Optimierung für Nichtmathematiker

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1 Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den Übungen können Bestandteil der Prüfung sein. Einführung und Motivation (1) Wie sieht ein Optimierungsproblem in allgemeiner Form aus? Nennen Sie Beispiele! (2) Was ist die zulässige Menge einer Optimierungsaufgabe? Was zeichnet ein unbeschränktes und ein unbeschränktes Problem aus? (3) Definieren Sie die Begriffe lokale und globale Lösung einer Optimierungsaufgabe! (4) Worin unterscheiden sich verschiedene Klassen von Optimierungsaufgaben? Warum ist es wichtig, eine gegebene Optimierungsaufgabe einer Klasse zuordnen zu können? (5) Nennen Sie ein oder zwei Beispiele von Klassen von Optimierungsaufgaben [z.b. Lineare Programme (LP), Nichtlineare Programme (NLP) etc.]. Wodurch zeichnen sich diese aus? Freie Optimierung (6) In praktischen Optimierungsaufgaben haben wir nicht immer f(x) in einer analytischen Form f(x) = x 2 sin(x) vorliegen. Sondern? (7) Welche Gestalt (Formel) hat eine lineare Funktion f : R n R? Und eine quadratische Funktion? (8) Wie sehen die ersten und zweiten Ableitungen einer beliebigen Funktion f : R n R aus? [Gradient, Hessematrix] (9) Was versteht man unter einem linearen bzw. einem quadratischen Modell einer Funktion f(x) in der Nähe eines Punktes x? (10) Welche Informationen über die Funktion benötigt man, um ein gutes lineares Modell aufzustellen? (11) Was versteht man unter einer Niveaumenge und einer Niveaulinie einer Funktion f(x)? Welche Beziehung besteht zwischen der Niveaulinie und dem Gradienten einer Funktion? (12) Was ist eine konvexe Funktion? Wiese spielen diese bei der Optimierung eine besondere Rolle?

2 (13) Nennen Sie notwendige Optimalitätsbedingungen 1. Ordnung sowie notwendige und hinreichende Bedingungen 2. Ordnung. (14) Nennen Sie Beispiele, bei denen man mit Hilfe dieser Bedingungen entscheiden kann / nicht entscheiden kann, ob an einer bestimmten Stelle ein lokales Minimum vorliegt. (15) Erklären Sie das Newton-Verfahren zur Nullstellensuche einer Funktion F : R n R n. (16) In welcher Form können wir das Newton-Verfahren zur Lösung von Optimierungsaufgaben einsetzen? Nennen Sie zwei verschiedene Motivationen des Newton-Verfahrens. Was wissen Sie über die Konvergenz des Verfahrens? (17) Wie wird eine Abstiegsrichtung h k bestimmt? Was versteht man unter einem Line-Search-Verfahren? Welche Abbruchbedingungen verwendet man im Line Search? (18) Wie unterscheidet sich das Konvergenzverhalten eines Line-Search-Verfahrens, wenn einmal als Suchrichtung die Newton-Richtung und einmal die Richtung des steilsten Abstiegs verwendet wird? [etwa am Beispiel eines quadratischen Polynoms f(x) = (1/2)x Qx + q x + c] (19) Vergleichen Sie den Aufwand zur Bestimmung der Newton-Richtung und der Richtung des steilsten Abstiegs. (20) Was kann man tun, um bessere Suchrichtungen als die Richtungen des steilsten Abstiegs zu bekommen, wenn man den Aufwand der Bestimmung der Newton- Richtung vermeiden will? (21) Wie unterscheiden sich grundsätzlich Line-Search- und Trust-Region-Verfahren? (22) Beschreiben Sie grob den Ablauf eines Trust-Region-Verfahrens. Welche Rolle spielt der Fortschrittsfaktor ρ k? (23) Was ist der zu einem Trust-Region-Problem gehörige Cauchy-Punkt? Welche Bedeutung hat er? (24) Für welche Aufgabenstellung wurde das CG-Verfahren ursprünglich entwickelt? (25) Welche Modifikationen des CG-Verfahren sind erforderlich, um es zur approximativen Lösung des Trust-Region-Problems einsetzen zu können (Steihaug- CG)? (26) Was versteht man unter einem inexakten Newton-Verfahren und einer inexakten Newton-Richtung? (27) Wie lässt sich das CG-Verfahren einsetzen, um eine inexakte Newton-Richtung zu erhalten? Beschreiben Sie den grundsätzlichen Ablauf des Line-Search- Newton-CG-Verfahrens. (28) Was ist ein nichtlineares Kleinste-Quadrate-Problem? Wo kommen solche Auf

3 gaben vor? (29) Unter welchen Voraussetzungen spricht man von einem linearen Kleinste-Quadrate-Problem? Welche Gestalt hat dann die Zielfunktion? Was sind die Normalengleichungen? (30) Welche Gestalt haben die erste und zweite Ableitung der Zielfunktion f(x) bei einem nichtlinearen Kleinste-Quadrate-Problem? Was ist die Gauß-Newton- Approximation der Hessematrix 2 f(x)? Welche Vorteile bietet ihre Benutzung gegenüber der echten Hessematrix? (31) Wie kann man die erste (partielle) Ableitung einer Funktion mit Hilfe von Differenzenquotienten numerisch approximieren ( numerische Differentiation )? Auf welche numerischen Schwierigkeiten stößt man dabei? Welche Genauigkeit kann man bestenfalls für die berechnete Ableitung erwarten? (32) Was ist die Grundidee des Automatischen (Algorithmischen) Differenzierens? Wie unterscheiden sich Vorwärts- und Rückwärtsmodus? (33) Was versteht man unter ableitungsfreier Optimierung und direkten Suchverfahren? In welchen Situationen ist die Verwendung solcher Verfahren sinnvoll? Nennen Sie ein ableitungsfreies Optimierungsverfahren. Restringierte Optimierung (34) Wie lautet die typische Aufgabenstellung in der restringierten (beschränkten) nichtlinearen Optimierung? (35) Definieren Sie den Begriff lokales Optimum. (36) Veranschaulichen Sie an Beispielen die Begriffe tangentiale Richtung und Tangentialkegel. (37) Formulieren Sie notwendige Bedingungen 1. Ordnung mit Hilfe des Begriffs tangentiale Richtung/Tangentialkegel. (38) Was ist der linearisierte Tangentialkegel? Begründen Sie, warum inaktive Ungleichungen bei seiner Definition keine Rolle spielen. (39) Welcher Zusammenhang besteht zwischen zwischen dem Tangentialkegel T X (x) und dem linearisierten Tangentialkegel T lin (x)? Kennen Sie ein Beispiel für T X (x) T lin (x)? Welche Bedingung kann man stellen, damit T X (x) = T lin (x) gilt? (40) Formulieren Sie die KKT-Bedingungen, also: f(x) + λ i h i (x) + µ i g i (x) = 0 i E i I h i (x) = 0 µ i 0, g i (x) 0, µ i g i (x) = 0 (KKT) (41) Definieren Sie die Lagrange-Funktion. Formulieren Sie die erste Gleichung in

4 den KKT-Bedingungen mit ihrer Hilfe. (42) Bonusfrage: Ein lokales Optimum x erfüllt nicht automatisch die KKT-Bedingungen, d.h., die Existenz Lagrangescher Multiplikatoren µ und λ, sodass (x, µ, λ ) die KKT-Bedingungen erfüllt, ist nicht automatisch gesichert. Warum? (43) Beschreiben Sie die Philosophie von Strafverfahren und Barriereverfahren zur Lösung beschränkter Optimierungsaufgaben. Was sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede? Nennen Sie Beispiele für Strafterme und Barriereterme. (44) Erklären Sie eine der beiden Herleitungen des SQP-Verfahrens. (45) Welche Gestalt hat das in jedem Schritt zu lösende QP (quadratische Programm)? (46) Zählen Sie Möglichkeiten auf, die man zur Globalisierung (Verbesserung der globalen Konvergenzeigenschaften) von SQP-Verfahren verwenden kann. (47) Wie sieht eine Optimalsteueraufgabe mit gewöhnlicher Differentialgleichung aus? Geben Sie ein Beispiel für eine solche Aufgabe. (48) Was tut man, um eine solche unendlich-dimensionale Optimierungsaufgabe (bei der die Optimierungsvariablen Funktionen sind) zu überführen in eine endlich-dimensionale Optimierungsaufgabe? Konvexe und ganzzahlige Optimierung (49) Was versteht man unter einem Linearen Optimierungsproblem (Linearen Programm, LP)? (50) Wodurch zeichnen sich ein LP in Standardform bzw. in kanonischer Form aus? Kann man jedes LP in Standardform überführen? Welche anschauliche Bedeutung haben Schlupfvariablen? (51) Wie kann man ein LP mit zwei Variablen grafisch lösen? Wo liegt die Lösung / liegen die Lösungen immer? (52) Erklären Sie die Begriffe Basis, Nichtbasis, Basisvektor und zulässiger Basisvektor für das Polyeder X = {x R n : Ax = b, x 0}. Was haben diese Begriffe mit den Ecken des Polyeders zu tun? (53) Erläutern Sie den grundsätzlichen Ablauf eines Schrittes im Simplex-Algorithmus. Wie kann man erkennen, ob das LP unbeschränkt ist? (54) Wie erhält man einen ersten zulässigen Basisvektor (also die erste Ecke)? Wie kann man erkennen, ob das LP unzulässig ist? (55) Was ist das Heiratsproblem? Erläutern Sie die Begriffe bipartiter Graph und Matching. (56) Wie kann man das Heiratsproblem als Optimierungsaufgabe formulieren? Wel

5 che Eigenschaften hat diese Aufgabe? Kann man sie mit dem Simplex-Verfahren lösen? (57) Seien A Z m n eine Matrix und b Z m ein Vektor mit ganzzahligen Einträgen. Haben dann die Ecken des Polyeders X = {x R n : x 0, Ax = b} immer ganzzahlige Koordinaten? Warum ist diese Fragestellung überhaupt wichtig? (58) Nennen Sie Beispiele linearer Optimierungsaufgaben, die auf Graphen definiert sind. Warum spielt die Ganzzahligkeit der Lösung oft eine Rolle? Erläutern Sie eines der Beispiele genauer: Was sind die Matrix A, rechte Seite b, Kostenvektor c, sonstige Beschränkungen an x?

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