Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

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1 Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche Flußnetzwerk der Erde st der Amazonas mt senen Zuflüssen (vgl. Abb.1). Aber auch Strukturen, we se be der Entwässerung von Landschaftsgebeten entstehen man denke bespelswese an Prele m Wattenmeer oder durch Eroson hervorgerufene Abflußmuster -, zechnen sch durch ene typscherwese herarchsch verzwegte, fraktale Struktur aus. Abb.1: Bespel enes Real-Flußnetzwerkes: der Amazonas und sene Zuflüsse. Im Rahmen ener thermodynamschen Beschrebung lassen sch derartge Entwässerungs-Netzwerke als offene, von Energe durchflossene und als (dsspatve) statonäre Nchtglechgewchtssysteme (Fleßglechgewchte) charakterseren (vgl. z.b. [1]). Unter Anwendung des Prgogneschen Extremalprnzps (der mnmalen Entropeerzeugung) st zu erwarten, daß de Strukturbldung n enem selbstorganserten Prozeß stattfndet, be dem de Energedsspatonsrate bem Abfleßen des zugeführten Wassers (m Laufe der Zet) mnmert wrd (vgl. [2]-[4]). Flußnetzwerke als optmale Fleßglechgewchte Zur Untersuchung und zur Vsualserung der Musterbldung be Flußnetzwerken und der dabe ablaufenden Optmerungsprozesse wurde en Computerprogramm mplementert, das mt enfachen Mtteln das oben beschrebene Verhalten smulert: En Flußnetzwerk wrd zufällg erschaffen und unter Mnmerung der Energedsspatonsrate bs zu enem Optmum hn verändert. De smulerten Netzwerke ähneln dabe n erstaunlch realstscher Wese den Strukturen natürlcher Flußnetzwerke (vgl. Abb.5 u. Abb.6). Modellert man en Flußnetzwerk m Fleßglechgewcht, so muß de fortwährende Entwässerung durch glechmäßge und dauerhafte Bereselung (z.b. n Form von Regen ) ausgeglchen werden. Deser Ansatz steht n drekter Analoge zum wohl bekanntesten Bespel enes Fleßglechgewchtssystems: ener Badewanne mt offenem Ab-

2 fluß, be der durch ständgen Zufluß de pro Zetenhet abfleßende Wassermenge ausgeglchen und so der Wasserspegel konstant gehalten wrd. Abschätzung der Energedsspatonsrate De dem Netzwerk durch de Bereselung zugeführte potentelle Energe wrd während des Abfleßens n knetsche Energe umgewandelt und dabe zu enem Tel (z.b. n Form von Rebung mt dem Flußbett ) dsspert. Im enfachsten Ansatz läßt sch de Energedsspaton E dss als proportonal zur potentellen Energe E pot abschätzen und es glt: Edss ~ Epot ~ m h. Betrachtet man nun de Energedsspaton E dss, n enem Telkanal des Netzwerkes, und es se m de gesamte durch desen Kanal abfleßende Wassermenge, l de entsprechende Länge des betrachteten Telstückes und s sen Gefälle, so ergbt sch mt h ~ s l: Edss, ~ m s l. Zur Bestmmung der Energedsspatonsrate benötgt man den Durchfluß bzw. de Durchflußrate, also de pro Zetenhet durch das Netzwerk bzw. sene Telkanäle durchgeflossene Wassermenge. Der Fluß Q durch den Kanal berechnet sch zu: Q m ~. t Für de Energedsspatonsrate Pdss, = Edss, / t auf enem der Segmente glt dann: Pdss, ~ Q s l. Deser Zusammenhang läßt sch noch etwas verenfachen, da emprsch gezegt werden konnte (vgl.[2]-[4]]), daß zwschen dem Durchfluß und der Stegung enes Kanalsegmentes ene enfache Bezehung besteht: s ~ Q α mt α D.h.: P ~ Q 05 l. dss, Werden de enzelnen Dsspatonsterme über alle Telstücke des Netzwerkes aufsummert, so berechnet sch de Gesamt-Energedsspatonsrate P dss zu: n n dss ~ dss, = 1 = P P ~ Q l Dese Glechung betet ene enfache Abschätzung der Dsspatonsrate nur aus der Kenntns der enzelnen Durchflußmengen und Segmentlängen des untersuchten Netzwerkes.

3 Mnmerung der Dsspatonsrate en enfacher Algorthmus Ene gegebene (Gtter-) Fläche wrd bereselt und das gesamte Wasser durch Dranagekanäle - den enzelnen Segmenten des Flußnetzwerks - bs zu enem Abfluß abgeführt. Der Abfluß legt entweder auf der Fläche (z.b. n der Mtte) oder am Rand der Ebene (z.b. n ener Ecke) und Wasserverluste durch Verdunsten oder Versckern werden ausgeschlossen. Weterhn wrd der Regen über de ganze Fläche als glechmäßg vertelt und als konstant angesehen. Untertelt man das Gtter n n Flächenabschntte und entwässert dese über Kanäle, wobe hre jewelge Fleßrchtung enem Gefälle entsprcht, so ergeben sch verschedene Möglchketen, we dese Kanalsegmente grundsätzlch angeordnet Abb.2: Entwässerung enes Netzwerkes über de nächsten Nachbarn bs hn zum Mttelpunkt. sen können. De jewelge Kanalverbndung reche dabe mmer nur bs zu ener sener nächsten Nachbarflächen und von da aus über de nachfolgenden Kanäle mmer weter bs hn zum Abfluß. Im gezegten Bespel (Abb.2) bestzt jedes nnere Feld acht nächste Nachbarn (de sog. Moore-Nachbarn). Zur Verdeutlchung der o.g. Abschätzungen läßt sch z.b. de Energedsspatonsrate des Flußnetzwerks aus Abb.2 qualtatv zu enem Zahlenwert (n dmensonsloser Form) berechnen. Deser Zahlenwert wrd m folgenden auch kurz Dsspatonsrate genannt. Um de Berechnung zu verenfachen, snd (o.b.d.a.) de jewelgen Flächen und Flächenabschntte quadratsch, de Kantenlängen der Flächenabschntte auf ene Enhetslänge von Ens normert, de Wassermengen, de durch Bereselung jedem Flächenabschntt pro Zetschrtt zugeführt werden, auf den Wert Ens normert. De enzelnen Kanallängen l ergeben sch entweder zu l = 0, l = 1oder l = 2. Der Durchfluß Q ergbt sch jewels aus den Summen der Druchflußmengen und der Regenmenge des Abschntts selbst. l = Q = P Dss ~ ,07

4 Für jedes Kanalsystem läßt sch auf dese Wese de Dsspatonsrate abschätzen und mt der enes andersartg strukturerten Netzwerks verglechen. Wrd nun en vorgegebenes System n Telen varert, wobe enzelne Kanalsegmente etwas umgelegt werden, ndem se z.b. über andere nächste Nachbarn entwässert werden, so entstehen Strukturen, deren Dsspatonsraten unterschedlch hoch sen können. Läßt man dese Varatonen per Computer ausführen und verändert das Netzwerk dahngehend, daß mmer en Kanalsystem mt jewels nedrgerer Dsspatonsrate als neues Ausgangsmuster gespechert wrd, so vollzeht sch sukzessve en Optmerungsprozeß, be dem n ener Art evolutonärem Prozeß ene optmale Struktur entsteht, de enen Abfluß mt mnmaler Energedsspaton erlaubt. Smulaton von Flußnetzwerken Für de Computersmulaton hat es sch als günstg erwesen, ncht en quadratsches, sondern en dreeckges Gtter als Grundlage der numerschen Realsaton zu verwenden. Ene möglche Intalserung enes Netzwerkes besteht z.b. darn, alle Flächenabschntte der Rehe nach mtenander zu verbnden (vgl. Abb.3, lnks). De Dsspatonsrate enes derartgen Netzwerkes erwest sch allerdngs m Verglech zu dem Kanalsystem aus Abb.2 oder der Realsaton aus Abb.3 (rechts) als äußerst ungünstg. Damt en System während des Optmerungsprozesses ncht n ener Konfguraton gefangen blebt, de zwar lokal, jedoch ncht global optmal st, muß be der Auswahl der jewels neuen Iteratonsstufe ene gewsse statstsche Toleranz mt enprogrammert werden. Um ene nsgesamt optmale Konfguraton zu errechen, muß zwschenzetlch also auch ene Varaton erlaubt sen, de ene höhere Dsspatonsrate bestzt, um eben n den darauffolgenden Realsatonen enen global günstgeren Systemzustand errechen zu können. Abb.3: Lnks - möglche Intalserung enes 5x5-Netzwerkes (Dsspatonsrate ~ 80,63). Rechts - ene Iteratonsstufe des Optmerungsprozesses (Dsspatonsrate ~ 42,89). Abfluß am rechten unteren Rand, zusätzlch engetragen st der jewelge Durchfluß.

5 Abb.4: Möglche Schwankungsbrete und zetlche Entwcklung der Dsspatonsrate während ener Smulaton. De n Abb.4 dargestellte Zetrehe zur Dsspatonsrate zegt deutlch, daß mt Hlfe des her beschrebenen Algorthmus en optmales Flußnetzwerk mt ener mnmalen Energedsspatonsrate generert werden kann. Smulatonsergnsse für Netzwerke auf größeren Gttern zegen de Abbldungen 5 und 6. Abb.5: Smulaton enes Flußnetzwerkes mt Abfluß n der Ecke (auf enem Gtter mt 200x200 Feldern).

6 Abb.6: Smulaton enes Flußnetzwerkes mt Abfluß n der Mtte (auf enem Gtter mt 200x200 Feldern). De her vorgestellten Ansätze und Ergebnsse machen u.e. deutlch, daß ene unterrchtlche Thematserung von Flußnetzwerken als en weteres überzeugendes Bespel selbstorganserter Strukturbldungprozesse dazu geegnet st, auf dem Wege zu enem besseren Verständns von komplexen Phänomen der nchtlnearen Physk bezutragen. Lteratur [1] Nordmeer, V.: Zugänge zur nchtlnearen Physk am Bespel fraktaler Wachstumsphänomene. En genersches Fraktal-Konzept. LIT-Verlag, Münster, [2] Sun, T.; Meakn, P; Jossang, T.: A mnmum energy dsspaton model for rver networks and ther assocated topographes. In: Fractals, 3/1 (1993) S.576. [3] Sun, T.; Meakn, P; Jossang, T.: Mnmum energy dsspaton model for rver basn geometry. In: Physcal Revew E, 6/49 (1994) S [4] Sun, T.; Meakn, P; Jossang, T.: The topography of optmal dranage basns. In: Water Resources Research, 9/30 (1994) S.2599.

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