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1 Bifurkationen an geschlossenen Orbits der Schnittabbldung konstruiert. Die Periode T (") der zugehörigen periodischen Lösungen ergibt sich aus =! + o 1 (") beziehungsweise Es ist also t 0 = T (") = 1!('(")) + o 1(") = 1!(0) + o 1("). 2!(0) + o 1("). Damit ist der Satz bewiesen. Ergänzung Bedingung (6) ist hinreichend, aber nicht notwendig für die Gültigkeit von (8). Tatsächlich reicht hierfür, dass die übrigen Eigenwerte bei µ = 0 nicht in Resonanz zu ± stehen. 8 Ergänzung zu Satz 7 Der Satz gilt auch, wenn statt (6) gilt. k(0) +(0) œ Z, 3 k n, Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen. 5.4 Bifurkationen an geschlossenen Orbits Wir betrachten jetzt zwei einfache lokale Bifurkationen an periodischen Bahnen. Sei v µ eine einparametrige Familie von Vektorfeldern, von denen v 0 einen geschlossenen Orbit 0 :,! 0 besitzt. Sei die Poincaréabbildung zu einem beliebigen lokalen Schnitt durch einen Punkt p 0 auf 0. Diese besitzt in p 0 einen Fixpunkt: 0 (p 0 ) = p 0. Für hinreichend kleine µ î 0 ist auch zum Vektorfeld v µ die Poincaréabbildung µ :,! erklärt, denn aus Stetigkeitsgründen wird jeder Orbit von v µ, der hinreichend nahe bei p 0 started, nach zurückkehren. (c)-machobs: 5/17

2 168 5 LokaleBifurkationen Abb 8 Poincaréabbildung mit periodischem Punkt q 0 0 p 0 q 0 0 Jeder Fixpunkt von µ ist dann Anfangswert eines geschlossenen Orbits von v µ in der Nähe von 0. Dies gilt ebenso für jeden periodischen Punkt von µ. Umgekehrt entspricht jedem geschlossenen Orbit von v µ nahe 0 ein Fixpunkt oder periodischer Punkt von µ nahe p 0. Die Untersuchung lokaler Bifurkationen in der Nähe eines geschlossenen Orbits 0 führt somit zur Untersuchung lokaler Bifurkationen in der Nähe eines Fixpunktes p 0 eines Diffeomorphismus. Lokale Bifurkationen an Fixpunkten Aufgrund des Satzes von Hartman-Grobman für Diffeomorphismen ist ein Fixpunkt strukturstabil genau dann, wenn er hyperbolisch ist, also kein Eigenwert auf dem Einheitskreis liegt. Somit ist eine Bifurkation nur möglich, wenn wenigstens ein Eigenwert den Betrag 1 hat. Wir betrachten hier die beiden einfachsten Fälle, wo genau ein Eigenwert 1 ist, oder genau ein Eigenwert 1 ist. Es genügt wieder, den eindimensionalen Fall zu betrachten. Der Eigenwert eines Fixpunktes ist dann nichts anderes als die Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Ein Eigenwert 1 Sei f : R R,! R, (µ, x), f (µ, x) eine Familie von differenzierbaren Funktionen. Für µ = 0 sei 0 ein Fixpunkt mit Eigenwert 1, also f(0, 0) = 0, f x (0, 0) = 1. 5/18 (c)-machobs:

3 Bifurkationen an geschlossenen Orbits Abb 9 Sattel-Knoten Bifurkation für x, µ + x x 2 v x µ<0 µ = 0 µ>0 x µ Unterliegt f keinen weiteren Bedingungen, so ist im Allgemeinen f µ (0, 0) î 0 und f xx (0, 0,)î 0. Der einfachste Prototyp dieser Art ist f (µ, x) = µ + x x 2. Fixpunkte sind Lösungen der Gleichung f (µ, x) = x, also von µ x 2 = 0. Wir erhalten dasselbe Bifurkationsdiagramm wie bei der Sattel-Knoten Bifurkation, nur dass es sich hier um Fixpunkte von Abbildungen handelt. Auch der entsprechende Satz ist praktisch derselbe. 9 Satz Im Punkt (0, 0) gelte f = f x = 0 sowie f µ î 0, f xx î 0. (c)-machobs: 5/19

4 170 5 LokaleBifurkationen Abb 10 sk-bifurkation an einem periodischen Orbit Dann existiert eine differenzierbare Kurve von Fixpunkten, die im Punkt (0, 0) die Gerade µ = 0 tangential berührt. Dabei existieren im Fall f µ f xx < 0 für µ<0 keine und für µ>0 zwei Fixpunkte, wobei im Fall f xx < 0 der obere stabil, der untere instabil ist. Bei jeweils umgekehrtem Vorzeichen gelten die entsprechend umgekehrten Aussagen. œ Dieser Satz wird genau so bewiesen wie der Satz zur sk-bifurkation 2. Analog übertragen sich die Sätze über die transkritische und die Pitchfork-Bifurkation auf Fixpunkte. Ein Eigenwert 1 Wir betrachten jetzt den Fall f(0, 0) = 0, f x (0, 0) = 1. Die Fixpunktgleichung f (µ, x) = x besitzt aufgrund des Satzes über implizite Funktionen eine eindeutige lokale Lösung µ, x(µ) für alle kleinen µ. Bringen wir diesen Fixpunkt durch eine µ-abhängige Translation der x-koordinate in den Nullpunkt, so wird f (µ, 0) = 0 für alle kleinen µ. Der Prototyp einer solchen Abbildung ist f (µ, x) = x µx x 2. Im Fixpunkt 0 ist dann f x = (1 + µ). Er ist also für anziehend µ<0 und abstossend für 0 <µ<2. Bei µ = 0 tritt somit eine Bifurkation auf. Die Frage ist, von welcher Art sie ist. Betrachte dazu die Linearisierung von f bei µ = 0, also x, x. Hier ist jeder Punkt außerhalb des Nullpunkts ein periodischer Punkt der Periode 2. Diese Situation erinnert an die Hopf-Bifurkation, wo das linearisierte System am kritischen Parameter aus periodischen Lösungen bestand, welche im nichtlinearen 5/20 (c)-machobs:

5 Bifurkationen an geschlossenen Orbits System eine Kreisscheibe im (µ, x)-raum bilden. Falls diese Analogie auch für das Bifurkationsverhalten gilt, so sollte also vom Fixpunkt 0 eine Kurve periodischer Punkte der Periode 2 abzweigen. Dies ist tatsächlich im Allgemeinen der Fall. Diese Periodenverdopplungs- Bifurkation wird auch Flip-Bifurkation genannt, da x, x im Englischen als flip map bezeichnet wird. 10 Satz zur Flip-Bifurkation Im Punkte (0, 0) gelte f(0, 0) = 0, f x (0, 0) = 1 sowie a Õ f µx + f µ f xx /2 î 0, d Õ fxx 2 /2 + f xxx/3 î 0. Dann existiert eine differenzierbare Kurve von Fixpunkten von f, die die Gerade µ = 0 im Punkt (0, 0) transversal schneidet, sowie eine differenzierbare Kurve von periodischen Punkten der Periode 2, die diese Gerade dort tangential berührt. Im Fall ad < 0 zweigt diese Kurve nach µ>0 ab, wobei sie im Fall d>0 aus stabilen periodischen Punkten besteht. Bei jeweils umgekehrtem Vorzeichen gelten die entsprechend umgekehrten Aussagen. œ Bemerkung Die Kurve periodischer Punkte existiert auch im Fall = 0, nur kann man hier keine Aussage treffen, in welcher Richtung sie abzweigt. «hhhhh Die Fixpunktgleichung f (µ, x) = x ist äquivalent zu F(µ, x) = f (µ, x) x = 0. Wegen F(0, 0) = 0, F x (0, 0) = mit '(0) = 0, ' 0 (0) = 2 besitzt sie eine lokale Lösung µ, x = '(µ) F µ F x (0,0) = f µ 2. Schreiben wir x = '(µ) + y, so ist die transformierte Abbildung g gegeben durch g(µ, y) = f (µ, '(µ) + y) '(µ). Für diese gilt g(µ, 0) = 0 für alle kleinen µ. Im Punkt (0, 0) gilt ferner g y = f x = 1, g µy = f µx + f xx ' 0 = f µx + f µ f xx /2. Entwickeln wir also g bis zur ersten Ordnung in µ und zur dritten Ordnung in y, so erhalten wir g(µ, y) = y + aµy + by 2 + cy 3 + O(µ 2 + y 4 ) (c)-machobs: 5/21

6 172 5 LokaleBifurkationen mit a = f µx + f µ f xx /2, b = f xx /2, c = f xxx /6. Periodische Punkte einer Abbildung g der Periode 2 sind Fixpunkte der zweifach iterierten Abbildung g 2 Õ g g. Setzen wir g in g ein und betrachten nur Terme bis zur Ordnung eins in µ und drei in y, so erhalten wir g 2 (µ, y) = ( y + aµy + by 2 + cy 3 ) + aµ( y + aµy) + b( y + aµy + by 2 ) 2 + c( y + aµy) 3 + O(µ 2 + y 4 ). Daraus folgt g 2 (µ, y) = y aµy by 2 cy 3 aµy + by 2 2b 2 y 3 cy 3 + O(µ 2 + y 4 ) = y 2aµy 2(b 2 + c)y 3 + O(µ 2 + y 4 ) = y 2aµy dy 3 + O(µ 2 + y 4 ) mit d = 2(b 2 + c) = fxx/2 2 + f xxx /3. Natürlich ist 0 Fixpunkt von g 2, denn 0 war bereits Fixpunkt von g. Um weitere Fixpunkte zu bestimmen, betrachten wir h(µ, y) = g2 (µ, y) y y = 2aµ dy 2 + O(µ 2 + y 3 ). Diese Funktion besitzt eine Kurve y, µ(y) von Nullstellen der Gestalt µ(y) = d 2a y2 + O(y 3 ). (10) Mit d î 0 liegt somit eine nichtentartete Bifurkation vor, wobei für ad < 0 die Kurve der Fixpunkte von g 2 nach µ>0 abzweigt. Um deren Stabilitätseigenschaften zu bestimmen, werten y g 2 an der Stelle µ(y) aus. Mit (10) y g 2 (µ(y), y) = 1 2aµ 3dy 2 + O(y 3 ) µ(y) = 1 2dy 2 + O(y 3 ). Im Fall d>0 ist diese Ableitung kleiner als 1 für hinreichend kleine y î 0, die abzweigenden periodischen Punkte sind also stabil. hhhhh 5/22 (c)-machobs:

7 Bifurkationen an geschlossenen Orbits Abb 11 Die Abbildung g 2 µ<0 µ = 0 µ>0.ò Beispiel Die Abbildung f : R R! R, f (µ, x) = µx(1 x) wird als logistische Familie bezeichnet. Sie besitzt für alle µ > 0 die beiden Fixpunkte 0 und p µ = µ 1 µ. Dieser durchläuft bei µ = 1 eine tk-bifurkation mit 0, und für 1 <µ<3 ist p µ stabil. Bei µ = 3 tritt eine pv-bifurkation auf, p 3 verliert seine Stabilität und ein stabiler Orbit der Periode 2 zweigt ab. Dies wiederholt sich an dem periodischen Orbit bei µ = 1 + p 6 > 3. Hierzu genügt es, zu betrachten. f 2 (µ, x) = µ 2 x 1 x µx(1 x) 2 Abb 12 Die logistische Familie f (µ, x) = µx(1 x) f, f 2 bei µ = 3 f 2, f 4 bei µ = 1 + p 6 (c)-machobs: 5/23

8 174 5 LokaleBifurkationen Abb 13 Zwei Bifurkationen der logistischen Abbildung x p 6 µ Für µ>1 + p 6 tritt unter anderem eine ganze Kaskade von pv-bifurkationen auf, und für µ>1 + p 8 existieren zum Beispiel periodische Orbits jeder Periode. Schließlich setzt auch chaotisches Verhalten eine. Eine leicht lesbare Einführung in dieses Gebiet findet sich zum Beispiel in bei Holmgren..Ò 5/24 (c)-machobs:

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