungen höherer Ordnung oder lineare Differenialgleichungyeme im Lehrprogramm ind, mu die Deerminane behandel werden. Wenn man geomeriche Themen beprich, i die Deerminane ehr nüzlich. E i wünchenwer, den Zuammenhang zwichen Deerminane und Volumen zu behandeln. Er beeh darin, da der Berag der Deerminane D ( a1, a,..., an) die einzige Funkion i, die da Volumen V(a 1, a,..., a n ) eine n-dimenionalen Paralleloop definier [7]. Für da Verändni der Tranformaion von mehrdimenionalen Inegralen i e empfehlenwer, die Volumenänderung bei linearen Abbildungen zu berückichigen. Ingeam i e nich empfehlenwer, die Deerminane au den Lehrprogrammen für Ingenieurmahemaik zu reichen. REFERENZEN 1. Axler, S., Linear Algebra Done Righ. New York: Springer-Verlag (001).. Drew, K.D., Lineare leichungyeme und Lineare Opimierungaufgaben. Berlin (1975). 3. Wußing, H., Vorleungen zur echiche der Mahemaik. Berlin (1948). 4. Blachke, W., Analyiche eomerie. Wolfenbüel (1947). 5. Couran, R., Vorleungen über Differenial- und Inegralrechnung zweier Band. Berlin (1930). 6. Schmeidler, W., Voräge über Deerminanen und Marizen mi Anwendungen in Phyik und Technik. Berlin (1949). 7. Sperner, E., Einführung in die Analyiche eomerie und Algebra, 1. Teil. öingen (1948). BIORAPHIE Raimond Srauß wurde 1953 in Eldena (Mecklenburg) geboren. Im Jahre 1979 chlo er ein Mahemaikudium an der Univeriä Roock al Diplommahemaiker ab. Er promoviere 1984 auf dem ebie der numerichen Analyi und arbeiee anchließend al Forchungingenieur in der Anwendungforchung. Jez i er wienchaflicher Miarbeier am

7 Brauch man Deerminanen Fachbereich Mahemaik der Univeriä Roock. Er leie die Arbeigruppe Rechenechnik, zu der fünf echniche Miarbeier gehören. Seine Inereen in der Lehre ind Inhale, Mehoden und die Einbeziehung von neuen Medien in die Mahemaikvorleungen für Ingenieure. Im Jahre 00 gehöre er zu den ründern de Roocker Arbeikreie für Ingenieurmahemaik, der mi dem olob-frege-zenrum an der Hochchule Wimar kooperier. Er ha Arbeien zur numerichen Quadraur von ingulären Inegralen veröffenlich und i Miauor eine Schulbuche zum Thema Compuergraphik.

8 58 R. Srauß Thi form i alo available on he Web a hp://www.eng.monah.edu.au/uicee/member/memberhipform.hml UNESCO INTERNATIONAL CENTRE FOR ENINEERIN EDUCATION UICEE MEMBERSHIP FORM Ye, I/we would like o become a member of he UICEE. Pleae regier me/u a: i. Parner (indurial or academic) ($A10,000 p.a.) ii. Sponor (A$5,000 p.a.) iii. Supporer (A$,000 p.a.) iv. Conribuing Member (A$500 p.a.) v. Individual Member (A$100 p.a.) vi Library Subcripion (muliple reader) (A$00 p.a.) (i-iv) Iniuion /Company Name:... (i-v) Individual/Conac Surname:... Fir Name:... Tile:... Poiion:... Univeriy/Company Addre: Counry:... Pocode:... Phone (B):... (H):... Fax: Mehod of Paymen: Cheque for $... made payable o: Monah Univeriy - UICEE Via Maercard Bankcard Card Number: Cardholder Name:... Expiry Dae: / Signaure:... Elecronic Fund Tranfer (EFT) BSB Bank Accoun Number Name of Bank WESTPAC - Monah Univeriy Addre of Bank Melbourne, VIC 3800, Auralia Pleae fax u a copy of he EFT for our record. Pleae copy hi form and reurn o: UICEE, Building 70, Monah Univeriy, Wellingon Rd, Melbourne, VIC 3800, Auralia Tel: , Fax: , Vii he UICEE Web-ie a: hp://www.eng.monah.edu.au/uicee/

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