WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

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1 1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade 2 Ergebsse (+/-) Mathematsche Zeche: N Mege der atürlche Zahle {1,2,3,4,...} N 0 Mege der atürlche Zahle {0,1,2,3,4,...} eschleßlch der Null Z Mege der gaze Zahle {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Q Mege der ratoale Zahle Mege aller als Bruch gazer Zahle darstellbarer Zahle. R Mege der reelle Zahle zusätzlch zu Q sd auch alle rratoale Zahle (z.b., e, 2 ) ethalte. R + Mege der postve reelle Zahle Für de Elemete x deser Mege muss gelte: x R ud x0 R 0 + Mege der chtegatve reelle Für de Elemete x deser Mege Zahle muss gelte: x R ud x 0 Sete 1/10

2 2 Fazmathematk 2.1 Zsrechug : Zssatz 100 p p : Zssatz Prozet K 0 : Afagskaptal K : Kaptal ach Jahre m : Azahl uterjährger Zahluge Efache Zsrechug: K = 1 p 100 K 0 Zseszsrechug: Zahlug zum Jahresede: K = p K 0 uterjährge Zahlug: K = 100 m 1 p m K Rete A : Rete BW : Barwert (auch als K 0 bezechet) w : Wachstum ( %) Retebarwert: BW achschüssg = 1 1 A oder BW achschüssg = A BW vorschüssg =1 BW achschüssg BW awachsede Rete: BW achschüssg 1 1w 1 = A w BW awachsede Rete (ke gegebe): BW achschüssg = 1 w A Sete 2/10

3 2.3 Autätedarlehe ANN : Autät ANN =ZI t Tl t Tl k : Tlgug zum Zetpukt k k=t 1 S : Kredtbetrag m Zetpukt 0 ZI t : Zse zum Zetpukt t ZI t = Tl t R t : Restschuld ach t Jahre Etwcklug Tlgugsrate: t Tl t1 = ANN S Tl k=1 k t 1 Tl t =ANN S k=1 Tl k Tl t =1 t 1 Tl 1 Berechug Tlgugsrate: Tl t =S 1 Tl 1 1 t ANN glechblebed: Tl 1 = S 1 1 R t =S 1 1t 1 1 Tl 1 Autätedarlehe getlgt, we: S Tl 1 Tl 1 1Tl Tl Tl =Tl 1 S Tl Effektvzs l S Tl 1 1 l1 t =1 1 1 t 1 =Tl 1 1 t t=0 Bespel Zahlugsbedguge: 360 Skoto Azahl Z eff =1 Kaptal Tage 1 (Kaptel = 100% - Skoto) Bespel Koto: Z eff = 1 Azahl Koteauflösuge ohe Küdgugsfrst: = 1 lm m Azahl Koteauflösuge 1 Azahl Koteauflösuge Azahl Koteauflösuge 1=e 1 Sete 3/10

4 3 Aalyss 3.1 Recheregel Expoetalfukto a x 1 a x 2=a x 1 x 2 a x 1 =a x 1 x 2 a x 2 a x 1 x 2=a x 1 x 2 x1 x 2 a x 1 x =a Recheregel Logarthme x=10 y log 10 x= y log e x=l x log 10 x=lg x log a x 1 x 2 =log a x 1 log a x 2 log a x 1 =log x a x 1 log a x 2 2 x log a x 2=x2 1 log a x 1 log a x 2 x 2 =log a x Abletugsregel 1 x 2= 1 x 2 log a x 1 Summeregel: f x=x f ' x= x 1 Ketteregel: vu x'=v' u x u ' x Produktregel: f x=u v f ' x=v u ' u v' Quoteteregel: f x= u v f ' x= v u ' u v ' v 2 Expoetalfukto: f x=e u x f ' x=e u x u ' x l-fukto: f x=l u x f ' x= 1 u ' x u ' x= u x u x spezelle Fuktoe: f x=a x f ' x=a x l a Sete 4/10

5 3.4 Kurvedskusso 1.Deftosberech 2.Werteberech 3.Nullstelle: f x=0 4.Schttpukt mt der y-achse: x=0 5.Extremstelle: f ' x=0; f ' ' x 0 ; f ' ' x0 TP ; f ' ' x0 HP 6.Wedepukte: f ' ' x=0 ; f ' ' ' x Dfferezalrechug für Fuktoe mt 2 Varable 1. Ohe Nebebedgug Extremstelle: otwedge Bedgug: Z x =0 ; Z y =0 hrechede Bedgug: Z xx Z yy Z xy 2 0 Z xx 0 Mmum Z xx 0 Maxmum 2. Mt Nebebedgug Lagrage: L x, y, = f x, yg x, y Extremstelle: otwedge Bedgug: L x =0 ; L y =0 ; L =0 hrechede Bedgug: L xx L yy L xy 2 0 L xx 0 Mmum L xx 0 Maxmum Sete 5/10

6 4 Statstk 4.1 Grudbegrffe M = Mächtgket (Azahl der Elemete) der Mege M Veregugsmege: A B A oder B oder Bedes Durchschttsmege: A B A ud B Summeformel: A B = A B A B kartessches Produkt: A B={a, b a A ud b B} Mege aller möglche Kombatoe vo A ud B Produktformel: A B = A B Verallgemeerug: Für chtleere Mege M 1, M 2,..., M s glt: M 1... M s = M 1... M s Zähle bärer Folge: De Azahl der bäre Folge der Läge st glech 2 Telmege: M ' st Telmege vo M M ' M (we jedes Elemet vo M ' auch Elemet vo M ) Trvale Telmege: Mege selbst ud leere Mege Potezmege: Mege aller Telmege eer Mege M bezeche wr P M P M st de Potezmege der Mege M Se M ee -elemetge Mege da hat M geau 2 Telmege 4.2 Wahrschelchketsrechug Eregsse Elemetareregsse: Ergebsmege (alle möglche Eregsse) ={ 1, 2, 3,...} : abzählbare, dskrete Ergebsmege Eregs E trtt e, we Elemetareregs E etrtt E behaltet auch: - umöglche Eregs (leere Mege) - schere Eregs T k komplemetäres Eregs zu T, auch Komplemet vo T we ={ a, b, c} ud T ={ a, b }, da T k = \ T = {c } Summe der Wahrschelchkete aller Elemetareregsse st Relatve Häufgket Relatve Häufgket vo Absolute Häufgket oder Azahl Etretevo E E := Azahl aller Beobachtuge (Elemetar-)Wahrschelchket p [ ] 0 p [ ] 1 p[ ]=1 p [ E ]= p[]; E Sete 6/10

7 4.2.3 Zufallsexpermet E Zufallsexpermet st e Expermet, das de Gesetzmäßgkete ees Wahrschelchketsraums folgt. Wahrschelchkete der Elemetareregsse: ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } p 1 = p 2 =...= p 6 = 1 p[ 6 ]=1 mt Laplace Jedes Elemetareregs st glechberechtgt. W =1 W =W { 1 }W { 2 }...W { m }=m p p= 1 m Uremodell M Kugel mt eer bestmmte Egeschaft (ausgezechete Kugel) N Azahl aller Kugel eer Ure m Azahl gezogee Kugel mt ausgezecheter Egeschaft Azahl Züge gesamt Zehe ohe Zurücklege Möglchket aus Elemete k herauszuzehe: k =! k! k! 0 =1 1 Nützlch - k = k 2 ud k k1 = 1 k1 3 - Umformug vo (2) k =! k! k! =! k = k! k! = k etsprcht (1) W =m= M m N M m N M m = M! M m! m! Sete 7/10

8 Zehe mt Zurücklege W =m= m M m N 1 M N m oder: W =m= m pm 1 p m p: Wahrschelchket, bem emalge Zehe ee ausgezechete Kugel zu zehe 1-p: Wahrsch., bem emalge Zehe kee ausgezechete Kugel zu zehe Permutato 0!=1 Für 1 st stets!= Wahrschelchketsrechug Azahl der für E güstge Elemetareregsse p E =W E = Azahl der möglche, glech wahrschelche Elemetareregsse Für jedes Eregs E glt: W E =1 W E ; wobe E : Ncht-E bedeutet Für je zwe belebge Eregsse E 1 ud E 2 glt stets: W E 1 E 2 =W E 1 W E 2 W E 1 E 2 Für je dre belebge Eregsse E 1, E 2 ud E 3 glt: W E 1 E 2 E 3 =W E 1 W E 2 W E 3 W E 1 E 2 W E 1 E 3 W E 2 E 3 W E 1 E 2 E Uabhäggket vo Eregsse De Eregsse E 1 ud E 2 heße statstsch (stochastsch) uabhägg, we glt: W E 1 E 2 =W E 1 W E 2 oder allgeme: W E 1 E 2... E k =W E 1 W E 2... W E k Uabhägg bedeutet, de Eregsse beeflusse sch gegesetg cht (kee Schttmege) Uabhägge Wederholug vo Versuche: ={E, E, E, E, E, E, E, E } wobe z.b. E, E bedeutet, dass bem 1. Telversuche E ud bem 2. Telversuche Ncht-E etrtt Ee zwefache uabhägge Wederholug legt geau da vor, we glt: W ''1. Kompoete E''=W ''2. Kompoete E''= p Sete 8/10

9 4.2.8 Bedgte Wahrschelchket W E 1 E 2 = W E E 1 2 W E 2 de bedgte Wahrschelchket vo E 1 ud der Bedgug E 2 Allgemeer Multplkatossatz: W E 1 E 2 =W E 1 W E 2 E Zufällge Varable Defto: Es se ee zufällge Varable. Da heßt de durch F x=w x für jede reele Zahl x deferte Fukto F x de Vertelugsfukto der zufällge Varable. Bespel: W a b für ab W a b =F b F a Vertelugsfukto = Vertelugsfukto summert Wahrschelchkete! F x= W = x Für de Summe aller Sprughöhe muss gelte (Bsp. Augezahl Würfel): 12 =2 W ==1 Vorgehe für de Vertelugsfukto: 1. Werte für herausfde 2. Wahrschelchket für de ezele bereche 3. Vertelugsfukto durch Addto aller edrgere Werte erreche 4. Treppefukto zeche Mttelwert (Erwartugswert) = p x x = Ausprägug der zufällge Varable (Bsp.: Augezahl Würfel) p = Wahrschelchket für das Etrete vo x Sete 9/10

10 Varaz 2 = p x 2 2 =E [x 2 ] (je kleer, desto besser) Streuug = p x 2 (je kleer, desto besser) Sete 10/10

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