u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

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1 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume werden in Abschnitt.4 des Vorlesungsskripts Lineare Algebra und Geometrie von W. Kimmerle und M. Stroppel behandelt. Hier wollen wir zunächst die Definition eines Vektorraumes wiederholen um anschließend weitere, abstraktere Beispiele für Vektorräume kennenzulernen. Allgemein definiert man einen Vektorraum über einem Körper, diese werden im Unterabschnitt.7.5 des Vorlesungsskripts behandelt. Anschaulich ist ein Körper K eine Menge von Zahlen auf denen eine Addition und Multiplikation definiert ist. Für beide Verknüpfungen gelten dabei die üblichen Rechenregeln wie Kommutativität, Assoziativität und Distributivität. Desweiteren gibt es die neutralen Elemente 0 K bzw. K der Addition bzw. Multiplikation und zu einer gegebenen Zahl t K die inversen Elemente t und t (letzteres existiert nur für t 0 K ). Wichtige Beispiele für Körper sind die reellen Zahlen R und die komplexen Zahlen C. Ein K-Vektorraum V ist nun eine Menge zusammen mit zwei Verknüpfungen + : V V V, genannt Vektoraddition, und : K V V, genannt skalare Multiplikation, sodass folgende Axiome (Vektorraumaxiome) erfüllt sind: Kommutativität: Für alle u, v V gilt Assoziativität: Für alle u, v, w V gilt neutrales Element: Es gibt eine Null 0 V V, so dass für alle v V gilt. inverses Element: Zu jedem v V gibt es ein u = v V mit u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. Verträglichkeit mit den Verknüpfungen des Körpers: Seien t, s K und u, v V, dann gelten folgende Distributivgesetze: t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Gleichzeitig ist die skalare Multiplikation verträglich mit der Multiplikation im Körper: (st) v = s (t v). Das Einselement K des Körpers erfüllt dabei für alle v V die Gleichung K v = v. Zur Besseren Unterscheidung der neutralen Elemente des Körpers und des Vektorraums versehen wir sie mit einem Index. Achtung: Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt (s.u.) sind verschiedene Verknüpfungen und dürfen nicht miteinander verwechselt werden.

2 Neben der Menge R n bzw. C n aller rellen Spaltenvektoren der Länge n N mit rellen oder komplexen Einträgen gibt es noch eine Vielzahl weiterer Vektorräume: Beispiel. Seien K ein Körper und a, b, c K fest gewählt. Wir betrachten die Menge L aller Tripel (x, x, x 3 ) welche die homogene Gleichung lösen. Sind (x, x, x 3 ) und (y, y, y 3 ) Lösungen dieser Gleichung, so gilt bzw. mit t K auch ax + bx + cx 3 = 0 () a(x + y ) + b(x + y ) + c(x 3 + y 3 ) = ax + bx + cx 3 + ay + by + cy 3 = 0, a(tx ) + b(tx ) + c(tx 3 ) = t[ax + bx + cx 3 ] = 0. Summen und skalare Vielfache von Lösungen von () ergeben also wieder Lösungen von (). Die obigen Vektorraumaxiome lassen sich dabei einfach nachrechnen. Als neutrales Element dient dabei das Tripel (0, 0, 0), welches () offensichtlich ebenfalls löst. Zusammen mit dieser Addition und skalaren Multiplikation wird die Lösungsmenge L somit zu einem K-Vektorraum. Beispiel. Mit K[x] bezeichnen wir die Menge aller Polynome p(x) = a 0 + a x + a x +... mit Koeffizienten a 0, a, a,... K. Setzen wir p(x) = a 0 + a x + a x +... K[x] und q(x) = b 0 + b x + b x +... K[x], so können wir durch (p + q)(x) = p(x) + q(x) = (a 0 + a x + a x + a 3 x ) + (b 0 + b x + b x + b 3 x ) eine Addition und mit t K durch = (a 0 + b 0 ) + (a + b )x + (a + b )x +... (t p)(x) = t p(x) = t (a 0 + a x + a x +... ) = (ta 0 ) + (ta )x + (ta x ) +... eine skalare Multiplikation auf K[x] definieren. Die Vektorraumaxiome lassen sich wieder leicht nachrechnen, als neutrales Element dient das Nullpolynom 0(x) = 0, bei dem alle Koeffizienten verschwinden und K[x] ist, zusammen mit dieser Addition und skalaren Multiplikation, ein K-Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums ist z.b. durch die Menge der Monome {, x, x,... } gegeben. Betrachten man die Teilmenge K n [x] aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n N, so bilden diese einen (n + )-dimensionalen Unterraum (Übung).

3 Skalarprodukte Wir beschränken uns im Folgenden auf Vektorräume V über den rellen Zahlen R. Unter einem Skalarprodukt verstehen wir eine Abbildung für die folgende Eigenschaften erfüllt sind: Symmetrie: Für alle u, v V gilt Linearität im ersten Argument: Für alle t R, u, v, w V gilt Positive Definitheit: Für alle v V ist : V V R u v = v u. u + v w = u w + v w, t v w = t v w. v v 0. Zusätzlich ist v v = 0 dann und nur dann, wenn v = 0 ist. Bemerkung. Oftmals fordert man bei der Definition des Skalarproduktes noch die Linearität im zweiten Argument. Diese folgt jedoch bereits aus der Symmetrie und der Linearität im ersten Argument: u t v + w = t v + w u = t v u + w u = t u v + u w. Bemerkung. Definiert man ein komplexes Skalarprodukt : V V C über einem komplexen Vektorraum, so fordert man statt der Symmetrie eine konjugierte Symmetrie, d.h. für u, v V ist u v = v u. 3 Beispiel. Auf K[x] aus Beispiel definieren wir Wegen p(x) q(x) = p(x) q(x) := ist diese Abbildung symmetrisch und wegen t p(x) + q(x) r(x) = = t p(x)q(x) dx = p(x)q(x) dx. (t p(x) + q(x))r(x) dx linear im ersten Argument. Da (p(x)) 0 für alle x [, ] ist auch q(x)p(x) dx = q(x) p(x) p(x)r(x) dx + q(x)r(x) dx = t p(x) r(x) + q(x) r(x) p(x) p(x) = (p(x)) dx 0. Es bleibt nun zu zeigen, dass aus p(x) p(x) = 0 sofort p(x) = 0 für alle x [, ] folgt. Dies verschieben wir aber auf nächstes Semester. Anschaulich kann man annehmen, dass p(x 0 ) 0 für ein x 0 [, ] ist. Wegen Stetigkeit der Polynome ist dann auch p(x) 0 auf einem kleinen Intervall [x 0 ε, x 0 + ε] [, ] und wir erhalten wegen dass auch p(x) p(x) 0 ist. p(x) p(x) = (p(x)) dx x0+ε x 0 ε (p(x)) dx > 0, 3

4 . Geometrische Eigenschaften des euklidischen Skalarprodukts Wir haben bereits gesehen, dass auf dem euklidischen Vektorraum R n mit geöhnlicher Vektoraddition, bzw. skalarer Multiplikation durch n a b = a i b i, a, b R n i= ein Skalarprodukt (euklidisches Skalarprodukt) definiert wird. Betrachten wir zwei Vektoren a, b R 3 und bezeichnen mit γ = (a, b) den Winkel zwischen den Vektoren a und b, so erhalten wir aus dem Kosinussatz a b = a + b a b cos (γ) für das Dreieck mit den Seiten a, b und a b, dass Auf diese Weise können wir mit a b = a b cos (γ). a + a + a 3 b + b + b 3 cos (γ) = a b a b = a b + a b + a 3 b 3 den Winkel γ = (a, b) [0, π] zwischen zwei gegebenen Vektoren a, b R 3 berechnen. Betrachten wir folgende Skizze, so sehen wir eine weitere wichtige Eigenschaft des Skalarproduktes: b () γ l a Die Länge l der senkrechten Projektion des Vektors b auf den Vektor a ergibt sich aus l = b cos (γ) = a b a = a/ a, b. Ist auf einem Vektorraum also eine Orthonormalbasis gegeben, so erhalten wir die Koordinaten eines Vektors bezüglich dieser Basis einfach aus seinen Skalarprodukten mit den Basisvektoren. 4 Beispiel. Bekanntlich ist 0 0 B = 0,, eine Orthonormalbasis des R 3. Betrachten wir den Vektor (,, 3) T R 3, so erhalten wir mit 0 =, 0 =, 0 0 = 3, 3 die Darstellung 0 0 = Das war einfach, betrachten wir nun aber eine andere orthonormale Basis 0 B =,, 0 0, 0 dann erhalten wir mit die Darstellung = 3, =, = = 3,

5 3 Hesse-Normalform Die Hesse-Normalform wird in Abschnitt.9 des Vorlesungsskriptes behandelt. Die in.9.6 gegebene Definition soll an dieser Stelle nun vertieft werden, indem wir einige geometrische Eigenschaften betrachten. Prinzipiell ist eine Ebene durch die Angabe ihres Normalenvektors n und des Ortsvektors OP = (p, p, p 3 ) T eines Ebenenpunktes P = (p, p, p 3 ) eindeutig charakterisiert. Ein Punkt mit den Koordinaten (x, x, x 3 ) liegt in der Ebene genau dann, wenn x p n x p n = 0 (3) x 3 p 3 n 3 erfüllt ist. Formen wir obige Gleichung um, indem wir die Skalarprodukte ausmultiplizieren, so erhalten wir x x n n = p p n n (4) x 3 n 3 p 3 n 3 Wir wollen nun zusätzlich annehmen, dass n normiert ist, d.h. n = gilt und fragen uns welche geometrische Bedeutung die rechte Seite in (4) hat. P OP d n, n = E Erinnern wir uns an die projezierende Eigenschaft des Skalarprodukts, so liefert die rechte Seite gerade den Abstand d der Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems. Setzen wir anstelle der Koordinaten eines Ebenenpunktes (x, x, x 3 ) die Koordinaten eines beliebigen Punktes Q = (q, q, q 3 ) in die linke Seite von (3) ein, so erhalten wir q p n q p n = n = P Q n = dist(q, E). q 3 p 3 n 3 Betrachten wir folgende Skizze, so sehen wir, dass, falls n normiert ist, dieser Ausdruck gerade den Abstand dist(q, E) des Punktes Q von der Ebene E liefert. P Q d Q P n, n = Man kann (3) also dahingehend interpretieren, dass ein Punkt genau dann in einer Ebene liegt, wenn dessen Abstand zur Ebene Null ist, was offensichtlich auch unserer Anschauung entspricht. E 5

6 4 Winkel zwischen Geraden und Ebenen In Gleichung () haben wir gesehen, wie sich der Winkel zwischen zwei gegebenen Vektoren ausrechnen lässt. Mit Hilfe dieser Formel wollen wir nun angeben, wie sich der Winkel zwischen sich schneidenenden Geraden und Ebenen berechnen lässt. 4. Winkel zwischen Geraden Seien zwei sich schneidende Geraden g und g mit Richtungsvektoren r und r gegeben. Unter dem Schnittwinkel zweier Geraden versteht man konventionell den kleineren der beiden möglichen Winkel. Anhand folgender Skizze sehen wir, dass dieser gerade dem kleineren Winkel zwischen den Richtungsvektoren entspricht: r g g (g, g ) r g r (r, r ) (g, g ) r g Es ist also cos ( (g, g )) = r r r r, wobei wir durch den Betrag im Zähler der rechten Seite automatisch sicherstellen, dass der kleinere beider Winkel ausgewählt wird. 4. Winkel zwischen Ebenen Seien zwei sich schneidende Ebenen E und E mit Normalenvektoren n und n gegeben, dann sehen wir anhand folgender Skizze, dass ihr Schnittwinkel gerade dem kleineren Winkel zwischen den Normalenvektoren entspricht: n n E (E, E ) E Es ist also cos ( (E, E )) = n n n n. 4.3 Winkel zwischen Geraden und Ebenen Eine Gerade g mit Richtungsvektor r schneide eine Ebene E mit Normalenvektor n in einem Punkt. Anhand der Skizze sehen wir, dass sich der Schnittwinkel durch π/ (n, r) berechnen lässt: n (n, r) r (E, g) g E Es ist also sin ( (E, g)) = cos (π/ (E, g)) = n r n r. 6

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