Inhaltsverzeichnis. 1 Allgemeine Messtechnik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Inhaltsverzeichnis. 1 Allgemeine Messtechnik"

Transkript

1 Ihaltsverzechs I Allgemee Messtechk. Grudsätzlches. Grudbegrffe des Messes.. Iteratoales Ehetesystem (SI), Begrffe des Normes, Eche, Justere, Kalbrere.. Das Meßgerät als System, der Begrff der Übertragug.3 Meßfehler.3. Statscher Fehler, emprsche Beschrebug ud Klassfzerug.3. Statscher Fehler mt systematsche Fehlerursache.3.3 Statscher Fehler mt zufällge Fehlerursache.3.4 Dyamscher Fehler.3.5 Fehlerkewerte der Praxs.4 Leare Regresso.5 Flterug.5. Aaloge Flterug.5. Dgtale Flterug.6 Azege ud Regstrerug der Meßergebsse.6. Azege.6. Regstrerug

2 Allgemee Meßtechk R. Schröter. Grudsätzlches De Fähgket, messe zu köe, hat der Mesch eer och adauerde jahrhudertelage Evoluto heragebldet. I userem Alltag begege wr, ob bewußt wahrgeomme oder cht, städg Meßvorgäge, se es de Doserug vo Selterswasser am Geträkeautomate, de Temperatur des Kaffees oder ees Raumes. Wr sd überall vo Meßtechk umgebe. De Messug ud Azege der Fahrgeschwdgket useres Autos hlft us, das Gesetz cht zu übertrete ud user Rsko zu begreze. Da de Fähgket zum Messe für e gerechtes Tele Voraussetzug st, st se e Grudpfeler des meschlche Zusammelebes. Der Austausch vo Ware ud vo Destlestuge st mmer vo Messuge der Masse, des Volumes, der Zet u.a. begletet. De Beschäftgug mt der Meßtechk war frühere Zete ur durch de aktuelle Meßaufgabe motvert. Uterdesse gelag es, de meßtechsche Erketsse zu verallgemeer ud vom ezele Awedugsgebet zu abstrahere. De Meßtechk wrd zwsche als ee selbstädge Wsseschaft aufgefaßt. Für e Verstäds vo Meßvorgäge sd de m ächste Abschtt erläuterte Deftoe der Grudbegrffe ee wchtge Voraussetzug. Allgeme läßt sch das Messe als e Verfahre asehe, vo de atürlche Zustäde oder vo techsche Abläufe Iformatoe zu gewe. Zuglech glt aber auch, daß wr be jeder Messug ee Verlust a Iformatoe akzeptere müsse. Z. B. kee wr cht de Temperatur, de der Zet zwsche zwe Messuge herrscht. Ebeso geht es mt de Meßorte. Vor, hter ud zwsche usere zwe Meßorte habe wr ja cht gemesse. Es wrd klar: ee Messug bedarf der Plaug. Dar legt de egetlche Aufgabe des Igeeurs: er legt fest, wa, wo, we oft ud we geau wr zu messe habe. De Forderug ach größtmöglcher Effzez gebetet us für de Plaug: so weg Meßorte we ötg so weg Messuge we ötg so weg Meßgeaugket (= Aufwad) we ötg. Gerade gege de letzte Forderug wrd vo juge Igeeure ud Hochschule gaz allgeme recht oft verstoße. De Meßgeaugket bzw. de Größe der Meßfehler muß der Igeeur vor jeder Messug ermttel. De dazu ötge Fakte sd Kaptel.3 dargestellt.

3 4 Allgemee Messtechk. Grudbegrffe des Messes De Erforschug der wsseschaftlche Grudlage für de Etwcklug vo Meßverfahre ud Meßgeräte wrd Metrologe geat. De Umsetzug metrologscher Erketsse de Techk vo Meßmttel ud hrer Awedug bezeche wr als Meßtechk. Der Begrff Messe wrd der DIN 39 [ - 4] sehr kapp dargestellt mt de Worte: "Ausführug vo geplate Tätgkete zum quattatve Verglech der Meßgröße mt eer Ehet." Etwas detallerter läßt sch sage: Messe st der expermetelle Vorgag zum quattatve Verglech zwsche eer Meßgröße ud eer Bezugsgröße mt Hlfe eer Meßerchtug. Das ermttelte Resultat der Messug wrd Meßwert geat. Der Meßwert wrd Form ees Produktes aus eem Zahlewert ud eer Ehet dargestellt. Dem Zahlewert etmmt ma de Betrag ud der Ehet de Art der Meßgröße. I efache Fälle st deser Meßwert scho das Ergebs der Messug (z.b. Lägemessug mt eem Leal). I adere Fälle wrd aus mehrere Meßwerte mt Hlfe eer bekate edeutge Rechevorschrft (z.b. Volume als Produkt vo dre orthogoale Läge) das Meßergebs ermttelt. De physkalsche Größe, welche wr messe wolle, de Meßgröße, st ee Egeschaft des Meßobjektes. Meßobjekte sd z.b. Körper, techsche Prozesse oder Zustäde. Für de Zweck der Messug wrd e physkalscher Vorgag als Meßprzp egesetzt. Der Zusammehag se a ege Bespele erläutert: Meßgröße Temperatur Meßprzp Lägeäderug Flüssgketsausdehug Thermoelektrscher (Seebeck-) Effekt Wderstadsäderug Rel. Luftfeuchte Hygroskopsche Lägeäderug vo Haare oder vo Kuststoffaser Kapaztätsäderug ees Kodesators Druck Elastsche Deformato ees Körpers Pezoelektrscher Effekt Alle zur Durchführug der Messug otwedge Maßahme werde dem Begrff Meßverfahre zusammegefaßt. De praktsche Umsetzug ees ausgewählte Meßverfahres et ma Meßerchtug. De Meßerchtug ermttelt vom betrachtete

4 . Grudbegrffe des Messes 5 Prozeß durch de Verglech mt eem bekate Normal aus der Meßgröße x ud der Normalgröße x N de Azegegröße x a. Dese elemetare Verkettug wrd als Meßsystem bezechet. Bld.: Meßsystem, verefachtes Blockschaltbld De Meßerchtug ka aus eem oder mehrere, zu eem System zusammegestellte, Meßgeräte bestehe. Es hadelt sch da um ee Meßkette, oder allgemeer um e Übertragugssystem mt esetg gerchtetem Sgalfluß. Bld.: Bespel eer Meßkette eer Meßerchtug Für de Bld. verwedete Begrff Sesor werde auch syoym de Begrffe Meßgrößeaufehmer ud Fühler verwedet. Der Sesor hat de Aufgabe, de zu erfassede Prmärgröße, z. B. ee Kraft oder ee Temperatur, ee für de Weterverarbetug besser geegete Sekudärgröße abzublde, z. B. ee elektrsche Spaug oder ee elektrsche Strom. Ee Grudforderug a de Sesor st, daß de Abbldug edeutg ud reproduzerbar st. Stellt ma de Zusammehag zwsche Prmärgröße ud Sekudärgröße graphsch dar, da ergbt sch be eem leare Sesor ee gerade Kele. Auf de äherugswese Berechug der mathematsche Fukto deser Kele, aus eer Azahl vo Meßwerte, wrd m Kaptel.4 Leare Regresso äher egegage. De m Bld. ethaltee Learserer würde ma eem chtleare Sesor zur Erzeugug eer leare Kele achschalte. Learserer sd Aalogrecher, dere chtleare Verstärkug sch so parametrere läßt, daß se m Zusammewrke mt eer chtleare Egagsgröße (dem Sesor) a hrem Ausgag ee leare Kele beretstelle. Werde de Meßwerte eem Recher verarbetet, da erfolgt de Learserug oft auch als rechersche Korrektur der umersch vorlegede Meßwerte.

5 6 Allgemee Messtechk Spaug ud Strom werde häufg als Sekudärgröße gewählt. Grüde dafür sd: Se lasse sch auf efache Art übertrage, ud de Möglchkete der gezelte Sgalaufberetug (z. B. Flterug, Itegrato) sd mt gergem Aufwad verfügbar. Hadelt es sch um de Ermttlug der gazzahlge Azahl vo glechartge Elemete (z. B. Azahl der vorbetrasporterte Schraube) oder vo Eregsse (we z. B. Azahl der Rotatoe = Umdrehugszahl) a eem Meßobjekt, da st des e meßtechscher Soderfall, der Zähle geat wrd. Um de Empfdlchket ees Meßgerätes zu bestmme, wrd der Zegerweg auf der Skala zur etsprechede Äderug der Meßgröße s Verhälts gesetzt. Be dgtal arbetede Geräte wrd de Azahl der Zfferschrtte auf de etsprechede Äderug der Meßgröße bezoge. Für chtleare Meßgeräte läßt sch de Empfdlchket cht für de gesamte Meßberech agebe, soder st puktwese vom Meßwert abhägg. Meßgeräte werde hschtlch hres Esatzes de Labormeßgeräte oder de Betrebsmeßgeräte zugeordet. Letztere sd überweged kotuerlch messede Geräte, welche ee vollautomatsche Betreb ermöglche. De Bauart st dem Esatzort etspreched robust. Mt Labormeßgeräte werde. a. Ezelmessuge mt höherer Geaugket durchgeführt. Da geschultes Persoal mt de Geräte arbetet, müsse de Geräte cht so efach ud robust gestaltet se we m betreblche Esatz. I der egags erwähte Defto für de Begrff Messe wurde der Meßwert als das Produkt ees Zahlewertes mt eer Ehet dargestellt. Ist deser Zahlewert - de Maßzahl - vo eem Meßgerät ablesbar, da et ma h Azege. Be aaloge Meßgeräte erfolgt de Ablesug durch Ermttlug der Zegerposto relatv zur Skale, be dgtale Geräte st de Azege drekt als Zahlewert ablesbar. Das Itervall der Meßwerte, de am Meßgerät sgesamt ablesbar sd, wrd Azegeberech (auch: Skaleberech) geat. Der Telberech des Azegebereches, dem der Meßfehler ee vom Hersteller spezfzerte oder garaterte Grezwert cht überschretet, st der Meßberech. Begt der Azegeberech cht be Null, wrd also e Berech uterhalb des kleste azegbare Wertes cht agezegt, da bezechet ma dese als Uterdrückugsberech. Werde m Rahme eer Meßrehe sowohl postve als auch egatve Meßwerte erwartet, da wrd auch e Azegeberech mt dem Nullpukt der Mtte egesetzt. De Ruhestellug des Zegers befdet sch da ebefall der Mtte. Be aufwedgere aaloge Zegergeräte wrd zur Vermedug ees Parallaxefehlers durch schräge Betrachtug e halbrgförmger Strefe der Skala mt eem Spegel uterlegt. Wrd be der Ablesug darauf geachtet, daß der Zeger ud se Spegelbld htereader lege, da lest ma rechtwklg ab ud der Parallaxefehler st vermede.

6 . Grudbegrffe des Messes 7 Zur Etelug vo Meßverfahre werde de folgede Uterschedugsmerkmale heragezoge: Drekte ud drekte Meßverfahre Drekte Meßverfahre ergebe Meßwerte, de zuglech Größewerte der egee Meßgröße sd. Also, z.b. be der Lägemessug wrd mt eem Metermaß verglche, be der Gewchtsmessug wrd auf eer Hebelwaage drekt mt geechte Gewchte verglche. Idrekte Meßverfahre ergebe erst emal adersartge Meßgröße (Sekudärgröße). Daraus wrd eem wetere Schrtt mt gegebee edeutge physkalsche Zusammehäge das Meßergebs aus de "Rohmeßwerte" berechet. Bezoge auf de geate Bespele ergäbe sch her etwa für de Lägemessug ee Azahl vo Lchtwelleläge (Iterferometer) oder be der Gewchtsmessug ee Spaug, de durch de elastsche Deformato eer Platte (bzw. ees dara befestgte Halbleters) herbegeführt wurde (Pezoelektrscher Effekt). Adere Meßgröße, we z. B. de Zet oder de Temperatur, sd przpell cht durch e drektes Meßverfahre meßbar. Ist e Meßergebs durch ee Rechevorschrft aus mehrere Meßgröße gebldet, z. B. das Volume als Produkt dreer Läge, da glt dese Vorgeheswese auch als drektes Meßverfahre. Aktve ud passve Meßverfahre Be vele Meßverfahre beötge de egesetzte Geräte Eerge. Dese Eerge wrd be aktve Meßverfahre als Hlfseerge vo auße zugespest. Be de passve Meßverfahre wrd se dem Prozeß bzw. dem Meßobjekt etomme. E efaches Zegervoltmeter oder e Flügelradwdgeschwdgketsmesser etmmt dem Prozeß de für see Betreb (Zegerausschlag bzw. Rotato des Flügelrades) beötgte Eerge. Es hadelt sch also um passve Meßverfahre. Be eem modere Multmeter st durch ee batteregespeste Verstärker de Belastug der zu messede Spaugsquelle wetgehed vermede. Wrd de Wdgeschwdgket mt dem m Kaptel 4..4 beschrebee Laser-Doppler-Velozmeter gemesse, da etfällt de bem Flügelrad etstehede Beeflussug der Strömug. De bede letztgeate Verfahre sd also aktv (mt egeer Eergequelle) a de Prozeß agekoppelt. Aaloge ud dgtale Meßverfahre De us teresserede atürlche oder techsche Abläufe verhalte sch sowohl hschtlch hrer Größe als auch hres zetlche Ablaufs stetg. D.h. se mache kee

7 8 Allgemee Messtechk Sprüge ud veräder sch um belebg klee Dffereze. Deses aaloge Verhalte wrd vo eem Meßverfahre uter Verlust vo Iformatoe abgebldet. Be de aaloge Meßverfahre st de abgebldete Ausgagsgröße stetg, also z.b. e sch kotuerlch bewegeder Stft ees Schrebers, e Zegerstrumet. De dgtale Meßverfahre produzere ee gerasterte, also klee Schrtte utertelte Ausgagsgröße. Der Meßwert erschet her als (gaze) Zahl vo Quatserugsschrtte oder als Zfferfolge. Für de Messug elektrscher Spauge gbt es Umsetzer, mt dee de Wadluge Aalog-Dgtal ud Dgtal-Aalog efach durchzuführe sd. Aalog agezegte Meßwerte sd für de Mesche lechter ud scheller zu erfasse. Z. B. eem Flugzeugcockpt werde alle wchtge Meßwerte aalog sgalsert. Nur de selteer abzulesede Meßwerte werde dgtal dargestellt.,3456 Bld -3: Bespele für Meßgeräte mt aaloger ud dgtaler Azege (Thermometer, Multmeter) Kotuerlche ud dskotuerlche Meßverfahre Be der Uterschedug der aaloge ud dgtale Meßverfahre ergab sch ee Rasterug hschtlch der Größe des Meßwertes. De zetlche Veräderug der Meßwerte ka ebefalls kotuerlch oder Schrtte erfaßt werde. E dgtales Meßverfahre ergbt zwagsläufg auch für de Zetachse ee Rasterug. Przpell ergbt sch be de dskotuerlche Verfahre - se werde auch als getastete Systeme bezechet - e Iformatosverlust, Bld -4. De sprugartge Veräderug des Meßwertes zwsche de Messuge S 3 ud S 4 würde desem Bespel cht erfaßt werde. De Zet t p wrd mestes für de Dauer eer Messug kostat reproduzert. Es hadelt sch da um e äqudstates Meßzetraster. I. a. ergbt sch zwsche de Messuge ee kurze Meßpause t B t B = t t (.) p m

8 . Grudbegrffe des Messes 9 De Dauer der Ezelmessug t m wrd auch Itegratoszet geat. Währed deses "Zetfesters" wrd e Mttelwert vo der sch städg veräderde Meßgröße gebldet. X t p t m S S S3 S4 Bld -4: Dskotuerlche Messug t.. Iteratoales Ehetesystem, Normal, Eche, Justere, Kalbrere De Abkürzug SI steht für Système Iteratoal d'utés. Für de edeutge Defto eer Meßgröße bedarf es der Festschrebug vo Kovetoe für sog. Meßormale. Solche Kovetoe müsse lage Verhadluge vo möglchst vele Natoe akzeptert werde. De ggf. ötge Umstelluge, um de atoale Idustre a teratoale Stadards azupasse, koste sehr vel Geld. De Durchmesser ud Steguge vo Schraubgewde sd e typsches Bespel für de Schwergkete. Für vele Größe gbt es e starkes Iteresse, se - m Se der Norm - zu messe, aber de strege ud scharfe Defto ees teratoal aerkate Grudormals gelgt cht. Bespele herfür sd: De meschlche Itellgez oder de vo de Klmatechkgeeure velfach utersuchte Behaglchket sd m Se der Norm cht "meßbar". Be der Behaglchket st der wsseschaftlche Dskusso cht emal edeutg abgegrezt, welche Eflüsse dazu ee Betrag leste. Deoch wrd dem für de Behaglchket wchtge Berech, dem der Geruchsempfduge, a eem Stadard gearbetet. Es wrd versucht, de Empfduge eer große Zahl vo Testpersoe statstsch auszuwerte. Be adere vel dskuterte Größe, we z.b. de Qualtät ees Kozerts oder vo adere küstlersche Darbetuge, st es vellecht gar cht wüscheswert, daß ach Stadards gesucht wrd. Auf der Geeralkoferez für Maß ud Gewcht (CPGM) wurde 960 das heute gültge Ehetesystem, kurz SI empfohle. Es ethält de Defto vo sebe Bassehete. I der folgede Tabelle sd Größe, Formelzeche, Bassehet ud Ehetezeche zusammegestellt.

9 0 Allgemee Messtechk Bassgröße Formelzeche Bassehet Ehetezeche Läge l Meter m Masse m Klogramm kg Zet t Sekude s Stromstärke I Ampere A Thermody. T Kelv K Temperatur Lchtstärke I L Cadela cd Stoffmege Mol mol Tabelle -: De sebe Grudgröße des SI-Systems De Festlegug vo Bassehete ka cht für alle Zet gelte. Se muß gelegetlch a de aktuelle Stad der Techk agepaßt werde. De Bassehet Meter wurde früher durch ee Pars aufbewahrte x-förmge Plat-Irdum-Stab repräsetert. Auf der 7. Geeralkoferez der CGPM wurde 983 ee eue Defto festgelegt. E Meter st de Läge der Wegstrecke, de das Lcht m Vakuum der Zet / Sekude durchläuft. De Bedeutug eer sehr geaue Reproduzerbarket (Uscherhet der obge Defto ± 4*0-9 ) wrd heute höher egeschätzt als de eer efache Realserug ees Normals. De Festlegug für de adere sechs Bassehete soll her cht dargestellt werde. Se st u.a. m Hadbuch der dustrelle Meßtechk vo P. Profos [7] dargestellt. De gesetzlche Festlegug der sebe Grudehete des SI-Systems erfolgte für de Budesrepublk Deutschlad am I der täglche Meßpraxs werde ebe dese sebe Bassehete auch Ehete verwedet, de aus he zusammegesetzt sd. Se werde als kohärete abgeletete SI-Ehete bezechet. I der Tabelle - auf der Sete sd de wchtgste abgeletete Ehete aufgeomme. De achfolged erläuterte Begrffe Justere, Kalbrere ud Eche werde vo de Praktker häufg fehlerhaft verwedet. Justere (oder Abgleche) st ee Mmerug der Meßabwechuge, so daß de Beträge der Meßabwechuge de gegebee Fehlergreze cht überschrete. Es hadelt sch also.a. um ee Egrff das Gerät, also um ee blebede techsche Äderug des Meßgerätes bzw. der Maßverkörperug. Bespel: Vo eem Meßverstärker st e Verstärkugsfaktor vo 0 gefordert. Es wrd, eem Verglech mt eem Normalgerät etspreched höherer Geaugket, so lage a dem m Meßverstärker befdlchem Potetometer gedreht, bs der Verstärkugsfaktor 0 m Rahme der vorgegebee Toleraz errecht st.

10 . Grudbegrffe des Messes Größe Name Ehet durch adere SI-Ehete ausgedrückt durch SI-Bassehete ausgedrückt Fläche Quadratmeter m² m² Volume Kubkmeter m³ m³ Dchte Klogramm kg/m³ kg/m³ pro Kubkmeter Geschwdgket Meter m/s m/s pro Sekude Beschleugug Meter pro m/s² m/s² Sekudequadrat Kraft Newto N m kg s - Volumestrom Kubkmeter m³/s m³/s (Volumedurchfluß) pro Sekude Massestrom Klogramm kg/s kg/s Massedurchfluß) pro Sekude kematsche Quadratmeter m²/s m²/s Vskostät pro Sekude spezfsches Volume Kubkmeter pro m³/kg m³/kg Klogramm Drehzahl rezproke s - s - Sekude Frequez Hertz Hz s - Druck, Pascal Pa N/m² m - kg s - mech. Spaug Eerge, Arbet, Joule J N m m² kg s - Wärmemege Lestug, Eerge- Watt W J/s m² kg s -3 strom, Wärmestrom Celsustemperatur Grad Celsus C K Tabelle.: Kohärete, abgeletete SI-Ehete Bem Kalbrere hadelt es sch um de Feststellug der Maßabwechug des Meßgerätes. Es wrd ke justereder Egrff vorgeomme. Auch be der Kalbrerug wrd e Normalgerät höherer Geaugket (oder etsprechede physkalsche Fxpukte) zum Verglech heragezoge. Dese Vorgeheswese wrd auch "aschleße" geat. Be dem o. g. Bespel ees Meßverstärkers würde also ur festgestellt werde, daß de Verstärkug de Wert 9,9 hat. Allgeme gesagt, wrd de Azege ees Meßgerätes Egagswerte (z. B. Form eer Tabelle) zugeordet. Dese Tätgket wrd fälschlch auch als Echug bezechet.

11 Allgemee Messtechk Es hadelt sch jedoch ur da um ee Echug, we de Physkalsch Techsche Budesastalt (PTB) oder ee vo hr dazu zugelassee Isttuto dese Tätgket als ee amtlche Hadlug vollzeht. De Echug st ee (regelmäßge) amtlche Überprüfug ("Rchtghaltug") vo Meßmttel. Ist dese Prüfug erfolgrech, d. h. de Beträge der Meßabwechuge überschrete de Fehlergreze cht, so wrd se auf dem Meßmttel etspreched beurkudet (Stempel oder Aufkleber). De Gültgketsdauer eer Echug st befrstet ud so festgelegt, daß be sachgemäßer Hadhabug de Abwechuge de spezfzerte Greze blebe. Rechtzetg vor Ablauf der Frst (z. B. zwe Jahre) hat ee Nachechug zu erfolge. Ob e Meßmttel der Echpflcht uterlegt, hägt vom Esatzfall ab. Esatzfälle, für de ee Echpflcht gesetzlch vorgeschrebe st, sd z.b.: v Quattätsbestmmug vo Ware m Geschäftsverkehr (z. B. Kaufmaswaage, Volumestrom eer Zapfsäule für Trebstoff, Wasserzähler, aber auch der Wegstreckezähler m Lehwage) v Kotrolle m Gesudhetswese (z. B. Blutdruckmessug), auch für de Strahleschutz v Scherhetswese, auch für de Scherhet m Straßeverkehr (z. B. Fahrgeschwdgket) v für de Esatz als Normal Ist e Gerät echpflchtg, da wurde vor seer Markteführug see Echfähgket vo der PTB utersucht ud beschegt... Das Meßgerät als System, der Begrff der Übertragug De Umwadlug der Meßgröße ee usere Aforderuge etsprechede Meßwert, st oft e Weg mt vele Etappe. Be der Erläuterug der Grudbegrffe wurde gezegt, daß eer Meßerchtug ee Kette vo ezele Übertragugsgleder zugrude legt. I jedem Übertragugsgled fdet ee Umformug der Meßformato statt. Es ergbt sch daher e Utersched zwsche Egags- ud Ausgagssgal. De Übertragugsgleder et ma auch Wadler bzw. Meßwertwadler. De Umformug der Meßformato wrd auch als Abbldug bezechet. Ee Egagsgröße wrd über ee edeutge fuktoelle Zusammehag de Ausgagsgröße umgewadelt. ( ) x = f (.) A x E Dese Fukto muß edeutg (umkehrabbldbar) ud stetg se. Im efachste Falle st de Abbldug lear ud es gbt kee Verschebug des Nullpuktes (Bld -4a). Ergbt sch ee Verschebug des Nullpuktes ("offset"), da ergbt sch de allgemee Form der Geradeglechug (Bld -4b).

12 . Grudbegrffe des Messes 3 x A x A x A = a x E x A = a x E + b a 0 0 0,0 x E 0,0 a b x E Bld -4a: learer Zusammehag zwsche Bld -4b: learer Zusammehag zwsche Egags- u. Ausgagsgröße Egags- u. Ausgagsgröße mt Nullpuktverschebug Für dgtale Meßverfahre würde sch astelle der efache Gerade de Blder -4a ud -4b ee Treppefukto ergebe. Zur dgtale Meßwertbldug gehört auch der Quatserugsvorgag, der zu eer gazzahlge gerasterte Darstellug des Meßwertes führt. De Schrttwete der Rasterug wrd so gewählt, daß hr Efluß auf de Meßgeaugket hreched kle st. Sehr verbretet sd Aalog-Dgtal-Wadler mt eer Auflösug vo bt. Das üblche Spaugstervall 0-0 Volt wrd her Werte, also 4096 Werte gerastert [6]. Der Spaugsprug beträgt da,4 mv. Der durch de Rasterug begetragee maxmale Fehler st ±, mv. Um de volle Auflösug des Aalog-Dgtalwadlers auszuutze, muß de Meßgröße auch das gesamte Spaugstervall ausutze. Wrd z. B. m Sesor der zu messede Temperaturberech vo 0 C bs 30 C ee Spaugsberech vo,0-3,0 Volt abgebldet, da wrd das 0-Volttervall des Wadlers ur zu 0% ausgeutzt. Vo de möglche 4096 Werte werde ur etwa 400 ausgeutzt. I der Praxs arbetet der Wadler da mt ur 8 bs 9 bt. De Abbldug der Egagsmeßgröße das Spaugstervall muß also so gewählt werde, daß das Itervall (z. B. 0-0 Volt) ahezu vollstädg geutzt wrd. Dese Apassug bezechet ma als Normerug. Be dem m Kap.. vorgestellte Learserer st de Egagsgröße chtlear ud der fuktoelle Zusammehag der Abbldug st so defert, daß de Ausgagsgröße lear, also durch ee Gerade dargestellt wrd. I Bld -5 st der Zusammehag aufgezechet. De obere Kurve se de chtleare Egagsgröße (z. B. Thermsches Aemometer). De gestrchelte utere Kurve st de zur Learserug ötge Kele des Learserers. Se wrd gebldet durch Spegelug der obere (Egags-) Kurve a der 45 -Gerade. De Korrekturkurve st also spegelbldlch verzerrt, bzw. es st de verse Fukto. I de meste Fälle wrd heute cht mehr mt aaloge Learserer gearbetet. Astelle desse wrd de chtleare Egagsgröße ach der Aalog-Dgtal-Wadlug m Computer

13 4 Allgemee Messtechk rechersch learsert. Be der AD-Wadlug vo stark chtleare Egagsgröße ergebe sch Telbereche sehr klee Spaugsuterschede je Rasterschrtt. (Bld -5). Für dese Awedug komme auch de etwas teurere 4- oder 6-bt-Wadler zum Esatz (6 bt = Werte). x A chtleare Egagsgröße larserte Ausgagskele Kele des Learserers Bld -6: Wrkug ees Learserers x E Für ee saubere Aalog-Dgtal-Wadlug st mmer auch de Flterug des Aalogsgals erforderlch. Der dem Meßsgal ethaltee Nutzsgalatel soll vo dem ebefalls ethaltee Störatel (we z. B. Rausche) getret werde. Auf de Flterug wrd m Kaptel.5 äher egegage. Zwe Bespele für Meßsysteme mt Übertragugsgleder: Bem Haarhygrometer st de prmäre Wrkug der Äderug der relatve Feuchte ee Lägeäderug vo federbelastet egespate Haare. Über Hebel wrd dese Wegstrecke mechasch umgelekt ud bewrkt ee Zegerausschlag. De Stellug des Zegers relatv zur daruterlegede Skale läßt sch als Meßwert ablese. De Meßerchtug Haarhygrometer arbetet also mt zwe Wadlugsschrtte. Im erste Schrtt, dem Sesor, wrd de relatve Feuchte ee Läge der egespate Haare abgebldet. Es wrd de hygroskopsche Materalegeschaft der Haare ausgeutzt. Im zwete Schrtt wrd de Läge der Haare mt eem Hebelwerk ee Drehstellug des Zegers gewadelt. De Hzuahme der Skale mt eer passede Telug oder Skalerug ermöglcht de Ablesug des Meßwertes. Das Bld -7 dargestellte Drehmometmeßsystem arbetet mt sehr vel mehr Wadlugsschrtte. Das egetlche Meßproblem - Drehmomet eer roterede Welle - st her überlagert vo eem Dateübertragugsproblem. Das Gerät wrd zwsche dem Atrebsmotor ud der agetrebee Masche egebaut. Im Betreb

14 . Grudbegrffe des Messes 5 rotert es mt der Drehzahl der Masche. De Meßwerte müsse aus dem roterede System das ruhede System übertrage werde (de drahtlose Übertragug vo Meßwerte wrd als Telemetre bezechet). Adersherum muß de zur Messug beötgte elektrsche Eerge aus dem ruhede System herageschafft werde. Ee Möglchket, dese Übertragugsaufgabe zu löse, st der Esatz vo Schlefrge. Se uterlege jedoch mechaschem Verschleß ud es etsteht Verlustlestug. Für de Eergezufuhr werde auch Battere das roterede System egebaut. Be dem her vorgestellte System gescheht de Übertragug trasformatorsch. Ee Wechselspaug erzeugt eer Spule ee magetsche Fluß. Der magetsche Fluß gelagt zu eer zwete Spule. A deser ka weder ee Wechselspaug ausgekoppelt werde. I eem Trasformator wrd der magetsche Fluß mt hohem Wrkugsgrad durch das Ese (Trasformatoreblechpakete) geletet. Bld -7: Drehmometmeßsystem Her wrd der magetsche Fluß durch ee klee Luftspalt zwsche dem roterede ud dem ruhede System ausgetauscht. De Spule des roterede Systems sd als Rgspule a seem Umfag ageordet. Dadurch st de Größe des magetsche Flusses cht vo der Drehstellug abhägg. Im roterede ud m ruhede System gbt es je zwe Spule, ee Sede- ud ee Empfagsspule. Sede ud Empfagsspule werde gemesam auf ee

15 6 Allgemee Messtechk Ker gewckelt (bflar). De s roterede System übertragee elektrsche Eerge wrd ee präzse stablserte Glechspaug gewadelt. Mt hr werde de Kompoete der Meßschaltug versorgt. Das Drehmomet bewrkt ee federelastsche Deformato (Torso) der Torsoswelle. Damt verbude st ee Läge- ud Wderstadsäderug der auf der Welle applzerte Dehugsmeßstrefe. De Dehugsmeßstrefe sd eer Brückeschaltug ageordet ud ee Wderstadsäderug bewrkt ee klee Spaug. Nach eer Verstärkug wrd ee Wechselspaug erzeugt, dere Frequez der Größe der Egagsspaug proportoal st. Nach der Übertragug das ruhede System, ka de Frequez der Wechselspaug vo eem Frequezmeßgerät gemesse ud agezegt werde. Ee Zuordug des Frequezwertes zum Drehmomet st lecht über de Geradeglechug y = ax + b möglch, da das System lear arbetet. Zur Kozepto euer Sesore werde zuehmede Maße auch de Möglchkete der Mkroelektrok geutzt. Bem sog. tellgete Sesor ("smart sesor") st e komplettes Mkroprozessorsystem Tel des Sesors. Ohe her zu bewerte, wewet der Begrff Itellgez für e solches programmerbares System awedbar st, see see wchtgste Vortele geat: autoomer Systemtest ach dem Eschalte Überwachug der Kalbrerug, u. U. automatsche Nachkalbrerug m Betreb Möglchket, de Rohdate mt relatv aufwedge Verfahre weterzuverarbete (Reduzerug vo Fehler, Dateredukto z. B. Mttelwertbldug) Verarbetug mehrerer Sesorsgale zu eer Zelgröße we z.b. dem Wrkugsgrad Sgalform des Meßergebsses st gut für de (Fer-) Übertragug geeget Zetrale Vorgabe bzw. Umschaltug vo Betrebsparameter über das Datekabel Durch Akopplug a e Bussystem Reduzerug des Verkabelugsaufwades Als Bussystem kommt, ebe herstellerspezfsche Busse, mmer häufger der Europäsche Istallatosbus (geat: stabus oder EIB) zum Esatz. Es hadelt sch um ee efache Zwedrahtbus, desse Etwcklug uter der Schrmherrschaft der Frma Semes der 80er Jahre begoe wurde. Uterdesse wurde mehr als 3000 Alage über,5 Mlloe EIB-Produkte stallert. Alle Abeter vo EIB-Produkte habe sch der Brüssel resderede EIB-Assocato (uterdesse: Koex Assocato) zusammegeschlosse. Nachdem der Afagsphase de Schwerpukte de Bereche Lchtsteuerug, Jalousesteuerug usw. lage, sd uterdesse auch Kompoete für de Hezugsregelug erhältlch. Das Agebot wrd städg erwetert ud es wrd agestrebt, auch de Markt der Efamlehäuser ud Wohuge gehobee Stadards hezukomme.

16 .3 Meßfehler 7 Ab 989 wurde a dem Bussystem EHS (Esprt Home System) gearbetet. Das EHS verzchtete gaz auf de Busletuge ud beutzte als Kommukatosweg das für de Eergeversorgug verwedete Wechselspaugsetz (Powerle). De Bemühuge wurde uterdesse egestellt, da de Powerle-Dateübertragug zu vele Probleme hatte. Im Berech der Gebäudelettechk wrd mt dem BACet e Kommukatosprotokoll (EN ISO ) etablert, das auf mehrere Busses läuft ud auf dem sch Geräte verschedeer Hersteller mteader verbde lasse. Spezell de Verwedug des Bürokommukatosbusses (Etheret) verbretet sch sehr schell..3 Meßfehler Das deale Zel eer jede Messug, ämlch de wahre Wert eer Meßgröße zu ermttel, köe wr leder e erreche. Der gemessee Wert eer Meßgröße wrd mmer ee gewsse Abwechug - de Meßabwechug - vom wahre Wert habe. Dese Dfferez zwsche dem gemessee Wert ud dem wahre Wert wrd als Fehler bezechet. x = x (.3) x w mt x = Fehler (Meßabwechug, adere Schrebwese E) x = Meßwert (machmal auch als x a, Azegewert bez.) x w = Wahrer Wert I der DIN 39 [ - 4] wrd ebe dem Begrff Fehler auch das Wort Abwechug verwedet. Das der Praxs etablerte Wort Fehler bzw. Meßfehler sollte her jedoch bevorzugt werde. Nebe der Agabe des absolute Fehlers x ( der Dmeso der Meßgröße) st es üblch, de relatve Fehler x/x Prozet azugebe. De Agabe auf welche Größe bezoge wrd st uerläßlch. Führt ma ee Messug cht ur emal durch, soder vele Wederholuge, da ergbt sch für ee statoäre Meßgröße e Bld we das folgede: x x w E S E a µ Alaufphase Beharrugszustad Bld -8: Häufgketsvertelug eer Lägemessug

17 8 Allgemee Messtechk Nach eer Alaufphase der sch sowohl das Meßgerät als auch der Prozeß auf hre Beharrugszustad eschwge bzw. erwärme, ergebe sch mmer och Abwechuge der gemessee Werte vo dem als durchgezogee Le egezechete wahre Wert xw. Der als gestrchelte Le egezechete Erwartugswert m st defert als Mttelwert aus uedlch vele Ezelmessuge Der Fehler µ = lm x (.4) E = s x w = µ (.5) wrd als systematscher Fehler ud der Fehler E x µ (.6) a = wrd als zufällger Fehler bezechet (Idex a steht für aleatorsch, lat., vom Zufall abhägg, Idex steht für de -te Ezelwert aller Messuge). Der systematsche Fehler st reproduzerbar jedem Meßergebs ethalte. Er läßt sch also cht durch ee mehrfache Wederholug der Messug feststelle. Durch Verglech mt eem geauere Meßgerät leße sch der systematsche Fehler (zum Tel; abhägg vo der Geaugket des Verglechsmeßgerätes) ermttel. Im efachste Falle sd de Größe ud das Vorzeche des systematsche Fehlers kostat. Durch Eflüsse we Abutzug, Alterug, Äderug der Temperatur des Meßgerätes, köe sch zetlche Äderuge des systematsche Fehlers ergebe. Es wrd ach Möglchket versucht, dese Effekte zu vermede. Der zufällge Fehler bewrkt ee Streuug der Ezelwerte um ee mttlere Wert. De Größe ud das Vorzeche der be eer Ezelmessug auftretede Abwechug läßt sch cht vorhersage. Mt eer große Zahl vo Ezelmessuge ud durch de Awedug geegeter statstscher Methode läßt sch de Größe des zufällge Fehlers äherugswese ermttel. Der systematsche Fehleratel macht de Meßwert urchtg, der Atel a zufällge Fehler macht de Meßwert dagege uscher. De bede Atele am Fehler müsse uterschedlch behadelt werde. Systematsche Fehler müsse m Rahme der geforderte Geaugket quattatv erfaßt ud m Meßergebs durch ee Korrektur berückschtgt werde. Se sd also przpell korrgerbar. De Größe der zufällge Fehler wrd mt Hlfe der Statstk ermttelt ud mt dem Meßergebs agegebe.

18 .3 Meßfehler 9.3. Statsche Fehler, emprsche Beschrebug ud Klassfzerug I der Glechug.5 wrd der systematsche Fehler als Dfferez zwsche dem Erwartugswert ud dem wahre Wert defert. Zur Ermttlug der Größe des systematsche Fehlers ka dese Glechug cht tauge, da sowohl der wahre Wert x w der Meßgröße, als auch der aus uedlch vele Messuge ermttelte Erwartugswert (Glechug.4) cht zu blde sd. Als Schätzug auf de Erwartugswert wrd der Mttelwert x aus eer edlche Zahl vo Messuge bestmmt x = x = (.7) A de Stelle des wahre Wertes trtt e Meßergebs ees Verglechsmeßgerätes, desse Geaugket etspreched höher st. Ee detallerte Aalyse aller ezele Fehlerquelle st der Praxs cht möglch. Ege der möglche Ursache see her zusammegestellt: Uklare oder upräzse Aufgabestellug Egeschafte des Meßobjektes (z. B. Efluß der elastsche Deformato be der Lägemessug) Rückwrkug des Meßegrffes auf das Meßobjekt (z. B. der Strömugsgeschwdgketssesor verädert durch see Awesehet das h umgebede Strömugsfeld) Egug des Meßverfahres bzw. des ausgeutzte physkalsche Effektes Bedeug, Ablesug des Meßgeräts, Auswertug der Rohdate De größte Atel am systematsche Fehler habe de m Meßgerät (Meßmttel) auftretede Fehler. De wchtgste Fehleratele sd Bld.5a -.5f auf der Sete 0 zusammegestellt. Bespel: Ee Temperaturmeßerchtug für ee Raumklmaalage wrd mt eem PT000-Sesor betrebe. Nach der Istallato muß der Meßverstärker abgeglche werde. Ohe ee Abglech würde de m Bld.5a ud b dargestellte Fehler der Stegug ud des Nullpuktes der Kele auftrete. Zum Abglech deser bede Frehetsgrade müsse zwe verschedee Temperaturwerte kotrollert werde. Ma köte am Ort des Sesors mt eem geauere Referezthermometer de Kotrolle durchführe. Da jedoch e PT000- Sesor e geormter Sesor mt eer bekate Kele st, köe de zwe Temperature mt präzse Wderstäde smulert werde. Mt zwe Meßwerte läßt sch de Abwechug für Verstärkug ud Nullpuktverschebug ermttel. Nachdem de Abwechug durch Abgleche der etsprechede Potetometer besetgt wurde, wrd ee Kotrollmessug durchgeführt.

19 0 Allgemee Messtechk x A real x A soll real soll x E 0 x E a) Fehler der Kelestegug (Übertragugsfaktor bzw. Verstärkug) b) Verschebug des Nullpuktes be glecher Stegug x A real x A soll real x E 0 real x E c) Fehler durch Nchtleartät d) Hysteresefehler (Umkehrspae z. B. durch Spel de mech. Übertragugselemete) x A x A soll real 0 0 soll real x E 0 0 x E e) Fehler durch zu gerge Asprechempfdlchket f) Kappugsfehler (der Maxmalwert des Sesors wurde vo der Meßgröße überschrtte) Bld -9: Ursache für systematsche Fehler

20 .3 Meßfehler.3.. Statsche Fehler mt systematsche Ursache Auf de Geaugket eer Meßerchtug habe auch de Ebaubedguge Efluß. De Art we der Sesor a de Prozeß agekoppelt st, beeflußt de Meßgeaugket. De Aufgabe des Messtechkgeeurs ede daher cht a der Systemgreze der Meßerchtug. Bespel: De Geaugket eer Förderstrommessug mt eem Veturrohr hägt cht ur vo de Egeschafte des Veturrohres, soder auch vo de Zuströmbedguge ab. Ist de Zuströmug hschtlch des Profls der axale Geschwdgket ud der möglche Rotato des Fludes gestört, da ergebe sch Meßfehler. Rohrebaute, de solche Störuge verursache, sd T-Stücke, Scheber ud sbesodere Krümmer. Um der Praxs saubere Zuströmbedguge scherzustelle, werde gerade Zulaufstrecke eer Läge vo mdestes 0 Rohrdurchmesser gefordert. De Abrgug ees Temperatursesors a eem Rohr se e weteres Bespel für möglche Mägel der Prozeßakopplug. Ist zwsche dem Sesor ud dem Rohr e Luftabstad, da wrd sch e Temperaturgefälle estelle. Der Efluß der Temperatur des Raumes wrkt be fehleder Isolato des Sesors ebefalls störed. De Querempfdlchket des Sesors oder der sostge Gleder eer Meßkette auf adere Eflüsse als de zu messede Größe ka zu Meßfehler führe. Bespel: Der Wderstadswert der Meßwderstäde eem resstve Wegmeßsystem hägt prmär vo der Fahrposto ab. Es gbt jedoch auch ee Efluß der Umgebugstemperatur auf de Wderstadswert. Przpell leße sch deser Temperaturefluß ebefalls messe ud er köte kompesert werde. Wrd deser Aufwad cht getrebe, da muß be der Ermttlug des maxmale Fehlers de Auswrkug der höchste ud tefste Umgebugstemperatur berückschtgt werde..3.3 Statsche Fehler mt zufällge Fehlerursache. De Schwakuge der zufällge Fehler führe zu eer Vertelug der Ezelmeßwerte um de Erwartugswert, we es Bld -4 dargestellt st. Deses ascheed regellose Verhalte läßt sch ur mt statstsche Gesetze beschrebe. De Awedug der statstsche Theore setzt voraus, daß es sch cht um das Ergebs eer ezele Messug hadelt, soder daß ee möglchst große Zahl vo Messuge durchgeführt wurde. Ee Tabelle vo Meßwerte ka graphsch dargestellt werde, dem ma auf der X-Achse e Raster für de gemessee Größe vorgbt ud auf der Y-Achse de Azahl der das Teltervall fallede Messuge aufträgt. Als Bespel das Ergebs eer Lägemessug: Der Y-Maßstab deser sog. Häufgketsvertelug st her de absolute Azahl. Häufger, be der Darstellug als Hstogramm, wrd ee relatve Häufgket h(x) aufgetrage. De auf der

21 Allgemee Messtechk X-Achse aufgetragee Itervalle werde als Klasse bezechet. De Azahl der Messuge eer Klasse wrd bezoge auf de Klassebrete x ud auf de Gesamtazahl der Messuge. / x h( x) = (.8) Azahl ,0 3, 3, 3,3 m 3,4 Bld.0: Häufgketsvertelug eer Lägemessug Läge l Würde ma uter deale Bedguge mt uedlch vele Meßwerte de Klassebrete gege Null verkleer, da gge de Häufgketsvertelug ee Wahrschelchketdchtevertelug über. De Fläche uter der h(x)-kurve (Itegrato) würde da de Wert Es ergebe. De Wahrschelchket, daß e Meßwert m Itervall - bs + legt beträgt 00%. Für e egeschräktes Itervall ergäbe sch für de Wahrschelchket P demetspreched e Wert zwsche Null ud Es. x ( x) = h( x) P dx (.9) x De Form der Dchtefukto legt cht als mathematsche Glechug vor, ur aus eer Velzahl vo Messuge ergbt sch der Verlauf. Für meßtechsche Aufgabestelluge läßt sch dese ubekate Dchtefukto sehr guter Näherug durch de vo Karl Fredrch Gauß deferte Gaußsche Normalvertelug ersetze. Zur Überprüfug der Qualtät deser Näherug exstere Verfahre we Summehäufgketspaper ud Ch-Quadrat-Test, auf de her cht äher egegage wrd [7]. De Dchtefukto der Gaußvertelug st defert zu: ( x) ( x µ ) σ h = e (.0) π mt µ = Erwartugswert De Glechug.0 ud das Bld.7 ware auf dem (vo Aprl 99 bs Dezember 00 m Umlauf befdlche) zu Ehre vo Karl Fredrch Gauß ( ) herausgegebee 0-DM-Sche abgedruckt.

22 .3 Meßfehler 3 σ = Stadardabwechug Der Glechug.4 agegebee Erwartugswert µ basert auf uedlch vele Meßwerte. Für praktsche Berechuge wrd er äherugswese durch de Glechug.7 gegebee Mttelwert x ersetzt. De Stadardabwechug σ bzw. dere Quadrat σ² st defert: = = + ( x ) = h( x) σ lm µ x dx (.) Als praktscher Schätzwert für de Stadardabwechug wrd de Streuug S beutzt. De Streuug S wrd auch (wege der begrezte Zahl der Messuge) als emprsche Stadardabwechug bezechet. S = ( x x) = (.) Für de Esatz Computerprogramme wrd ee umgestellte Form der Glechug. verwedet S x = = = x (.3) Se hat gegeüber Gl.. de Vortel, daß der Mttelwert cht scho zu Beg der Rechug bekat se muß. Be der Messug der Geschwdgket turbuleter Strömuge ergbt sch ee wetere Bedeutug für de Stadardabwechug. Es hadelt sch cht ubedgt um ee Schwakugsbrete, de hre Ursache der uzurechede Geaugket des Meßverfahres hat, soder de Schwakugsbrete st bedgt durch de Itestät der turbulete Geschwdgketsfluktuatoe, also der Turbulez der Strömug. 0,40 h(x) 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 Bld.: Gaußsche Vertelugsdchtefukto für de Werte µ=3, σ=5 X

23 4 Allgemee Messtechk Durch Itegrato der Vertelugsfukto h(x) ergbt sch de Wahrschelchketsdchtefukto P(x). Se hat ee S-förmge Verlauf, vo ull am lke Rad der Vertelug auf Es a hrem rechte Rad asteged. Ee Itegrato der Glechug.0 st cht explzt möglch, P(x) läßt sch jedoch umersch bestmme. Zur Ermttlug der Uscherhet u( x ) des Mttelwertes x wrd das bestmmte Itegral der zugrudegelegte Vertelugsfukto Gaußsche Glockekurve beötgt. Itegratosberech st das Itervall um de Mttelwert. Für ± σ ergbt sch: + + σ ( x) dx = ( x) P = dx (.4) µ De relatve Azahl der Werte, welche eem ±-Itervall (vo -c bs +c) um de Erwartugswert µ lege, beträgt: c ±.0 σ ±.645 σ ±.96 σ,58 σ ± 3.0 σ ±4,0 σ ± σ P 68,6% 90,0% 95,0% 99,0% 99,73% 99,99% 00% Wrd e Mttelwert x mt Hlfe der Glechug.7 aus ur eem ezge Meßwert gebldet, da etspräche see Uscherhet u( x ) gerade der Streuug S. Für uedlch vele Meßwerte ergäbe sch der Erwartugswert µ mt der Uscherhet Null. Es glt s u ( x) = (.5) Oder mt Glechug. u ( x) = ( ) ( x x) = (.6) De Glechug.5 ermttelte Uscherhet des Mttelwertes x berückschtgt ur de ca. 68% der Meßwerte, welche m geate ± σ -Itervall sd. De statstsche Scherhet beträgt also 68%. Für ee höhere statstsche Scherhet, z. B. de der Praxs häufg gewählte 95%, ergbt sch ee größere Uscherhet des Mttelwertes. De Uscherhet vergrößert sch desem Fall um de Faktor c =,96. De Uscherhet des Mttelwertes würde sch zusätzlch vergrößer, we de Azahl der Messuge cht groß geug st. De obe geate Tabellewerte gelte exakt ur für uedlch vele Messuge. I praxstauglcher Näherug müßte mdestes 00 Messuge zugrudegelegt werde. Würde ma z. B. be eer 95%-ge statstsche Scherhet de Mttelwert aus ur dre Werte blde, da würde sch der Faktor vo,96 auf 4,3 vergrößer. Dese sog. Studet- Faktore für de gebräuchlchste statstsche Scherhete ud für kleere Werte der Azahl sd als t-faktore tabellert [8]. De vollstädge Glechug für de Uscherhet des Mttelwertes lautet: u ( x ) ( P, ) s t, = ± (.7)

24 .3 Meßfehler 5 Be mdestes Meßwerte ud P = 95% ergbt sch äherugswese: s u (.8).3.4 Dyamsche Fehler Ist ee Meßgröße zetlche Veräderuge uterworfe, da erweter sch de Aforderuge a das Meßgerät erheblch. Das Meßgerät hat cht, we bem Messe zetlch kostater Meßgröße, de Möglchket, sch auf dese Wert lage zu adaptere. Durch de Specherug vo mechascher, thermscher oder elektrscher Eerge ergbt sch m Meßgerät ee dämpfede Wrkug oder Träghet. Es ka also dazu komme, daß der agezegte Meßwert de zetlche Äderuge des Meßwertes cht schell geug folge ka. I der Regelugstechk stellt sch de Aufgabe, etspreched dem Zetverhalte eer Strecke e dazu passedes Zetverhalte des auf de Strecke ewrkede Reglers ezustelle. Her der Meßtechk st es ötg, das Meßgerät so auszuwähle bzw. ezustelle, daß durch de Dyamk der Meßgröße kee Verfälschug bzw. ke Verlust a Iformatoe auftrtt. Ee ausführlche Darstellug zur Behadlug dyamscher Meßfehler gbt Profos/Pfefer, (Sete 5-98), [7]..3.5 Fehlerkewerte der Praxs Zur Klassfzerug vo Meßgeräte werde sog. Güteklasse agegebe. Es hadelt sch um de relatve systematsche Fehler des Meßgerätes. Er wrd auf de feste Meßberechsedwert ud cht auf de aktuelle Meßwert bezoge. Für de aktuelle Meßwerte hadelt es sch daher um ee absolute Fehler. Ma uterschedet Güteklasse für sog. Femeßgeräte (0,; 0, ud 0,5 %) ud Güteklasse für Betrebsmeßgeräte (;,5;,5 ud 5 %). Der relatve Fehler wrd ermttelt: G xe relatver Fehler = x (.9) Ist z. B. der Meßberechsedwert x e = 80 de Güteklasse G = 0% ud der aktuelle Meßwert x = 6, da ergbt sch e relatver Fehler vo 0, 80 relatver Fehler = = 0,5 bzw. 50% 6 Der (Meßwert-) relatve Fehler wrd also um so größer, je kleer der Meßwert relatv zum Vollausschlag st.

25 Allgemee Messtechk 6 Selbstverstädlch müsse de vo de Hersteller agegebee Fehler uter zugelassee, aber ugüstgste Betrebsbedguge och egehalte werde. De maxmale Fehler, welche für e Gerät zulässg sd, werde als Garatefehlergreze bezechet. De Agabe sowohl des maxmal auftretede systematsche Fehlers E s als auch der Uscherhet u des statstsch gebldete Mttelwertes ( Abhäggket vo der gewählte statstsche Scherhet ud vo der Azahl der Messuge) st für de Praktker oft zu aufwedg. Es wrd, um de Agabe der gesamte Meßuscherhet E auf ur ee Zahl zu reduzere, de quadratsche Summe gebldet: u E E s + = (.0).4. Leare Regresso Oftmals wrd für ee ubekate fuktoale Zusammehag, vo dem ur dskrete Meßwerte bekat sd, ee beschrebede Glechug gesucht. Für dese äherugswese zu ermttelde Glechug wrd oft e Polyomasatz gewählt. Läßt sch a pror uterstelle, daß der Zusammehag lear st, da reduzert sch das Polyom auf ee Geradeglechug des Typs: b ax y + = (.) Nach der Gaußsche Methode der kleste Summe der Fehlerquadrate erreche sch de Werte a ud b aus: = = = = = = x x y x y x a (.) = = = x a y b (.3) Als Awedugsbespel se de auf der ächste Sete folgede Tabelle eer Kalbrermessug für Flügelradaemometer ageführt. Nebe de Meßwerte der Strömugsgeschwdgket x ud der Sgalfrequez y sd de ezele Werte für x², y² ud für xy agegebe. Weterh sd de jewelge Summe, de Koeffzete a ud b ud das Bestmmthetsmaß r² egetrage. Nebe a ud b ka als drtter Wert das Bestmmthetsmaß r² berechet werde. Deser Wert legt zwsche 0 ud ud st e Maß für de Güte der Apassug. De Apassug st um so besser je äher r² be legt. = = = = = = = = y y x x y x y x r (.4)

26 .4 Leare Regresso 7 x y x² y² xy m/s Hz 0,5 4,4 0,06 9,36, 0,5, 0,5 48,84 6, 3 0,75 9,4 0,56 376,36 4,55 4 6,8 78,4 6,8 5,5 4,,5.697,44 6,8 6 55, ,5 7,5 70,7 6, ,49 76, , ,09 55, , ,64 456, , ,09 73, Σ 0,5 6., , ,8.40,3 a = 9,3 b = -,8 r² = Im achfolgede Bld - sd de Meßwerte ud de aufgrud deser Meßwerte ermttelte Gerade der leare Regressosglechug y = ax + b aufgetrage. Bld -: Meßwerte eer Kalbrerug, Verglech mt der leare Regresso

27 8 Allgemee Messtechk.5 Flterug De wchtgste Aufgabe der Flterug st es, de m Frequezgemsch des Sgals ethaltee Iformatosatel, das Nutzsgal, vo de ebefalls ethaltee Störuge bzw. de be der Messug cht teresserede Sgalatele zu tree. Das Nutzsgal - Störsgal - Verhälts (SNR, sgal to ose rato) st ee Maßzahl für de Qualtät ees Sgals. Als bedeutedste Störeflüsse sd das Brumme (perodsch, eher ederfrequet) ud das Rausche (stochastsch, eher höhere Frequeze) zu ee. De Bldug vo zetlche Mttelwerte st auch möglch, ohe daß e symmetrscher Rauschatel durch e Flter uterdrückt wrd. De Stadardabwechug dagege ka durch ee cht elemerte Rauschatel mt eem zu große Wert ermttelt werde. Be der Messug m Frequezberech, se es de Messug dskreter Frequeze oder de Aalyse des Frequezspektrums, st ee dem Meßproblem agepaßte Flterug uabdgbar..5. Aaloge Flterug De Flterschaltug läßt sch als aktve oder als passve Schaltug aufbaue. Be eem passve Flter gescheht de Frequezbeeflussug ausschleßlch durch ohmsche Wderstäde, Kodesatore ud Spule. Für hochfrequete Sgale, we se z. B. der Ateetechk vorkomme, werde bevorzugt passve Flter verwedet. Be ederfrequete meßtechsche Aweduge domere de aktve Flter. De gewüschte dyamsche Egeschafte werde durch Rückkopplugschaltuge vo Operatosverstärker realsert. Das Flter beeflußt frequezabhägg de Ampltude des Sgals. Es wrd der Durchlaß- ud der Sperrberech uterschede. Außerdem kommt es zu eer frequezabhägge Phaseverschebug. De Phaseverschebug st praktsch ee Verzögerug, bzw. ee Laufzet des Sgals durch das Flter. De Greze zwsche dem Durchlaß- ud dem Sperrberech wrd als Eckfrequez bezechet. Üblch st ee Defto der Eckfrequez als de Frequez, be der de Ampltude um 3 db (also um etwa 30%) gegeüber dem Durchlaßberech abgeomme hat. De Brete des Übergagsbereches vo Durchlasse zu Sperre, der sog Ampltudeabfall, st e weteres wchtges Krterum für Flter. Der Ampltudeabfall wrd. a. db/oktave agegebe. Durch ee Sereschaltug mehrerer Flter mt glecher Eckfrequez läßt sch der Ampltudeabfall vergrößer. Es werde de folgede Flterwrkuge uterschede: Tefpaßflter, Hochpaßflter, Badpaßflter, Badsperre (Badpaß ud Badsperre sd etsprechede Kombatoe vo Tefpaß ud Hochpaß). Es werde Flter mt fester ud solche mt estellbarer Eckfrequez produzert. Be de sog. Mtlauf- oder Trackg-Flter wrd de Mttefrequez ees Badpaßflters

28 .5 Flterug 9 sgalfrequezabhägg geregelt. Be der wchtge Gruppe der Tefpaßflter werde - je ach Übertragugsverhalte - de Flterkozepte Gauß, Butterworth, Tschebycheff, Cauer ud Bessel uterschede [7]. Für de heute mmer häufger agewedete dgtale Verarbetug der Meßdate ka, spezell we es um Iformatoe m Frequezberech geht, auf ee passede Flterug vor der Aalog-Dgtal-Wadlug cht verzchtet werde. De Abtastrate ud de Eckfrequez des beötgte Tefpaßflters müsse zueader passe. De Abtastrate muß, etspreched dem Abtasttheorem vo SHANNON, mdestes doppelt so hoch se we de höchste m Sgal vorkommede Frequez. De maxmale Sgalfrequez, welche also der halbe Abtastfrequez etsprcht wrd auch als NYQUIST-Greze oder als NYQIST-Frequez bezechet. Außerdem muß der Alasg Effekt beachtet werde. De Ampltude vo Frequezatele des Sgals, de dem Itervall zwsche der halbe Abtastfrequez ud der Abtastfrequez lege, werde de Nutzfrequezberech he als Störug wrksam. Es hadelt sch um ee Spegelug auf der Frequezachse um de Pukt der halbe Abtastfrequez. Zur Uterdrückug solcher Frequezatele wrd e sehr stel wrkedes Tefpaßflter egesetzt. Dese sog. Atalasg-Flter verfüge über ee Ampltudeabfall a hrer Eckfrequez vo bs zu 0 db/oktave..5.. Dgtale Flterug We de Meßformato cht mehr als zetkotuerlcher Spaugsverlauf, soder als ee durch Abtastug (. a. mt eem Aalog-Dgtal-Wadler) erzeugte Zahlelste vorlegt, da ka se dgtal gefltert werde. De Dgtalflterug st also de Awedug ees Algorthmus auf ee puktwese deferte Datemege. Der Algorthmus, der auch allgeme als ee Übertragugsfukto agesehe werde ka, erzeugt als se Ergebs weder ee Datelste [9]. Oft wrd de Übertragugsfukto als e Softwareprogramm mplemetert. Es st aber auch möglch, de Übertragugsfukto durch ee Hardware zu realsere. Das be der Aalog-Dgtal-Wadlug ezusetzede Atalasg-Flter st jedoch uverzchtbar. Alle wetere Flteruge köe da dgtal durchgeführt werde. Be Sgale mt sehr uterschedlcher Maxmalfrequez arbetet ma häufg deoch mt eer feste maxmale Abtastfrequez. Das ebefalls für ee feste Eckfrequez ausgelegte Atalasg-Flter ud der AD-Wadler sd optmal aufeader abgestmmt. Ist de aktuelle Sgalfrequez da sehr vel edrger als de Frequez, mt der abgetastet wurde, da wrd ur jeder zwete oder ur jeder verte Wert verwedet. Für dese da, gegeüber der Samplgrate, (mehrfach) halberte Frequez ka de dazu passede Atalasg-Flterug da achträglch dgtal erfolge. Dese Vorgeheswese wrd als Oversamplg bezechet.

29 30 Allgemee Messtechk.6 Azege ud Regstrerug der Meßergebsse Werde de vo eer Meßkette produzerte Meßergebsse cht drekt für de Regelug eer Alage verwedet, da muß es ee Azege- oder Regstrermöglchket für de Date gebe. Das übergeordete Przp für de Aufberetug der Iformatoe sollte mmer de Erfordersse des Nutzers se. De Iformatostechk erlaubt es heute de sog. Mesch- Masche-Schttstelle velfältger Art bewußt zu gestalte. Potetell st de Zahl der be eer Messug produzerte Iformatoe stark gestege. Es bedarf der krtsche Aalyse ud der Plaug, welche Iformatoe welchem Umfag gefordert sd..6. Azege De klasssche aaloge Skaleazege arbetet mt eem Zeger der über der Skale e Stück Weg zurücklege ka. De Skale st mt Strche, Pukte oder mt Zahle klee Teltervalle utertelt. Dadurch läßt sch der Drehstellug des Zegers e Wert zuorde. Be passeder Beschrftug der Skale, ergbt sch drekt der Meßwert. De Geaugket st,. a. cht sehr hoch, de Azege st jedoch für de Mesche sehr überschtlch ud er ka de Iformato relatv schell aufehme. Zur Azege scheller perodscher Sgale st das Oszlloskop (Elektroestrahloszllograph) das wchtgste Azegegerät. Es erlaubt de Azege des zetlche Verlaufes ud auch vo Abhäggkete zweer Sgale utereader. De dgtale Azege vo Meßwerte erfolgt cht ur auf dem Computerbldschrm, soder auch mt Hlfe verschedester Dsplaytechke. Es komme zum Esatz: selbstleuchtede Lumeszezdodedsplays verschedee Farbe, (vo hte beleuchtete) Flüssgkrstalldsplays für ee farbge Azege hoher Qualtät, efarbge Plasmadsplays ud adere. Vele ehemals aaloge Azegfuktoe werde heute mt der dgtale Techk smulert. Mt eer Rehe vo dyamsch agesteuerte Leuchtdode wrd de Zegerbewegug achempfude. Mt de etablerte Softwarepakete (z. B. LabVew oder Vsual Desger) für de dgtale Meßdateverarbetug werde auf dem Bldschrm des Computers sog. vrtuelle Meßgeräte dargestellt. Dere Fukto, Größe ud Aufbau läßt sch eem efache Dalog jederzet veräder..6. Regstrerug Be de Regstrergeräte zegt sch ee deutlche Tredwede. De Geräte für de drekte Aufzechug aaloger Meßgröße verlere schell a Marktatel. De aufwedgere Techk der dgtal arbetede Geräte st eem derartge Presverfall uterworfe, daß de sehr aufwedge aaloge Aufzechugsgeräte kaum och ee Chace habe. Deoch se desem Kaptel mt de aaloge Aufzechugsgeräte begoe.

30 .5 Flterug 3 Koordateschreber arbete eem feststehede Paper m A4- oder m A3-Format. Der Schrebstft (oder auch mehrere Stfte) st zwe Rchtuge (x ud y, ee der Achse läßt sch auch als Zetachse utze) beweglch. De Stftservos werde vo eem seer Verstärkug estellbare Verstärker versorgt. Üblche Schrebgeschwdgkete lege be bs zu 0 cm/s. Leschreber habe ee Vorschubsteuerug für das Paper, welches vo eer Rolle kommed durch das Gerät trasportert wrd. Quer dazu wrd der Schrebstft vo eem Servo bewegt. Lagsam arbetede Geräte arbete mt eer Feder, de mt Tte gefüllt wrd. Efacher zu bedeede Geräte habe wartugsfree Tusche- oder Faserschreber, de ma schell austausche ka. Um de Schrebgeschwdgket deutlch zu erhöhe, wurde auch Geräte mt lchtempfdlchem Paper, be dee ee UV-Lchtquelle a de Stelle des Stftes trtt, etwckelt. Be de Puktschreber wrd astelle der durchgezogee Le ur regelmäßge Zetabstäde e Pukt auf das Regstrerpaper gebracht. Wchtgster Repräsetat st der Fallbügelschreber, be dem der beweglche Zeger ees Meßwerkes perodsch über eem Farbbad auf das Paper gedrückt wrd. De Mehrkaalverso arbetet mt mehrere Farbbäder verschedeer Farbe. Nebe de re aalog arbetede Geräte gbt es uterdesse auch Geräte, de mt Mkroprozessore ausgestattet sd. Dadurch leße sch de Möglchkete erheblch erweter. De Zahl der Kaäle beträgt 3 oder mehr, ee höhere maxmale Sgalfrequez wrd durch Zwschespecherug möglch, ezele Kaäle lasse sch rechersch mteader verküpfe, alphaumersche Ausgabe sd sowohl auf dem Paper als auch auf eem Dsplay möglch. De Ausgabe auf das Paper erfolgt we be de EDV-Drucker. Für sehr schelle Vorgäge sd Specheroszlloskop verfügbar. Dese Geräte sd mt AD- Wadler m Berech 00 MHz, 500 MHz ud mehr ausgestattet. De Azege erfolgt auf eem für Computer üblche Rasterbldschrm. Als Opto st. a. e Drucker aschleßbar oder er läßt sch ebaue. Zur Stadardausstattug gehört ee Schttstelle über de e Dalog zum Computer möglch st. Das bedeutedste Gerät für de Erfassug ud Verarbetug vo Meßdate st der Mkrocomputer selbst. Es gbt heute ee kaum och zu überschauede Markt a Zubehör für de PC. De Hardware für de Meßdateerfassug wrd sowohl als Eschubmodul als auch Form vo extere Gehäuse oder Baugruppeträger agebote. De Software wrd scho lage cht mehr projektspezfsch geschrebe. Große Pakete mt eem umfassede Lestugsagebot werde projektspezfsch kofgurert. Be ezele Pakete gescheht dese Kofgurato mt eer grafsche Beutzerschttstelle. Es werde Symbole (sog. Icos) aeadergereht ud mt eer Le verbude. Für e umfagreches Meßprojekt muß cht mehr ee ezge Programmzele geschrebe werde. De Redukto der Date

Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.

Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt. Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0

Mehr

Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik

Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert

Mehr

Allgemeine Prinzipien

Allgemeine Prinzipien Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege

Mehr

Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse

Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete

Mehr

(Markowitz-Portfoliotheorie)

(Markowitz-Portfoliotheorie) Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug

Mehr

Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes

Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug

Mehr

Methoden der computergestützten Produktion und Logistik

Methoden der computergestützten Produktion und Logistik Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere

Mehr

WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade

Mehr

Einführung Fehlerrechnung

Einführung Fehlerrechnung IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate

Mehr

die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).

die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n). Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.

Mehr

14. Folgen und Reihen, Grenzwerte

14. Folgen und Reihen, Grenzwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,

Mehr

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,

Mehr

Sitzplatzreservierungsproblem

Sitzplatzreservierungsproblem tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche

Mehr

Ordnungsstatistiken und Quantile

Ordnungsstatistiken und Quantile KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der

Mehr

Konzentrationsanalyse

Konzentrationsanalyse Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher

Mehr

2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression

2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso Dowloads zur Vorlesug 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2 Grudbegrffe zwedmesoale Stchprobe De Gewug vo mehrere Merkmale vo eer Beobachtugsehet führt

Mehr

Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):

Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste): Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge

Mehr

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung 8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher

Mehr

( ) := 1 N. μ 1 : Mittelwert. 2.2 Statistik und Polydispersität. Definition des k-ten Moments: Definition des k-ten zentralen Moments: 1 N

( ) := 1 N. μ 1 : Mittelwert. 2.2 Statistik und Polydispersität. Definition des k-ten Moments: Definition des k-ten zentralen Moments: 1 N . Charakterserug vo Polymere. moodsperse polydsperse cytochrom c Ege Bopolymere (Ezyme) habe ur ee ehetlche olekülgröße. moodsperse mometa st kee Polymersatosmethode verfügbar, de Polymere mt eer ehetlche

Mehr

EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG

EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug 04.05.006 Blatt 1 EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Aufgabe des physkalsche Praktkums st es, dem Studerede de Physk durch das Expermet äher zu brge, h mt der Methode

Mehr

Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit

Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit Bespelklausur BWLB TelMarketg 45MuteBearbetugszet BWLBBespelklausurTelMarketg Sete WchtgeHwese:. VOLLSTÄNDIGKEIT: PrüfeSeuverzüglch,obIhreKlausurvollstädgst(Aufgabe).. ABGABE: EsstdegesamteKlausurabzugebe.

Mehr

Formelsammlung für die Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik / Statistik

Formelsammlung für die Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik / Statistik Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Formelsammlug für de Lehrverastaltug rtschaftsmathemat / Statst zugelasse für de Klausure zur rtschaftsmathemat ud Statst de Studegäge der Techsche Betrebswrtschaft

Mehr

Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.

Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud

Mehr

D. Plappert Die Strukturgleichheit verschiedener physikalischer Gebiete gezeigt am Beispiel Hydraulik-Elektrizitätslehre

D. Plappert Die Strukturgleichheit verschiedener physikalischer Gebiete gezeigt am Beispiel Hydraulik-Elektrizitätslehre D. Plappert De Strukturglechhet verschedeer physkalscher Gebete gezegt am Bespel Hydraulk-Elektrztätslehre Erschee Kozepte ees zetgemäße Physkuterrchts, Heft 3, Schroedel Verlag 979. Eletug De megeartge

Mehr

= k. , mit k als Anzahl der Hypothesen A i und den Daten B. Bestimmtheitsmaß:!Determinationskoeffizient

= k. , mit k als Anzahl der Hypothesen A i und den Daten B. Bestimmtheitsmaß:!Determinationskoeffizient Ablehugsberech:!Sgfkazveau abhägge Gruppe: Gruppe vo Versuchspersoe, dee jede ezele Versuchsperso aus Gruppe A eer äquvalete Versuchsperso aus Gruppe B etsprcht (oder tatsächlch de gleche Versuchsperso

Mehr

Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung

Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Messfehler, Fehlerberechug ud Fehlerabschätug 1. Systematsche Fehler Systematsche Fehler et ma solche Fehleratele, welche

Mehr

AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion

AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff

Mehr

Verdichtete Informationen

Verdichtete Informationen Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)

Mehr

Zentrum für Sensorsysteme Projektbereich 5 "Anwendung von Sensoren in der Fertigungstechnik" Univ.-Prof. Dr.-Ing. Peter Scharf

Zentrum für Sensorsysteme Projektbereich 5 Anwendung von Sensoren in der Fertigungstechnik Univ.-Prof. Dr.-Ing. Peter Scharf UNIVERSITÄT SIEGEN Zetrum für Sesorssteme Projektberech 5 "Awedug vo Sesore der Fertgugstechk" Uv.-Prof. Dr.-Ig. Peter Scharf Utersuchug des Eflusses vo Algorthme auf de Messuscherhet be der D-Geometremessug

Mehr

Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen

Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert

Mehr

Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik

Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre

Mehr

Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ).

Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ). - rudlage der Elektrotechk - 60 22..04 4 Der komplzertere elektrsche lechstromkres 4. Kombato vo Verbraucher 4.. Sere- oder eheschaltug vo Wderstäde We ma mehrere Verbraucher ehe schaltet, so werde alle

Mehr

Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket

Mehr

(i) Wie kann man für eine Police mit Einmalbeitrag E = 20000 eine kongruente Deckung des Gewinnversprechens darstellen?

(i) Wie kann man für eine Police mit Einmalbeitrag E = 20000 eine kongruente Deckung des Gewinnversprechens darstellen? Aufgabe 1 (60 Pukte) De Gesellschaft XYZ betet als prvate Reteverscherug ee Idepolce gege Emalbetrag a mt eer Aufschubfrst vo zwe Jahre. Ivestert wrd e so geates IdeZertfkat, das be Retebeg das folgede

Mehr

Multiple Regression (1) - Einführung I -

Multiple Regression (1) - Einführung I - Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da

Mehr

Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten

Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe

Mehr

Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten

Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Geometrsches Mttel ud durchschttlche Wachstumsrate Modellaufgabe Übuge Lösuge www.f-lere.de Geometrsches

Mehr

Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen

Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass

Mehr

Lage- und Streuungsmaße

Lage- und Streuungsmaße Statstk für SozologIe Lage- ud Streuugsmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Beschrebug quattatver Date Um de emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der

Mehr

2. Mittelwerte (Lageparameter)

2. Mittelwerte (Lageparameter) 2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde

Mehr

Deskriptive Statistik - Aufgabe 3

Deskriptive Statistik - Aufgabe 3 Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der

Mehr

2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:

2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und: 1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De

Mehr

Einschlägige Begriffe zur Meßunsicherheit Dr. Wolfgang Kessel, Braunschweig

Einschlägige Begriffe zur Meßunsicherheit Dr. Wolfgang Kessel, Braunschweig Eschlägge Begrffe zur Meßuscherhet /7 Eschlägge Begrffe zur Meßuscherhet Dr. Wolfgag Kessel, Brauschweg De Aufstellug folgt cht der re lexografsch-alphabetsche Aordug. Verwadte Begrffe sd velmehr zu Gruppe

Mehr

4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern

4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:

Mehr

2 Regression, Korrelation und Kontingenz

2 Regression, Korrelation und Kontingenz Regresso, Korrelato ud Kotgez I desem Kaptel lerst du de Zusammehag zwsche verschedee Merkmale durch Grafke zu beschrebe, Maßzahle ür de Stärke des Zusammehags zu bereche ud dese zu terpretere, das Wsse

Mehr

Grundzüge der Preistheorie

Grundzüge der Preistheorie - - Grudzüge der Prestheore Elemetare Gedake der uterehmersche Prespoltk Verso 3. Harr Zgel 999-3, EMal: HZgel@aol.com, Iteret: http://www.zgel.de Nur für Zwecke der Aus- ud Fortbldug Ihaltsüberscht. Grudgedake.....

Mehr

Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)

Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1) Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug

Mehr

Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig

Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig Üerscht üer essuscherhetserechuge vo der Darstellug der Ehet des Drehmometes üer de Wetergae s h zur Aedug ud Bespel eer Ope-ource-Aedug dafür Drk Röske Physkalsch-Techsche Budesastalt, Brauscheg Darstellug

Mehr

1 k. 2.5 Logistischer Trend, Sättigungsmodelle Nichtlineare Regressionsanalyse, Bestimmtheitsmaß als Prüfmaß

1 k. 2.5 Logistischer Trend, Sättigungsmodelle Nichtlineare Regressionsanalyse, Bestimmtheitsmaß als Prüfmaß Thema Zetrehe Statstk - Neff INHALT. Zetreheaalyse, Tred Leare Regressosaalyse mt eem Eflussfaktor X = "Zet" De tredberegte Sasoschwakuge e = s = y ŷ De mttlere Sasoschwakuge s j k k = = s De rreguläre

Mehr

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Name: Vorame: Matrkel-Nr.: BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Itegrerter Studegag Wrtshaftswsseshaft Klausuraufgabe zur Hauptprüfug Prüfugsgebet: BWW 2.8

Mehr

Verteilungen und Schätzungen

Verteilungen und Schätzungen Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse

Mehr

Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks

Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft

Mehr

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.

Mehr

Klausur Betriebswirtschaftslehre PM/B

Klausur Betriebswirtschaftslehre PM/B Isttut für Fazwrtschaft, Bake ud Verscheruge, Karlsruher Isttut für Techologe Klausur Betrebswrtschaftslehre PM/B Achtug: Ihalte der Vorlesug köe Zukuft ggf. cht mehr kosstet mt de Ihalte deser Klausur

Mehr

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Sozalwsseschaftlche Methode ud Statstk I Uverstät Dusburg Esse Stadort Dusburg Itegrerter Dplomstudegag Sozalwsseschafte Skrpt zum SMS I Tutorum Vo Mark Lutter Stad: Aprl 004 Tel I Deskrptve Statstk Mark

Mehr

Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung

Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt

Mehr

Entwicklung einer Dispatcherfunktion zur Überprüfung von Nominierungsmengen in der Betriebsführung von Erdgasspeichern

Entwicklung einer Dispatcherfunktion zur Überprüfung von Nominierungsmengen in der Betriebsführung von Erdgasspeichern AMMO Berchte aus Forschug ud Techologetrasfer Etwcklug eer Dsatcherfukto zur Überrüfug vo Nomerugsmege der Betrebsführug vo Erdgassecher Prof. Dr. sc. tech. Dr. rer. at. R. Ueckerdt Dr.Ig. H.W. Schmdt

Mehr

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation) 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe

Mehr

Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln

Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln 5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst

Mehr

2.2 Rangkorrelation nach Spearman

2.2 Rangkorrelation nach Spearman . Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt 7-7 7. Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK STATISTISCHE GRUNDBEGRIFFE Statstk gledert sch zwe Telbereche De Beschrebede

Mehr

REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien

REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien REGRESSION Ee awedugsoreterte Eführug Marcus Hudec Chrsta Neuma Uterstützt vo Isttut für Statstk der Uverstät We Eletug De Regresso st e velfältg esetzbares Werkzeug zur Beschrebug ees fuktoale Zusammehags

Mehr

IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG

IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS 09.0.009 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG. Überblck ) I desem Katel wede wr us der Aalyse der Verscherugsuterehmug

Mehr

1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen

1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen .. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt

Mehr

Schiefe- und Konzentrationsmaße

Schiefe- und Konzentrationsmaße Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe

Mehr

19. Amortisierte Analyse

19. Amortisierte Analyse 9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.

Mehr

Gliederung: A. Vermögensverwaltung I. Gegenstand II. Ablauf III. Kosten. Jan Lenkeit

Gliederung: A. Vermögensverwaltung I. Gegenstand II. Ablauf III. Kosten. Jan Lenkeit Glederug: A. Vermögesverwaltug I. Gegestad II. Ablauf III. Koste B. Grudzüge der Kaptalmarkttheore I. Portefeulletheore 1. Darstellug. Krtk II. Captal Asset Prcg Model (CAPM) 1. Darstellug. Krtk III. Arbtrage

Mehr

Statistik. (Inferenzstatistik)

Statistik. (Inferenzstatistik) Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)

Mehr

Eigenwerteinschließungen I

Eigenwerteinschließungen I auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl

Mehr

1.4 Wellenlängenbestimmung mit dem Prismenspektrometer

1.4 Wellenlängenbestimmung mit dem Prismenspektrometer F Lorbeer ud Ardt Quer 5.0.006 Physkalsches Praktkum für Afäger Tel Gruppe Optk.4 Wellelägebestmmug mt dem Prsmespektrometer I. Vorbemerkug E Prsmespektrometer st e optsches Spektrometer, welches das efallede

Mehr

Einführung in Statistik

Einführung in Statistik Eführug Statstk 4. Semester Begletedes Skrptum zur Vorlesug m Fachhochschul-Studegag Iformatostechologe ud Telekommukato vo Güther Kargl FH Campus We 2009 Ihaltsverzechs Eführug Statstk Eletug. Deskrptve

Mehr

Innovative Information Retrieval Verfahren

Innovative Information Retrieval Verfahren Thomas Madl Iovatve Iformato Retreval Verfahre Hauptsemar Wtersemester 004/005 Überblc Formales Vortrag Ausarbetug Scheerwerb Termplaug Kurzvorstellug Theme Themevergabe Wederholug Grudlage Gewchtug ud

Mehr

Investmentfonds. Kennzahlenberechnung. Performance Risiko- und Ertragsanalyse, Risikokennzahlen

Investmentfonds. Kennzahlenberechnung. Performance Risiko- und Ertragsanalyse, Risikokennzahlen Ivestmetfods Kezahleberechug erformace Rsko- ud Ertragsaalyse, Rskokezahle Gültg ab 01.01.2007 Ihalt 1 erformace 4 1.1 Berechug der erformace über de gesamte Beobachtugzetraum (absolut)... 4 1.2 Aualserug

Mehr

( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen

( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese

Mehr

Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen

Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen Ee efache Formel für de Flächehalt vo Polygoe Peter Beder Set ege Jahre hat der Mathematkddaktk de sogeate emprsche Uterrchtsforschug mt quattatve ud qualtatve Methode Kojuktur, währed stoffddaktsche Arbete

Mehr

Nagl, Einführung in die Statistik Seite 1

Nagl, Einführung in die Statistik Seite 1 Nagl, Eführug de Statstk Sete Eletug Damt der Wert des Faches Statstk für wsseschaftlche Utersuchuge besser gesehe werde ka, wrd zuerst e kurzer Abrß über de Ablauf eer wsseschaftlche Utersuchug voragestellt.

Mehr

Marketing- und Innovationsmanagement Herbstsemester 2013 - Übungsaufgaben Lesender: Prof. Dr. Andreas Fürst

Marketing- und Innovationsmanagement Herbstsemester 2013 - Übungsaufgaben Lesender: Prof. Dr. Andreas Fürst Marketg- ud Iovatosmaagemet Herbstsemester 2013 - Übugsaufgabe Leseder: Prof. Dr. Adreas Fürst Isttut für Marketg ud Uterehmesführug Abtelug Marketg Uverstät Ber Ihaltsverzechs 1 Eletug Allgemee Grudlage

Mehr

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation) Problemstellug: Bsher: Gesucht: 6. Zusammehagsmaße (Kovaraz ud Korrelato) Ee Varable pro Merkmalsträger, Stchprobe x1,, x Maße für Durchschtt, Streuug, usw. Bespel: Kurse zweer Akte ud a 9 aufeader folgede

Mehr

Skript Teil 7: Polygonzug

Skript Teil 7: Polygonzug Prof. Dr. tech. Alfred Mschke Vorlesug zur Verastaltug Vermessugskude Skrpt Tel 7: Polgozug Der Begrff Polgo letet sch aus Pol = vel ud Go = Wkel ab ud bedeutet uregelmäßges Veleck. Das Polgoere det zum

Mehr

Lorenz' sche Konzentrationskurve und Disparitätsindex nach Gini

Lorenz' sche Konzentrationskurve und Disparitätsindex nach Gini Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Lorez' sche Kozetratoskurve ud Dspartätsdex ach G Übuge Aufgabe Lösuge www.f-lere.de Begrff Lorez'

Mehr

Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik

Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik Ralf Kor Elemetare Fazmathematk Ihaltsverzechs. Eletug Exkurs : Akte Begrffe, Grudlage ud Geschchte. We modellert ma Aktekurse? 4. Edlche E-Perode-Modelle 6. Edlche Mehr-Perode-Modelle 3.3 Das Black-Scholes-Modell

Mehr

Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen (1)

Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen (1) Mehrdmesoale Häufgketsverteluge () - De Begrffe uvarat ud bvarat - Vo uvarate (edmesoale) statstsche Aalyse sprcht ma, we pro Perso ur e Merkmal tabellarsche oder grafsche Häufgketsverteluge oder be der

Mehr

BANK ONLINE Zentraler Bankdaten-Transfer

BANK ONLINE Zentraler Bankdaten-Transfer BANK ONLINE Zetraler Bakdate-Trasfer Ihaltsverzechs 1 Lestugsbeschrebug... 3 2 Itegrato das Ageda-System... 4 3 Hghlghts... 5 3.1 Efachste Aktverug... 5 3.2 Abruf vo Kotoauszüge... 6 3.3 Bakeübergrefede

Mehr

Fernstudium. Technische Thermodynamik Teil: Energielehre

Fernstudium. Technische Thermodynamik Teil: Energielehre Fakultät Maschewese Isttut für Eergetechk, Professur für Techsche Therodyak Ferstudu Techsche Therodyak Tel: Eergelehre Prof. Dr. C. Bretkopf Wterseester 2012/13 Adstratves Techsche Therodyak Eergelehre

Mehr

8. Mehrdimensionale Funktionen

8. Mehrdimensionale Funktionen Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS05.05.05 8. Mehrdmesoale Fuktoe Wer Greze überschretet, versucht, ee eue Dmeso vorzustoße. [Dael Mühlema, (*959), Übersetzer ud Aphorstker] Ege Leute sollte cht dü werde,

Mehr

Stoffwerte von Flüssigkeiten. Oberflächenspannung (PHYWE)

Stoffwerte von Flüssigkeiten. Oberflächenspannung (PHYWE) Stoffwerte vo Flüssgkete Oberflächespaug (PHYWE) Zel des Versuches st, de Platzbedarf ees Ethaol-Moleküls der Grezfläche zwsche Dapfphase ud Lösug aus der Kozetratosabhäggket der Oberflächespaug be wässrge

Mehr

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Quattatve BWL. el: Fazwtschaft Mag. oáš Sedlačk Lehstuhl fü Fazdestlestuge Uvestät We Quattatve BWL: Fazwtschaft Ogasatosches Isgesat wd es 6 ee gebe (5 Ehete + Klausu Klausu fdet a D 7. Jaua 009 statt

Mehr

Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1

Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1 Ivesttosetscheduge m Mult-Chael-Customer-Relatoshp Maagemet Has Ulrch Buhl, Na Kreyer, Na Schroeder Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, Wrtschaftsformatk & Facal Egeerg Kerkompetezzetrum Iformatostechologe

Mehr

Physikalische Chemie T Fos

Physikalische Chemie T Fos Physkalsche Cheme T Fos ISCHPHSEN.... ZUSENSETZUNG VO ISCHPHSEN.... EXTENSIVE - UND INTENSIVE GRÖßEN... 4.. Partelles olvolume V m... 7.3 DS ROULTSCHE GESETZ... 0.4 KOLLIGTIVE EIGENSCHFTEN....4. De Sedeuktserhöhug...

Mehr

Kommentierte Formelsammlung der deskriptiven und induktiven Statistik für Wirtschaftswissenschaftler

Kommentierte Formelsammlung der deskriptiven und induktiven Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Kommeterte Formelsammlug der deskrptve ud duktve Statstk für Wrtschaftswsseschaftler Prof. Dr. Iree Rößler Prof. Dr. Albrecht Ugerer Wetere Bespele ud ausführlche Erläuteruge sowe detallerte Lösuge der

Mehr

Vorlesung Multivariate Statistik. Sommersemester 2009

Vorlesung Multivariate Statistik. Sommersemester 2009 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Free Uverstät Berl Charté Uverstätsmedz Berl Bachelor Studegag Boformatk Vorlesug Multvarate Statstk Sommersemester 009 Prof. Dr. rer. at. Peter Martus Isttut für

Mehr

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Ole- ud a de müdlche Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. A der schrftlche Klausur (Ope-book-Prüfug)

Mehr

Katalog MOVIDRIVE MDX60B / 61B. Ausgabe 06/2005 DA360000 11324007 / DE

Katalog MOVIDRIVE MDX60B / 61B. Ausgabe 06/2005 DA360000 11324007 / DE Getrebemotore \ Idustregetrebe \ Atrebselektrok \ Atrebsautomatserug \ Servces MOVIDRIVE MDX60B / 61B DA360000 Ausgabe 06/2005 11324007 / DE Katalog SEW-EURODRIVE Drvg the world 1 Systembeschrebug... 4

Mehr

Quantitative Geochemie mit Excel

Quantitative Geochemie mit Excel Kompaktkurs Quattatve Geocheme mt Excel Vom Meßwert zur petrogeetsche Modellerug geochemscher Date. ag: DAENAUFBEEIUNG Dateegabe ud Normerug Statstsche Kegröße Auswertug ees ICP-MS Datesatzes (Stöchometrsche

Mehr

Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung

Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung Regressosrechug ud Korrelatosrechug Beschrebede Statstk Modul : Probleme be der Abhäggketsaalyse Problem : Es gbt mest cht ur ee Eflussfaktor (Probleme sd selte mookausal ) A Ursache() Wrkug B C - efache

Mehr

Korrelations- und Assoziationsmaße

Korrelations- und Assoziationsmaße k m χ : j l r +. Zusammehagsmaße ( o e ) jl jl e jl Korrelatos- ud Assozatosmaße e jl 5 Merkmal Y Summe X b b m a H (a,b) H (a,b). a H (a,b) H (a,b). Summe.. Zusammehagsmaße Eführug Sche- ud Noses-Korrelato

Mehr

Hochschule München Fakultät Wirtschaftsingenieurwesen Datenanalyse

Hochschule München Fakultät Wirtschaftsingenieurwesen Datenanalyse Hochschule Müche Fakultät Wrtschaftsgeeurwese Dateaalyse Prof. Dr. Volker Abel Verso. Ihaltsverzechs Ihaltsverzechs. Auswertug ud Modellerug vo Zähldate.... Auswertug vo prozetuale Häufgkete.... Auswertug

Mehr

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme

Mehr

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. Stad 1. Jul 2010. Äderuge vorbehalte. Formelsammlug Fazplaer

Mehr

Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004

Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Vaazaalye Mt de efache Vaazaalye (ANOVA Aaly of Vaace) wd de Hypothee gepüft, ob de Mttelwete zwee ode mehee Stchpobe detch d, de au omaletelte Gudgeamthete gezoge wede, de

Mehr