Korrelation (II) Korrelation und Kausalität

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1 Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen (x i, y i ) die Ausprägungen von (X, Y ) für das i-te Objekt. Fragestellung: Wie quantifiziert man den Zusammenhang zwischen X und Y? Definition 1. Die Größe: r xy = 1 n n (x i x) s x (y i y) s y = cov xy s x s y heißt Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient, oder einfach (linearer) Korrelationskoeffizient. Vorsicht: Druckfehler in der Formel in Statistik verstehen, Seite 191. Satz 2. Die lineare Korrelation r xy hat folgende Eigenschaften: (i) (ii) (iii) 1 r xy 1 r xy 1. r xy = 1 y i = ax i + b mit a > 0. r xy = 1 y i = ax i + b mit a < 0. (iv) Seien (v 1,..., v n ) und (w 1,..., w n ) beliebige lineare Transformationen der metrischen Daten (x 1,..., x n ) bzw. (y 1,..., y n ), wobei v i = ax i + b und w i = cy i + d. Dann gilt r vw = ac a c r xy. Beweis. (iv) Wegen Satz 6 (alt) gilt: cov vw = ac cov xy. Wegen Satz 2 (alt) gilt: s v = a s x und s w = c s y. Daraus folgt die Behauptung. 1

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3 Interpretation von r xy : Das Vorzeichen von r xy gibt die Richtung des Zusammenhangs an. Eine positive Korrelation gehört zu einem positiven Zusammenhang zwischen den Variablen, d.h. große (kleine) Werte der einen treten mit großen (kleinen) Werten der anderen auf. Bei einer negativen Korrelation verlaufen die Variablen konträr. r xy gibt die Stärke des (linearen) Zusammenhangs an. Wegen Satz 2 gilt: r xy 1. starke Korrelation 0.5 r xy 1 schwache Korrelation 0 r xy < 0.5 Eine Aussage über die Parameter eines linearen Zusammenhangs ist nicht möglich. Eine Aussage über mögliche Kausalbeziehungen zwischen den Merkmalen ist im Allgemeinen nicht möglich. 3

4 Mögliche Ursachen starker Korrelation (i) Kausalität. Starke (positive) Korrelation zwischen Vermögen und Alter einer Person (Kausalrichtung völlig klar) Auf einer Insel im südlichen Pazifik, starke (negative) Korrelation zwischen Körpertemperatur und Läusen auf dem Kopf. Trugschluss: Läuse senken Fieber, sind also gut für die Gesundheit. (Kausalrichtung nicht ganz klar) Über Ursache und Wirkung entscheidet keine Formel, sondern immer nur das Sachproblem. (ii) Zufall. In den 60er und 70er Jahren erstaunlich starke (negative) Korrelation zwischen der Rocklänge in der Damenmode und dem Dow-Jones-Aktienindex (iii) Datenumfang. Je kleiner der Datensatz, desto größer die Rolle des Zufalls. (iv) Hintergrundvariable. Starke Korrelation ohne irgendeine direkte Kausalbeziehung, allein durch eine oder mehrere gemeinsame Hintergrundvariablen Beispiel: Starke (positive) Korrelation der Körpergröße von Geschwistern 4

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6 Mögliche Ursachen schwacher Korrelation (i) Keine Kausalität. (ii) Datenumfang. Je kleiner der Datensatz, desto größer die Rolle des Zufalls. (iii) Nicht linearer Zusammenhang. Der Korrelationkoeffizient mißt nur die Stärke des linearen Zusammenhangs. Zum Beispiel kann ein quadratischer Zusammenhang zwischen den Merkmalen, mit oder ohne kausale Beziehung, zu einer Korrelation von 0 führen. 6

7 Alte Klausuraufgaben Aufgabe 5 (2006) Das Gehalt eines Angestellten steigt jedes Jahr um einen festen Betrag, der Kollege bekommt immer das gleiche. (a) Finden Sie die jeweilige Korrelation zwischen Alter und Gehalt. (b) Angenommen, Sie verfolgen dieses Geschehen über vier Jahre; jedes Jahr bekommt der erste Angestellte Euro mehr. Um wieviel muß sein Gehalt im fünften Jahr sinken, damit die Korrelation zwischen seinem Alter und seinem Gehalt den Wert 0 annimmt? Loesung: (a) Angenommen, wir verfolgen dieses Geschehen über n Jahre, d.h. wir haben n Beobachtungen von jedem Merkmal. Angestellter 1 (A1): Seien (x 1,..., x n ) die Ausprägungen des Merkmals Alter für A1 und (y 1,... y n ) die Ausprägungen des Merkmals Gehalt für A1. Sei J sein Alter im ersten Jahr, d.h. es gilt: (x 1, x 2,..., x n ) = (J, J + 1,..., J + (n 1)). Sei G sein Gehalt im ersten Jahr und E die Erhöhung, die er jedes Jahr bekommt, d.h. es gilt: (y 1, y 2,..., y n ) = (G, G + E,..., G + (n 1)E). (x 1, x 2,..., x n ) ist also eine lineare Transformation von (0, 1,..., n 1) mit Steigung 1 und Konstante J. Das selbe gilt fuer (y 1, y 2,..., y n ) allerdings mit Steigung E und Konstante G. Somit ist nach Satz 2 (iv) die Korrelation zwischen (x 1, x 2,..., x n ) und (y 1, y 2..., y n ) gleich der Korrelation von (0, 1,..., n 1) mit sich selbst. Nach Satz 2 (ii) gilt r =. 7

8 Angestellter 2 (A2): Sei J sein Alter im ersten Jahr, d.h. es gilt: (x 1, x 2,..., x n ) = (J, J + 1,..., J + (n 1)). Sei G sein Gehalt im ersten Jahr, d.h. es gilt: (y 1, y 2,..., y n ) = (G, G,..., G). Damit ist das arithmetische Mittel y von (y 1, y 2,..., y n ) = Standardabweichung s y = s 2 y = 1 n (y i y) n 2 =. und die Aus der Definition des Korrelationskoeffizienten folgt: r xy = 1 n n (x i x) s x (y i y) s y = cov xy s x s y =. 8

9 (b) In diesem Fall ist n = 5 Jahre, d.h. wir haben 5 Beobachtungen von jedem Merkmal. Für die Ausprägungen des Merkmals Alter für A1 gilt also: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (J, J + 1, J + 2, J + 3, J + 4). Für die Ausprägungen des Merkmals Gehalt für A1 gilt: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5 ) = (G, G , G , G , G Z), wobei Z den Betrag bezeichnet, um den das Gehalt von A1 im fünften Jahr sinkt. Fragestellung: (Z =?) = (r xy = 0). Da s x, s y 0 ist r xy wohldefiniert. Da r xy = cov xy s x s y, ist die Fragestellung äquivalent zu: (Z =?) = (cov xy = 0). (J, J + 1, J + 2, J + 3, J + 4) ist aber eine lineare Transformation von (0, 1, 2, 3, 4) mit Steigung 1 und Konstante J und (G, G+2000, G+4000, G+6000, G+6000 Z) ist eine lineare Transformation von (0, 2000, 4000, 6000, 6000 Z) mit Steigung 1 und Konstante G. Somit ist nach Satz 6 (alt) cov xy = cov vw mit (v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) = (0, 1, 2, 3, 4) und (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 ) = (0, 2000, 4000, 6000, 6000 Z). Es gilt: cov xy = cov vw = (v i v)(w i w) = v i w i v w. mit v = 2 und w = (18000 Z)/ Somit gilt: v i w i = 1 ( (6000 Z)) = ( Z)/5. 5 cov vw = 1 5 Also: 5 v i w i v w = ( Z) 2(18000 Z) 5 5 cov xy = cov vw = 0 Z = = Z. 5 9

10 Aufgabe 4 (2004) In den USA beobachtete man über viele Jahre eine negative Korrelation zwischen dem Dow-Jones-Aktienindex und der durchschnittlichen Rocklänge in der Damenmode. (a) Wie ist das zu erklären? (b) Angenommen, zwischen Rocklänge x i (in cm) in Jahr i und Jahresschlußkurs y i des Dow-Jones-Aktienindex in Jahr i gilt für die fraglichen Jahre der Zusammenhang y i = x i. Welchen Wert hat dann der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient? (c) Angenommen, der Dow-Jones-Jahresschlußkurs wiche jedes Jahr von obiger Formel leicht nach oben oder unten ab. Wird der Korrelationskoeffizient dann größer oder kleiner? 10

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