PS 10. Wärme Wärmeleitung in Metallen und Isolatoren Spezifische Wärmekapazität von Metallen Version vom 5. März 2015

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1 PS 10 Wärme Wärmeleitung in Metallen und Isolatoren Spezifische Wärmekapazität von Metallen Version vom 5. März 2015

2 Inhaltsverzeichnis 0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport Begriffe Was ist Wärme? Hauptsätze der Wärmelehre Mechanismen des Wärmetransports Wärmeleitung Konvektion Strahlung Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Grundlagen Begriffe Theorie der Wärmeleitung Methoden zur Bestimmung der Wärmeleitung Thermografie Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung Kalibration der Wärmebildkamera Messung des nicht stationären Wärmestroms Messung des stationären Wärmestroms Temperaturprofile auslesen Auswertung der Temperaturprofile in QTI-Plot Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren Grundlagen Begriffe Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang Zweiplattenmessverfahren Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni Thermoelement Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung Aufbau der Wärmemesskammer Experimentelle Durchführung Auswertung Fehlerrechnung Literaturangaben Spezifische Wärmekapazität von Metallen (Abkühlungsmethode) Grundlagen Spezifische Wärmekapazität in Festkörpern Bestimmungsmethoden der spezifische Wärmekapazität Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung

3 0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport Lehr/Lernziele Widerholung der Theorie zu den Mechanismen der Wärmeübertragung Experimentelle Zugänge zur Messung der Wärmeleitfähigkeit in guten und schlechten Wärmeleitern Erwerb von Anwendungswissen für die Praxis - hohe Wärmeleitfähigkeit zur Kühlung (z.b. Computerchips), niedrige bei Isolation (z.b. Bauphysik) Vertiefung der Physik zu Wärmeübertragung: Wärme(strom)widerstand, Wärmeübergangswiderstand, Wärmedurchgangswiderstand Kennenlernen (oder Wiederholung) der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität von Festkörpern Aufwändigere und mehrstufige Datenauswertungsverfahren mit entsprechender Software üben 0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport 0.1 Begriffe Wärmemenge, spezifische Wärmekapazität 1, Temperaturmessung (mittels Wärmeausdehnung, elektrischem Widerstand, Thermoelementen und Pyrometer), Temperaturgradient, Wärmestrom(dichte), Wärmeleitung, Wärmeübergang, Strahlung, Konvektion, nichtstationärer und stationärer Zustand, Gleichgewichtszustand, Strahlungsgesetze, schwarzer Körper, Was ist Wärme? Wärme ist eine spezielle Form von Energie. Sie strömt von einem Körper auf einen anderen, sobald eine Temperaturdifferenz zwischen beiden besteht. In der Wärmelehre werden zwei Betrachtungsweisen unterschieden, die Thermodynamik und die statistische Mechanik. Die Thermodynamik untersucht Beziehungen zwischen makroskopischen Zustandsgrößen, wie z.b. Volumen, Druck, Temperatur oder Gesamtenergie zur Charakterisierung des Gesamtsystems. Die statistische Physik macht Annahmen über den Aufbau der Materie und un- 1 Oft wird an Stelle von (Massen-)spezifischer Wärmekapazität, einfach spezifische Wärme verwendet. Diese Ausdrücke werden äquivalent verwendet

4 0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport tersucht mikroskopische Größen (Mikroobservable wie z.b. Freiheitsgrade oder Spin) eines Systems. Die physikalische Grundlage zur Thermodynamik sind die Hauptsätze der Wärmelehre. 0.3 Hauptsätze der Wärmelehre 1. Wärme ist als thermische Energie in der ungeordneten Bewegung von Atomen und Molekülen gespeichert. Führt man einem abgeschlossenen System Wärme und Arbeit von außen zu, so ist deren Summe gleich der Zunahme der inneren Energie. Der erste Hauptsatz ist ein Energieerhaltungssatz (Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art). Diese Aussage ist nicht beweisbar, sondern eine reine Erfahrungstatsache. 2. Wärme geht von selbst immer nur von einem Körper höherer Temperatur auf einen Körper niederer Temperatur über. Dies bedeutet, dass die Entropiezunahme in einem abgeschlossenen System immer größer oder gleich Null ist. In der statistischen Physik (die Boltzmann wesentlich entwickelt hat) wird die Entropie auf die Wahrscheinlichkeit von Zuständen zurückgeführt Ein System wird durch die Zahl der Zustände und ihre Besetzung, d.h. Häufigkeit der jeweiligen Zustände, die Zustandssumme, beschrieben. Aus dieser lassen sich alle thermodynamischen Größen ableiten. Eine weitere Formulierung: Es gibt keine periodisch wirkende Maschine, die ohne äußere Energiezufuhr ein Wärmereservoir abkühlt und die dabei gewonnene Wärmeenergie vollständig in mechanische Energie umwandelt. So eine Maschine wäre ein Perpetuum mobile zweiter Art. 3. Es ist prinzipiell unmöglich den absoluten Nullpunkt zu erreichen. In der statistischen Deutung ist der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ein Zustand maximaler Ordnung mit nur einer Realisierungsmöglichkeit. Die Entropie strebt gegen Null, wenn die Temperatur sich dem Nullpunkt annähert. Der dritte Hauptsatz wird auch als Nernst sches Theorem bezeichnet. 0.4 Mechanismen des Wärmetransports Zum Begriff der Wärmeübertragung gehören alle Erscheinungen und Effekte, die mit einem räumlichen Transport von Wärme in Zusammenhang stehen. Der Wärmeübergang erfolgt immer vom Zustand höherer Temperatur zu einem niederer Temperatur (siehe 2. Hauptsatz der Wärmelehre). Grundsätzlich existieren drei Möglichkeiten zur Wärmeübertragung (siehe Abbildung 1): Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung. Der direkte Energietransport erfolgt über die Wärmeleitung. Bei der Konvektion wird Energie über den Transport von Masse übertragen. Einzig die Wärmestrahlung ist als Transportphänomen vollständig unabhängig von - 2 -

5 0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport Materie, sie kann auch im Vakuum erfolgen. Abbildung 1: Möglichkeiten zur Wärmeübertragung Wärmeleitung Wärmeleitung ist vor allem in Festkörpern wirksam. Die Wärmeleitfähigkeit weist dabei große Unterschiede auf, die in den folgenden Experimenten gemessen werden. Die Übertragung der Bewegungsenergie durch Leitungselektronen ist besonders wirksam, daher sind gute elektrische Leiter auch gute Wärmeleiter (Wiedemann-Franz sches Gesetz). In Isolatoren erfolgt die Übertragung mittels Gitterschwingungen (in der Quantenphysik als Phononen bezeichnet - als der Teilchenaspekt der Gitterschwingungen). Die Wärmeübertragung mittels Phononen erfolgt meist mit wesentlich geringerer Wirksamkeit als mit Elektronen, da die Phononen eine viel kleinere freie Weglänge als die Leitungselektronen haben (Ausnahmen sind z.b. der Diamant) Konvektion In Flüssigkeiten und Gasen, in denen die Wärmeleitfähigkeit i.a. gering ist, kann es wirkungsvoller sein, erwärmte Materie mit einer Strömung zu transportieren. Dieser Mechanismus hat große Bedeutung in der Natur (Klima und Wetter, Wärmehaushalt von Organismen, Vorgänge im Erdinneren) sowie für Heizung, Energietechnik, heat pipes zur Kühlung von Bauteilen, chemische Verfahren etc. Treibende Kraft für die Strömung ist im allgemeinen die Gravitation: Erwärmte Flüssigkeiten und Gase dehnen sich aus und erfahren einen Auftrieb (es gibt auch andere Möglichkeiten, z.b. Konvektion durch Oberflächenspannung). Durch das Design von Doppelglasfenstern mit einer entsprechenden Dicke kann man Konvektion unterbinden, da die Luft an der Grenzschicht (Prandtl sche Grenzschicht) haften bleibt. Damit die Konvektion in Gang kommt, ist es notwendig, dass die Temperaturunterschiede ein gewisses kritisches Maß überschreiten, denn innere Reibung und Wärmeleitung wirken der Konvektion entgegen. Im klassischen Benard-Experiment wird ein flüssigkeitsgefülltes, - 3 -

6 0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport flaches Gefäß von unten beheizt. Bei ausreichender Temperaturdifferenz bilden sich charakteristische, geordnete, meist hexagonale Konvektionszellen aus, wie sie auch aus der Meteorologie bekannt sind. Bei Steigerung der Heizleistung werden bei bestimmten kritischen Werten plötzliche Strukturänderungen (Konvektionszellen werden kleiner) beobachtet, wie sie für das Verhalten nichtlinearer dynamischer Systeme typisch sind Strahlung Für eine ausführlichere Behandlung der Strahlungsgesetze wird auf den Kurs PS6 (Strahlung) verwiesen. Hier sei nur erwähnt, dass aufgrund des Stefan-Boltzmann-Gesetzes P (T ) = σ T 4 die Bedeutung der Strahlung als Wärmetransportmechanismus sehr stark mit der Temperatur zunimmt. Zu beachten ist auch, dass nach dem Wien schen Verschiebungsgesetz λ max T = const. = 2, das Maximum der spektralen Energieverteilungskurve bei niedrigeren Temperaturen zu größeren Wellenlängen wandert. Eine wichtige Konsequenz daraus ist der Glashauseffekt: Sichtbares Licht (entsprechend der Emissionstemperatur der Sonnenoberfläche bei ca K) geht durch das Glas hindurch und wird im Glashaus absorbiert. Ein Teil dieser Energie wird wiederum emittiert, jedoch entsprechend der Temperatur der Erdoberfläche von ca. 300 K im Infrarotbereich. Für diese Wellenlänge jedoch ist das Glasdach nicht durchlässig, sodass die Wärmeenergie im Glashaus gefangen bleibt

7 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung 1.1 Grundlagen Begriffe Wärmemenge, spezifische Wärmekapazität, Thermografie, Bolometer, Temperaturgradient, Wärmestrom(dichte), Wärmeleitung, nichtstationärer und stationärer Zustand, Gleichgewichtszustand, Theorie der Wärmeleitung Wärmeleitung gehört zu den sogenannten Transportphänomenen. Zu diesen zählen Diffusion (hier werden Masse/Teilchen transportiert), Zähigkeit (die transportierte Größe ist der Impuls) und eben die Wärmeleitung, bei der Energie transportiert wird. Die mathematische Behandlung der Transportphänomene ist identisch, sie unterscheiden sich nur in der transportierten Größe. Eine Kontinuitätsgleichung sichert die Erhaltung der jeweiligen Größe (Teilchenzahl, Impuls, Energie). Im folgenden wird dies für den Transport von Energie formuliert (mit der Wärmeleitfähigkeit λ, beim Materialtransport ist der Proportionalitätsfaktor die Diffusionskonstante D und beim Impulstransport die Zähigkeitskonstante η). Die Kontinuitätsgleichung für den Zusammenhang von Wärmeenergie Q und Wärmestromdichte q lautet: t ( Q V ) + div q = 0 (1) Das heißt, jede zeitliche Änderung der Wärmeenergie pro Volumen Q/ V (= Energiedichte) erfolgt über einen Wärmestrom (entweder einen Zu- oder Abfluss von Wärme). Wenn man mit Φ = Q/ t den Wärmestrom bezeichnet, kann man die Gleichung auch in der folgenden Form schreiben: Φ + div q = 0 (2) V Der Wärmestrom erfolgt entlang eines Gradienten (1. Fick sches Gesetz 2 - Adolf Eugen Fick, Die Richtung des Wärmestroms wird durch den 2. Hauptsatz der Wärmelehre bestimmt). q = λ grad T oder q = λ T (3) 2 In der Literatur auch als Fourier sches Gesetz bezeichnet, welcher es für den Wärmestrom definierte, wohingegen Fick die Diffusion untersuchte

8 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Fügt man diese beiden Gleichungen zusammen und berücksichtigt den Zusammenhang von Wärmeenergie Q, spezifischer Wärmekapazität c, Masse m und Temperatur T Q = c m T, so erhält man 2 c m T = λdiv T (4) V t bzw. mit m V = ρ erhält man das zweite Fick sche Gesetz, mit der (Massen-)Dichte ρ: T t λ ρc 2 T x 2 = 0 (5) Formelzeichen Einheit Bezeichnung Q J Wärmemenge V m 3 Volumen Φ J s 1 Wärmestrom q J s 1 m 2 Wärmestromdichte λ J m 1 s 1 K 1 Wärmeleitfähigkeit T K Temperatur t s Zeit c J kg 1 K 1 spezifische Wärmekapazität ρ kg m 3 (Massen-)Dichte Beachten Sie bitte, dass in der Literatur die spezifische Wärmekapazität entweder auf die Masse bezogen werden kann (wie oben) oder auf eine konstante Anzahl von Atomen (mol). Wenn man an einem Raumpunkt eine plötzliche Temperaturerhöhung hat (z.b. durch Beleuchten mit einem Laser), beschreibt die Lösung ist das Auseinanderlaufen eines Wärmewellenpakets in Raum und Zeit. In der Quantenphysik hat etwa die zeitabhängige Schrödingergleichung dieselbe Form, sie beschreibt ebenfalls das Auseinanderlaufen eines Wellenpakets in Raum und Zeit. Die ursprüngliche Lösung dieser Gleichung unter Verwendung einer Reihenentwicklung stammt von Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier, Theorie analytique de la chaleur 1822) und ist in der Grundlagenvertiefung ausgeführt

9 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Material [Js 1 m 1 K 1 ] Diamant 2300 Kupfer 400 Aluminium 235 Duraluminium 170 Eisen (pur) 80 Stahl 50 Gusseisen hoch legierte Stähle Glas 1 Wasser 0.54 Holz 0.15 Luft Argon Vakuumdämmplatte Tabelle 1: Typische Werte der Wärmeleitung λ bei 0 C in W m 1 K 1 (können je nach Zusammensetzung und Reinheitsgrad variieren) Diese Tabelle zeigt, dass enorme Unterschiede in der Wärmeleitfähigkeit verschiedener Materialien existieren. Luft hat also eine außerordentlich geringe Wärmeleitfähigkeit. Dies ist von großer Wichtigkeit für die Bauphysik (Isolation von Gebäuden). Kupfer und Aluminium hingegen sind durch ihre große Wärmeleitfähigkeit zur Kühlung und als Wärmetauscher besonders geeignet Methoden zur Bestimmung der Wärmeleitung Die Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit erfolgt im allgemeinen durch zwei Methoden: 1. Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit aus Gleichung 5, der Temperaturleitfähigkeit Dies wird im ersten Teil des Experiments realisiert. In der Praxis verwendet man oft zweidimensionale Platten, erzeugt eine punktförmige Temperaturerhöhung ( Laserflash - Methode) und löst Gleichung 5 analytisch/numerisch mit den entsprechenden Randbedingungen. Eine einfachere Möglichkeit ist es, 2 gleiche Metallstäbe unterschiedlicher Temperatur T 0 (Umgebungstemperatur) und T max wärmeleitend (mit Wärmeleitpaste) zu verbinden und das Zerfließen des Wärmewellenpaketes in einer Raumrichtung zu beobachten. Da auf diese Weise nicht λ, sondern λ (die Temperaturleitfähigkeit χ) erhalten wird, müssen mit einem weiteren Experiment die Dichte und ρc die spezifische Wärmekapazität bestimmt werden, so diese nicht schon bekannt sind

10 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Lösung der Wärmeleitungsgleichung für den eindimensionalen Fall Will man die Wärmeleitungsgleichung für den eindimensionalen Fall lösen, so vereinfacht sich der Laplace-Operator aus Gl. 5 auf eine Raumrichtung (x): T (x, t) t = λ ρ c 2 T (x, t) x 2 = χ 2 T (x, t) x 2 (6) χ = λ ρ c ist die Temperaturleitzahl oder Temperaturleitfähigkeit. Eine Lösung für Abbildung 2: Zeitlich veränderliches Temperaturprofil entlang der Wegkomponente (eines unendlich langen Stabes), in welcher das Wärmewellenpaket zerfließt T (x, t) bei einem mit der Zeit zerfließenden Wärmewellenpaket (siehe Abb. 2 - je größer t, desto flacher der Temperaturverlauf) bietet die Fehlerfunktion erf(x). Sie beschreibt bei bekannten Randbedingungen T 0 und T max einen Ast des Temperaturprofils, der zweite Ast wird durch ihre Komplementärfunktion beschrieben. 1 T (x, t) = (T 0 T max ) erf( x) + T max mit erf(x) = 2 x e ϕ2 dϕ (7) 4 χ t π 0 Nimmt man ein Temperaturprofil nach einer beliebigen Zeit t auf und kennt T 0 und 1 T max, kann man eine Fehlerfunktion einpassen und erhält den Parameter 4 χ t aus dem die Temperatur- und bei bekannter Dichte und spezifischen Wärmekapazität auch die Wärmeleitfähigkeit bestimmt werden kann. 2. Bestimmung der Wärmleitfähigkeit aus Gleichung 3 - Wärmestrom entlang eines Temperaturgradienten. Dazu wird ein konstanter eindimensionaler Wärmestrom durch eine konstante Wärmequelle (z.b. elektrische Heizung) erzeugt, womit Gleichung 3 direkt gelöst werden kann. Das Problem liegt hier in der Erzeugung des eindimensionalen Wärmestroms und der Vermeidung parasitärer Wärmeströme. Im nächsten Experiment verwendet man dazu Styroporisolation in einer Wärmemesskammer nach dem Zweiplattenverfahren. In der wissenschaftlichen Praxis werden außen zusätzliche weitere Heizspulen verwendet, die Wärmeströme in andere Richtungen als der gewünschten kompensieren. Im zweiten Teil des ersten Experiments beschränkt man sich auf sehr kleine Temperaturdifferenzen (bezüglich der Umgebungstemperatur) um parasitäre Wärmeströme und Verluste durch Strahlung und Konvektion gering - 8 -

11 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung zu halten. Für einen (unendlich langen) Stab (näherungsweise auch für einen endlich langen Blechstreifen mit konstanter Wärmequelle und -Senke) gilt die Lösung für Gleichung 3: Φ = const. Q dt = λ A (8) t dx Wobei A die Querschnittsfläche und Q t z.b. die Heizleistung) ist. der konstante Wärmestrom (messbar durch Thermografie Eine Alternative zur Temperaturmessung über Berührungskontakt zu Sensoren (z.b. PT- 100 Thermowiderstand oder Typ-K-Thermoelement, siehe 2. Experiment) ist in den letzten Jahrzehnten die Thermografie (oder Wärmebildgebung)geworden, die ein 2-dimensionales Bild von Infrarotstrahlung liefert. Infrarotstrahlung Als infrarote Strahlung wird jener Teil des elektromagnetischen Strahlungsspektrums bezeichnet, der größere Wellenlängen als das noch vom Auge sichtbare rote Licht einschließt (ca. 780 nm) und von den Radiowellen mit λ 1mm begrenzt wird. Der Infrarotbereich selbst wird weiter unterteilt in: 0, 78µm < λ < 3µm: NIR - nahes Infrarot 3µm < λ < 7µm: MIR - mittleres Infrarot 7µm < λ < 14µm: LIR - langwelliges Infrarot 14µm < λ < 100µm: FIR - fernes Infrarot Körper mit einer Temperstur T > 900 K können gerade noch im visuellen Teil des Spektrums (rot) einen messbaren Anteil emittieren. Für Thermografie bei Umgebungstemperaturen (z.b. zwischen ca. 250 K K) ist das LIR besonders wichtig. Funktionsprinzip Thermografie Jeder Stoff mit einer Temperatur über dem absoluten Nullpunkt sendet Strahlung aus. Max Planck hat in dem von ihm beschriebenen Strahlungsgesetz (siehe PS6 - Strahlung) gezeigt, dass zu jeder Temperatur T eine Wellenlänge λ max mit maximaler spektraler Stahldichte existiert. Mit zunehmender Temperatur T verschiebt sich die Wellenlänge λ max der maximalen Stahlungsleistung zu kleineren Werten (Wien sches Verschiebungsgesetz). Gemäß dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist die Strahlungsleistung eines Körpers zur vierten Potenz seiner Temperatur proportional. P (T ) = ɛ(t ) σ A T 4 (9) - 9 -

12 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Formelzeichen Einheit Bezeichnung P J s 1 Strahlungsleistung ɛ 1 Emissionskoeffizient σ J s 1 m 2 T 4 Stefan-Boltzmann-Konstante A m 2 Fläche λ J m 1 s 1 K 1 Wärmeleitfähigkeit T K Temperatur Über eine Infrarotoptik wird ein Bild der Wärmestrahlung auf einen Detektor projiziert, der die jeweilige Strahlungsleistung P pro Pixel mit bekannter Fläche A über das Stefan- Boltzmann-Gesetz einer bestimmten Temperatur zuordnet. Das funktioniert jedoch nur bei bekanntem Emissionskoeffizienten ɛ der untersuchten Probe und bei bekannter Umgebungstemperatur, da die Infrarotoptik eigentlich nur strahlungsleistungsbedingte Temperaturdifferenzen (zur Umgebungstemperatur) messen kann. Transmission, Reflexion, Emission Jeder Stoff mit T > 0 K emittiert Strahlung bzw. Photonen, abhängig von seiner Temperatur. Abhängig von seiner Materialbeschaffenheit und Oberflächenstruktur kann jeder Stoff auch Strahlung/Photonen von außen reflektieren oder für diese durchlässig sein - transmittieren (vgl. Abb. 3). Das Maß für die Fähigkeit, Strahlung zu emittieren ist der Emmissionskoeffizient (oder auch Emissionsgrad ) ɛ. Bei ɛ = 1 wäre das Material ein idealer schwarzer Strahler und würde 100% der der Energie abstrahlen. Ideale schwarze Strahler treten in der Realität jedoch praktisch nicht auf. Vielmehr existieren graue Strahler, deren ɛ von λ abhängt und zusätzlich durch Reflexion und Transmission beeinflusst wird. Viele nichtmetallische Materialien (z.b. PVC, Beton, organische Stoffe) haben eine hohen Emissionsgrad 0, 8 < ɛ < 0, 95 im LIR. Metalle, vor allem mit glänzender Oberfläche haben einen niedrigen (und mit der Temperatur schwankenden) Emissionsgrad. Für eine zuverlässige Temperaturmessung mittels Strahlungsthermografie muss der Emissionsgrad des untersuchten Materials bekannt und nach Möglichkeit hoch sein. Messungen auf glänzenden Oberflächen sollten vermieden werden, sie sollten lackiert oder stark aufgerauht werden. Der Reflexionsgrad (oder Reflexionskoeffizient) ρ ist ein Maß für die Fähigkeit eines Materials, Strahlung zu reflektieren. ρ ist ein materialspezifischer Parameter, der zudem von der Oberflächenbeschaffenheit und der Temperatur abhängt. Je glatter und spiegelnder - desto mehr Strahlung wird reflektiert. Für eine zuverlässige Temperaturmessung mittels Strahlungsthermografie sollten reflektierbare Einstrahlungen per se vermieden werden, die Oberflächenbeschaffenheit sollte Reflexion behindern. Sind alle diese Einflüsse beachtet, bleibt noch die Wärmeeinstrahlung auf Grund der Umgebungstemperatur, welche in gewissem Maße auch immer reflektiert wird. Bei bekannter Umgebungstemperatur kann dieser Einfluss jedoch automatisch korrigiert werden (RTC - reflected temperature correction). Der Transmissionsgrad τ ist das Maß für den Anteil der transmittierten Strahlung. Die meisten Alltagsmaterialien sind für LIR nicht, oder nur vernachlässigbar transmittiv

13 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Abbildung 3: Strahlungseinflüsse bei der Wärmebildaufnahme Nach dem aus der Thermodynamik folgenden Kirchhoff schen Strahlungsgesetz ist das Verhältnis des Emissionsvermögens zum Absorptionsvermögen bei einer bestimmten Wellenlänge und gegebener Temperatur für alle Körper gleich. Ein Körper strahlt daher umso besser, je wirksamer er Strahlung absorbiert. Ferner folgt: ɛ + ρ + τ = 1 (10) bzw. nach Vernachlässigung der Transmission gilt für LIR näherungsweise: ɛ + ρ = 1 (11) Die meisten (bau/technischen) Thermografiegeräte (Wärmebildkameras) beschränken sich auf LIR, weil sich zudem vorteilhaft auswirkt, dass bei Freiluftmessungen die atmosphärische Gegenstrahlung in diesem Wellenlängenbereich besonders gering ist. Man spricht hierbei vom atmosphärischen Fenster. Wärmestrahlung von der Erde wird von den Bestandteilen der Atmosphäre (O 2, N 2, H 2 O, CO 2 ) absorbiert (sie regt die Gasmoleküle dabei zu typischen Rotationsschwingungen an). Gemäß dem Kirchhoff schen Strahlungsgesetz emittieren die Gase dann auch wieder Wärmestrahlung mit einer (oder mehreren) charakteristischen Wellenlängen. Zwischen etwa 8 und 14 µm, also im atmosphärischen Fenster, liegen jedoch keine Strahlungsmaxima (vgl. Abb. 4). Infrarotoptik und Detektortechnik Um ein Wärmebild digital zu erfassen, bedarf es einer bildgebenden Optik und einer möglichst hochauflösenden Detektoreinheit. Das Linsenmaterial muss einen entsprechend großen Brechungsindex für LIR aufweisen bei gleichzeitiger hoher Transmissivität. Auf Effekte wie Dispersion (die zur chromatischen Aberration führt), sphärische, astigmatische u. a. Fehler muss selbstverständlich auch hier geachtet werden. Germanium oder Gallium- Arsenid beispielsweise eignen sich für infrarotoptische Anwendungen gut. Der gewünschte Wellenlängenbereich kann zudem durch gezielte Entspiegelung eingegrenzt werden

14 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Abbildung 4: Atmosphärische Gegenstrahlung Abbildung 5: Bolometerschaltung Als Detektor für LIR Strahlung dient im gegenständlichen Experiment ein sehr weit verbreitetes und vergleichsweise günstiges System für Wärmebildgebung: Eine Mikrobolometer- Matrix. Ein Bolometer ist ein Sensorelement, welches Wärmestrahlung in ein elektrisches Signal umwandelt (siehe Abb. 5). Es ist schaltungstechnisch eine Wheatstonebrücke mit zwei Referenzwiderständen R 2 und R 3, die in einem festen Widerstandsverhältnis stehen, zwei Thermistoren R T und [R T + R T ] (=temperaturempfindliche Widerstände mit bekannten Temperaturkoeffizienten) und einem Brückenwiderstand R 1, an welchem ein Spannungsabfall gemessen werden kann. Die Messbrücke ist ausgeglichen, für den Fall, dass die

15 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung beiden Thermistoren gleiche Temperatur haben. Einer der beiden Thermistoren ist gegen einfallende Wärmestrahlung abgeschirmt, der andere ist ein exzellenter LIR-Absorber. Kommt es zu einem Wärmestrahlungsfluss Φ für eine Zeitspanne (realisiert durch einen Shutter (9 Hz im Fall der verwendeten Kamera) in der Kameraoptik), ändert sich das Widerstands-Verhältnis der beiden Thermistoren und der Spannungsabfall über R 1 kann ausgelesen werden. Dieser ist direkt proportional zur Strahlungsleistung pro Pixelfläche P (T )/A. Als Absorber dienen verschiedene Materialien. Am gängigsten sind wohl Vanadiumoxid oder amorphes Silizium. Letzteres findet in der Kamera Verwendung, die im gegenständlichen Experiment eingesetzt wird. In Abb. 6 b) ist ein Mikrobolometer im Querschnitt schemetisch dargestellt, a) zeigt die Aneinanderreihung der Bolometer: Viele Bolometerelemente werden in Matrix-Form zusammengesetzt um einen zweidimensionalen Empfänger zu erhalten, auf den das Wärmebild projiziert wird. Die Auflösung ergibt sich aus der Bolometerelemente-Anzahl, wobei ein Element einem Pixel entspricht. Gängige Auflösungen im günstigen Preissegment sind etwa 120x160 Pixel. Abbildung 6: Mikrobolometermatrix und Querschnitt durch ein Bolometerelement (Butler et. a. 1995) 1.2 Aufgabenstellung 1. Bestimmen Sie die Temperaturleitfähigkeit und daraus die Wärmeleitfähigkeit von Eisen durch thermografische Auswertung eines nicht stationären Wärmestroms. 2. Bestimmen Sie die Wärmeleitfähigkeit von Aluminium durch thermografische Auswertung eines stationären Wärmestroms

16 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung Kalibration der Wärmebildkamera Um zuverlässige Temperaturmessungen mit der Wärmebildkamera zu erhalten, müssen Sie feststellen, wie groß der Emissionskoeffizient ɛ Ihrer Probe ist und welche Korrektur Sie auf Grund der reflektierten Umgebungstemperatur RT C (reflected temperature correction) durchführen müssen. Die Umgebungstemperatur wird mit einem kalibrierten Thermoelement gemessen (z.b. Fluke 179). Für die Bestimmung von ɛ wenden Sie am einfachsten die Kontakttemperaturmethode an: Im Menü der Wärmebildkamera wählen Sie Emissivity und stellen vorerst den Wert ɛ = 1,00 ein. Im Einstellfeld RTC daneben tragen Sie die gemessene Reflected Temperature, also die Umgebungstemperatur ein. Währenddessen erwärmen Sie Ihre Probe (das Eisenstück) z.b. auf der Wärmeplatte um einige Grad Celsius ( auf ca. 40 C). Messen Sie nun die Oberflächentemperatur mit dem selben Thermoelement, mit dem Sie zuvor die Umgebungstemperatur gemessen haben und vergleichen diese mit der gleichzeitig gemessenen Temperatur in der Wärmebildkamera. Richten Sie dazu das Fadenkreuz auf die gewünschte und von Hand temperaturvermessene Stelle. Vergleichen Sie die Temperaturen und korrigieren Sie (bei Bedarf) die Emissivity der Kamera schrittweise herunter bis die Temperaturen von Thermoelement und Wärmebildkamera auf ± 1-2 C gleich sind. Da alle im Versuch verwendeten Metalle matt schwarz matt lackiert sind, sollten die Emissionskoeffizienten sehr hoch sein. Eine Styroporabschirmungung sollte zudem die Störungen durch Reflexion oder Einstrahlung von Wärmequellen mit höherer Temperatur als der Umgebung gering halten. Achten Sie jedoch trotzdem darauf, dass Sie Einstrahlungen vermeiden Messung des nicht stationären Wärmestroms Wärmen Sie 2 Eisenstäbe mit der Heizplatte auf eine Temperatur von mindestens 10 C über Raumtemperatur. Tragen Sie auf der unlackierten Kontaktfläche des 3. Stabes bei Raumtemperatur eine dünne Schichte Wärmeleitpaste auf, die die Kontaktfläche jedoch vollständig abdeckt. Pressen Sie den erwärmten und den Stab bei Raumtemperatur kräftig zusammen, entfernen Sie rasch die ausgequillte Paste und legen Sie die Stäbe auf eine Styroporunterlage. In dem Moment, wo die beiden Eisenstäbe in Kontakt kommen, müssen Sie die Zeit zu stoppen beginnen. Nach ca Sekunden Kontaktzeit nehmen Sie ein Wärmebild auf. Hierzu üben Sie vorher im Trockentraining das Schärfen des Bildes im gewünschten Abstand. Um

17 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung die Auflösung zu maximieren müssen Sie den Bildausschnitt mit den Stäben so groß wie möglich wählen. Die Bildaufnahme erfolgt per Abzug. Das Speichern des Bildes aufdem Datenträger müssen Sie mit der Taste OK quittieren. Wenn Sie den Eisenstab mit der höheren Temperatur links platzieren, sodass der Wärmestrom auf dem Foto v.l.n.r. entlang der späteren x-koordinate verläuft, vereinfachen Sie sich die Auswertung. Daten Eisenstab: ρ = (7480 ± 350)kg/m 3, c 32 C = (454, 6 ± 0, 7)Jkg 1 K Messung des stationären Wärmestroms Der Messaufbau für den stationären Wärmestrom ist vorgegeben. Auf einem 4 mm dicken Aluminium-Blech (Duraluminium) ist an einem Ende ein Heizwiderstand R=330 Ω(als konstante Wärmequelle) montiert, dessen Leistung über die Betriebsspannung mit dem Netzgerät regelbar ist. Als Isolationsmedium dient die Umgebungsluft. Am anderen Ende (nach etwa 4 cm) ist das Aluminiumblech mit einem großen Kupferblock wärmeleitend verbunden, der als Wärmesenke fungiert. Wählen Sie die Betriebsspannung so, dass etwa 0,5-0,7 J/s Wärmestrom aus der Wärmequelle fließt. Nach etwa 5 Minuten sollte sich auf dem ca. 4 Zentimeter langen Stück zwischen Wärmequelle und Wärmesenke ein Temperaturgradient von ca. 5 C ausgebildet haben (überprüfen Sie das mit der Wärmebildkamera). Nehmen Sie nun ein Wärmebild. Sie können den Emissionskoeffizienten nochmals überprüfen, er sollte jedoch wegen der gleichen Lackierung in etwa gleich hoch sein, wie im ersten Versuch Temperaturprofile auslesen Schließen Sie die Wärmebildkamera mit dem USB Kabel an einen PC an, welcher über die Testo-IR-Software verfügt. Speichern Sie ihre IR-Bilder auf dem lokalen Datenträger und öffnen Sie diese mit Doppelklick in der Testo-Software. Zeichnen Sie im Bearbeitungsfenster mit dem IR-Bild ein Temperaturprofil längs einer waagrechten Linie ein (vgl. Abb. 7). Für das Experiment mit dem nicht konstanten Wärmestrom wählen Sie bloß eine Hälfte (die sich erwärmende), für das

18 1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung Experiment mit dem konstanten Wärmestrom wählen Sie die ausgemessene Strecke vom Wärmwiderstand bis zum Kupferblock. Nun erscheint im Bearbeitungsfenster Temperaturprofil die Temperatur für jedes angewählte Pixel. Klicken Sie auf Zwischenspeicher um den Datensatz aus der Software zu exportieren. Um die Daten in vernünftiger Form in QTI-Plot einzufügen, müssen Zeilentrennzeichen eingefügt werden, was das Programm leider nicht automatisch tut. Dazu fügen Sie den Datensatz in ein Textverarbeitungsprogramm ein, das die Funktion Suchen/Ersetzen besitzt. Sie suchen im gesamten Datensatz nach den Messerttrennungszeichen ; (Semikolon) und ersetzen diese durch die Absatzmarke (in MS Word ist das: p, in LibreOffice ist das \n ). Dann können Sie den Datensatz abermals markieren, kopieren und einfach in eine belibige Tabelle in QTI-Plot einfügen. Abbildung 7: relevante Bearbeitungsfenster aus Testo-IR-Software Auswertung der Temperaturprofile in QTI-Plot Der Datensatz des Temperaturprofils ist ohne Bezugswert ausgegeben. Sie wissen jedoch, dass die Werte in ihrer Reihenfolge den ausgelesenen Pixeln von links nach rechts entsprechen. Wenn Sie die ausgelesenen Längen kennen, können Sie in QTI-Plot direkt die zugehörigen x-werte generieren, da Sie somit wissen, welche Länge in m in wieviele Pixel geteilt wurde. Wählen Sie dazu im Menü der leeren x-spalte Spaltenwerte setzen : Hier können Sie Formeln eingeben, i steht für die Zeilennummer (und entspricht damit der Pixelnummer). Anpassung einer Fehlerfunktion Mit einem Rechtsklick im Diagramm gelangen Sie ins Auswertemenü > Analyse. Dort öffnen Sie den Fit-Assistenten und erstellen sich selbst die notwendige Funktion nach Gleichung 7. Sie haben 3 unbekannte Parameter, die Sie z.b. mit A, B und C benennen können (A = T 0, B = T max, C = 1 4 χ t ). Die Fehlerfunktion erf() können Sie aus den vorgegebenen Funktionen wählen und einfügen. Wenn Sie den Fit anwenden können Sie überprüfen, ob A und B nachvollziehbare Größen sind und aus C können Sie λ berechnen

19 2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren 2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren 2.1 Grundlagen Begriffe Temperatur, Wärmemenge, Wärmestrom, Wärmeleitung, Wärmeübergang, Wärmewiderstand, stationärer Zustand, Wärmeleitzahl, Wärmeübergangszahl, Wärmedurchgangskoeffizient Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang Befindet sich ein System im stationären Zustand, ändert sich die Temperatur nicht mit der Zeit ( dt Q = 0) und folglich ist auch der Wärmestrom (Φ = ) konstant. dt t In einer Platte der Dicke d mit den Oberflächentemperaturen (Wandtemperaturen) T W 1, T W 2 (siehe Abbildung 8) hängt der Temperaturverlauf in der eindimensionalen Betrachtung nur von der Ortskoordinate x im Bereich (0 x d) ab. Jetzt ist die Temperatur stationär, also nicht mehr von der Zeit abhängig, daher vereinfacht sich die Gleichung 6 zu d 2 T (x) dx 2 = 0. (12) Als Lösung dieser Gleichung folgt für 0 x d ein linearer Temperaturverlauf T (x) = T W 1 + (T W 2 T W 1 ) x d. (13)

20 2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren Abbildung 8: Ebene Platte mit Wärmeleitfähigkeit λ. Weiters resultiert ein konstanter Wärmestrom Φ = dq dt dt = λ A dx = λ A (T W 1 T W 2 ) d (14) mit der Wärmestromdichte (auf die Querschnittsfläche A bezogener Wärmestrom): q = 1 A dq dt = λ (T W 1 T W 2 ) d (15) In der Formulierung Φ = dq dt = T W 1 T W 2 R λ (16) lässt sich der Wärmewiderstand R λ = 1 λ d A (17) herleiten. 1 λ wird als spezifischer Wärmewiderstand bezeichnet. Man beachte die Analogie zwischen Wärme- und Ladungstransport. In der Elektrizitätslehre gilt das Ohm sche Gesetz I = U (vgl. Analogie in Gleichung 16), wobei I die elektrische R

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