Tilgungsrechnung. (K n + R n = ln. / ln(q) (nachschüssig) + R. / ln(q) (vorschüssig)

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1 (K n + R n = ln n = ln q 1 K 0 + R q 1 (K n q + R q 1 K 0 q + R q 1 ) / ln(q) (nachschüssig) ) / ln(q) (vorschüssig) Eine einfache Formel, um q aus R,n,K n und K 0 auszurechnen, gibt es nicht. Tilgungsrechnung 233

2 Tilgung, Annuität: Werden Schulden in Teilbeträgen, den sogenannten Raten zurückgezahlt, so spricht man von einer Tilgung, bei der die Schulden auf eine Restschuld vermindert werden. Die in einem Zeitabschnitt vom Schuldner aufzubringende Leistung wird als Annuität bezeichnet. Die Annuität A setzt sich aus der Tilgungsrate T und den Zinsen Z für den Zeitabschnitt zusammen: A = T +Z. Eine Zusammenstellung der in den einzelnen Zeitabschnitten zu erbringenden Annuitäten, Zinsen und Tilgungsraten heißt Tilgungsplan. Bei der Ratentilgung ist die Tilgungsrate während der gesamten Tilgungsdauer konstant. Bei der Annuitätentilgung erfolgt die Tilgung am Ende jeder Periode so, dass die Annuität über den gesamten Zeitraum konstant bleibt. Manchmal erlaubt man auch variierende Annuitäten, ein Fall, den wir hier aber nicht betrachten wollen. Im Rahmen eines Tilgungsplans kann man variierende Zahlungen (Sondertilgungen) problemlos berücksichtigen, die formelmäßige Behandlung wird dann aber schwieriger bis unmöglich. Da die Restschuld und damit die Zinsen im Laufe der Zeit sinken, wird bei der Annuitätentilgung von Jahr zu Jahr ein größerer Betrag getilgt. 234

3 Soll eine Schuld K 0 in n Jahren mit einer Ratentilgung getilgt werden, so beträgt die jährliche Tilgungsrate T = K 0 n. Da die zu verzinsende Restschuld von Jahr zu Jahr abnimmt, werden die Annuitäten mit der Zeit geringer. Beispiel 4.19 (Ratentilgung) DerTilgungsplanfüreineSchuldK 0 =

4 bei 8% Zinsen und einer Laufzeit von 10 Jahren hat folgende Form Jahr Tilgungsrate Zinsen Annuität Restschuld Wie man an der Tabelle sieht, sind die Belastungen des Schuldners ungleichmäßig über die Tilgungsdauer verteilt. 236

5 Ratentilgung: Sei K 0 die Schuld und T die Tilgungsrate, um die Schuld in n Jahren zu tilgen, also T = K 0 n. Bei der Ratentilgung bilden Zinsen, Annuitäten und Restschuld jeweils arithmetische Folgen: SeidderZinssatz,K m dierestschuldamendederm-tenperiode,z m diezuzahlendenzinsenfürdie(m+1)-teperiodeunda m dieannuität,alsoa m = T+Z m. Dann ist K m = K m 1 T, m = 1,...,n Z 0 = K 0 d, Z m = Z m 1 T d, m = 1,...,n 1, A 0 = Z 0 +T, A m = A m 1 T d, m = 1,...,n 1, wobei d = q 1 (q Aufzinsungsfaktor). Beispiel 4.20 (Annuitätentilgung) Will man nun in der gleichen Situation wie in Beispiel 4.19 die Schuld mit der Annuitätentilgung ableisten, so benötigt 237

6 man diejenige konstante Annuität A, die nach 10 Jahren zur Gesamttilgung der Schuld mit den aufgelaufenen Zinsen führt. Dieser Wert A berechnet sich wie folgt: In 10 Jahren wird aus der Schuld K 0 = bei nachschüssigem Zinseszins K n = K 0 1,08 10 = ,50. Die Tilgung dieser Gesamtschuld in 10 Jahren kann man sich nun als eine n-malige Rente vorstellen. Daher ist die gesuchte Annuität A gerade diejenige konstante Rentenzahlung, die zu einem Endwert von , 50 führt. Bei nachschüssiger Zahlung muss also die erste Formel auf Seite 232 angewendet werden und liefert q 1 A = K n q n 1 = ,50 0,08 1, ,95. (typischerweise begleicht man nicht gleich bei Aufnahme des Kredits eine Schuld, sondern beginnt nach dem ersten Zeitintervall, daher nachschüssige Zahlung). Damit hat der Tilgungsplan für eine Schuld von K 0 = bei 8% Zinsen und einer Laufzeit von 10 Jahren die Form 238

7 Jahr Tilgung Zinsen Annuität Restschuld , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 95 0, , , 50 Annuitätentilgung: Sei K 0 die Schuld, d der jährliche Zinssatz, q = 1+d der Aufzinsungsfaktor, und sei A die konstante Annuität, die erforderlich ist, um die Schuld nach n Jahren zu tilgen. Dann ist K 0 q n = A qn 1 q

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10 Bei der Annuitätentilgung bildet die Tilgung eine geometrische Folge. Sei K m die Restschuld am Ende der m-ten Periode, Z m die zu zahlenden Zinsen für die (m+1)-te Periode und T m die zu zahlende Tilgungsrate für die (m+1)-te Periode. Dann gilt K m = K 0 q m A qm 1 q 1, m = 1,...,n Z 0 = K 0 (q 1) Z m = Z m 1 q A (q 1), m = 1,...,n 1 T 0 = A K 0 (q 1) T m = T m 1 q, m = 1,...,n 1 Beispiel 4.21 Statt die Situation eines Schuldners und seiner Bank zu betrachten, können die Rollen auch vertauscht werden, d.h. wir behandeln nun folgende Situation: Sei K 0 ein Anfangskapital, das zu Beginn eines Jahres eingezahlt und mit dem jährlichen Zinssatz d verzinst wird. Innerhalb eines Jahres vermehrt sich das Kapital um den Aufzinsungsfaktor q = 1 + d. Am Ende jeden Jahres wird dem Kapital ein fester Betrag R entnommen (die Rente ). Dieser Betrag R entspricht der konstanten Annuität in der Situation der Annuitätentilgung. 240

11 Wie groß ist dann das Kapital nach n Jahren? Die Formel aus dem obigen Satz liefert unmittelbar die Antwort; dies ist die sogenannte Sparkassenformel für den Kapitalabbau durch Auszahlung einer festen Rente bei einem Zinssatz d: K n = K 0 q n R qn 1 q 1 = K 0 (1+d) n R (1+d)n 1 d 241

12 5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess, so ist die Wachstumsgeschwindigkeit von Interesse oder auch die relative Wachstumsrate. Ist f eine Steuerfunktion, so ist die Frage bedeutend, welcher Steuerprozentsatz auf einen kleinen Zuverdienst zu zahlen ist. Für ein Unternehmen ist interessant, wie sich die (relative) Nachfrage nach einem Produkt bei (relativ) kleinen Preisänderungen ändert. Wichtig ist auch die Bestimmung von Extremwerten ökonomischer Größen, etwa die Minimierung von Kosten oder die Maximierung von Gewinnen. Bei der Beantwortung dieser Fragen ist die Differenzialrechnung nützlich. Alle Funktionen in diesem Kapitel sind stets von der Form f : D R wobei D R der Definitionsbereich ist. Also gibt es für jedes x D einen Funktionswert f(x). Beispiel 5.1 Angenommen, die Kostenfunktion eines Unternehmens für die Pro- 242

13 duktion von x Stücken eines Gutes sei gegeben durch K(x) = 20 x+100. Nun ist das Unternehmen daran interessiert, wie sich die Kosten bei kleiner Änderung der Produktionsmenge verändern. Eine standardisierte Information ist hierbei zum Beispiel, wie sich K(x) ändert, wenn man x um eine Einheit erhöht. Die Änderung ist dann K(x + 1) K(x). Es sollte klar sein, dass eine solche Änderung von der Ausgangszahl x abhängt. Etwa ist K(101) K(100) = 20( ) 0,998, K(1001) K(1000) = 20( ) 0,361. Zieht man auch andere Änderungen von x in Betracht, so ist es sinnvoll, die relative Änderung der Kosten im Verhältnis zur Änderung von x zu berechnen. Das ist der Quotient K(x+h) K(x) (x+h) x = K(x+h) K(x) h (etwa für die Werte h = 1, 0.1, 0.01) und gibt die durchschnittliche Kostenänderung pro zusätzlicher Mengeneinheit an. In der folgenden Tabelle sind diese relativen Änderungen für einige Werte von x und h angegeben. 243

14 K(x+1) K(x) 1 K(x+0,1) K(x) 0,1 K(x+0,01) K(x) 0,01 x 10 3,087 3,154 3, ,998 0,1 0, ,316 0,316 0,316 Man sieht, dass sich für kleine Werte von x die Änderung von x stärker auf die relative Änderung der Kosten auswirkt als für große Werte. Das kann man auch am Graphen sehen, denn die Funktionswerte unterscheiden sich in der Nähe von x = 10 stärker voneinander als etwa bei x = 100 oder x = x Man sieht, dass die obige Situation durch die Steigung des Graphen erklärt wird. 244

15 5.1 Differenziation Bevor wir eine formale Definition der Ableitung einer Funktion angeben, soll zunächst beschrieben werden, wie man die Steigung einer (krummlinigen) Funktion in einem Punkt festlegen und bestimmen kann. Steigung einer Funktion in einem Punkt 1. Ist f : R R eine Gerade, so ist die Steigung des zugehörigen Graphen an jeder Stelle gleich und lässt sich durch ein Steigungsdreieck ermitteln x0=2, h=2 x1=5,h = f(x1+h )-f(x1) h h f(x0+h)-f(x0) x 245

16 Die Steigung ist definiert als Höhe durch Breite eines Steigungsdreiecks, also f(x 0 +h) f(x 0 ) = f(x 0 +h) f(x 0 ). (x 0 +h) x 0 h Hierbei spielt es offensichtlich keine Rolle, wo das Dreieck eingezeichnet wird und wie weit die beiden Stellen x 0 und x 0 +h auseinanderliegen. Sie ist also unabhängig von x 0 und h. Ist f(x) = cx+d, so ist f(x 0+h) f(x 0 ) h = ch h = c. 2. Ist nun f : D R eine Funktion mit einem krummlinigen Graphen, so lassensichimmernochsteigungsdreieckezugegebenenstellenx 0 undx 0 +h zeichnen; die daraus resultierende Größe f(x 0 +h) f(x 0 ) h (5.1) hängt nun aber im allgemeinen sowohl von x 0 als auch von h ab (siehe Beispiel 5.1). Sie gibt die (relative) Veränderung der Funktionswerte im Verhältnis zu den x-werten an. Außerdem lässt sie sich als durchschnittliche Steigung von f auf dem Abschnitt [x 0,x 0 +h] auffassen. Das ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte (x 0,f(x 0 )) und (x 0 +h,f(x 0 +h)) geht. In diesem Zusammenhang heißen diese Geraden auch Sekanten. Man benutzt nun diese Steigungsdreiecke für einen Grenzprozess: wählt man h 246

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19 immerkleiner,sorücktderpunktx 0 +himmernäheranx 0,dasSteigungsdreieck wird immer kleiner und die Größe(5.1) liefert die Steigung auf einem sehr kleinen Abschnitt in der Nähe von x 0. Falls dieser Grenzprozess einen Grenzwert hat, etwa f(x 0 +h) f(x 0 ) lim h 0 h = a, so nennt man a die Ableitung von f an der Stelle x 0. Als Grenzwert der Sekanten erhält man dann gerade die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0. Deren Steigung ist a. 247

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