Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester Übungsblatt 13

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1 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Prof. Dr. Dres. h.c. Hans Georg Bock Dr. Christian Kirches Dipl.-Phys. Simon Lenz Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester 2014 Übungsblatt 13 Achtung: Dieser Zettel muss nicht schriftlich bearbeitet und abgegeben werden. Nutzen Sie die hier aufgelisteten Wiederholungsfragen stattdessen, um sich auf die mündliche Prüfung vorzubereiten. Hinweis: Versuchen Sie, bis zur Prüfung in der Lage zu sein, zu jeder hier angegebenen Frage einen kurzen mündlichen Vortrag von ein bis zwei Minuten halten zu können, und dabei die relevanten Gleichungen hinschreiben zu können. Fragen zu Kapitel 1: Modellierung dynamischer Systeme 1. Was ist der Unterschied zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und differential-algebraischen Gleichungen (ODE und DAE)? 2. Wie ist der Index einer DAE definiert? Wann sagt man, die DAE hat Index 1? 3. Wie lassen sich DAEs in ODEs transformieren? 4. Was sind ODEs mit zustandsabhängigen Unstetigkeiten? Was versteht man unter einer Schaltfunktion? 5. Geben Sie ein konkretes Beispiel für eine ODE mit zustandsabhängiger Unstetigkeit. Fragen zu Kapitel 2: Randwertprobleme 6. Was ist der Unterschied zwischen einem Randwertproblem und einem Anfangswertproblem? 7. Was ist die Variationsdifferentialgleichung zu einer ODE? Was versteht man unter einer Übertragungsmatrix (auch Wronski-Matrix )? 8. Was besagt die Trompetenabschätzung? 9. Geben Sie ein allgemeines 2-Punkt-Randwertproblem an. 10. Was sind Mehrpunkt-Randbedingungen? 11. Wie kann man ein 2-Punkt Randwertproblem mit freier Endzeit auf ein Randwertproblem auf dem Intervall [0, 1] transformieren? 12. Was ist ein lineares Randwertproblem? Wann ist es eindeutig lösbar? 13. Nennen Sie drei Ihnen bekannte Lösungsverfahren für Randwertprobleme, und diskutieren Sie die Unterschiede. 14. Was ist die Idee des Einfach-Schießverfahrens? 15. Was ist die Idee des Mehrzielverfahrens? 16. Welche Vorteile bietet das Mehrzielverfahren? 17. Was ist die Idee der Kollokation? Welcher Zusammenhang besteht zu Runge-Kutta Verfahren? 18. Skizzieren Sie die Blockstruktur der Jacobi-Matrix beim Mehrzielverfahren für ein 2-Punkt- Randwertproblem.

2 19. Was ist die Idee des Kondensieralgorithmus? 20. Was ist interne numerische Differentiation (IND)? 21. Vergleichen Sie externe und interne numerische Differentiation (END und IND). Was ist der wesentliche Vorteil der IND? 22. Wie verhalten sich interne numerische Differentiation (IND) und numerische Lösung der Variationsdifferentialgleichung zueinander (im Fall von ODEs bzw. DAEs und bei Einsatz von linearen Diskretisierungsschemata)? 23. Geben Sie den lokalen Kontraktionssatz für (exakte) Newtonverfahren an. Fragen zu Kapitel 3: Optimale Steuerung 24. Geben Sie ein allgemeines Optimalsteuerungsproblem mit Bolza-Zielfunktional, 2-Punkt Randbedingungen, und allgemeinen Pfadbeschränkungen (Zustands- und Steuerungsbeschränkungen) an. 25. Wie kann man ein Optimalsteuerungsproblem mit Lagrange-Term in ein Optimalsteuerungsproblem mit Mayer-Term im Zielfunktional transformieren? 26. Wie kann man die ODE ẋ = f(t, x) eines nichtautonomen Systems in eine autonome ODE ẏ = g(y) transformieren? 27. Wie kann man die ODE ẋ = f(t, x, p) mit Parametern p in ein System der Form ẏ = g(t, y) (d.h. ohne Parameterabhängigkeit) transformieren? 28. Wie kann man ein (unbeschränktes) Optimalsteuerungsproblem mit freier Endzeit in ein Optimalsteuerungsproblem auf festem Horizont umwandeln? 29. Was versteht man unter direkten Methoden zur Optimalsteuerung? 30. Geben Sie drei Beispiele zur Parametrisierung der Steuerungen bei direkten Methoden. 31. Skizzieren Sie drei direkte Methoden der Optimalsteuerung. 32. Wie sollten im Mehrzielverfahren das Gitter zur Diskretisierung der Steuerungen und das Gitter der Mehrzielknoten gewählt werden? Warum? 33. Was versteht man unter einem regulären Punkt eines nichtlinearen Programms (NLP)? Was verstehen wir unter der constraint qualification [CQ]? 34. Definieren Sie die Lagrange-Funktion eines NLP min x f(x) s.t. g(x) = 0, h(x) Geben Sie die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung (Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen) an, d.h. ergänzen Sie: Sei x reguläres lokales Minimum eines NLP min x f(x) s.t. g(x) = 0, h(x) 0 und f, g, h C 1. Dann Was versteht man unter strikter Komplementarität? 37. Was ist eine aktive Ungleichung? 38. Geben Sie notwendige Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung an, d.h. ergänzen Sie: Sei x reguläres lokales Minimum eines NLP min x f(x) s.t. g(x) = 0, h(x) 0 und f, g, h C 2. Dann Skizzieren Sie eine Iteration des SQP Verfahrens zur Lösung des NLP min x f(x) s.t. g(x) = 0, h(x) Wie sieht die KKT-Matrix eines gleichungsbeschränkten NLP aus?

3 41. Wie ist die lokale Konvergenzrate eines Vollschritt SQP Verfahrens mit exakter Hessematrix? Welcher Zusammenhang besteht zum Newton Verfahren? 42. Welche Struktur hat die exakte Hessematrix üblicherweise beim direkten Mehrzielverfahren? Welche Eigenschaften müssen Zielfunktion und Nebenbedingungen erfüllen, damit die Hessematrix diese Struktur hat? Fragen zu Kapitel 4: Parameterschätzung 43. Geben Sie ein Standard Parameterschätzproblem bei gewöhnlichen Differentialgleichungen mit allgemeinen 2-Punkt-Randbedingungen an. 44. Nehmen Sie das Messmodell η i = h i (p) + ɛ i an, i = 1,..., N, wobei ɛ i unabhängig und N (0, σ 2 i )- normalverteilt sind. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P(η p) explizit an. 45. Geben Sie das unbeschränkte Least-Squares Parameterschätzproblem an, das für das Messmodell η i = h i (p) + ɛ i, i = 1,..., N, ɛ i unabhängig und N (0, σi 2 )-normalverteilt, die Likelihood P(η p) maximiert. Welcher einfache Zusammenhang besteht zwischen der Least-Squares Zielfunktion und P(η p)? 46. Welcher Zusammenhang besteht zwischen P(η p) und P(p η)? Wie kann man dies für die Parameterschätzung mit a-priori Information P(p) nutzen? 47. Welcher Annahme an die a-priori Wahrscheinlichkeitsverteilung P(p) ensprechen obere und untere Grenzen p min p p max als Nebenbedingungen im Parameterschätzproblem? 48. Welcher Verteilungs-Annahme an die Messfehler ɛ i = η i h i (p) entspricht die Zielfunktion Σ N i=1 η i h i (p) σ i? 49. Skizzieren Sie eine Iteration des Verallgemeinerten Gauss-Newton Verfahrens (VGN). Wie unterscheidet sich das VGN- vom SQP-Verfahren? Welches ist allgemeiner einsetzbar? 50. Diskutieren Sie die Unterschiede zwischen dem Mehrzielverfahren und der Kollokation für die Parameterschätzung. 51. Skizzieren Sie das Prinzip eines Kollokationsverfahrens. 52. Wie ist die Moore-Penrose Pseudoinverse A einer Matrix A R m n definiert? Ist die Moore- Penrose Pseudoinverse eindeutig? 53. Wann ist die Moore-Penrose Pseudoinverse A gleich (A T A) 1 A T? Wann nicht? 54. Wie kann das lineare unbeschränkte Ausgleichsproblem min x R n F + Jx 2 2 werden (unter den Annahmen J = R m n, m > n, Rang(J) = n)? numerisch gelöst 55. Wie viele Lösungen von min x R n F + Jx 2 2 gibt es, wenn Rang(J) < n? Welche Lösung des Problems min x R n F + Jx 2 2 erhält man durch J F? 56. Skizzieren Sie, warum bei bei Rang(J) = n die Lösung von min x R n F +Jx 2 2 durch (J T J) 1 J T F gegeben ist. Warum ist die Darstellung x = (A T A) 1 A T b der Lösung zur numerischen Berechnung ungeeignet? 57. Betrachten Sie das lineare beschränkte Ausgleichsproblem min x R n F 1+J 1 x 2 2 s.t. F 2+J 2 x = 0. Was verstehen wir unter der Annahme [CQ], was unter [PD]? 58. Geben Sie eine explizite Form der vollrangigen Verallgemeinerten Inverse J + für ein lineares gleichungsbeschränktes Ausgleichsproblem der Form min x R n F 1 + J 1 x 2 2 s.t. F 2 + J 2 x = 0 an, unter Annahme von [CQ] und [PD].

4 59. Kann man eine sinnvolle verallgemeinerte Inverse J + definieren, wenn [CQ], aber nicht [PD] gilt? Falls ja, was berechnet dann J + F? 60. Skizzieren Sie den Kondensieralgorithmus im Mehrzielverfahren für die Parameterschätzung. Welche Freiheitsgrade verbleiben im kondensierten Problem? 61. Unter welcher Bedingung ist der Kondensieralgorithmus numerisch stabil? 62. Geben Sie die Omega-Bedingung des Lokalen Kontraktionssatzes für eine Newton-artige Iteration der Form x k = M(x k )F (x k ) an. Wie kann man ω interpretieren? 63. Geben Sie die Kappa-Bedingung des Lokalen Kontraktionssatzes für eine Newton-artige Iteration der Form x k = M(x k )F (x k ) an. Wie kann man κ interpretieren? 64. Wie groß ist die lokale Kontraktionsrate δ k in x k+1 δ k x k bei gegebenem ω und κ? 65. Unter welchen Bedingungungen konvergiert das Verallgemeinerte Gauss-Newton Verfahren, wenn man dicht an einer Lösung x startet? 66. Welche statistisch ungünstige Eigenschaft hat eine lokale Lösung x eines nichtlinearen Ausgleichsproblems min x R n F 1(x) 2 2 s.t. F 2(x) = 0 mit κ(x ) > 1? 67. Warum sind verallgemeinerte Gauß-Newton zur Lösung von Parameterschätzproblemen besonders geeignet? 68. Wie groß ist das lokale κ in der Lösung eines Least-Squares Ausgleichsproblems mit perfekter Übereinstimmung zwischen Modell und Messdaten? 69. Von welcher Größe hängt entscheidend ab, ob die lokale Lösung x eines nichtlinearen Ausgleichsproblems gegen Spiegelung der Messdaten an der Modellvorhersage stabil ist? 70. Was versteht man unter dem Zufallsanteil der Hessematrix bei nichtlinearen Ausgleichsproblemen? 71. Wie kann man man die Kovarianzmatrix C der Parameterschätzwerte x (η) berechnen, wenn die Varianz der Messfehler bekannt ist? Motivieren Sie diese Formel. 72. Interpretieren Sie die Diagonalelemente C ii der Kovarianzmatrix C. 73. Wie ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden, χ 2 n, definiert? Wie kann man ihre Quantile interpretieren? 74. Interpretieren Sie die Aussage: x [x θ, x +θ] mit Irrtumswahrscheinlichkeit α (x : Lösung des Parameterschätzproblems, x: wahre Werte der Parameter bzw. korrekte Werte ). Was sind Zufallsgrößen, was nicht? 75. Falls der Schätzer x einer skalaren Größe um den wahren Wert normalverteilt ist, x N ( x, σ 2 ), mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit gilt dann x [x σ, x + σ]? Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit gilt x [x 2σ, x + 2σ]? 76. Wie definiert man für ein beschränktes Ausgleichsproblem das linearisierte Konfidenzgebiet G L (α) (bei bekannter Kovarianzmatrix Σ der Messungen)? 77. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das Gebiet G L (α) den wahren Wert x? Wann gilt diese Wahrscheinlichkeitsaussage exakt, wann nur näherungsweise? Fragen zu Kapitel 5: Optimale Versuchsplanung 78. Welche verschiedenen Größen stehen dem Experimentator im Wesentlichen zur Verfügung, um die Versuchsbedingungen zu verändern?

5 79. In welchem Zusammenhang steht die Kovarianzmatrix C mit ellipsenförmigen Konfidenzgebieten? Welche Länge hat die längste Halbachse des Konfidenzgebietes? 80. Welche Seitenlängen hat der kleinste achsenparallele Quader, der die Menge {x x T C 1 x γ} ganz enthält. Skizzieren Sie. 81. Nennen Sie mindestens drei skalare Funktionen der Elemente der Kovarianzmatrix zur Messung der Güte einer Parameterschätzung. Interpretieren sie diese geometrisch am Konfidenzellipsoid. 82. Wie wird die Kovarianzmatrix C durch eine zusätzliche Messung verändert? Wachsen oder fallen die Gütekriterien Φ A (C) etc. dadurch? 83. Beschreiben Sie, wie man bei der sequentiellen Versuchsplanung vorgeht. Webseite: