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1 Folie 1 Parallele, iterative Löser mit Schur-Komplement- Vorkonditionierung für dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme aus der Strömungstechnik Dr.-Ing. Achim Basermann, Melven Zöllner* *

2 Folie 2 Übersicht - Hintergrund DLR - Anwendungsbeispiel - Vorkonditionierung - Ergebnisse - (Vorkonditionierung bei Eigenwertproblemen)

3 Folie 3 Das DLR Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt - Forschungseinrichtung - Raumfahrt-Agentur - Projektträger

4 Folie 4 Standorte und Personal Circa Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter arbeiten in 32 Instituten und Einrichtungen in 16 Standorten. Büros in Brüssel, Paris und Washington. Stade Hamburg Bremen Trauen Neustrelitz Berlin Braunschweig Göttingen Jülich Köln Bonn Lampoldshausen Stuttgart Augsburg Oberpfaffenhofen Weilheim

5 Folie 5 Forschungsbereiche - Luftfahrt - Raumfahrtforschung und -technologie - Verkehr - Energie - Raumfahrtmanagement - Projektträger

6 DLR Standort Köln Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter: 1400 Fläche: m² Forschungsinstitute und Einrichtungen: Folie 6 Institut für Materialphysik im Weltraum Institut für Luft- und Raumfahrtmedizin Institut für Antriebstechnik Institut für Werkstoff-Forschung Institut für Flughafenwesen Institut für Solarforschung Hochflussdichte-Sonnenofen Simulations- und Softwaretechnik Qualitäts- und Produktsicherung European Astronaut Center Überschall- und Hyperschalltechnologie Europäischer Transschall Windkanal Nutzerzentrum für Weltraumexperimente MUSC Projektträger im DLR

7 Folie 7 Organigramm Simulations- und Softwaretechnik Simulations- und Softwaretechnik (SC) Rolf Hempel Software für Raumfahrtsysteme und Interaktive Visualisierung (SC-RV) Dr. Andreas Gerndt Verteilte Systeme und Komponentensoftware (SC-VK) Andreas Schreiber

8 Folie 8 Abteilung Verteilte Systeme und Komponentensoftware (SC-VK) Leitung: Andreas Schreiber Stv. Leitung: Doreen Seider Verteilte Softwaresysteme Doreen Seider Software Engineering Andreas Schreiber High Performance Computing Dr. Achim Basermann Integrationssysteme Verteiltes Rechnen Datenmanagement Wissensmanagement DLR Software Engineering Netzwerk Dr. Hans - Softwareentwicklungsprozesse Software-Engineering- Werkzeuge Software-Testlabor Parallele Algorithmen und Datenstrukturen Unterstützung der Entwicklung paralleler Anwendungen Parallelisierungstechniken für moderne Architekturen

9 Folie 9 Übersicht - Hintergrund DLR - Anwendungsbeispiel - Simulationssystem TRACE - Finite-Volumen-Diskretisierung - Strömungsbeispiel - lineartrace - Eigenschaften des Gleichungssystems - Speichertechniken für dünnbesetzte Matrizen - Vorkonditionierung - Ergebnisse - (Vorkonditionierung bei Eigenwertproblemen)

10 Folie 10 Simulationssystem TRACE

11 Folie 11 Finite-Volumen-Diskretisierung ʹ

12 Folie 12 Strömungsbeispiel TRACE-THD-Testfall

13 Folie 13 lineartrace

14 Folie 14 Eigenschaften des Gleichungssystems

15 Folie 15 Simulationssystem TAU: Hintergrund TAU: entwickelt für das aerodynamische Flugzeug-Design vom DLR-Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik Unstrukturierter RANS-Löser (Reynolds-averaged Navier-Stokes), verwendet die Finite-Volumen-Methode Erfordert die parallele, iterative Lösung großer, dünnbesetzter, reeller, nichtsymmetrischer, linearer Gleichungssysteme

16 Folie 16 Speichertechniken für dünnbesetzte Matrizen Compressed Row Storage (CSR) und Block Compressed Row Storage (BCSR) Nichtnull-Elemente, zeilenweise: Matrix: Spaltenindizes, zeilenweise: Zeiger auf den Zeilenbeginn: - TRACE und TAU verwenden BCSR mit 5x5-Blöcken. - Vorteil: weniger indirekte Adressierung - Nachteil: Einige Null-Elemente werden gespeichert.

17 Folie 17 Übersicht - Hintergrund DLR - Anwendungsbeispiel - Vorkonditionierung - Grundlagen - Unvollständige LU-Zerlegungen - Block-Jacobi-ILU-Vorkonditionierung - Schur-Komplement-Transformation - Verteiltes Gleichungssystem - DSC-Vorkonditionierung - Ergebnisse - (Vorkonditionierung bei Eigenwertproblemen)

18 Folie 18 Grundlagen +1 +1

19 Folie 19 Unvollständige LU-Zerlegungen (1)

20 Folie 20 Unvollständige LU-Zerlegungen (1)

21 Folie 21 Unvollständige LU-Zerlegungen (2)

22 Folie 22 Block-Jacobi-ILU-Vorkonditionierung

23 Folie 23 Schur-Komplement-Transformation

24 Folie 24 Verteiltes Gleichungssystem

25 Folie 25 DSC-Vorkonditionierung (1)

26 Folie 26 DSC-Vorkonditionierung (2) -1

27 Folie 27 Übersicht - Hintergrund DLR - Anwendungsbeispiel - Vorkonditionierung - Ergebnisse - Ablauf des Lösungsverfahrens - Testsystem - Block-Verfahren - Parallele Skalierbarkeit - lineartrace-performance - (Vorkonditionierung bei Eigenwertproblemen)

28 Folie 28 Ablauf des Lösungsverfahrens

29 Folie 29 ILU-Berechnung Preconditioning within the DSC algorithm ~ D i ~ S i ~ D i ~ S i

30 Folie 30 Äußere und innere Iteration Schematic view on each processor BiCGstab or GMRes iteration for the local interface rows (unknowns)

31 Folie 31 Testsystem

32 Folie 32 Block-Verfahren TAU-Testfall, Block-Jacobi-ILU-Vorkonditionierung auf 12 Prozessen

33 Folie 33 Parallele Skalierbarkeit (1) TRACE-UHBR-Testfall

34 Folie 34 Parallele Skalierbarkeit (2) TRACE-UHBR-Testfall

35 Folie 35 lineartrace-performance: Interner versus DSC-Löser (2x Intel XEON E5520 mit 4 Kernen, 2.26 GHz ) dsc2011 solver for lineartrace (8 processes, test case "THD stator": dim = 0.8 Mio, nnz = 90 Mio) Time in seconds # 140 # 57 trace (setup matrix etc) solver iteration prec. preparation (ilut) 0 internal solver ( gmres100, ssor(0.7,3) ) dsc2011 ( fgmres40, dsc gmres 5, ilut(0.01,1) )

36 Folie 36 Zusammenfassung

37 Folie 37 Fragen?

38 Folie 38 Übersicht - Hintergrund DLR - Anwendungsbeispiel - Vorkonditionierung - Ergebnisse - Vorkonditionierung bei Eigenwertproblemen - Anwendungen - Algorithmen - Vorkonditionierung

39 Folie 39 Eigenwert-Löser (I) Anwendungen - Festkörperphysik (Elektronen-Phononen-Wechselwirkung) - Fernerkundung (Radar) - Strukturmechanik Reell symmetrische oder komplex hermitesche Eigenwertprobleme

40 Folie 40 Eigenwert-Löser (II) Algorithmen - Lanczos-Verfahren - Transformation auf tridiagonale Eigenwertprobleme - Eigenvektoren über inverse Iteration - Langsame Konvergenz - Jacobi-Davidson-Verfahren - Extreme Eigenwerte und -vektoren - FEAST-Algorithmus - Innere Eigenwerte und -vektoren

41 Folie 41 Eigenwert-Löser (III): Vorkonditionierung Shift and Invert -Vorkonditionierung - Transformiere in - Bei geeignetem Shift Eigenwerte besser separiert - Vorkondinierung - schnellere Konvergenz, z.b. bei Arnoldi-Verfahren - Die Eigenvektoren sind dieselben - Erforderlich: Lösen eines Gleichungssystems (iterativ, -Zerlegung etc.)

42 Folie 42 Eigenwert-Löser (IV):Jacobi-Davidson-Iteration v V k m, k 1,..., m orthonormale Vektoren [ v 1... vm], Mit extremalem Eigenwert and - vektor s von Ritz Vektor W u V s, m m AV m, H m Residuum V H m W r W m m s u H m : Neuer Basisvektor t : H H ( I uu )( A I )( I uu ) t r, t u Orthogonalisiere t mit V m v m 1 H Restart : V1 [ u], W1 AV1, H1 V1 W1

43 Folie 43 Eigenwert-Löser (V): Vorkonditionierte JADA-Iteration H H ( I uu )( A I)( I uu ) t r Iterative Gleichungslösung - Hermitesche Quasi-Minimal Residual method (QMR) - Hermitesche Transpose-Free QMR (TFQMR) - Vorkonditionierer ILUT für TFQMR - Neu: FGMRES mit DSC-Vorkonditionierung

44 Folie 44 Eigenwert-Löser (VI): JADA-Performance Elektronen-Phononen- Wechselwirkung Reelle symmetrische Matrix 4 kleinste Eigenwerte und Eigenvektoren Cray T3E (1997)

45 Folie 45 Eigenwert-Löser (VII): FEAST-Algorithmus Eigenschaften - Bestimmt alle Eigenwerte und vektoren in einem vorgegebenen Intervall - Abgeleitet von Krylov-Unterraumverfahren (Arnoldi, Lanczos) und JADA-Techniken - Frei von Orthogonalisierungsoperationen - Hauptoperationen: - Lösen einiger weniger unabhängiger Gleichungssysteme mit verschiedenen rechten Seiten - Lösen eines kleinen, reduzierten Eigenwertproblems

46 Folie 46 Fragen?

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