Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

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1 Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen R s R s Analog könnte man die komplexen Matrizen alsm r,s (C, bzw M s (C definieren Wir werden zwar die Resultate (und Definitionen hier nur für reelle Matrizen formulieren und beweisen (bzw definieren, aber sie wären prinzipiell auch für komplexe Matrizen richtig (bei unverändertem Beweis Ax Definition Sei A M r,s (R Dann heißt A := sup die Matrixnorm von \{0} A Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist Wenn { Ax : x R s \ {0}} nicht nach oben beschränkt wäre, dann setzen wir A := + Aus (2 in der folgenden Proposition wird aber folgen, dass A stets eine reelle Zahl ist Proposition Sei A M r,s (R Dann gelten folgende Eigenschaften ( A = sup Ax (2 A R (3 Für alle x R s gilt Ax A (4 A 0 (5 Es gilt A = 0 genau dann, wenn A = 0 (6 Für jedes λ R gilt λa = λ A (7 Für alle B M r,s (R gilt A+B A + B (8 Falls B M p,r (R, dann gilt BA B A Beweis ( Seix R s mit = Wegen = ist x 0, alsox R s \{0} Dann ist Ax = Ax A Deshalb ist sup Ax A Jetzt sei x R s \ {0} Dann ist 0 Setze y := x = = Somit ist Ax = Ax = Ax = A ( x =y x Es ist y = = Ay

2 2 MATRIZENNORM sup Ax Daher ist A sup Ax daraus A = sup Ax Wegen sup Ax A ergibt sich (2 Definiere C := {x R s : = } Diese Menge ist beschränkt (weil ja für alle x C Da x stetig ist, {} in R abgeschlossen ist und C das Urbild von {} unter dieser Funktion ist, ist C als stetiges Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen Weil C beschränkt und abgeschlossen ist, ist C kompakt Die Funktion x Ax ist stetig Nach dem Satz vom Minimum und Maximum besitzt daher diese Funktion ein Maximum x 0 auf C Wegen ( ist A = sup Ax = Ax 0 R (3 Für x = 0 ergibt sich wegen = 0 und Ax = 0, dass Ax = 0 = 0 = A 0 = A Sei jetzt x 0 Dann ist Ax A Somit ist Ax A (4 Es ist wegen ( A = sup (5 Wegen ( ist 0 = sup Ax 0 0 0x = 0 Für A 0 gibt es ein x 0 R s \{0} 0 mit Ax 0 0 Deshalb ist A Ax 0 x 0 > 0 (6 Für x R s mit = gilt (λax = λ(ax = λ Ax Daher gilt λa = wegen ( sup (λax = λ Ax = λ sup (7 Sei x R s mit = Es ist (A+Bx Ax =Ax+Bx A wegen ( Ax = A wegen ( = λ A + Bx A + B B wegen ( Nach ( folgt daraus, dass A + B A + B (8 Wieder sei x R s mit = Dann ist (ABx = A(Bx A wegen (3 A = A B Wegen ( ergibt sich daraus, Bx B wegen (3 dass AB A B A B = Bemerkung Falls die Eigenschaften (4 (7 aus Proposition erfüllt sind, dann spricht man von einer Norm Ist zusätzlich auch die Eigenschaft (8 aus Proposition erfüllt, dann spricht man von einer Matrixnorm oder Operatornorm

3 MATRIZENNORM 3 Wir betrachten jetzt (M r,s (R,, also der Raum der reellen r s- Matrizen mit der Metrik d(a,b := A B Nachdem man M r,s (R mit R rs identifizieren kann, haben wir auf dieser Menge bereits eine andere Metrik, nämlich diejenige, die vom Betrag gegeben ist (d(a,b := A B Diese beiden Metriken wollen wir jetzt vergleichen Nachdem wir in Proposition 2 zeigen werden, dass es positive Konstanten α,β gibt mit α A A β A, sind die offenen und abgeschlossenen Mengen bezüglich beider Metriken dieselben Ebensowenig unterscheiden sich kompakte und zusammenhängende Mengen, und auch Konvergenz bedeutet dasselbe Nachdem wir wissen, dass (R rs, vollständig ist, ist auch (M r,s (R, vollständig rs A A A Insbeson- Proposition 2 Sei A M r,s (R Dann gilt dere ist (M r,s (R, vollständig Beweis Es sei A = Dann ist Ax = ( a, a,2 a,s a 2, a 2,2 a 2,s a r, a r,2 a r,s s j= a,jx j j= a 2,jx j j= a r,jx j Cauchy-Schwarz schen Ungleichung j= a k,j 2 Deshalb ist und x = ( x x 2 x s so, dass = Für ein festes k {,2,,r} ist wegen der ( s ( Ax = r s 2 a k,j x j k= j= Wegen ( aus Proposition ist A = sup 2 ( j= a s k,jx j j= a k,j 2 = r k= j= Ax A A s a 2 k,j = A Wähle j {,2,,s} und k {,2,,r} Definiere v j als denjenigen Vektor in R s, der in der j-ten Komponente und in den anderen Komponenten 0 hat Offensichtlich ist v j = und Av j = ( a,j a 2,j a r,j 2 = Der Betrag von Av j ist größer oder gleich dem Betrag seiner k-ten Komponente, also Av j a k,j Nach ( aus Proposition ist a k,j Av j A und somit a 2 k,j A 2 Daher ist A 2 = r k= sich rs A A j= a k,j 2 A 2 rs A 2 Daraus ergibt

4 4 MATRIZENNORM Unser nächstes Resultat ist der Majorantentest für Reihen von Matrizen Eigentlich formulieren wir nur das Analogon dazu, dass jede absolut konvergente Reihe konvergiert Aus dem gewöhnlichen Majorantentest ergibt sich aber daraus auch der Majorantentest für Matrizenreihen Proposition 3 Es sei (A n n N eine Folge in M r,s (R Falls n= A n konvergiert, dann konvergiert n= A n Beweis Für n N setze S n := n k= A k und s n := n k= A k Weil n= A n konvergiert ist (s n n N eine Cauchyfolge Sei ε > 0 Dann gibt es ein N, sodass s n s m < ε für alle n,m N Seien n,m N Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wirm < n annehmen Es ist S n S m = n k= A k m k= A k = n k=m+ A k und analog s n s m = n k=m+ A k Wegen (7 aus Proposition gilt n k=m+ A k n k=m+ A k und daher S n S } {{ m = n } = k=m+ A k n k=m+ A k n k=m+ =s n s m A k = s n s m s n s m < ε Also ist (S n n N eine Cauchyfolge Da M r,s (R vollständig ist konvergiert (S n n N, und dieser Grenzwert ist ja nach der Definition der Reihe n= A n In unendlichdimensionalen Räumen gibt es lineare Abbildungen A und B sodass B A = id, aber A nicht invertierbar ist Das nächste Resultat zeigt, dass solche Beispiele im Endlichdimensionalen nicht möglich sind Proposition 4 Sei A M s (R Falls es ein B M s (R mit BA = id gibt, dann ist A invertierbar und es gilt B = A Beweis Angenommen rga < s Dann wäre dimima = rga < s und daher dimimba dimima < s Wegen BA = id ist aber dimimba = s, wodurch sich ein Widerspruch ergibt Es muss daher dimima = rga = s gelten Wegen dimima = s ist A surjektiv Aus s = dimima +dimkera erhalten wir dimkera = 0, und somit ist A injektiv Es ist also A bijektiv, und =s deshalb besitzt A eine Inverse A Weiters ist B = B id = BAA = =AA =id ida = A Unser nächstes Resultat zeigt, dass jede Matrix, die in der Matrixnorm um weniger als von der Einheitsmatrix abweicht, invertierbar ist Die Reihendarstellung von A wird die von Neumann sche Reihe genannt Proposition 5 Sei A M s (R Falls A id < gilt, dann ist A invertierbar Weiters gelten A und A id A = (id An

5 MATRIZENNORM 5 Beweis Sei n N 0 Wegen Eigenschaft (8 aus Proposition erhalten wir (id A n id A n Nachdem id A < gilt, konvergiert die geometrische Reihe id A n und es gilt id A n = A id Wegen des Majorantentests konvergiert (id An Daher konvergiert (id An nach Proposition 3 Setze B := (id An Es ist Dann gilt B (id A n id A n = A id BA = (id A n A = =A id + id= (id A+id = (id A n+ + (id A n = (id A 0 = id = n= (id An Nach Proposition 4 ist A invertierbar und A = B, womit das Resultat gezeigt ist Wenn eine Matrix genügend nahe bei einer invertierbaren Matrix liegt, dann ist sie invertierbar Das zeigt unser nächstes Resultat Proposition 6 Seien A,B M s (R Weiters sei A invertierbar und es gelte B A < A Dann ist B invertierbar und es gelten B A A B A und B A A B B A Beweis Es gilt A 2 B A A B A A B id = A (B A A B A < =A wegen (8 aus Proposition A < A A B id Nach Proposition 5 ist A B invertierbar und (A B Aus A B id A B A ergibt sich daraus (A B

6 6 MATRIZENNORM Setze C := A B A (A B A Dann gilt CB = (A B A B = id Wegen Proposition 4 ist B invertierbar und B = C Es ist Weiters ist B = (A B A =C=(A B A (A B A A B A wegen (8 aus Proposition A A B A B A = ((A B ida =C=(A B A (A B =B A id =B B A B B A A = A B (A B da B A A B A womit das behauptete Resultat bewiesen ist wegen (8 aus Proposition wegen (8 aus Proposition A 2 B A, A B A Die Menge der invertierbaren reellen s s-matrizen bezeichnet man mit GL(s,R (und analog dazu die Menge der invertierbaren komplexen s s- Matrizen mit GL(s,C Aus der linearen Algebra weiß man, dass A genau dann invertierbar ist, wenn det A 0 Wir werden jetzt zeigen, dass die Menge der invertierbaren Matrizen offen ist, und A A stetig ist Offensichtlich ist für jede invertierbare Matrix A auch A invertierbar, also A GL(s,R Proposition 7 Die Menge GL(s,R ist offen in M s (R Weiters ist die von GL(s,R nach M s (R führende Abbildung A A stetig { Beweis Sei A invertierbar und sei ε > 0 Setze δ := min, ε } 2 A 2 A 2 Es sei B M s (R mit B A < δ Weil B A < δ folgt 2 A A aus Proposition 6, dass B invertierbar ist Damit ist gezeigt, dass GL(s, R offen in M s (R ist Nachdem B A < δ ist 2 A A B A, 2 also A B A, und deshalb A 2 2 A B A 2 A 2 Nach ε Proposition 6 und weil B A < δ erhalten wir 2 A 2 B A A 2 B A < 2 A A B A ε < 2 A 2 2 A 2 Somit ist A A stetig 2 ε 2 A = ε 2

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