Skript zum Vortrag Grundlagen der Computergrafik

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1 Skript zum Vortrag Grundlagen der Computergrafik Hanna Peeters Carsten Pauck VR-Gruppe Rechen- und Kommunikationszentrum RWTH Aachen Betreuer: Jakob T. Valvoda

2 Dieses Dokument entstand im Rahmen der Seminarvorträge der Auszubildenden zum Mathematisch-technischen Assistenten im dritten Lehrjahr des Jahrganges 2002 am Rechen- und Kommunikationszentrum der Rheinisch- Westfälischen Technischen Hochschule Aachen. Es gibt einen Überblick über die Grundlagen der Computergrafik. 1

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Anwendungsbereiche der Computergrafik Architektur, Bauingenieurwesen Medizin Wissenschaft und Technik Filmindustrie Spieleindustrie Entstehung einer Grafik D - Modellierung einer Grafik Modellierungssoftware Modellierungsprozess Virtuelle Welt und Weltkoordinatensystem Betrachterposition und Sichtvolumen Modellierung von Körpern Anmerkungen zum Licht Speicherung der Modelle in einem für 3D Daten geeigneten Format Rendering Transformationen, Ansichtsystem, Sichtvolumen Clipping Projektion auf 2D, Sichtbarkeit und Licht/Farben Geometrische Transformationen Zweidimensionale Transformationen Elementare Transformationen Homogene Koordinaten Inverse zweidimensionale Transformationen Eigenschaften affiner Transformationen Dreidimensionale Transformationen Translation Skalierung Rotation Anwendung der Transformationen in Szene-Graphen Zusammenfassung 34 2

4 1 Einleitung Im Rahmen unserer Seminararbeit wollen wir die Anwendungsgebiete für Computergrafiken beschreiben. Ferner erläutern wir, wie Computergrafiken entstehen. Schließlich erklären wir Transformationen mit bekannten Methoden der linearen Algebra. Die Computergrafik ist ein Teilgebiet der grafischen Datenverarbeitung und beschäftigt sich mit der Erzeugung, Beschreibung und Manipulation von Bildern mittels Computern. Zur Eingrenzung des Themas soll eine Definition des Begriffes Computergrafik vorangestellt werden. Nach einer ISO - Definition von 1982 umfasst die Computergrafik: Methods and techniques for converting data to and from graphics displays via computer. Diese Definition schließt sowohl die generative Computergrafik 1 (Bilderzeugung) als auch die Bildanalyse 2 (Mustererkennung) ein. Häufig werden beide Bereiche auch noch von der Bildverarbeitung abgegrenzt, die sich mit der Modifikation vorhandener Bilder (z. B. digitaler Fotografien) befasst. Die Mustererkennung beschäftigt sich mit der Analyse von Bilddaten durch Zerlegung in bekannte grafische Objekte. Sie klärt Fragen wie z. B. : Wo verläuft die Straße? oder: Um welchen Buchstaben handelt es sich auf dem Bild? In unserer Ausarbeitung wollen wir uns ausschließlich mit generativer Computergrafik beschäftigen, d. h. wir wollen erläutern, wie eine Grafik entsteht. In Kapitel 2 erläutern wir die Grundlagen der Modellierung, Kapitel 3 gibt einen Überblick über den Renderingprozess. In Kapitel 4 werden Transformationen an Grafiken mathematisch erklärt. Weitere Informationen zu Bildverarbeitung und Bildanalyse finden sich in [Schurr 2000] bzw. [Soille 1998]. 1.1 Anwendungsbereiche der Computergrafik Die Anwendungsgebiete der Computergrafik sind vielfältig. 1 converting data to graphics displays 2 converting data from graphics displays 3

5 Abbildung 1: Therapieplanung [Mag 2004] Architektur, Bauingenieurwesen Heutzutage werden Zeichnungen meist nicht mehr am Zeichentisch, sondern am Computer erstellt. Mit Hilfe von CAD-Programmen (Computer Aided Design) erstellen Architekten und Bauingenieure nicht nur Zeichnungen, sondern auch virtuelle Modelle von Bauwerken Medizin Anatomieausbildung wird mit Hilfe von Computergrafik gemacht. Chirurgische Eingriffe werden zuerst mit einem Simulator trainiert. In der Diagnose und Therapieplanung (siehe Abbildung 1.1.2) wird die Computergrafik benötigt, z. B. um die Ergebnisse einer Computer-Tomographie dreidimensional darzustellen Wissenschaft und Technik In der Wissenschaft wird die Computergrafik zur Darstellung von Funktionen, aber auch Molekülen, Kristallen oder Gensequenzen genutzt. Komplexe Objekte werden interaktiv simuliert: Bei einem Viertaktmotor können z. B. Strömungen graphisch analysiert werden (siehe Abbildung 1.1.3). Ein weitere wichtige Anwendung gibt es bei der Crash-Simulation, im KFZ- und Flugzeugbau. Bei der Produktion neuer Produkte spielt die Computergrafik auch eine wichtige Rolle, so kann anhand von virtuellen Präsentationen das Design und die Funktionalität eines neuen Produktes überprüft werden, was bei der Realisierung Kosten spart. 4

6 Abbildung 2: Graphische Analyse von Strömungen [Mag 2004] [Vr2 2004] Abbildung 3: The Matrix, der Film wurde mit Hilfe von Softimage 3D hergestellt.[sof 2004] Filmindustrie In der Filmindustrie spielt die Computergrafik eine große Rolle. Der erste komplett am Computer entstandene Kinofilm ist der Film Toy Story der Firma PIXAR. Seitdem entstanden viele vollständig am Computer produzierte Filme. Aber auch in Filmen wie Titanic oder Matrix (siehe Abbildung 1.1.4) wurden viele Spezialeffekte mit Hilfe der Computergrafik geschaffen Spieleindustrie In Abbildung ist ein Screenshot der Software 3D Studio Max zu sehen. Mit dieser Software wurden die Objekte für das Spiel Tomb Raider 2 modelliert. Auf diese Software und die Modellierung wird in Kapitel 2 eingegangen. 5

7 Abbildung 4: Tomb Raider 2 wurde mit Hilfe von 3D Studio Max produziert.[rai 2004] 6

8 1.2 Entstehung einer Grafik Das Erzeugen einer Computergrafik vollzieht sich in mehreren voneinander abgrenzbaren Teilschritten. Der erste Teilschritt ist die Modellierung, dann folgt das Rendering. Die Gesamtheit der zum Rendering einer Grafik erforderlichen Teilschritte nennt man üblicherweise Renderingpipeline. Im dritten Schritt werden die Bilddaten auf ein Ausgabegerät ausgegeben. Die nachfolgende Abbildung 5 soll einen Überblick über die für die Bilderzeugung erforderlichen Teilschritte geben. In unserer Ausarbeitung werden wir in Kapitel 2 einen Überblick über den Modellierungsprozess und in Kapitel 3 einen Überblick über das Rendering geben. Auf die Ausgabe werden wir nicht eingehen. Abbildung 5: Die Erzeugung einer Computergrafik wird in drei Teilschritte untergliedert. Zuerst muss ein Objekt modelliert werden, im zweiten Schritt wird es gerendert und zum Schluss ausgegeben.[rechenberg und Pomberger 1997] 7

9 2 3D - Modellierung einer Grafik Der erste Schritt bei der Bilderzeugung besteht darin, die Objekte, die in der Computergrafik erscheinen sollen, zu modellieren. Bei der Modellierung konstruiert der Nutzer die darzustellenden Objekte. Diese Modellierung geschieht mit einer geeigneten Software. 2.1 Modellierungssoftware Modellierungsprogramme ermöglichen dem Nutzer, auf verschiedene Arten eigene Modelle, aus denen eine Grafik erzeugt werden soll, zu erstellen. Gegenwärtig werden nachstehende Modellierungsprogramme eingesetzt. Interessierte mögen prüfen, ob eine kostenlose Demoversion oder eine Studierendenversion zum Herunterladen angeboten wird. Nachstehend findet man eine Liste einiger Modellierungsprogramme: Softimage 3D Modellierung, Animation, Rendering und Produktion im professionellen Bereich Hersteller: Avid Technology Inc. Homepage: Einsatz in Filmen: The Lost World: Jurassic Park, The Matrix, Star Wars: The Phantom Menace, Godzilla, Gladiator Plattform: SGI, Windows 3D Studio Max Modellierung, Animation, Rendering und Produktion im professionellen Bereich Hersteller: Discreet (Autodesk) Homepage: Einsatz in Filmen: Driven, Dungeons & Dragons, The Lost World: Jurassic Park Einsatz in Spielen: Tomb Raider 2, Myst, Age of Empires II, Sim- City

10 Maya Plattform: Windows Screenshot : vgl. Abbildung 6 auf Seite 10 Modellierung, Animation, Rendering und Produktion im professionellen Bereich Hersteller: Alias Wavefront, division of Silicon Graphics Lt. Homepage: Einsatz in Filmen: Lord of the Rings Trilogy, Enemy at the Gates Einsatz in Spielen: Gran Turismo 3, Madden NFL 2001 Plattform: Windows Blender3d Modellierung, Animation, Rendering Open Source, GNU GPL Homepage: Kostenlos! Plattform: Windows, Linux 2.2 Modellierungsprozess Mit Hilfe eines Modellierungsprogrammes lassen sich beliebige Objekte (z.b. Apfel, Auto, Comicfigur, etc.) als Grafik erzeugen. Diese können in verschiedenen Formaten (z. B. jpg, bmp, vrml) gespeichert werden. Bei der Modellierung eines solchen Objektes ist seine Form (Volumen) und seine Oberflächenbeschaffenheit (Farbe, Material) festzulegen. Ferner definiert man die Position (Kameraposition) und Blickrichtung des Betrachters auf die erzeugten Modelle. Desweiteren wird eine Lichtquelle definiert. Diese Arbeitsschritte veranschaulichen wir an einem Beispiel in Abbildung 6. Dort wird die Modellierung eines Gesichtes mit 3D StudioMax gezeigt. 9

11 Abbildung 6: Modellierung eines Gesichtes. Ansichtsfenster Vorn, Links, Oben zeigen Parallelprojektionen der Szene. Das Ansichtsfenster Kamera01 zeigt die Perspektive. 10

12 2.2.1 Virtuelle Welt und Weltkoordinatensystem In dem unteren rechten Fenster (Kamera01) des Screenshots in Abbildung 6 ist ein perspektivisches Gesicht zu sehen. Dieses Bild ist eine Projektion einer dreidimensionalen virtuellen Welt auf eine zweidimensionale Fläche. Das Koordinatensystem (Weltkoordinatensystem) ist in der linken unteren Ecke angedeutet. Es wird benötigt, um jeder Geometrie (z. B. dem Gesicht) eine eindeutige Position zuweisen zu können Betrachterposition und Sichtvolumen Es wird eine Betrachterposition und ein Sichtvolumen definiert. Aufgrund dieser Angaben wird der Inhalt des Bildes berechnet. Ferner ist seine Blickrichtung und sein Sichtvolumen zu bestimmen. Im 3D Studio Max werden Betrachterposition und Sichtvolumen wie folgt definiert: Im Ansichtsfenster in Abbildung 6 unten links erkennt man eine (blau abgebildete) Kamera und eine Pyramide. Die Kamera legt die Position des Betrachters fest. Es wird zudem ein pyramidenförmiges vom Betrachter ausgehendes Sichtvolumen (engl. viewing frustum) definiert. Wird eine Computergrafik erstellt, wird die Szene aus der Perspektive des Betrachters abgebildet. Es werden nur die sich im Sichtvolumen befindlichen Gegenstände abgebildet. Im Ansichtsfenster untern rechts - Kamera01 - sieht man die Szene aus dieser Position und mit genau diesem Sichtvolumen. Man kann eine fertige Computergrafik erzeugen. Das Erzeugen einer Grafik bezeichnet man auch als Rendern. Wird eine Grafik des aus der Kameraperspektive betrachteten Modells gerendert, entsteht das in Abbildung 7 abgedruckt Bild. Die Grafik liegt jetzt auch in einem geeigneten Dateiformat (jpg, gif, vrml usw.) vor Modellierung von Körpern Wir wollen die Modellierung eines beliebigen Objektes (z. B. eines Gesichts) mit Hilfe von 3D Studio Max beschreiben. Bei der Modellierung wird die Form des Objektes (also das Volumen) bestimmt. Dann muss die Beschaffenheit der Oberfläche (Farbe, Material) festgelegt werden. Wichtig ist auch die Bestimmung der Lichtverhältnisse. 11

13 Abbildung 7: Computergrafik nach dem Rendering. Aufgrund der Schattierung im Gesicht erkennt man, dass eine (nicht sichtbare) Lichtquelle das Gesicht von rechts beleuchtet. Ferner werden Schatten geworfen. 12

14 Modellierung der Form eines Körpers Für die Bestimmung der äußeren Form eines Objektes gibt es verschiedene Verfahren Constructive Solid Geometry Zur Volumenmodellierung können aus (von der Modellierungssoftware) bereitgestellten Primitiven (Quader, Kugel, Torus, usw.) komplexere Modelle erstellen werden. So entstehen neue Modelle dadurch, dass man Primitive geeignet transformiert und sie dann mit anderen Primitiven schneidet oder vereinigt. Ferner ist die Bildung einer Differenz von zwei Objekten möglich. Dieses Verfahren, aus einfachen Primitiven komplexere zu erstellen, nennt man Constructive Solid Geometry. Folgendes Beispiel soll dieses Verfahren verdeutlichen. Es soll folgendes Objekt entstehen: Abbildung 8: Ein aus vorgegebenen Primitiven erzeugtes Modell Dazu war es erforderlich: 1. drei Zylinder (nach geeigneter Rotation) zu vereinigen (Abbildung 9) 2. einen Würfel mit runden Kanten zu konstruieren, (Abbildung 10) 3. die Differenz aus den erzeugten Objekten zu bilden (Abbildung 11) Bildet man die (richtige) Differenz der Objekte, entsteht das bereits in Abbildung 8 gezeigt Objekt Oberflächendarstellung Die Oberflächendarstellung ist ein weiteres Verfahren, Körper zu modellieren. Bei der Oberflächendarstellung erfolgt die Beschreibung des Körpers über die Beschreibung der 13

15 Abbildung 9: Es wurden Zyliner erzeugt, rotiert und verschoben. Dann wurde die Vereinigungsmenge gebildet. Abbildung 10: Es wurde eine Kugel und ein Quader erzeugt. Beide wurden geeignet inneinander verschoben. Dann wurde die Kugel herausgeschnitten (Bildung der Differenz). Es entsteht ein Würfel mit runden Kanten. Abbildung 11: Die erzeugten Objekte wurden verschoben, und die Differenz wurde gebildet. 14

16 Körperoberfläche. Die Körperoberfläche wird durch eine Vielzahl von Flächen (Dreiecke, Quadrate) näherungsweise beschrieben. Zur Veranschaulichung beachte man die Abbildung 12 und Abbildung 6 zu sehen. Die Einteilung Abbildung 12: Ein Saxofon wird durch Dreiecke näherungsweise beschrieben. in Flächen (Dreiecke) erfolgt durch ein Drahtgitternetz. Dieses besteht aus den Scheitelpunkten (Vertices), Kanten und (folglich) Flächen. In Abbildung 12 sind die Vertices blau eingezeichnet. Die Kanten sind weiss. Bei der Konstruktion der Oberflächen ist Folgendes zu beachten: Die Oberfläche muss geschlossen sein. An jede Kante müssen also zwei Flächen angrenzen. 15

17 Die Flächen dürfen sich nicht schneiden. Jede Fläche muss orientierbar sein, d. h. sie muss zwei unterscheidbare Seiten haben. Missachtet man diese Regeln, entstehen fehlerhafte Geometrien. Zur Verdeutlichung haben wir eine Abbildung einer fehlerhaften Geometrie eingefügt (Abbildung 13). Abbildung 13: Man erkennt, dass eine nicht abgeschlossene Geometrie fehlerhaft ist. Löscht man eine beliebige Fläche, ist nicht das Innere eines Körpers zu sehen - stattdessen wird die Geometrie fehlerhaft Datenstruktur Wir wollen die Datenstrukturen für Geometrien erklären. Körper werden dadurch beschreiben, dass ihre Oberfläche durch eine Polygonfläche (z. B. eine Menge von Dreiecken ) näherungsweise beschrieben wird. Eine solche Polygonfläche kann durch drei sequentielle Listen, nämlich eine Flächen, Kanten- und Punktliste repräsentiert werden. Jede Flächenliste hat Zeigerverweise auf die begrenzenden Kanten in der Kantenliste. Jede Kante wiederum verweist mittels Zeiger auf die entsprechenden Punkte in der Punkteliste. Folgende Skizze mag die Datenstruktur erläutern. Soll die Position einer Geometrie in der virtuellen Welt verändert werden, müssen sämtliche Punkte in 16

18 Abbildung 14: Beispiel für die Speicherung einer Polygonfläche. [Rechenberg und Pomberger 1997] der Punktliste transformiert werden. Die Berechnungen werden mit Hilfe der Matrizenmultiplikation durchgeführt (vgl. Kapitel 4) Der Begriff Szene Eine virtuelle Welt, in der sich mehrere Geometrien, Lichtquellen und ein Betrachter befinden, bezeichnet man als Szene. Diese virtuelle Welt hat ein Koordinatensystem - das Weltkoordinatensystem. Dieses Weltkoordinatensystem bezeichnet man auch als globales Koordinatensystem. Zu jeder Geometrie gehört ein eigenes, lokales Koordinatensystem. Abbildung 15 zeigt eine einfache Szene mit zwei Geometrien. Es gibt drei Koordinatensysteme: Das Weltkoordinatensystem, welches im Gitternetz angedeutet ist und je ein Koordinatensystem für jede Geometrie. Erfolgen Transformationen (vgl. Kapitel 4), muss definiert werden bezüglich welchem Koordinatensystem die Transformationen erfolgen sollen Der hierarchische Aufbau einer Szene Ein nützlichen Hilfsmittel beim Erstellen von Grafiken ist die Fähigkeit, Objekte hierarchisch zu ordnen. Indem man Objekt hierarchisch ordnet, stellt man eine Beziehung zwischen unter- und übergeordnetem Objekt her. Transformationen, die auf das übergeordnete Objekt angewendet werden, werden an das untergeordnete Objekt weitergegeben. Beispiel: Angenommen, wir konstruieren ein Flugzeug, das aus einem Rumpf, Flügeln und Motoren besteht. Wenn wir den Rumpf verschieden, sollen sich Flügel und Motor automatisch mitbewegen. Somit bietet sich ein hierachischer Aufbau der Szene an. Der Rumpf ist übergeordnet, Flügel und Motor sind nachgeordnet. Weitere Anmerkungen zum Scenegraphen findet man in 17

19 Abbildung 15: Jede Geometrie hat ihr eigenes Koordinatensystem. Zusätzlich gibt es das Weltkoordinatensystem (unten links). 18

20 Kapitel Anmerkungen zum Licht Wir möchten Anmerkungen zur Ausleuchtung der Szene machen. Die Ausleuchtung der Szene wird durch die Definition einer Lichtquelle bestimmt. Das Licht reagiert mit den in der Szene befindlichen Objekten. So wird z.b. die Farbe der Oberfläche eines Objektes auch durch die Farbe des das Objekt anstrahlenden Lichts bestimmt. Ausserdem bewirkt eine geeignete, von der Lichtquelle abhängige Schattierung des Objektes, das perspektivische Aussehen. Die genannten Effekte werden an Beispielen veranschaulicht: Abbildung 16: Erst nachdem eine Lichtquelle definiert und die Kugel geeignet schattiert wird, wirkt die Kugel perspektivisch. Abbildung 17: Die vom Betrachter wahrgenommene Farbe wird von der Farbe des Objektes und der Farbe des das Objekt anstrahlenden Lichts bestimmt: Deswegen erscheint ein gelber Farbton auf der Oberfläche der schwarze Kugel, nachdem sie mit gelbem Licht bestrahlt wurde (links). Eine hellblaue Kugel (rechts) wird mit weissem Licht bestrahlt. Durch eine Schattierung entsteht der perspektivische Effekt. 19

21 Zusammenfassend gilt : Ein Gegenstand, z.b. eine Kugel, wirkt erst durch eine geeignete Schattierung perspektivisch. Die Farbdarstellung der Kugel hängt von der Farbe der Kugel und von der Farbe des ausgestrahlten Lichts ab Speicherung der Modelle in einem für 3D Daten geeigneten Format Ein Modell kann in einer VRML Datei abgespeichert werden. VRML bedeutet Virtual Reality Modeling Language und ist eine Beschreibungssprache für 3D-Szenen und Geometrien, Ausleuchtungen, Animationen und Interaktionsmöglichkeiten. Es kommen aber auch andere Dateiformate in Betracht. 20

22 3 Rendering Eine komplexere Computergrafik wird aus einzelnen Modellen (Geometrien) zusammengesetzt. Diese werden mit einem Modellierungsprogramm erstellt. Die (verschiedenen) Geometrien werden zu einem fertigen Gesamtbild zusammengefügt. Die Erzeugung des Bildes bezeichnet man als Rendering. Das Rendering des Bildes vollzieht sich in den in Abbildung 5 dargestellten Teilschritten. 3.1 Transformationen, Ansichtsystem, Sichtvolumen Der erste Teilschritt bei der Bilderzeugung besteht darin, die einzelnen Geometrien an den gewünschten Stellen zu plazieren. Dazu wird ein dreidimensionaler Raum (virtuelle Welt) mit einem kartesischen Koordinatensystem (Weltkoordinatensystem) definiert. Durch Transformationen (Translation, Rotation, Skalierung) werden die modellierten Objekte an die gewünschte Position gesetzt. Die Skizze a) aus Abbildung 18 veranschaulicht, was eine virtuelle Welt oder ein Weltkoordinatensystem ist. Eine perspektivische Sicht einer virtuellen Welt zeigt auch Abbildung 6. Desweiterern wird im Weltkoordinatensystem die Position des Betrachters (Blickpunkt) und seine Blickrichtung festgelegt. Ausgehend von dem Blickpunkt und der Blickrichtung des Betrachters legt man ein Sichtvolumen fest - vgl. Abbildung 18 d). Für die Modellierung mit 3D Studio Max ist die Definition eines Betrachters und des Sichtvolumens bereits in Abbildung 6 gezeigt worden. 3.2 Clipping Es werden nur die Objekte aus der virtuellen Welt angezeigt, die im Sichtvolumen liegen. Die über dieses Sichtvolumen herausragenden Objekte werden entfernt. Diesen Vorgang nennt man Clipping. Es gibt verschiedenen Verfahren, um Linien und Polygone zu clippen. Zwei interessante Algorithmen sind: Clippen von Linien mit Hilfe des Cohen-Sutherland Algorithmus Clippen von Polygonen mit Hilfe des Sutherland-Hodgman Algorithmus 21

23 Abbildung 18: Es ist ein dreidimensionaler Raum durch ein Koordinatensystem angedeutet. Ferner ist die Betrachterposition, das Auge, eingezeichnet (a). Ausgehend von der Betrachterposition wird ein Sichtvolumen erzeugt(d). [Watt 2002] 22

24 3.3 Projektion auf 2D, Sichtbarkeit und Licht/Farben Da die Ausgabegeräte (z. B. Monitor) in der Regel nur ein zweidimensionales Bild erzeugen, ist eine Abbildung zu definieren, die die Objekte aus der virtuellen Welt (3D) auf eine (2D) Ebene (Ansichtsebene) projiziert, die dann (nach Rasterisierung) auf dem Bildschrirm angezeigt werden kann. Diese Ansichtsebene ist in Abbildung 18 Bild d) eingezeichnet. Die Objekte aus dem dreidimensionalen Raum, die im Sichtvolumen liegen, werden auf die Ansichtsebene projiziert. Aus dieser Projektion entsteht nach Rasterisierung die fertige Computergrafik. Möglicherweise verdecken sich auch die Objekte. So kann ein Objekt sich hinter einem anderen Objekt befinden. Es wird dann berechnet, welches dieser Objekte in der Grafik sichtbar ist. Desweiteren sind die Helligkeits- und Farbwerte für die Objekte zu berechnen. Sofern Schatten fallen, sind auch diese zu berechnen. Nach diesem Schritt ist der Renderingprozess beendet. 23

25 4 Geometrische Transformationen Bei Grafiken sind neben der Modellierung der darzustellenden Objekte, die in Kapitel 2 vorgestellt wurde, und ihrer Erstellung (vgl. Kapitel 3) auch Manipulationsmöglichkeiten von großer Bedeutung. Das Thema Transformationen wird mit Hilfe der linearen Algebra behandelt. 4.1 Zweidimensionale Transformationen In diesem Kapitel werden grundlegende geometrische Transformationen, die in der Computergrafik verwendet werden, vorgestellt. Mit Hilfe der Transformationen ist es möglich, Position, Orientierung, Form und Größe von Objekten zu manipulieren. Es werden die Fragen geklärt, wie man Bewegungen beschreiben kann und wie man die Positionen von Objekten nach einer Bewegung berechnet. Man unterscheidet zwischen folgenden Transformationen: - Translation (Verschiebung) - Skalierung (Größenveränderung) - Rotation (Drehung) - Scherung - Spiegelung In diesem Kapitel gehen wir nur auf die Translation, die Skalierung und die Rotation ein. Die Änderung grafischer Objekte wird allgemein durch mathematische Operationen auf den Definitionspunkten der Objekte (den sogenannten Vertices vgl. Kapitel 2, Abschnitt ) beschrieben. Die Definitionspunkte sind in einer Punktliste gespeichert (vgl. Abbildung 14). Die meisten wichtigen Transformationen sind lineare Abbildungen, das bedeutet, dass sie folgende Eigenschaft haben: f(cx + y) = cf(x) + f(y). Eine wichtige Transformation die nicht zu den linearen Abbildungen gehört ist die Translation. Durch Berechnung der Translation mit homogenen Koordinaten (vgl. Abschnitt 4.1.2) wird die Translation linear Elementare Transformationen Translation Die Translation kann durch einen Vektor (dx, dy) T, der die Verschiebungsweite in x- und y-richtung angibt, beschrieben werden. Der Punkt (x,y ) T wird durch Addition des Verschiebungsvektors berechnet. 24

26 ( ) x y = ( x y ) + ( dx dy ) (1) Skalierung Bei der Skalierung wird zwischen uniformer und nichtuniformer Skalierung unterschieden. Uniforme Skalierung Das Zentrum der Skalierung ist der Nullpunkt, die Skalierung erfolgt in alle Richtungen uniform mit dem skalaren Faktor α. Der Ortsvektor zum Punkt (x,y) T wird auf das α -fache verlängert um (x,y ) T zu erhalten. ( x y ) = α ( x y ) (2) Nichtuniforme Skalierung Das Zentrum der Skalierung ist der Nullpunkt, die Skalierung erfolgt in x-richtung mit dem Faktor α, in y-richtung mit dem Faktor β. Der Ortsvektor zum Punkt (x,y) T wird auf das α -fache in x-richtung und das β -fache in y-richtung verlängert. ( x y ) = ( αx βy ) (3) Rotation Der Punkt (x,y) T wird um den Winkel α um den Nullpunkt gedreht, so dass sich der Punkt (x,y ) T ergibt. Positive Werte von α ergeben eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. Herleitung der Berechnungsvorschrift: Wir schreiben den Vektor (x,y) T in radialen Koordinaten (siehe Abbildung 19). x = r cos(φ) (4) y = r sin(φ) (5) x = r cos(α + φ) = r cos(φ) cos(α) r sin(φ) sin(α) (6) y = r sin(α + φ) = r cos(φ) sin(α) + r sin(φ) cos(α) (7) 25

27 Abbildung 19: Herleitung der Berechnungsvorschrift für die Rotation mit Hilfe radialer Koordinaten. [Mag 2004] (4) in (6) und (5) in (7) eingesetzt, ergibt: x = x cos(α) y sin(α) (8) y = x sin(α) + y cos(α) (9) Diese Berechnungsvorschrift kann als Matrixmultiplikation ausgedrückt werden: ( x y ) ( cos(α) sin(α) = sin(α) cos(α) ) ( x y ) (10) Die vorgestellten Berechnungsvorschriften für Transformationen sind nicht einheitlich. Zum einen gibt es die Vektoraddition für die Translation, zum anderen wird bei der Skalierung ein Faktor multipliziert. Schließlich gibt es noch die Matrixmultiplikation für die Rotation. Dadurch wird es schwieriger, Transformationen zusammenzusetzen. Gesucht wird nun eine einheitliche Repräsentation der Transformationen. Mit Hilfe von homogenen Koordinaten können alle Transformationen durch Matrixmultiplikation realisiert werden Homogene Koordinaten Die bisher behandelten Berechnungsvorschriften für Transformationen haben noch den Nachteil, dass sie einen Fixpunkt, den Nullpunkt, besitzen. Man 26

28 muss erreichen, dass der Fixpunkt außerhalb der Bildebene liegt. Dazu führt man eine dritte Dimension ein und nimmt als Bildfläche die Ebene z=1. Der Fixpunkt liegt außerhalb der Bildebene. Ein Punkt (x,y) T wird in einem homogenen Koordinatensystem durch das Tripel (x,y,1) T repräsentiert. Homogene Koordinaten von zweidimensionalen Punkten dürfen nicht mit dreidimensionalen Punkten verwechselt werden. Der Vorteil ist nun, dass die Positionen nach den Transformationen einheitlich berechnet werden können, nämlich mit Hilfe der Matrixmultiplikation. Die Transformationen werden nun durch 3x3-Matrizen beschrieben. x y 1 = T x y 1 (11) Translation Bis jetzt wurde eine Translation durch Addition eines Verschiebungsvektors beschrieben. Nun wird die Verschiebung durch Multiplikation mit einer Translationsmatrix berechnet (siehe Gleichung (12)). x y 1 = 1 0 dx 0 1 dy x y 1 (12) Skalierung Die Skalierung wird nicht mehr durch komponentenweise Multiplikation berechnet, sondern indem man eine Skalierungsmatrix der Form wie in Gleichung (13) multipliziert. x y 1 = α β x y 1 (13) Rotation Die Berechnung der Rotation (siehe Gleichung (14)) wird ebenfalls durch Multiplikation mit einer Rotationsmatrix durchgeführt. x y 1 = cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α) x y 1 (14) 27

29 4.1.3 Inverse zweidimensionale Transformationen Ein weiterer Vorteil der Darstellung der Transformationen in Matrizenform wird deutlich, wenn man eine Transformation rückgängig machen will. Durch einfaches Invertieren der Transformationsmatrix erhält man die Matrix, um die Transformation rückgängig zu machen Translation Die Inverse der Translationsmatrix ist in Gleichung (15) zu sehen. Die Translation wird rückgängig gemacht, indem man den negativen Verschiebungsvektor (-dx,-dy) T addiert. x y 1 = 1 0 dx 0 1 dy x y 1 (15) Skalierung Die Skalierung wird rückgängig gemacht, indem man mit dem reziproken Skalierungsfaktor multipliziert. Die Matrix in Gleichung (16) entspricht der Inversen der Skalierungsmatrix. x y 1 = 1/α /β x y 1 (16) Rotation Eine Rotation kann rückgängig gemacht werden, indem man den Punkt mit dem Winkel -α um den Nullpunkt rotiert. Da Rotationsmatrizen orthogonal sind, folgt daraus: R -1 = R T x y 1 = cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α) x y 1 (17) Eigenschaften affiner Transformationen Homogene Koordinaten ermöglichen Vereinheitlichung und Kombination aller geometrischen Transformationen. Matrixmultiplikationen sind im Allgemeinfall nicht kommutativ. Das bedeutet, dass die Reihenfolge der Trans- 28

30 formationen ausschlaggebend für das Ergebnis ist. In einigen Fällen besteht Kommutativität: - Nacheinanderausführung von Translationen - Nacheinanderausführung von Skalierungen - Nacheinanderausführung von Rotationen Jede Sequenz von Rotationen, Translationen und Skalierungen erhält die Parallelität von Linien, aber nicht Längen und Winkel. Solche Transformationen heißen affine Transformationen. Affine Abbildungen sind geradentreu, parallelentreu, teilverhältnistreu. Sie sind nicht verhältnistreu in Bezug auf Teilflächen, nicht längentreu, nicht winkeltreu und nicht flächentreu. 4.2 Dreidimensionale Transformationen Die Vorgehensweise bei dreidimensionalen Transformationen ist gleich der Vorgehensweise bei zweidimensionalen Transformationen. Sie lassen sich durch Hinzunehmen einer dritten Koordinate relativ einfach aus den zweidimensionalen Transformationen (siehe Abschnitt 4.1) herleiten. Wie im Zweidimensionalen werden die Transformationen wieder durch Matrizen dargestellt. Im Raum handelt es sich um 4x4 Matrizen Translation Die Translation im Raum entspricht einer Addition des Verschiebungsvektors (dx,dy,dz) T. Sie lässt sich mit Hilfe von homogenen Koordinaten wie in Gleichung (18) darstellen. T = dx dy dz (18) Skalierung Eine Skalierung erhält man, indem man um das α-fache in x-richtung skaliert, um das β-fache in y-richtung und um das γ-fache in z-richtung. Hierbei muss gelten α 0, β 0, γ 0. Das Zentrum der Skalierung liegt im 29

31 Nullpunkt. Es handelt sich um eine uniforme Skalierung, wenn gilt: α=β=γ. S = α β γ (19) Rotation Die Rotation im Raum ist komplexer als in der Ebene, da man statt einem Drehzentrum eine Drehachse benötigt. Handelt es sich bei der Drehachse um eine der positiven x-, y-, z-achsen, so spricht man von einer kanonischen Rotation. Wie im zweidimensionalen Fall werden auch die dreidimensionalen Transformationen durch Verknüpfung homogener Koordinaten mit Transformationsmatrizen beschrieben Kanonische Rotation Gleichung (20) zeigt die Transformationsmatrix für die Rotation um die positive x-achse. R x = cos(α) sin(α) 0 0 sin(α) cos(α) (20) Gleichung (21) zeigt die Transformationsmatrix für die Rotation um die positive y-achse. R y = cos(α) 0 sin(α) sin(α) 0 cos(α) (21) Gleichung (22) zeigt die Transformationsmatrix für die Rotation um die positive z-achse. 30

32 R z = cos(α) sin(α) 0 0 sin(α) cos(α) (22) Rotation um eine beliebige Achse Die Rotation um eine beliebige Achse lässt sich durch eine Folge von elementaren Transformationen beschreiben. Die kompakte Darstellung erfolgt durch Zusammenfassung der einzelnen Transformationsmatrizen zu einer einzigen Matrix. Folgende Schritte müssen für eine Rotation um eine gegebene Drehachse mit einen Winkel α durchgeführt werden: 1. Translation der Rotationsachse und des zu drehenden Objekts, so dass die Achse durch den Ursprung verläuft 2. Rotation der Drehachse um die x-achse in die xz-ebene 3. Rotation der Drehachse um die y-achse in die z -Achse 4. Rotation des Objektes um die z-achse mit dem Winkel α 5. Rücktransformation der Drehachse sowie des gedrehten Objektes in ihre ursprüngliche Lage durch Anwendung der inversen Transformationen der Schritte (3), (2) und (1) Selbstverständlich kann statt der z-achse auch jede andere Koordinatenachse verwendet werden Anwendung der Transformationen in Szene-Graphen Dreidimensionale Modelle werden mit Hilfe von Szene-Graphen verwaltet. Unter einem Szene-Graphen versteht man eine gewöhnliche Baumstruktur mit Knoten und Kanten. In Abbildung 21 sieht man am Beispiel eines Flugzeuges einen schematisch dargestellten Szene-Graphen. Abbildung 20 zeigt die einzelnen Teile eines Flugzeugmodells und wie sie zusammen gesetzt werden. Die Transformationen werden auf die einzelnen Knoten bzw. Äste angewandt. Jeder Ast des Szene-Graphen speichert eine lokale Transformation, diese werden miteinander multipliziert, um die Gesamttransformation zu erhalten. Ein typisches Szene-Graph-Format (es gibt zahlreiche Varianten) ist Folgendes: Graphische Primitive (grundlegende Objekte, wie z. B. Würfel, 31

33 Abbildung 20: Zusammensetzung des Modells eines Flugzeuges [Viz 2004] Abbildung 21: Scene-Graph des Flugzeug-Modells [Viz 2004] 32

34 Abbildung 22: Scene-Graph des Flugzeug-Modells Kugel, Kegel etc. vgl. Kapitel 2) bilden die Blattknoten des Graphen. Transformationen sind ebenfalls Knoten des Graphen und werden auf Objektknoten je nach deren Lage im Graphen angewandt. In den Transformationsknoten sind die Transformationsmatrizen gespeichert. Die Gesamttransformation, die auf einen Objektknoten angewandt wird, erhält man, indem man die Matrizen aus den Transformationsknoten bei top-down-durchlauf des Baumes miteinander multipliziert. Weitere Details sind abhängig vom Grafikpaket (z. B. VRML, Java3D etc.) 33

35 5 Zusammenfassung In dieser Seminararbeit haben wir beschrieben, in welchen Bereichen Computergrafik genutzt wird. Desweiteren haben wir einen Eindruck vermittelt, wie Computergrafiken modelliert werden. Zudem haben wir die Arbeitsschritte beim Rendern einer Grafik beschrieben. Schließich haben wir mathematische Grundlagen erörtert, denen man bei der Beschäftigung mit Computergrafik begegnet. Diejenigen, die sich vertieft mit der Erzeugung von Grafiken beschäftigen wollen, können die Modellierungssoftware blender3d (vgl. Kapitel 2.1.)herunterladen. Ferner ist der unter der URL veröffentlichte Lehrgang interessant. Zur Vertiefung empfehlen wir das Standardwerk von Foley [Foley et al. 1990]. 34

36 Literatur [Mag 2004] (2004). Vorlesung Computergrafik I, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Institut für Simulation und Graphik. letzter Besuch Oktober [Viz 2004] (2004). Penn State s Visualization Group. letzter Besuch September [Vr2 2004] (2004). RWTH Aachen. letzter Besuch September [Sof 2004] (2004). Avid Technology Inc. letzter Besuch September [RAI 2004] (2004). Fanclub Tomb Raider. letzter Besuch September [Foley et al. 1990] Foley, J, A. van Dam, S. Feiner und J. Hughes (1990). Computer Graphics - Principles and Practice. Addison-Wesley. [Rechenberg und Pomberger 1997] Rechenberg, Peter und G. Pomberger (1997). Informatik-Handbuch. Carl Hanser Verlag, München, Wien. [Schurr 2000] Schurr, Ulrich (2000). Handbuch digitale Bildverarbeitung. dpunkt-verlag, Heidelberg. [Soille 1998] Soille, Pierre (1998). u.a.: Springer, Berlin. Morphologische Bildverarbeitung. [Watt 2002] Watt, Alan (2002). 3D-Computergrafik. Addison-Wesley. 35

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