BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

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1 Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

2 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 2 von 61

3 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 3 von 61

4 Prolog: Internet Portale Internet Portale liefern im allgemeinen einen Vergleich von Prämien für das nächste Jahr, aber keinen Vergleich von Prämien für spätere Jahre und keinen Vergleich von Versicherungsleistungen. Die Prämien für spätere Jahre hängen von den zukünftigen Schadenzahlen und damit von dem verwendeten Bonus Malus System ab. Bei Verwendung eines Bonus Malus Systems verringert sich die Prämie für das Folgejahr bei einem schadenfreien aktuellen Jahr und erhöht sich die Prämie für das Folgejahr in Abhängigkeit von der Anzahl der Schäden im aktuellen Jahr. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 4 von 61

5 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 5 von 61

6 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 6 von 61

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12 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 12 von 61

13 Beispiel (1) Wir betrachten ein Bonus Malus System mit vier Klassen i 2 f1, 2, 3, 4g und den zugehörigen Prämienniveaus h(i) bezüglich einer Grundprämie : Klasse i Prämienniveau h(i) 1 125% 2 100% 3 80% 4 64% Interpretation der Klassen des Bonus Malus Systems: Klasse 1: Malus Klasse Klasse 2: Einstiegsklasse Klassen 3 und 4: Bonus Klassen TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 13 von 61

14 Beispiel (2) Für das Bonus Malus System sollen die folgenden Einstufungs und Übergangsregeln gelten: Jeder neue Versicherungsnehmer wird in die Einstiegsklasse 2 eingestuft. Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in Klasse 4). Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in Klasse 1). Meldet der Versicherungsnehmer mindestens zwei Schäden, so wird er im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in Klasse 1) eingestuft. Möglicher Verlauf eines Versicherungsvertrages: Jahr Klasse 2! 3! 1! 2! 3! 4 % % % % % Schäden TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 14 von 61

15 Beispiel (3) Mögliche Übergänge: neue alte Klasse Klasse Die Übergangswahrscheinlichkeiten von einer alten zu einer neuen Klasse werden durch eine Übergangsmatrix 0 1 0, 3 0, 3 0, 1 0 Q := B 0, 7 0 0, 2 0, 1 0 0, 7 0 0, 2 A 0 0 0, 7 0, 7 beschrieben (deren Koordinaten noch zu begründen sind). TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 15 von 61

16 Beispiel (4) Die Einstufungsregel wird durch eine Anfangsverteilung q q := dargestellt (Einstufung eines neuen Versicherungsnehmers in die Einstiegsklasse 2). 0 Die Koordinaten der Übergangsmatrix Q = (q i,j ) i,j2f1,2,3,4g und der Anfangsverteilung q = (q i ) i2f1,2,3,4g werden wie folgt interpretiert: q i ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neuer Versicherungsnehmer sich bei Beginn des Vertrages in der Klasse i befindet. q i,j ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherungsnehmer nach Ablauf eines Versicherungsjahres von Klasse j nach Klasse i wechselt. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 16 von C A

17 Beispiel (5) Im Jahr k 2 f0, 1, 2, : : : g ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die Klassen f1, 2, 3, 4g durch den Vektor q [k] := Q k q Es gilt 1 0 q [k] = P 4 i=1 q[k] i = 1. Dabei bezeichnet der Vektor 1 die Summe der Einheitsvektoren e i und die Matrix Q k die k te Potenz der Matrix Q mit Q 0 := I, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet (deren Spaltenvektoren die Einheitsvektoren sind). Interpretation der Koordinaten von q [k] analog zu der der Koordinaten von q [0] = q TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 17 von 61

18 Beispiel (6) Desweiteren ist die Prämienstruktur des Bonus Malus Systems durch den Vektor 0 1 1, 25 h := B 1, 00 0, 80 A 0, 64 gegeben. Daraus ergibt sich für das erwartete Prämienniveau im Jahr k 2 f0, 1, 2, : : : g und damit h 0 q [k] = h 0 q [k] 4X i=1 h i q [k] i = h 0 Q k q TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 18 von 61

19 Beispiel (7) k , 3 0, 16 q [k] B 1 C B 0 C B 0, 35 C 0 0, , 49 0, 129 0, 210 0, 181 0, 480 h 0 q [k] 1 0, , , 8230 k 8 16 : : : , 106 0, 103 0, 103 q [k] B 0, 171 C B 0, 167 0, 219 0, 219 A : : : B 0, 167 0, 219 A 0, 504 0, 511 0, 511 h 0 q [k] 0, , 7979 : : : 0, 7979 Das erwartete Prämienniveau stabilisiert sich bei 79, 79%. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 19 von 61 1 C A

20 Beispiel (8) Fragen: Unter welchen Bedingungen stabilisieren sich für jede Anfangsverteilung q die Wahrscheinlichkeitsverteilungen q [k] für k! 1? Unter welchen Bedingungen stabilisieren sich für jede Anfangsverteilung q die erwarteten Prämien h 0 q [k] für k! 1? Wegen q [k] = Q k q betreffen diese Fragen die Struktur der Übergangsmatrix Q. Wie ist die Übergangsmatrix zu bestimmen? TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 20 von 61

21 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 21 von 61

22 Stochastische Vektoren und Matrizen Ein Vektor q 2 R m heißt stochastischer Vektor, wenn 0 q und 1 0 q = 1 gilt. Eine Matrix Q 2 R m m heißt stochastische Matrix, wenn für alle j 2 f1, : : :, mg der j te Spaltenvektor Qe j von Q ein stochastischer Vektor ist. Lemma. Sei Q 2 R m m eine stochastische Matrix und sei q 2 R m ein stochastischer Vektor. Dann gilt: 1 0 Q = 1 0. Qq ist ein stochastischer Vektor. Für alle k 2 N ist Q k eine stochastische Matrix. Für alle k 2 N ist Q k q ein stochastischer Vektor. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 22 von 61

23 Invarianz (1) Sei Q eine stochastische Matrix. Ein stochastischer Vektor q heißt invariant unter Q, wenn gilt. Qq = q Lemma. Sei q ein stochastischer Vektor, für den die Folge fq k qg k2n0 konvergent ist. Dann ist der stochastische Vektor invariant unter Q. q := lim k!1 Qk q Problem: Finde Bedingungen an Q, die die Existenz eines invarianten stochastischen Vektors gewährleisten. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 23 von 61

24 Invarianz (2) Der stochastische Vektor q := C A 0 0, 103 0, 167 0, 219 0, C A ist invariant unter der stochastischen Matrix Q := 0 0, 3 0, 3 0, 1 0 0, 7 0 0, 2 0, 1 0 0, 7 0 0, , 7 0, 7 1 C A TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 24 von 61

25 Ergodizität (1) Eine stochastische Matrix Q heißt schwach ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit lim k!1 Qk e j = q für alle j 2 f1, : : :, mg. (stark) ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit lim k!1 Qk e j = q und q i = e 0 i q > 0 für alle i, j 2 f1, : : :, mg. Die Einheitsmatrix ist nicht schwach ergodisch. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 25 von 61

26 Ergodizität (2) Lemma. Sei Q schwach ergodisch. Dann gibt es genau einen (unter Q invarianten) stochastischen Vektor q derart, dass für jeden stochastischen Vektor q lim k!1 Qk q = q und gilt. n 1 X1 lim Q k q = q n!1 n k=0 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 26 von 61

27 Ergodizität (3) Satz. Sei Q eine stochastische Matrix. Dann sind äquivalent: Q ist stark ergodisch. Es gibt ein k 2 N mit e 0 i Qk e j > 0 für alle i, j 2 f1, : : :, mg. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 27 von 61

28 Ergodizität (4) Folgerung. Sei Q eine stochastische Matrix mit Dann ist Q stark ergodisch. Beispiel. Die stochastische Matrix ist stark ergodisch. q 1,1 > 0 q i,i+1 > 0 für i 2 f1, : : :, m 1g q i,i 1 > 0 für i 2 f2, : : :, mg Q := 0 0, 3 0, 3 0, 1 0 0, 7 0 0, 2 0, 1 0 0, 7 0 0, , 7 0, 7 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 28 von 61 1 C A

29 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 29 von 61

30 Markov Ketten (1) Sei M := f1, : : :, mg N eine endliche Menge und sei fy k g k2n0 eine Folge von Zufallsvariablen mit Werten in M. Wir bezeichnen M als Zustandsraum der Folge fy k g k2n0. Die Verteilung von Y k ist durch die Wahrscheinlichkeiten q (k) i := P[fY k = ig] mit i 2 M und damit durch den stochastischen Vektor q (k) := 0 bestimmt. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 30 von 61 q (k) 1... q (k) m 1 C A

31 Markov Ketten (2) Die Folge fy k g k2n0 heißt (homogene) Markov Kette, wenn es eine stochastische Matrix Q 2 R m m und einen stochastischen Vektor q 2 R m gibt derart, dass für alle n 2 N0 und i 0, i 1, : : :, i n 2 M " n # \ P fy k = i k g k=0 =! ny q ik,i k 1 k=1 q i0 gilt. In diesem Fall gilt q (0) = q und wir nennen Q die Übergangsmatrix und q die Anfangsverteilung der Markov Kette fy k g k2n0. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 31 von 61

32 Markov Ketten (3) Lemma. Sei fy k g k2n0 eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q und Anfangsverteilung q. Für alle k 2 N0 gilt q (k) = Q k q Insbesondere gilt q (0) = q. Für alle k 2 N0 und i, j 2 M gilt P[fY k+1 = igjfy k = jg] = q i,j Für alle n 2 N0 und i 0, i 1, : : :, i n, i n+1 2 M gilt " # n\ P fy n+1 = i n+1 g fy k = i k g = P[fY n+1 = i n+1 gjfy n = i ng] k=0 (Markov Eigenschaft). TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 32 von 61

33 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 33 von 61

34 Konstruktion (1) Zur Konstruktion eines Bonus Malus Systems auf der Grundlage von Schadenzahlen für einen homogenen Bestand betrachten wir eine Folge von Zufallsvariablen fn k g k2n0 mit Werten in N0, einen Zustandsraum M := f1, : : :, mg N mit m 2, eine Abbildung ' : M N0! M und eine Abbildung h : M! (0, 1). Wir interpretieren N k als die zufällige Anzahl der Schäden im Jahr k, M als die Menge der möglichen Bonus Malus Klassen und h(m) als die Menge der möglichen Prämienniveaus und bezeichnen ' als Übergangsfunktion. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 34 von 61

35 Konstruktion (2) Wir betrachten ferner eine Zufallsvariable Y 0 mit Werten in M und setzen für k 2 N Y k := '(Y k 1, N k 1 ) Dann nimmt auch Y k mit k 2 N nur Werte in M an. Wir interpretieren Y 0 als die zufällige Einstiegsklasse im Jahr 0, Y k mit k 2 N als die zufällige Bonus Malus Klasse im Jahr k (die durch die Bonus Malus Klasse Y k 1 und die der Anzahl der Schäden N k 1 im Vorjahr bestimmt ist), und h(y k ) als das zufällige Prämienniveau im Jahr k (das durch die neue Bonus Malus Klasse Y k bestimmt ist). TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 35 von 61

36 Verteilung der Schadenzahlen Wir nehmen an, dass die Folge fn k g k2n0 unabhängig und identisch verteilt und ist. unabhängig von Y 0 Für r 2 N0 setzen wir Wir setzen ferner p r := P[fN k = rg] := E[N k ] = 1X r P[fN k = rg] = r=0 1X r p r r=0 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 36 von 61

37 Notation Der Vektor q mit q i := P[fY 0 = ig] ist ein stochastischer Vektor (Anfangsverteilung). Für alle r 2 N0 ist die Matrix Q (r) mit q (r) i,j := j 1 falls '(j, r) = i 0 sonst eine stochastische Matrix (Übergangsmatrix für den Fall von r Schäden). Wegen P 1 r=0 = 1 ist auch die Matrix Q := 1X p r Q (r) r=0 eine stochastische Matrix (Übergangsmatrix). TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 37 von 61

38 Ergebnis Satz. Die Folge fy k g k2n0 ist eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q und Anfangsverteilung q. Aufgrund des Satzes ist für alle k 2 N0 der Vektor q [k] := Q k q ein stochastischer Vektor mit q [k] i = P[fY k = ig] für alle i 2 M. Die Anfangsverteilung q und die Übergangsmatrix Q des Bonus Malus Systems ist damit aus den Eigenschaften des stochastischen Prozesses fn k g k2n0 abgeleitet. Im Hinblick auf die Konvergenz der erwarteten jährlichen Prämienniveaus bleibt die Ergodizität der Übergangsmatrix Q zu prüfen. Diese ist durch die Übergangsregel ' bestimmt. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 38 von 61

39 Beispiel (9) Wir betrachten ein Bonus Malus System mit vier Klassen. Der Wechsel der Klasse nach Ablauf eines Versicherungsjahres sei durch die folgenden Ein und Umstufungsregeln bestimmt: Jeder Versicherungsnehmer wird zunächst in die Einstiegsklasse 2 eingestuft. Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in der höchsten Klasse 4). Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in der niedrigsten Klasse 1). Meldet der Versicherungsnehmer zwei (oder mehr) Schäden, so wird er im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in die Klasse 1) eingestuft. Wir wählen also M := f1, 2, 3, 4g. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 39 von 61

40 Beispiel (10) Des weiteren sei die Verteilung der Anzahl der Schäden N k im Versicherungsjahr k 2 N0 durch gegeben. Dann gilt = E[N k ] = 0, 4. r p r 0 0,7 1 0,2 2 0,1 Aufgrund der Einstufungsregel für das Versicherungsjahr 0 setzen wir q 2 = P[fY 0 = 2g] := 1 und erhalten damit die Anfangsverteilung 0 q = TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 40 von C A

41 Beispiel (11) Aufgrund der Umstufungsregel definieren wir die Übergangsfunktion ' : M N0! M durch mit j 2 M und erhalten zunächst '(j, 0) := minfj + 1, 4g '(j, 1) := maxfj 1, 1g '(j, 2) := maxfj 2, 1g Q (0) = Q (1) = TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 41 von 61 1 C A 1 C A

42 Beispiel (12) Q (2) = C A und sodann die Übergangsmatrix der Markov Kette fy k g k2n0. Q = p 0 Q (0) + p 1 Q (1) + p 2 Q (2) 0 1 0, 3 0, 3 0, 1 0 = B 0, 7 0 0, 2 0, 1 0 0, 7 0 0, 2 A 0 0 0, 7 0, 7 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 42 von 61

43 Beispiel (13) Darstellung der Daten im Standardtableau: Schadenzahl Klasse i Wahrscheinlichkeit r p r , , ,1 q i TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 43 von 61

44 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 44 von 61

45 Kollektives Modell Wir verfeinern nun unsere Annahmen an die Folge der Schadenzahlen fn k g k2n0 und beziehen die Schadenhöhen mit ein: Wir nehmen an, dass für jedes Jahr k 2 N0 ein kollektives Modell hn k, fx k,s g s2n i vorliegt, also die Folge der Schadenhöhen fx k,s g s2n unabhängig und identisch verteilt und unabhängig von N k ist, dass die kollektiven Modelle voneinander unabhängig sind, dass die Folge fn k g k2n0 identisch verteilt und unabhängig von Y 0 ist, und dass die Familie fx k,s g k2n0, s2n identisch verteilt ist. Wir setzen := E[N] und := E[X ]. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 45 von 61

46 Erwarteter Gesamtschaden Der Gesamtschaden in Jahr k 2 N0 ist definiert als S k := N X k X k,s s=1 Für den erwarteten Gesamtschaden gilt dann E[S k ] = E[N] E[X ] = Wir können daher zur Vereinfachung annehmen, dass die erwarteten Schadenhöhen alle gleich 1 sind ( = 1), und erhalten E[S k ] = TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 46 von 61

47 Erwartete Prämie (1) Wir bezeichnen die noch zu bestimmende Grundprämie pro Jahr mit Aufgrund des zufälligen Prämienniveaus h(y k ) ist auch die Prämie Z k := h(y k ) im Versicherungsjahr k 2 N0 zufällig. Für die erwartete Prämie gilt mx E[Z k ] = E[ h(y k )] = E[h(Y k )] = h(i) P[fY k = ig] i=1 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 47 von 61

48 Erwartete Prämie (2) Mit h = 0 h(1). h(m) 1 C A ergibt sich aus der letzten Gleichung mx E[Z k ] = h(i) P[fY k = ig] = h 0 q [k] i=1 = h 0 Q k q Problem: Bestimme die Grundprämie in Abhängigkeit von der Laufzeit des Versicherungsvertrages. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 48 von 61

49 Äquivalenzprinzip für ein einzelnes Jahr Das Äquivalenzprinzip für Jahr k 2 N0 besteht in der Forderung Für die Grundprämie gilt daher E[Z k ] = E[S k ] und damit h 0 Q k q = = (h 0 Q k q) 1 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 49 von 61

50 Äquivalenzprinzip für mehrere Jahre (1) Das Äquivalenzprinzip auf der Basis der ersten n Jahre besteht in der Forderung n X1 E[Z k ] = k=0 n X1 E[S k ] k=0 Für die Grundprämie [n] auf der Basis der ersten n Jahre gilt daher und damit n X1 [n] h 0 n X1 Q k q = [n] h 0 Q k q = n k=0 k=0 [n] =! 1 n X1 1 h 0 Q k q n k=0 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 50 von 61

51 Äquivalenzprinzip für mehrere Jahre (2) Spezialfälle: Ist q invariant unter Q, so gilt Q k q = q und damit [n] = h 0 q für alle n 2 N0. Ist Q schwach ergodisch und q invariant unter Q, so gilt lim n!1 [n] = h 0 q Daher kann in diesem Fall für einen hinreichend langen Planungshorizont n 2 N0 die Grundprämie [n] näherungsweise durch / h 0 q bestimmt werden. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 51 von 61

52 Beispiel (14) Mit q [1] := q gilt k , 3 0, 16 q [k] B 1 C B 0 C B 0, 35 C 0 0, , 49 0, 129 0, 210 0, 181 0, 480 h 0 q [k] 1 0, , , 8230 k 8 16 : : : , 106 0, 103 0, 103 q [k] B 0, 171 C B 0, 167 0, 219 0, 219 A : : : B 0, 167 0, 219 A 0, 504 0, 511 0, 511 h 0 q [k] 0, , 7979 : : : 0, 7979 TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 52 von 61 1 C A

53 Beispiel (15) Außerdem gilt = 0, 4 Für die Grundprämien [n] und die asymptotische Grundprämie ergibt sich daraus [1] := lim n!1 [n] = / h 0 q n [n] 0, , , , 4477 n [n] 0, , 4825 : : : 0, 5013 Die Approximation ist nicht besonders gut. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 53 von 61

54 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 54 von 61

55 Beispiel (14) Wir wenden das bisher betrachtete Bonus Malus System auf einen Bestand mit zwei Arten von Risiken an, die sich in der Schadenneigung unterscheiden. Der Bestand ist also inhomogen. Für die Risiken vom Typ A bzw. B sei die Verteilung der Anzahl der Schäden N k im Versicherungsjahr k 2 N0 durch r p r 0 0,7 1 0,2 2 0,1 bzw. r p r 0 0,5 1 0,3 2 0,2 gegeben. Die erwartete Anzahl der Schäden ist dann 0, 4 bzw. 0, 7 Daher besitzen die Risiken vom Typ A eine geringere Schadenneigung als die Risiken vom Typ B. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 55 von 61

56 Beispiel (15) Die unterschiedlichen Verteilungen der Anzahl der Schäden führen auf unterschiedliche Standardtableaus r p r , , ,1 q i bzw. r p r , , ,2 q i und damit auf unterschiedliche Übergangsmatrizen 0 0, 3 0, 3 0, 1 0 0, 7 0 0, 2 0, 1 0 0, 7 0 0, , 7 0, 7 1 C A bzw. 0 0, 5 0, 5 0, 2 0 0, 5 0 0, 3 0, 2 0 0, 5 0 0, , 5 0, 5 1 C A TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 56 von 61

57 Beispiel (15) mit unterschiedlichen invarianten stochastischen Vektoren 0 0, 103 0, 167 0, 219 0, C A bzw. 0 0, , , , 1923 und unterschiedlichen asymptotischen Prämienniveaus 0, 7979 bzw. 0, C A Daher ergeben sich mit 0, 5013 bzw. 0, 7251 auch unterschiedliche asymptotische Grundprämien für die Risiken vom Typ A bzw. B. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 57 von 61

58 Beispiel (16) Von einem Risiko ist im allgemeinen nicht bekannt, ob es ein Risiko vom Typ A oder ein Risiko vom Typ B ist. Daher muss eine einheitliche Grundprämie für alle Risiken des Bestandes bestimmt werden. Dies geschieht natürlicherweise durch die Wahl der Grundprämie := # A A + # B B wobei # A bzw. # B mit # A, # B 2 (0, 1) und # A + # B = 1 den Anteil und A bzw. B die Grundprämie der Risiken vom Typ A bzw. B bezeichnet. Auch die Anteile der Risiken vom Typ A bzw. B sind im allgemeinen nicht bekannt und müssen geschätzt werden. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 58 von 61

59 Übersicht Prolog: Internet Portale Bonus Malus Systeme: Ein Beispiel Invarianz und Ergodizität Markov Ketten Bonus Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix Kalkulation der Grundprämie Anwendung auf einen inhomogenen Bestand Probleme TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 59 von 61

60 Probleme Die Konstruktion eines Bonus Malus Systems wirft zahlreiche Probleme auf: Wahl der Anzahl der Klassen. Wahl der Übergangsregel. Wahl der Prämienniveaus der einzelnen Klassen. Wahl des Planungshorizontes. Darüber hinaus ergeben sich Probleme der Statistik: Überprüfung der Unabhängigkeitsannahmen. Schätzung der Verteilung der Schadenzahlen. Schätzung der Verteilung der Schadenhöhen. Schätzung der Anteile der unterschiedlichen Arten von Risiken in einem inhomogenen Bestand. TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 60 von 61

61 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! TU Dresden, Bonus Malus Systeme und Markov Ketten Folie 61 von 61

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