Die Bauteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und B gelagert und durch das Gewicht G 1 der Scheibe 1 belastet.

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1 Aufgabe S1 F10 Die auteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und gelagert und durc das Gewict G 1 der Sceibe 1 belastet. Annamen: Die Gelenke seien reibungsfrei. Das Material der Sceibe 1 ist omogen verteilt. Die auteile 2 und 3 sollen als gewictslos betractet werden. Geg.: a, G 1, g Ges.: estimmen Sie für Gleicgewict a) die Auflagerkräfte bei A und, b) die Gelenkkraft bei C, c) die Scnittreaktionen in Scnitten D:D unmittelbar vor und unmittelbar nac dem Gelenk bei C! Hinweis: Die Ausdenung des Gelenks ist dabei zu vernaclässigen. 1 g D 3 C A D 2 6a 4a

2 Aufgabe F1 F10 Ein omogenes lec aus Material mit bekannten Stoffwerten wird durc die angegebenen, von Null versciedenen Spannungen belastet (siee Skizze). Geg.: E ν, ebener Spannungszustand mit σ x, σ y, σ y < σ x < 0, = (σ x σ y ) 1/2 Ges.: a) Zeicnen Sie sorgfältig die drei Morscen Kreise für diesen elastungsfall, und tragen Sie die Hauptspannungen sowie die Hauptspannungsrictungen darin ein! b) estimmen Sie die Hauptspannungen σ 1 und σ 2 in der x, y-ebene! c) estimmen Sie die maximale Scubspannung in der x, y-ebene! d) Übertragen Sie die Hauptspannungen und die Hauptspannungsrictungen der x, y-ebene qualitativ in die gegebene Skizze für die pysikalisce Ebene! e) estimmen Sie die Denungen ϵ 1 und ϵ 2 des leces in die beiden Hauptspanungsrictungen sowie die Denung in die z-rictung! f) In welcer Ebene liegt die maximale Scubspannung, die im lec auftritt, und wie groß ist diese? Pysikalisce Ebene y σ y τ yx σ x z x

3 Aufgabe F2 F10 Ein alken 1 der iegesteifigkeit IE ist im Auflager A fest eingespannt und wird am Gelenk C zusätzlic durc zwei Stäbe 2 und 3 gleicer Densteifigkeit EA abgestützt, wobei der Stab 2 erst wirkungsvoll wird, wenn sein Endpunkt auf die Gelenkpfanne der Unterlage drückt. Eine Kraft F belastet das System wie in der Skizze eingetragen. Annamen: Die Gelenke und die Gelenkpfanne seien reibungsfrei, ire Abmessungen vernaclässigbar. Der Abstand δ sei ser viel kleiner als die Höe. Die Längsdenung des alkens 1 ist vernaclässigbar. Geg.: EA, IE, F, a,, δ, β Ges.: ist estimmen Sie für Gleicgewict und unter der Anname, dass der Stab 2 belastet a) die Auflagerreaktionen am Lager A als Funktion der Kraft F sowie der Kräfte S 2 und S 3 in den Stäben 2 und 3, b) die Scnittreaktionen im alken unmittelbar beim Gelenk im eingezeicneten Scnitt S:S, c) die Längenänderungen l 2, l 3 der Stäbe 2 und 3 als Funktion der Kräfte F, S 2, S 3 und des Abstandes δ, d) zwei Gleicungen für die Kräfte S 2 und S 3 in den Stäben 2 und 3! estimmen Sie e) die Grenzkraft F = F G, für die der Stab 2 gerade noc unbelastet bleibt! A S a 1 IE C S 2 3 EA δ β F

4 E y E x Musterlösung Mecanik I WS10 Aufgabe S1 F10 (18 Punkte) a) Freiscnitt Gesamtsystem: Fx = 0 = 0 M(A) = 0 14a G 8a = 0 = 4G 7 G M() = 0 14a G 6a = 0 = 3G 7 C x C y Kontrolle: F y = 0 : +! = G D x D y b) Gelenkkraft bei C: M(E) = 0 C y 8a + 4a = 0 C y = 1 2 C y C x M(D) = 0 C y C x + 4a = 0 C x = C y + 2 = = 4 7 G c) Scnittreaktionen im Scnitt oberalb des Gelenkes (Skizze): Fx = 0 L = cos π 4 sin π 4 C x cos π 4 C y sin π 4 Fy = 0 Q = + sin π 4 cos π 4 C x sin π 4 C y cos π 4 M= 0 M b = Scnittreaktionen im Scnitt unteralb des Gelenkes (obige Formeln one C x und C y ): Fx = 0 L = cos π 4 sin π 4 Q L M b C y C x Fy = 0 Q = + sin π 4 cos π 4 M = 0 Mb = 1

5 Aufgabe F1 F10 (15 Punkte) a) siee Skizze, σ z = 0, τ xz = τ yz = 0 (mit den angegebenen Werten ergibt sic, dass der Kreis der x, y-ebene genau die τ-acse berürt, denn R = (σ x + σ y ) /2.) b) σ 1 = 0, σ 2 = σ x + σ y Pasenebene ϕ=0 x,y-ebene 2ϕ 2 2ϕ 1 z,y-ebene z,x-ebene τ max c) max = 1/2 (σ x + σ y ) d) siee Skizze σ 2 σ y Μ σ x σ z =0 σ 1 =0 σ R e) ϵ 1 = 1 E (σ 1 νσ 2 ) = νσ 2 E - ϵ 2 = 1 E (σ 2 νσ 1 ) = + σ 2 E ϵ z = ν E (σ 1 + σ 2 ) = νσ 2 E Pysikaliscer Raum σ y f) Lt. Skizze liegt die maximale Scubspannung in der x, y-ebene: τ max = max y x σ 2 σ x ϕ 2 σ y σ 1 ϕ 1 σ x 2

6 Aufgabe F2 F10 (19 Punkte) a) Lt. Freiscnitt alken: Fx = 0 + S 3 cos β = 0 F Fy = 0 F S 2 S 3 = 0 M(A) = 0 M A F 3a S 2 S 3 = 0 M A S 2 S 3 β b) Lt. Freiscnitt Ersatzsystem: Q M b L = S 3 cos β, Q = F S 2 S 3, M b = F a L c) Lt. Versciebeplan: l 3 = v = l 2 + δ = l 2 + l 2 + f l 2 = f + δ, v alkenabsenkung für Gelenk C mit Standardfall Kragbalken : f l 2 + l 2 l 2 f = (F + S 2 + S 3 ) 8a 3 + F 4a3 3 IE 2 IE = v d) Zwei Gleicungen für die Stabkräfte: δ β Hookesces Gesetz: Eingesetzt: S i = l i l i EAs (1) (2) S 2 l ( 2 (F + EA = S2 + S 3 ) 8a 3 3 IE S 3 l ( 3 (F + EA = S2 + S 3 ) 8a 3 3 IE + F 4a3 ) + δ ; l 2 = δ 2 IE + F 4a3 2 IE ) ; l 3 = ( l2 (1) S 2 EA + 8a3 ) } {{ 3IE } stets 0 (2) S 2 8a 3 (1) S 2 a + S 3 b = ϕ + δ (2) S 2 b + S 3 c = ϕ 3IE + S 3 + S 3 8a 3 ( l3 S 2 = 3IE EA + 8a3 ) 3IE sin2 β } {{ } stets 0 b a = (c b ) = EA, ac b2 = ϕ (1 + α EA S 2 = sin3 β)δ EA + α(sin3 β + 1), S 3 = = 14F a3 3IE + δ 14F a3 = 3IE ϕ(c b ) δc ϕ(b a ) + δb ac b 2, S 3 = ac b 2 EA (ϕ + α EA δ) sin2 β EA + α(sin3 β + 1) EA + 8a3 3IE (3 + 1) mit α = 8a3 3IE, ϕ = 7 4 αf 3

7 e) edingung: F = F G S 2 = 0 (1 ) S 3 b = ϕ + δ (2 ) S 3 c = ϕ S 3 = ϕ + δ α = ϕ c ϕ = δ (1 + α EA sin3 β) S 3 = 14F Ga 3 sin 2 β 3IE EA + 8a3 sin 3 β (< 0 ), F G = 3IE 14a 3 δ EA + 8a3 3IE sin3 β EA + 2 8a3 3IE sin3 β Kontrolle für F G : Spezialfälle: δ 0 + F G 0, S 3 0 & F G 3IE 14a 3 δ, IE F G 4

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