Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

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1 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes (SOP)

2 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen Allgemeine Form eines Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen (NLP) min f (x) x s.t. h i (x) = 0, i = 1, 2,..., p; g j (x) 0, j = 1, 2,..., m. wobei f, g i, h j : R n R sind mindestens einmal differenzierbare Funktionen und x R n. Zulässigen Menge von NLP: x R n ist einer zulässige Punkt für NLP wenn h i (x) = 0, i = 1, 2,..., p und g j (x) 0, j = 1, 2,..., m. Die Menge alle zulässige Punkte von NLP ist F := { x R n h i (x) = 0, i = 1,..., p; g j (x) 0, j = 1,..., m }. bekannt als die zulässige Menge von NLP.

3 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen... Manchmal ist es bequemer, die Nebenbedingungen des NLP in kompakter Form zu schreiben, wie wobei Beispiel: h(x) = 0, g(x) 0, h 1 (x) g 1 (x) h 2 (x) g 2 (x) h(x) = and g(x) =.. h p (x) g m (x) (NLP1) { } 1 min x 2 x2 1 + x 1x2 2 s.t. x 1 x = 0, x x 2 0, x 2 0.

4 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen... Im Beispiel Problem NLP1 oben: es gibt nur eine Gleichungsnebenbedingung h 1 (x) = x 1 x und zwei Ungliechungsnebenbedingungen g 1 (x) = x x 2 0 und g 2 (x) = x 2 0. Beachten Sie, dass der Punkt x = (1, 1) ein zulässiger Punkt ist; während der Punkt (0, 0) nicht zulässig ist (oder unzulässig); d.h. x = (0, 0) gehört nicht in der zulässigen Menge {( ) } x1 F = R 2 x x 1 x2 2 1 = 0, x2 1 + x 2 0, x Optimale Lösung Ein Punkt x R n eine optimale Lösung des beschränkten Problems NLP genau dann, wenn (i) x ist einer zuläassige Punkt für NLP. D.h. x F und (ii) f (x) f (x ) für alle x F.

5 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen... Für das Beispiel Problem NLP1, der Punkt (x ) = (1, 1) ist eine optimale Lösung. Im Allgemeinen ist es nicht einfach, eine optimale Lösung eines beschränkten Optimierungsproblems zu bestimmen. Frage: (Q1) Wie können wir überprüfen, ob ein gegebener Punkt x R n eine optimale Lösung des NLP ist? ( Diese ist etwa über Optimalitätskriterien. ) (Q2) Welche Methoden stehen zur Verfügung, um eine optimale Lösung des NLP zu finden? ( Diese ist über Berechnung von optimalen Lösungen. ) Definition (Aktive Nebenbedingungen) Sei x ein zulässiger Punkt des NLP. Eine Ungleichungsnebenbedingung g i (x) 0 ist aktiv in x wenn g i (x) = 0. Die Menge A(x) = {i {1, 2,..., m} g i (x) = 0} ist die Indexmenge der aktiven Nebenbedingungen in x.

6 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen Optimalitätskriterien Für das Beispiel NLP1 Problem, die Nebenbedingung g 1 = x x 2 ist an der Stelle x = (1, 1) aktiv, während g 2 (x) = x 2 ist nicht aktiv. Daher, A = {1}. Abstiegsrichtung Ein Vektor d ist Abstiegsrichtung für die Zielfunktion f in Punkt x wenn f (x + d) f (x). Eine Bewegung vom Punkt x in Richtung d verringert die Funktion f. Jeder Vektor d mit der Eigenschaft d f (x) 0 ist eine Abstiegsrichtung. Um dies zu überprüfen, verwenden Sie Taylor-Approximation 1. Ordnung: f (x + d) f (x) + d f (x). Daraus folgt, dass f (x + d) f (x) = d f (x) 0 f (x + d) f (x) 0. Daher, f (x + d) f (x) und d ist eine Abstiegsrichtung. NB: Wenn d ein Abstiegsrichtung ist, dann d = αd, α > 0, ist auch ein Abstiegsrichtung.

7 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen Optimalitätskriterien Zulässigerichtung Sei x einer Zulässigepunkt (d.h. x F) und d einer Vektor in R n. Wenn (i) h i (x + d) = 0, i = 1,..., p und (ii) g j (x + d) 0, j = 1,..., m, dann d ist eine Zulässigerichtung für das NLP. Sei x einer Zulässiger Punkt. Wenn ein Vektor d erfüllt d h i (x) = 0, i = 1,..., m und d g j (x) < 0, j A(x), dann d = αd ist eine Zulässigerichtung in x für ein α > 0. Um dies zu überprüfen, verwenden Sie die Taylor-Approximation 1. Ordnung. i = 1,..., p : h i (x + αd) h i (x) +α d h i (x); h i (x + d) = 0, } {{ } } {{ } =0 =0 j A(x) : g j (x + αd) g j (x) +α d g j (x) g j (x + d) 0; } {{ } } {{ } 0 <0 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in j / A(x) : g j (x + αd) g j (x) +αd die Theorie, Numerische g j (x) g j (x + d) Methoden und Anwendungen 0, for 0 < α g j (x) } {{ } } {{ } d if d g j (x) > 0. g j (x) non active constraints <0

8 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen Optimalitätskriterien Optimalitätskriterium Wenn x ist eine optimale Lösung des NLP, dann gibt es kein Vektor d R n das ist gleizeitg ein Abstieg Richtung für f und eine zuläassigetichtung in x ist. Das heißt, wenn x eine optimale Lösung des NLP, dann die folgende System von Ungleichungen d f (x ) < 0, d h i (x ) = 0, i = 1,..., p; d g j (x ) < 0, j A(x ) äquivalent [ f (x )] d > 0, [ h i (x ) ] d = 0, i = 1,..., p; [ g j (x )] d < 0, j A(x ) (1) besitzt keine Lösung d. Satz vn Farkas Gegeben sei einer Menge von Vektoren c, a i, b j R n, i = 1,..., m; j = 1,..., l. Dann genau nur eine der beiden folgenden Systems hat eine Lösung System I: c d > 0, a i d = 0, i = 1,..., p; b j d < 0, j = 1,..., m p l System II: c = λ i a i + µ j b j, µ > 0, λ R l. Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung i=1 in die j=1theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

9 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen Optimalitätskriterien Wenn nun c = f (x ), a i = h i (x ), i = 1,..., p und b j = g j (x ), j A(x ), dann, da x ein optimaler Punkt ist, dann nur System II verfügt über ein Lösung. Wenn also x ist eine optimale Lösung des NLP, so gibt es Vektorens λ R m, λ = (λ 1, λ 2,..., λ m ) und µ R l, µ = (µ 1, µ 2,..., µ l ) > 0 so dass f (x ) = m l λ i h i (x ) + µ j g j (x ) i=1 j=1 wobei l = #A(x ). Sei nun µ j = 0 für j {1,..., m} \ A(x ), dann können wir schreiben f (x ) = m i=1 λ i h i (x ) + m j=1 µ j g j (x ).

10 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen Optimalitätskriterien Die Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Optimalitätskriterium Wenn x ist ein Minimum von NLP, dann gibt es λ inr p und µ R n, µ 0, so dass die folgenden Bedingungen gelten: f (x ) + m λ i h i (x ) + i=1 m µ j g j (x ) = 0 (Optimalität) j=1 h(x ) = 0 (zulässigkeit) g(x ) 0 (Nichtnegativitätsbedingungen) µ 0 (Komplementarität) µ j g j (x ) = 0, j = 1,..., m.

11 ... Optimalitätskriterien Die Funktion L(x, λ, µ) = f (x) + m λ i h i (x) + i=1 m µ j g j (x) j=1 ist die Lagrange-Funktion des NLP. Beispiel: Lösen Sie das folgende Optimierungsproblem: (NLP2) { min f (x) = x 2 x 1 x2 2 (2) s.t. (3) } x 1 + 2x = 0 (4) x 1 x 2 3. (5) Lösung: Lagrange Funktion L(x, λ, µ) = (x 2 1 x 2 2 ) + λ(x 1 + 2x 2 + 1) + µ(x 1 x 2 3).

12 ... Optimalitätskriterien Optimalitätsbedingungen: Zulässigkeit L = 0 2x 1 + λ + µ = 0 x 1 = 1 (λ + µ) x 1 2 (6) L = 0 2x 2 + 2λ µ = 0 x 2 = 1 (2λ µ) x 2 2 (7) h(x) = 0 x 1 + 2x = 0 1 (λ + µ) + (2λ µ) + 1 = 0 2 λ = µ 2 3 Komplementarität µg(x) = 0 µ(x 1 x 2 3) = 0 µ ( 12 (λ + µ) 12 ) (2λ µ) 3 = 0 ( µ 1 [(µ 23 ] 2 ) + µ 1 [2(µ 23 ] ) 2 ) µ 3 = 0 µ [ 32 ] µ 2 = 0 µ = 0 or µ = 4 3. µ = 4 3 < 0 ist nicht erlaubt. Daher, µ = 0 ist die einzige Möglichkeit. Damit erhalten wir λ = µ 2 3 = 2 3.

13 ... Optimalitätskriterien Nut mit µ = 0 und λ = 1 x 1 = 1 2 (λ + µ ) = 1 2 ( ) = 1 3 (8) x 2 = 1 2 (2λ µ ) = 1 2 (2 ( 2 3 ) 0) = 2 3. (9) Der Punkt x = ( 1 3, 2 3 ) ist ein Kandidat für Optimalität. beachten Sie:, dass tder Nebenbedingung g(x) = x 1 x ist nicht aktiv in x. Im Allgemeinen sind die KKT Bedingungen nur notwendigen Optimalitätsbedingungen.

14 ... Optimalitätskriterien Hinreichende Optimalitätsbedingungen Seien die Funktionen f, h i, i = 1,..., p; g j, j = 1,..., m zweimal differenzierbar und x ein zulässiger Punkt des NLP. Wenn es Lagrange-Multiplikatoren λ und µ 0 gibt, so dass: (i) die KKT Bedingungen sind für (x, µ, λ ) erfüllt; und (ii) und die Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion p m x L(x, λ, µ ) = 2 f (x ) + λ i 2 h j (x ) + µ j 2 g j (x ) i=1 j=1 ist positiv definite (d.h. d x L(x, λ, µ )d > 0) für d aus dem Unterraum S = { d R n d h i (x ) = 0, i = 1,..., p; d g j (x ) = 0, µ j > 0, j A(x ) }, dann ist x eine optimale Lösung des NLP. Für das Problem NLP2, da g(x ) < 0 (inaktiv) haben wir ( S = {d R 2 d h(x ) = 0} = {d R 2 1 (d 1, d 2 ) = 0} = {d R 2) 2 d 1 = 2d 2 }. ( ) x L(x, λ, µ 2 0 ) =. Für d 0 2 = (d 1.d 2 ) S, d 0 (merke: wenn d 1 0, dann d 2 0 und umgekehrt.) ( 2 0 (d 1, d 2 ) 0 2 ) ( d1 ( ) Deshalb, x = 13, 2 ist eine optimale Lösung von NLP2. 3 ) ( ) ( ) 2 0 2d2 = ( 2d d 2, d 2 ) = 2d d 2 > 0. 2

15 Numerische Methoden für Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen Außer in sehr trivial Fälle, Lösung eines Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen analytisch ist keine einfache Aufgabe. Deshalb derzeit gibt es mehrere numerische Methoden, um eine approximative Lösung (en) für eine beschränkte Optimierungsproblemeaufgabe zu bestimmen. Einige bekannte Gradienten-basierte Methoden sind: (I) Die sequentiell quadratische Programmierung (SQP)-Methode (II) Das Interior Point Methode (III) Straffunktion Methoden (IV) Die Augmented Lagrange Verfahren, etc Heutzutage sind SQP-basierte Algorithmen sehr beliebt für die Lösung nichtlinearen Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen. In der SQP-Verfahren: ausgehend von einem vorgegebenen Punkt x 0 wird eine Itarations Folge x k+1 = x k + α k d k erzeugt, in dem d k durch Lösen quadratische Optimierungsprobleme bestimmen ist.

16 Quadratische Optimierung (Programmierung) Probleme Quadratische Optimierung Probleme erscheinen in mehreren Ingenieurwissenschaftliche-Anwendungen. Einige Anwendungsgebiete: Approximationen durch Methode der kleinsten Quadrat (Regression), Filterentwurf in der Signalverarbeitung, Verbesserung der Bildschärfe und Entrauschung in der Bildbearbeitung, Optimale Entwurf Regelgrößen in der Regelungstechnik (z.b. Modellprädiktive Regelung (MPC)), im SQP-Verfahren für NLP, u.s.w.

17 Quadratische Optimierung... (I) Quadratische Programmierung Probleme mit Gleichungsnebenbedingungen (QP) min x { s.t. } f (x) = x Qx + q x (10) Ax = b, (11) wobei: Q R n n ist symmetrisch (d.h. Q = Q) und positiv definit. x R n die (unbekannte) Optimierungsvariabel; q R n ist einer vorgegebener vektor. A R m n und b R m sing vorgegeben; d.h. es gibt m Gleichungsnebenbedingungen. Rang von A: rank(a) = m.

18 Quadratische Optimierung... Die Lagrange-Funktion für (QP): Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen: L(x, λ) = x Qx + q x + λ (Ax b). L x = 0 Qx + A λ = q (12) L = 0 Ax = b. (13) λ Daraus folgt [ ] [ [ ] Q A x q = A 0 λ] c [ ] Q A Wenn Q ist positiv definit und rank(a) = m, dann ist invertierbar und A 0 [ [ ] x Q A = λ] 1 [ ], q A 0 c x = Q 1 q + Q 1 A ( AQ 1 A ) 1 ( b + AQ 1 q ) ( λ = AQ 1 A ) 1 ( b + AQ 1 q ).

19 Quadratische Optimierung... Beispiel: Ein Material Abfluss aus Behälter R1 und R2 fließt ins Behhälter R3. Die Fließgeschwindigkeit von R1 wird gemessen, um F1 M = 6.5m 3 /h und von R2 um F2 M = 14.7m 3 /h. Als Ergebnis dieser beiden Zuflüsse, wird die veränderung der Zuflussgeschwindigkeit ins R3 um F3 M = 19.8m 3 /h gemessen. Von der Durchflussmessgeräte entstehen jeweils Messfehler mit Standardabweichungen: σ 1 = 0.1m 3 /h, σ 2 = 0.2m 3 /h and σ 3 = 0.3m 3 /h. Formuliere ein Optimierungsproblem, um die tatsächlichen Volumenströme zu bestimmen. Lösung: Seien F 1, F 2 and F 3 die tatsächlichen Volumenströmen. Beachte, dass F i = Fi M ± η i σ i, i = 1, 2, 3; Die Größe ±η i σ i = F i Fi M stellt Messfehler. Um die Summe alle diese Messfehler zu minimieren {( ) ( ) ( F1 F1 M F2 F2 M F3 F3 M min + + (F 1,F 2,F 3 ) σ 1 σ 2 σ 3 s.t. F 1 + F 2 = F 3. )}

20 Quadratische Optimierung... Zielfunktion: 2 f (x) = 1 2 (F 1, F 2, F 3 ) σ σ 2 2 } {{ } =Q F 1 F F 3 σ3 2 ( 2 σ 1 F M 1, 2 σ 2 F M 2, 2 σ 3 F M 3 } {{ } =q [ ] F M 2 [ ] + 1 F M 2 [ ] + 2 F M σ 1 σ 2 σ 3 } {{ } =kconstant ) F 1 F 2 + F 3 Nebenbdinung: 1 1 F 1 F 2 = 0 1 F 3 } {{ } =A

21 Quadratische Optimierung... (II) Quadratische Optimierungsprobleme mit Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen (QP) { } min x f (x) = x Qx + q x (14) s.t. (15) a i x = b i, i = 1, 2,..., p (16) a i x b i, i = p + 1,..., m. (17) wobie Q symmetrisch und positiv definit. Setze A = [a 1, a 2,..., a p], a = (b 1, b 2,..., b p), B = [a p+1, a p+2,..., a m] und b = (b p+1, b p+2,..., b m) Dann (QP) kann kompakt geschrieben werden als: { } (QP) min f (x) = x Qx + q x x (18) s.t. (19) Ax = a (20) Bx b. (21) Im Allgemeinen, (QP)s mit Ungleichungsnebenbedingungen sind nicht leicht analytisch zu lösen.

22 Quadratic optimization... Active set Methode Active Set Verfahren Strategie: Start mit einem beliebigen Punkt x 0 Finde den nächsten Iterationspunkt durch x k+1 = x k + α k d k, wobei α k ist ein Schritt-Länge und d k Suchrichtung. Frage Wie bestimmt man die Suchrichtung d k? Wie ermittelt man den Schritt-Länge α k? (A) Bestimmung der Suchrichtung: An der aktuellen Iterierten x k bestimme den Indexmenge der aktiven Nebenbedingungen A k = {i a i x k b i = 0, i = p + 1,..., m} {1, 2,..., p}.

23 Quadratic optimization... Active set Methode Löse folgende (QP), um eine Suchrichtung d k zu bestimmen. { } 1 min d 2 (xk + d) Q(x k + d) + q (x k + d) s.t. a i (x k + d) = b i, i A k. Erweitern die Zielfunktion und die Nebenbedingungen 2 1 (xk + d) Q(x k + d) + q (x k + d) = 1 2 d Qd d Qx k (xk ) Qd (xk ) Qx k + q d + q x k ( ) a i x k + d = b i a i d = b i ai x k = 0. Vereinfachen diese Ausdrücke und vernachlässigen die Konstanten { 1 [ ] } min d 2 d Q + d + Qx k + q d s.t. a i d = 0, i A k. Set a 1 A = a2, i Ak.. Lösen Sie dieses Problem mit dem Hilfe der KKT Bedingungen um ein d k zu bestimmen.

24 Quadratic optimization... Active set Methode (A) Bestimmung der Schrittlänge: Sobald Sie d k bestimmt haben berechnen Sie α k durch α k = min [1, b i ai x k ] ai d k, für ai d k < 0 und i / A k

25 Nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen Anwendungsbeispiel Ein Gleichstrom-Wärmetauscher mit einer gegebenen Länge ist zu entwerfen. Die Wärmeleitrohre, alle mit dem gleichen Durchmesser, werden in einer äußeren Schale mit einem Durchmesser D = 1 m eingeschlossen (siehe Abbildung). Der Durchmesser von jedem der Wärmeleitrohre darf 60 mm nicht überschreiten. Bestimmen Sie die Anzahl der Rohre und deren Durchmesser, damit die Wärmeleitfläche am größten wird.

26 Nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen Lösung: Zilefunktion: Sei n die Anzhal Wärmeleitrohre. Zielfunktion Größe der Wärmeleitfläche: [ ( ) d 2 ] f (n, d) = n π 2 Nebenbdingungen: ( ) d 2 ( ) D 2 nπ π = pi (22) d 60mm = 0.06m. (23) Optimierungsaufgabe (NLP) max (n,d) {f (n, d) = π4 nd2 } s.t. π 4 nd2 π 4 d n ganzzahlig.

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