Entwurf und Realisierung analoger und digitaler Filter

Transkript

1 Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer Entwurf und Relisierung nloger und digitler Filter Im Rhmen dieses Versuchs wollen wir uns mit der Dimensionierung von nlogen und digitlen Filtern und mit der Filterung und Auswertung von Messdten befssen. Filterung ist zum Beispiel ist folgenden Fällen notwendig: Anti-Alising-Filter in btstenden Anlog-Digitl-Konvertersystemen Ausblenden von Frequenzbereichen, in denen Störsignle vorliegen Glättung von Messdten, z.b. zum Zwecke der Mittelung Extrhierung von spektrl getrennten Signlkomponenten Mthemtische Opertionen wie Differenzierung und Integrtion Korrektur eines Signls mit beknntem Mngel (z.b. Verzerrung des Frequenzgngs) Um für eine bestimmte Anwendung ds idele Filterverfhren uswählen und ds Filter dimensionieren zu können ist eine Kenntnis der ypen von nlogen und digitlen Filtern mit ihren besonderen Eigenschften notwendig. Außerdem ist zur Dimensionierung eines Filters oft eine bechtliche Menge n Mthemtik erforderlich. Glücklicherweise knn die Berechnung eines Filters mit Hilfe geeigneter Softwre sehr vereinfcht werden. Rechenprogrmme wie MALAB bietet eine Menge von Hilfsprogrmmen für diese Zwecke n. Im Rhmen dieses Versuchs wollen diese Progrmme nutzen und für ein pr usgewählte Beispiele Filter uswählen, dimensionieren und uf einem digitlen Signlprozessor (DSP) testen. Vorbereitung: Folgende Eigenschften der Filter dienen ihrer Chrkterisierung: Im Frequenzbereich: Amplitudengng Phsengng Gruppenlufzeit Im Zeitbereich: Sprungntwort Impulsntwort bzw. Gewichtsfunktion Signlverzögerung ( bzw. Gruppenlufzeit) Mchen sie sich z.b. nhnd des Stndrdwerks ietze / Schenk: Hlbleiter-Schltungstechnik und der Dokumenttion zu MALAB die prinzipielle Funktionsweise nloger und digitler Filter klr und betrchten Sie sich die Möglichkeiten der prktischen Relisierung. Die Aufgbe, ein Filter zu entwerfen zerfällt in folgende eilufgben: Filtertyp uswählen Die notwendige Filterordnung uswählen bzw. berechnen Ds Filter dimensionieren Die resultierenden Eigenschften des Filters dokumentieren

2 Signl- und Messwert- Verrbeitung Anloge und digitle Filter Dr. K. Schefer Anloge Filter: Anloge Filter werden in der Elektronik oft verwendet und lssen sich ls Netzwerke von ktiven und pssiven Buelementen relisieren. In der Meßtechnik verwendet mn z.b. sehr oft Schltungen mit gegengekoppelten Opertionsverstärkern. Linere nloge Filter lssen sich durch ein Polynom im Frequenzbereich ( Lplce- rnsformtion), ihre Übertrgungsfunktion ( Lplce trnsform trnsfer function ), beschreiben. (Die MALAB Dokumenttion verwendet den Buchstben s nsttt p ). 2 3 m + ms + m2s + m3s + K Hs () 2 3 n + n s+ n s + n s + K 2 3 In MALAB wird ein solches Polynom über zwei Vektoren beschrieben (bechten Sie die invertierte Reihenfolge der Koeffizienten!): Zähler: b [... m m m ] 2 Nenner: [... n2nn ] Diese Form knn mn uf verschiedene Weise umrechnen und erhält dnn durch z.b. Prtilbruchzerlegung eine Summendrstellung und durch Pol/Nullstellen-Zerlegung eine Produktdrstellung. Die Umrechnungen sind oft mühsm und fehlerträchtig. Glücklicherweise beherrschen Progrmme wie MALAB diese Methoden besser ls wir und mchen die Mthemtik zum Kinderspiel. Allerdings tugt jedes Werkzeug höchstens so viel wie sein Benutzer und wir müssen uns im klren sein, wie die Methoden rbeiten, die wir benutzen. Digitle Filter: Digitle Filter sind mthemtische Algorithmen, die eine zeitdiskrete Folge von Eingngswerten x(i) ufnehmen und drus eine Folge von Ausgbewerten y(i) berechnen. Wie im nlogen Fll gibt es unzählige Arten, diese Filter zu implementieren. Wir wollen uns hier nur mit der Auslegung linerer zeitinvrinter digitler Filter mit befssen. Im Gegenstz zu den nlogen Filtern, die sich über Differentilgleichung beschreiben lssen, wird ein digitles Filter durch eine Differenzengleichung beschrieben, die die Folge der Eingngswerte x()... x(n) mit der Folge der Ausgngswerte y()... y(...) mthemtisch verbindet: y( k) + y( k ) y( k n) b x( k) + b x( k ) +... b x( k m) 2 n Für eine beliebige Folge von Werten x()... x(n) führt mn nun die z-rnsformierte ein: 2 xz ( ) x( ) + x( ) z + x( 2) z +... xk ( ) z k k Zum Glück knn mn für prktisch lle wichtigen Funktionen us der unendlichen Summe eine geschlossene Drstellung der z-rnsformierten finden, so erhält mn z.b.: für den Einheitsimpuls x(n){...} xz ( ) für den Einheitssprung x(n){...} m

3 Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer z xz ( ) z für eine mit dem Exponenten exponentiell uf- oder bklingende Folge x(n){ ² ³...}: z xz ( ) z für eine um einen kt verzögerten Einheitsimpuls (Impulsntwort einer otzeit ): xz ( ) z In nlogen Fll ist die Übertrgungsfunktion die Lplce-rnsformierte der Impulsntwort bzw. Gewichtsfunktion. Genuso ist im digitlen Fll die Übertrgungsfunktion die z-rnsformierte der Impulsntwort. Mit Hilfe der z-rnsformtion knn mn die Differenzengleichung eines digitlen Filters über seine z-trnsformierte Übertrgungsfunktion ( trnsfer function ), ds Polynom H(z) beschreiben. Dieses Polynom drf keinesflls mit seinem nlogen Kollegen H(s) verwechselt werden! 2 3 b + b2z + b3 z + b4 z + K H( z) z + z + z + K Mn knn us der z-trnsformierten Übertrgungsfunktion direkt den Frequenzgng berechnen, es gilt nämlich: H( ω ) H( z) z exp( jω ) Im Signlflußpln sieht eine Implementierung, hier ein Filter dritter Ordnung folgendermßen us : z - z - z - b b 2 b 3 b ( ) z - z - z - Die Multipliktion mit z - bedeutet einfch eine Verzögerung um einen kt. Ds Ausgngssignl wird lso ls eine mit den Koeffizienten i und b i bewertete Summe von ktuellen und zeitverzögerten Eingngs- und Ausgngswerten berechnet. Mn knn nch rekursiven und nicht rekursiven Filtern unterscheiden: Sind lle -Koeffizienten gleich null, so hndelt es sich um ein moving Averge MA-Filter, um eine Verllgemeinerung des gleitenden Durchschnitts. Diese Filter hben einige besondere Eigenschften, insbesondere hben sie ein zeitlich limitiertes Gedächtnis und dmit eine endliche Einschwingzeit uf einen sttionären Endwert. Mn nennt sie uch FIR-Filter (Finite Impulse Response). Wenn die Koeffizienten symmetrisch bzw. ntisymmetrisch sind 2, dnn hben diese Vergleichen Sie ml, wie die Sprungntwort für ein System mit Zähler: b und Nenner: [ ] im nlogen und im digitlen Fll ussieht und überlegen Sie für beide, wie mn sie relisiert! 2 symmetrisch bedeutet ()(n), (2)(n-)... ntisymmetrisch bedeutet: () - (n),...

4 Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer Filter hben eine von der Frequenz unbhängige Gruppenlufzeit, ds ist bei bestimmten Anwendungen von großem Vorteil. Anlog dzu gibt es Filter, bei denen nur der untere rekursive Zweig verwendet wird, sie heißen utoregressive Filter (AR-Filter). Diese Filter hben im llgemeinen (ber nicht immer) eine zeitlich unbegrenzte Impulsntwort und heißen dnn IIR-Filter (Infinite Impulse Response). Vorteil: Meistens kleinere Filterordnung notwendig ls beim MA-Filter, kleinere Signlverzögerung. Nchteil: Verzerrung der Signlform durch frequenzbhängige Gruppenlufzeit. Im llgemeinen Fll sind sowohl die - ls uch die b- Koeffizienten ungleich null, dnn hndelt es sich um ein utoregressives ARMA Filter. Zusmmenhng zwischen Lplce- und z-rnsformtion: Die z-rnsformtion dient zur Beschreibung zeitdiskreter Signlwerte. Aus einer zeitkontinuierlichen Signlfunktion x(t) wird durch Abtstung, ds heißt durch Multipliktion mit einer Folge von Deltimpulsen, eine zeitdiskrete Funktion x * (t) gewonnen. Die Abtstung zu den Zeitpunkten,, 2... ergibt: x * () t x( k ) δ( t k ) k Bei diesem Prozeß muß ds Shnnonsche Abtsttheorem eingehlten werden. Ds Signl x(t) muß demnch eine Bndbreite hben, die nicht größer sein drf ls B/(2). Die Lplce-rnsformierte des Deltimpulses ist beknntlich, für die zeitverzögerten Deltimpulse erhält mn: L( δ( t k )) e ns Die Lplce-rnsformierte dieses bgetsteten Signls ist dher gegeben durch folgende Summe von Deltimpulsen: * * Lx ( ( t)) x( s) xn ( ) e n ns Führt mn nun die Abkürzung z : exp(s ) ein, so erhält mn die z-rnsformierte von x*, nämlich x(z): xz ( ) xn ( ) z n n Genu wie bei der Lplce-rnsformtion gewinnt mn die z-rnsformierten im llgemeinen durch Nchschlgen in einer Korrespondenztbelle. Ds Signl x * (t) ist nch wie vor ein nloges, llerdings zeitdiskretes Signl. Mn knn es ber ohne Verlust n Informtion durch einen Anlog-Digitl-Converter in eine Folge von zeit- und mplitudendiskreten Zhlen umwndeln, die dnn in geeigneter Weise digitl weiter verrbeitet werden können. Mit Hilfe eines Digitl-Anlog-Converters und eines Rekonstruktionsfilters knn mn ds Signl bei Bedrf jederzeit wieder in einen Anlogwert zurückverwndeln.

5 Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer Beispiel: Dimensionierung eines P: Am Beispiel des iefpsses erster Ordnung (P) knn mn den Übergng von der nlogen in die digitle Welt gut nchvollziehen 3 : Die Übertrgungsfunktion des P ist: Gs () + s Die Gewichtsfunktion (Impulsntwort bei Anregung mit einem Delt-Impuls) ist: t gt () e Zu den Abtstzeitpunkten tn erhält mn: gn ( ) e n Nun geht s ns z-rnsformieren und Umformen: gz ( ) e e n n n e e e e z e e n n + s + s + s + s ns n + z Also knn mn einen iefpß erster Ordnung digitl relisieren, indem mn ein rekursives Filter mit der oben berechnenten Übertrgungsfunktion relisiert und den Koeffizienten wie berechnet einstellt. Dieses Digitlfilter ht dnn exkt die gleiche Sprungntwort wie ds nlogen Pendnt. Allerdings ist sein Frequenzgng periodisch und wiederholt sich mit der Abtstfrequenz. Somit knn der Frequenzgng niemls gleich zum im nlogen Fll sein! 3Dieser Weg entspricht der Methode der Impulsinvrinz (MALAB: impinvr(...)).

6 Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer Aufgben: Dimensionierung eines Anti-Alising-Filters Dimensionieren Sie ein nloges Anti-Alising-Filter mit folgenden Vorgben:.Amplitudenfehler bei khz unter % 2.Dämpfung bei khz mindestens 6 db 3.Geringes Überschwingen im Zeitbereich 4.Begründen Sie Ihre Whl und dokumentieren Sie Ihr Ergebnis (Filterordnung und -typ, Prmeter, Frequenzgng, Sprungntwort). Relisierung Digitler Filter z - z - z - b b 2 b 3 b ( ) z - z - z - Blockschltbild eines digitlen ( ARMA- ) Filters 3. Ordnung (Siehe Ahng) 2 Relisierung eines digitlen Filters. Ordnung In diesem Versuchsteil wollen wir ein rekursives Digitlfilter. Ordnung, lso ein digitles P Glied, mit einem Signlprozessor relisieren. Zur Relisierung steht Ihnen ein digitler Signlprozessor (DSP) vom yp ADWIN Gold zur Verfügung. Der DSP knn in einem Bsic-Dilekt (ADBASIC) progrmmiert werden. Zur Vereinfchung erhlten Sie ein Rhmenprogrmm (s.u.) zum Einlesen und Ausgeben der Messwerte. Die Grenzfrequnez des Filters soll über den Prmeter fpr_ (in Hz) einstellbr sein! Entwerfen Sie zunächst den Signlflusspln uf dem Ppier und relisieren sie nschließend ds Progrmm in ADBASIC. Demonstrieren Sie bei zwei verschiedenen Grenzfrequenzen ds Verhlten Ihres Filters im Zeit- und Frequenzbereich: Bestimmen sie die -3dB Grenzfrequenz und die P-Zeitkonstnte Ihres Filters und vergleichen Sie diese. Welche Phsenverschiebung erhlten Sie bei der Grenzfrequenz? 3 Relisierung digitler Filter 2. Ordnung Schreiben Sie ein Progrmm zu Implementierung digitler ARMA Filter zweiter Ordnung. Die Prmeter b, b2, b3, 2, und 3 sollen über die von ADBASIC vorgegebenen Flot-Prmeter fpr_ bis fpr_3 relisiert werden, dmit mn sie zur Lufzeit ändern knn. esten Sie Ihr Progrmm nhnd zweier digitler iefpssfilter, z.b. Butterworthfilter und elliptisches Filter. Dokumentieren Sie den Frequenzgng Ihrer Filter in der heorie (Bode-Digrmm) und trgen Sie nhnd einiger Messpunkte den gemessenen Frequenzgng mit ein. Demonstrieren Sie, wie mn bei einem DC -Signl mit überlgerter Wechselspnnung den Wechselspnnungsnteil herusfiltern knn. Dokunentieren sie die Sprungntwort ihres Filters. Wie groß ist die Signl-Lufzeit bei Sprungnregung? Vergleichen sie diese mit der Gruppenlufzeit des Filters.

7 Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer 4 Bildung von Signlkennwerten mit dem DSP Schreiben Sie ein Progrmm, ds uf dem Prmeterfenstern (fpr_...) folgende Kennwerte des Eingngssignls drstellt: ) Gleichspnnungsnteil (U DC) 2) Effektivwert (U RMS) 3) Effektivwert des Wechselspnnungsnteils (U RMS AC) 4) Positiver Spitzenwert (U Pek) Die Mittelwertbildung ist über einen Digitlfilter 2. Ordnung mit einer Einschwingzeit von s durchzuführen. Entwerfen Sie zunächst den Signlflusspln uf dem Ppier und relisieren sie nschliessend ds Progrmm in ADBASIC. Demonstrieren Sie die Funktion Ihrer Kennwertbildner nhnd folgender Signle: Sinus, Rechteck, Sinus mit Gleichspnnungsnteil.

8 Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer ' Rhmenprogrmm zur Filterung in ADBASIC DIM rohwert AS INEGER DIM input s flot DIM output s flot #DEFINE FA Abtstfrequenz in Hz INI: eimlig beim progrmmstrt GLOBALDELAY 4 / FA EVEN: wird zu jedem Abtstzeitpunkt einml usgeführt rohwert ADC() input (rohwert ) / output input fpr_9 output nzeige der Ausgngsspnnung im window fpr_9 rohwert output * DAC(,rohwert) Erklärungen zum ADBASIC - Progrmm: Die DIM Sttements dienen zur Definition der notwendigen Vriblen. In ADBASIC sind die Vriblen pr_ bis pr_99 und fpr_ bis fpr_2 schon vordefiniert. Sie können zur Lufzeit über die Benutzeroberfläche beobchtet und geändert werden. INI: Die Befehle hinter diesem Lbel werden zum Progrmmstrt einml usgeführt. EVEN: Dieses Progrmmstück wird vom DSP periodisch mit der Abtstfrequenz ufgerufen. Eine Schleife zur Messwerterfssung und -Ausgbe muß lso NICH progrmmiert werden. Die Erfssung und Ausgbe der Werte erfolgt im Integer Formt mit den Befehlen ADC bzw. DAC. Die Umrechnung rohwert -> input und output -> rohwert liefert eine Sklierung derrt, dß Ihr Progrmm mit der Einheit Volt rechnet. An der stelle output input können Sie nun Ihre Filter-Routine einfügen.