Ergänzungen zum Fundamentum

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2 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 2 Ergänzungen zum Fundamentum Abstand eines Punktes zu einer Geraden d = AP v v Substitution ohne Grenzen Mit u = g(x) gilt: f(g(x))dx = 1 u f(u)du

3 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 1 Analysis 1 Kurvendiskussion Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x2 6 x 3. Bestimme a) den Definitionsbereich, b) die Nullstelle(n), c) den/ die Extremwert(e), d) die Polstelle(n), e) die Asymptote. f) Untersuche die Funktion auf Symmetrie g) und skizziere die Funktion. 2 Parabelgleichung Eine Parabel 4. Ordnung schneidet die y-achse bei 5 und hat dort (wo die y-achse geschnitten wird) einen Sattelpunkt. Weiter hat die Parabel im Punkt P=(2/-11) ein Minimum. Bestimme die Gleichung der Parabel.

4 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 2 3 Extremwertaufgabe Im folgenden Baumdiagramm steht jeder Buchstabe für eine andere Zahl. Gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Zahlen: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit a, wenn die Wahrscheinlichkeit des oberstens Astes (derjenige, welcher fett gedruckt ist) maximal sein soll? 4 Rotationskörper Die Fläche, welche von den Funktionen f(x) = 4 x und g(x) = x eingeschlossen wird, rotiert um die x-achse. Wie gross ist das Volumen des Rotationskörpers? (Solltest du die Schnittpunkte der beiden Funktionen nicht finden, kannst du annehmen, dass sie sich bei x 1 = 0.1 und x 2 = 0.8 schneiden.)

5 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 3 5 Flächenberechnung Die Fläche, welche die Funktion f(x) = e ax (mit a > 0) mit der x-achse im ersten Quadranten einschliesst, beträgt 0.2. a) Berechne a. b) Wie lautet die Gleichung der Tangente t(x), welche den Graphen der Funktion f im Schnittpunkt mit der y-achse berührt. Löse diese Teilaufgabe mit demjenigen a, welches du in der Teilaufgabe a) berechnet hast. (Wenn du die Teilaufgabe a) nicht lösen konntest, kannst du mit a=4 weiter rechnen.)

6 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 4 Vektorgeometrie 6 Punkte, Geraden, Ebenen Gegeben ist die Ebene E : 2x y +2z 6 = 0, die Gerade x 2 3 g : y = 2 +s 6 und die Punkte A=(-1/1/5), B=(2/2/2), z 6 9 C=(3/0/0), P=(3/-4/3) und Q=(4/0/9). a) Berechne die Koordinatengleichung der Ebene F, welche durch die Punkte A, B und C verläuft. b) Berechne die Schnittgerade von E und F. (Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, kannst du mit F : 16x 6y +14z 48 = 0 weiterrechnen.) c) Wie lauten die Koordinaten des Punktes, in welchem die Gerade g die Ebene E durchstösst? d) Wie gross ist der Neigungswinkel zwischen g und E? e) Wie lautet die Parametergleichung der Geraden h, welche durch die Punkte P und Q verläuft? f) Wie liegen die Geraden g und h zueinander? g) Berechne den Abstand, falls g und h parallel sind, berechne den kürzesten Abstand, wenn sie windschief sind, oder berechne den Schnittpunkt, falls sie sich schneiden.

7 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 5 7 Quader Von dem unten dargestellten Quader ist folgendes bekannt: A=(6/-1/-2), B=(10/3/0), D liegt auf der x-achse. a) Berechne den Punkt D. (Solltest du D nicht berechnen können, kannst du für die folgenden Teilaufgaben mit D=(5/-3/0) weiterrechnen.) b) Berechne den Punkt C. c) Berechne den Punkt E, wenn du weisst, dass das Volumen des Quaders 162 beträgt. 8 Dreieck Von einem Dreieck kennen wir die Höhe h c = 3, welche vom Punkt C senkrecht auf die Seite AB geht. Weiter sind die Punkte A=(2/1/1) und B=(8/7/-2) bekannt. (Das Dreieck ist weder rechtwinklig, noch gleichschenklig.) Berechne C, wenn du weisst, dass C auf der Geraden x 2 6 g : y = 2 +t 2 liegt. z 0 1 (Es gibt zwei mögliche Lösungen für C.)

8 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 6 Stochastik 9 Baumdiagramm Der Osterhase hat einen Zauberkorb. In diesem befinden sich immer 2 rote und 8 blaue Eier. Sobald der Osterhase ein Ei herausnimmt, kommt ein neues vondergleichenfarbedazu.sobefindensichimmergleichvieleeierimkorb. Für den kleinen Pius bereitet der Osterhase 2 Nestchen vor, in welche je 2 Eier gelegt werden. Das erste Ei wählt der Osterhase zufällig. Als zweites Ei legt er in das Nest 1 ein rotes und in das Nest 2 ein blaues Ei. Nun versteckt er das Nest 1 besser als das Nest 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Pius das Nest 1 zuerst findet, ist nur halb so gross wie die Wahrscheinlichkeit, dass er das Nest 2 zuerst findet. a) Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm (mit Beschriftung und Angabe aller Astwahrscheinlichkeiten) zu der gegebenen Situation. Mithilfe dieses Baumdiagramms sollte es möglich sein, die Fragen b) und c) zu beantworten. b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pius im ersten Nest, welches er findet, zwei verschiedenfarbige Eier hat? c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es im ersten Nest, welches Pius findet, mindestens ein rotes Ei hat? d) Im Vorjahr hatte der Osterhase einen anderen Zauberkorb dabei. In diesem hatte es 3 rote Eier. Leider hat der Osterhase vergessen, wie viele blaue Eier im Korb waren. Beim Verteilen der Eier und Nestchen ist er gleich vorgegangen, wie schon beschrieben wurde. Wie viele blaue Eier waren im Zauberkorb vom Vorjahr, wenn Pius mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens ein blaues Ei in dem Nest hatte, welches er als erstes fand?

9 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 7 10 Wahrscheinlichkeitsrechnung Auf deinem PC hast du 12 Sendungen deiner Lieblingsserie gespeichert. Die Serie gefällt dir so gut, dass du dir die Sendungen immer wieder anschaust (auch mehrmals). 4 der 12 Sendungen hast du schon gesehen. Die Sendungen sind unabhängig voneinander. Es spielt also keine Rolle, in welcher Reihenfolge du die Sendungen anschaust. a) Für eine Zugreise wählst du zufällig 7 verschiedene Sendungen aus und kopierst diese von deinem PC auf dein Smartphone. 1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du 7 Sendungen erwischst, welche du noch nicht gesehen hast? 2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, das du genau 3 oder 4 der Sendungen, welche du schon gesehen hast, auf dein Smartphone geladen hast? b) An einem ruhigen Wochenende schaust du dir 7 Sendungen an. Wenn eine Sendung fertig ist, wählst du zufällig wieder eine aus - ohne darauf zu achten, ob du die Sendung schon gesehen hast. 1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du an diesem Wochenende nur Sendungen zu sehen bekommst, welche du schon kennst? 2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mindestens eine derjenigen Sendungen zu sehen bekommst, welche du vorher noch nie gesehen hast? 3. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 oder 3 Sendungen solche sind, welche du schon früher gesehen hast?

10 Matura Mathematik - Gymnasium Immensee 8 11 Kombinatorik Eine Maturaklasse besteht aus 10 Männern und 15 Frauen. Im Mathe- Fachschaftszimmer hat es 5 Reihen à je 5 Plätze. a) Wie viele Sitzordnungen gibt es, wenn nur die Männer anwesend sind und diese in den ersten zwei Reihen sitzen sollen? b) Wie viele Sitzordnungen gibt es, wenn die ganze Klasse anwesend ist und alle Männer zusammen entweder in den ersten beiden oder in den letzten beiden Reihen sitzen sollen? c) Wie viele Sitzordnungen gibt es, wenn nur die Frauen anwesend sind und sich beliebig auf allen Plätzen verteilen können? d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus dieser Maturaklasse ein Team aus 10 Personen zusammen zu stellen, wenn in diesem Team genau 4 Männer und 6 Frauen sein sollen? Sollte dein Taschenrechner mit mit den grossen Zahlen nicht zurecht kommen (OVERFLOW), reicht es, wenn du die Rechnungen, bzw. die Formeln mit den korrekten Zahlen angibst. 12 Statistik In einem fiktiven Land wurde eine Umfrage zu den Lohnhöhen gemacht. Befragt wurde eine Stichprobe von 100 Personen: Lohn Anzahl Personen Münzen Münzen Münzen Münzen 20 a) Berechne den Mittelwert der Löhne in diesem Land. b) Wie gross ist die Standardabweichung der Löhne? c) Wie gross wäre die Standardabweichung, wenn in dem fiktiven Land nur 100 Personen wohnen würden?

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