Mikroskopische Beschreibung des elektrischen Stroms in Metallen

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1 Strom Wird an ein Metall (z.b. Draht) ein Spannung angelegt, dann befinden sich beide Enden auf unterschiedlichem Potential und im Metall ergibt sich ein elektrisches Feld. In dem Feld werden die Elektronen bewegt. Es ergibt sich ein Ladungsfluss d.h ein elektrischer Strom. Die Spannung kann nur aufrecht erhalten werden, wenn durch eine Spannungsquelle ständig Elektronen nachgeliefert werden, um den Ladungsfluss aufrecht zu erhalten. Beispiele für Spannungsquellen: Batterie: chemisch freigesetzte Elektronen Dynamo, Generator: durch rotierende Magnetfelder bewegte Ladungen Solarzellen: In Silizium durch Licht freigesetzte Elektronen 53

2 Mikroskopische Beschreibung des elektrischen Stroms in Metallen Metalle besitzen ein periodisches Gitter aus positiven Atomrümpfen. Die s.g. Elektronen mit der höchsten Energie können sich weitgehend frei im Metall bewegen. Ihre Geschwindigkeit ist groß ca m/s, aber ohne Strom gleich verteilt in alle ichtungen. Im elektrischen Feld werden die Elektronen beschleunigt, bis sie nach τ sec mit Gitterschwingungen, Defekten im periodischen Gitter oder anderen Elektronen stoßen. Im zeitlichen Mittel ergibt sich eine konstante Driftgeschwindigkeit v D der Elektronen in ichtung des elektrischen Feldes. Die Driftgeschwindigkeit ist vergleichsweise klein Beispiel: Kupferdraht mit Querschnitt 1mm² und Strom 1Ampere v D 4 mm pro Minute 54

3 Stromdichte Der Ladungsfluss im Metall ist eine gerichtete Größe. Definition: Die Stromdichte ist ein Vektor in ichtung der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger (bei negativen Ladungen in umgekehrte ichtung). Der Betrag des Vektors gibt an wieviel Ladung pro Zeit Δt und pro Fläche A fließt. j Q AΔt r r j ρ v D r j Q V V AΔt Q V AvDΔt AΔt Q V v D ρ v D r v D Δt A Ladung Q im Volumen V A v D Δ tritt durch Fläche A t 55

4 56 Strom Bei räumlich konstanter Stromdichte tritt durch eine Fläche A der Strom Der Strom ist eine skalare Größe und gibt an, wieviel Ladung pro Zeit durch die Fläche A insgesamt tritt. Mit dem Vektor der senkrecht auf der Fläche A steht A j I r r A j A v A v V Q t t A v V Q t V V Q t Q I D D D r r r r r r r r Δ Δ Δ Δ ρ v D Δt r A r Ladung Q im Volumen tritt durch Fläche A t A v V D Δ r r A r

5 Steht der Vektor der räumlich konstanten Stromdichte senkrecht auf der Fläche A, dann ist der Betrag der Stromdichte einfach Strom pro Fläche. j I A Im allgemeinen Fall kann die Fläche A beliebig geformt sein und die Stromdichte ortsabhängig sein. Dann muss der Strom durch Integration berechnet werden: I r r j d A A Stromdichte ist eine lokale Größe die am Ort die ichtung und Stärke des Ladungstransportes angibt. Der Strom bezieht sich immer auf eine Fläche bzw. auf ein Objekt mit vorgegebener Geometrie z.b. Draht. r r 57

6 Kontinuitätsgleichung Fließen durch eine geschlossene Fläche S Ladungen aus dem eingeschlossenen Volumen V heraus, verringert sich die Gesamtladung Q im Volumen. I Als Integral lässt sich allgemein schreiben ( zeigt nach außen): I Q Δt r r j d S Oberfläche und ds r dq dt d dt Volumen ρ dv Oberfläche r r j ds d dt Volumen ρ dv Kontinuitätsgleichung Vergleiche mit der Kontinuitätsgleichung für strömende Flüssigkeiten. 58

7 differentielle Form der Kontinuitätsgleichung Für jeden einzelnen Punkt im aum gilt die Kontinuitätsgleichung in ihrer differentiellen Form: r r div r r j(, t) t r ρ(, t) Kontinuitätsgleichung Die Quellstärke (Divergenz) der Stromdichte an einem Punkt ergibt sich aus der Verringerung der Ladungsdichte an diesem Ort. ρ r j Die Kontinuitätsgleichung ist Folge der Ladungserhaltung. Bei strömenden Flüssigkeiten ist die Kontinuitätsgleichung Folge der Massenerhaltung. 59

8 Elektrischer Widerstand, Ohmsches Gesetz Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem Metall ist um so größer, je größer das elektrische Feld ist. In der Zeit τ zwischen den Stößen werden die Elektronen beschleunigt und ändern Ihre Geschwindigkeit im Mittel um r r Δv aτ r F τ m r qe τ m Diese zusätzliche mittlere Geschwindigkeit in ichtung des Feldes ist die Driftgeschwindigkeit. Sie ist proportional zur Feldstärke r v D qτ r E m Also ist auch die Stromdichte proportional zur Feldstärke r ρ qτ r j E m 60

9 Leitfähigkeit Den Proportionalitätsfaktor nennt man die elektrische Leitfähigkeit σ. r r j σ E Sie hängt von den Eigenschaften des Materials ab. Insbesondere ist die Ladungsträgerdichte ρ und die Stoßzeit τ relevant. Die Ladungsträgerdichte bezieht sich nur auf die Elektronen, die sich frei im Metall bewegen können. Bei tiefen Temperaturen ist die Stoßzeit bestimmt durch die einheit des Metalls (wenig Defekte als Streuzentren) bei höheren Temperaturen sind Stöße mit Gitterschwingungen dominant. Dadurch wird die Leitfähigkeit temperaturabhängig. 61

10 Elektrischer Widerstand An einem Draht mit Querschnittsfläche A und Länge l liegt an den Enden die Spannung an. Dadurch ergibt sich im Draht die elektrisches Feldstärke E l Folglich fließt durch den Draht der Strom I j A σ E A σ l Der Strom ist also proportional zur anliegenden Spannung Man kann auch schreiben A l I σ A Den Proportionalitätsfaktor nennt man elektrischen Widerstand I σ A l I Ohmsches Gesetz 62

11 Der Widerstand ist proportional zur Länge des Drahtes und umgekehrt proportional zur Fläche des Drahtes l σ A Man verwendet anstelle der Leitfähigkeit auch den spezifischen Widerstand als Materialkonstante ρ spez 1 σ ρ spez nicht verwechseln mit der Ladungsdichte ρ! ρspez l A Bei anderer Geometrie des Leiters ist die Berechnung des Widerstandes aus dem spezifischen Widerstand u.. sehr kompliziert. 63

12 Einheiten für Strom und Widerstand: Der Strom hat die Einheit Ampere (A). Das Ampere hängt mit den Einheiten für Ladung und Zeit zusammen: Das Ampere gehört zu den Basiseinheiten des SI-Systems. Definition: 1Coulomb 1 Ampere 1Sekunde Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stroms, der durch zwei parallele geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter mit vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft Newton hervorrufen würde. Näheres dazu im nächsten Kapitel. 64

13 Der elektrische Widerstand hat die Einheit Ohm (Ω). Sie leitet sich aus den Einheiten für Strom und Spannung ab. 1 Ohm 1Volt 1Ampere Die Einheit des spezifischen Widerstandes ist Ohm * Meter, denn A l m m [ ] Ω Ω m ρ spez 2 Die Einheit der Leitfähigkeit ist [ σ ] 1 ρ spez 1 Ω m 65

14 Beispiel für verschieden Materialien: Material ρ spez α Silber Ω m Kupfer Ω m Gold Ω m Aluminium Ω m Wolfram Ω m Zink Ω m Messing Ω m Blei Ω m Konstantan Ω m < Die Temperaturabhängigkeit wird näherungsweise ausgedrückt durch ρ T ) ρ ( T ) 1+ spez ( spez 0 ( αt ) 66

15 Supraleitung: Bei zahlreichen Metallen verändert sich der Ladungstransport bei sehr tiefen Temperaturen grundlegend. nterhalb der s.g. Sprungtemperatur wird der elektrische Widerstand exakt null. Li B 0.03 B C N O F Ne Na Mg Al 1.14 Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti 0.39 V 5.38 Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn 0.87 Ga 1.09 Ge As Se Br Kr b Sr Y Zr Nb Mo Tc u h Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Hf Ta W e Os Ir Pt Au Hg Ti Pb Bi Po At n Sprungtemperatur in Kelvin Es gibt zusätzlich viele supraleitende Legierungen und Verbindungen 67

16 Entdeckung der Supraleitung 1911 von H. Kamerlingh Onnes am Quecksilber temperaturabhängiger elektrischer Widerstand Im normalleitenden Zustand Supraleitender Zustand Sprungtemperatur 68

17 Mechanismus der Supraleitung: 40 Jahre nach der Entdeckung der Supraleitung wurde eine sehr erfolgreiche Theorie zur Supraleitung aufgestellt (BCS-Theorie) Über Verzerrungen des Gitters (Gitterschwingungen) wird eine anziehende Wechselwirkung von zwei sich genau entgegengesetzt bewegenden Elektronen erzeugt. Dadurch binden die Elektronen aneinander mit einer sehr kleinen Bindungsenergie < 3meV. Die Paare nennt man Cooper-Paare. Der Ladungstransport erfolgt über Bewegung der Cooper-Paare. Bei tiefer Temperatur steht nicht genügend thermische Energie zur Verfügung um die Bindung der Paare aufzubrechen. Dadurch finden keine Streuungen wie bei der Normalleitung statt. 69

18 Experimentelle Beobachtungen an Supraleitern: Ein kreisförmig fließender Strom im Supraleiter wird auch nach Jahren nicht merklich gedämpft. Kleinere Magnetfelder werden aus dem Innern des Supraleiters vollständig herausgedrängt. Starke Magnetfelder zerstören den supraleitenden Zustand. Supraleiter verhalten sich wie perfekte Diamagneten und werden aus einem inhomogenen Magnetfeld herausgedrängt. (Meißner-Ochsenfeld Effekt) Zusätzlich treten viele quantenmechanische Effekte auf. 70

19 Hochtemperatur-Supraleiter: 1986 wurden metallische Kupferoxid-Verbindungen gefunden die eine sehr hohe Sprungtemperatur haben T c > 100K. rot: blau: grün: Lanthan, Barium Sauerstoff Kupfer Der Mechanismus der Supraleitung in diesen Materialien ist bis heute nicht verstanden. Die Bindung der Elektronenpaare aneinander ist nicht alleine über das Gitter vermittelt, vermutlich spielen zusätzlich magnetische Eigenschaften der Materialien eine olle. 71

20 Energie Elektrische Leitung in Halbleitern: Bei Halbleitern stehen nur sehr wenig Ladungsträger zur Verfügung. Elektronen können sich nur mit einer Energie frei bewegen die mindestens um den Wert ΔE größer ist als die maximale Energie der nicht angeregten Elektronen. ΔE heißt Bandlücke. Die Ladungsträger werden nur durch thermische Anregung freigesetzt oder durch Dotierung hinzugefügt. freie Bewegungszustände keine Bewegungs- Zustände möglich ΔE freie Bewegungszustände Mit Elektronen besetze Bewegungszustände Metall Halbleiter dotierter Halbleiter Isolator 72

21 Der Widerstand von Halbleitern nimmt mit steigender Temperatur ab, da mehr Ladungsträger thermisch angeregt werden. Bei undotierten Halbleitern ist die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit σ ( T ) σ e 0 ΔE kt Bei dotierten Halbleitern werden die Ladungsträger durch Fremdatome zur Verfügung gestellt und ihre Zahl ist nicht temperaturabhängig. Durch Streuung der Elektronen bei hoher Temperatur nimmt die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur ab. 73

22 Elektrische Leistung Ladungen die eine Potentialdifferenz Δϕ Spannung durchlaufen nehmen E q die Energie auf. Da die Elektronen im Mittel mit konstanter Geschwindigkeit driften, ändern Sie Ihre mittlere kinetische Energie nicht. Alle aus dem Feld aufgenommene Energie wird also an Gitterschwingungen abgegeben. Fließt ein Strom I durch einen Draht zwischen dessen Enden die Spannung anliegt, durchläuft im Zeitintervall Δt die Ladungsmenge Die Potentialdifferenz. Dabei wird die Energie P ΔE / Δt Die Leistung ist also Q ΔE Q I Δt aufgenommen. P I Die aus dem elektrischen Feld im Leiter aufgenommene Energie wird in Wärmeenergie ( Gitterschwingungen) umgewandelt. 74

23 Einheit der elektrischen Leistung Die Verbindung mechanischer und elektrischer Einheiten wird meistens über die Einheit der Leistung Watt (W) hergestellt. Einheit der elektrischen Leistung: Einheit der mechanischen Leistung: [ ] [ I ] VA W P el [ ] [ F s / t] N m / s W P mech Man kann auch die Einheiten der Arbeit vergleichen: Einheit der elektrischen Arbeit: Einheit der mechanischen Arbeit: [ ] [ I t] VA s W s J W el [ ] [ F s] N m J W mech Es ergibt sich der wichtige Zusammenhang: V A s N m J 74b

24 Energietransport in Überlandleitungen: Ein typisches Kraftwerk produziert 100 MW Leistung. Würde das Kraftwerk 220 V erzeugen, würden ca. P/ A fließen. Damit beim Verbraucher in 10km Entfernung 90% der Energie abgenommen werden können, dürfen in der Leitung nur P L 10 MW Leistung verloren gehen. Der Spannungsabfall an der Leitung ist dabei P L /I L 22V und folglich der Leitungswiderstand L L / I Ω. Die Querschnittsfläche müsste A ρ spez L / L 7 m² betragen. Das Kraftwerk gibt deshalb V ab und es fließen nur 450 A. Bei einem Leitungsquerschnitt von 1cm² ist der Leitungswiderstand L ρ spez L / A 3.4 Ω. Bei 450 A fallen an der Leitung L I L 1500V ab. In der Leitung gehen also P L I L 700 kw in Wärme über. Beim Verbraucher werden also 99.3% der Energie abgenommen. Effektiver elektrischer Energietransport geht nur in Hochspannungsleitungen. 75

25 Elektrische Schaltungen mit Widerständen Als elektrische Schaltungen bezeichnet man Anordnungen, bei denen elektrische Bauelemente (z.b. Widerstände, Kondensatoren, Transistoren) über sehr gut leitende Drähte miteinander und mit einer Spannungsquelle verbunden sind. Die Widerstände der Drähte werden als vernachlässigbar betrachtet. Stromkreis mit einem Widerstand: Durch die Drähte wird die Spannung von der Spannungsquelle zum Widerstand übertragen. + - Am Draht ist kein nennenswerter Spannungsabfall. Deshalb liegt am Widerstand die Spannung an. Im Stromkreis fließt der Strom I /. 76

26 Stromkreis mit zwei in eihe geschalteten Widerständen: Die Kontinuitätsgleichung fordert, dass der Strom ϕ a ϕ c + - ϕ a ϕ b ϕ c 1 2 durch Drähte und Widerstände an jeder Stelle des Stromkreises gleich ist. Damit durch 1 der Strom I fließt, muss die Spannung 1 I 1 anliegen. Damit durch 2 der gleiche Strom I fließt, muss die Spannung 2 I 2 anliegen. Die Spannung ist die Potentialdifferenz: 1 ist die Potentialdifferenz 2 ist die Potentialdifferenz Daraus folgt 1 + ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ a ϕ ϕ b a b b c b c ϕ ϕ a c 77

27 Es folgt: I + I I + ) Die Widerstände verhalten sich also wie ein 2 ( 1 2 I ges 2 Gesamtwiderstand ges Im Allgemeinen gilt für viele in eihe geschaltete Widerstände: i i 78

28 Kirchhoffsche Maschenregel: Bei einer Leiterschleife liegen die verschiedenen Leiterabschnitte auf unterschiedlichen Potentialen. Die Spannungen an den Bauelementen (z.b. Widerstände und Spannungsquellen) ergeben sich aus den Potentialdifferenzen. Summiert man über alle Spannungen in der Schleife mit dem richtigen Vorzeichen, ergibt sich Null, weil man am selben Potential ankommt bei dem man gestartet ist 2 3 ϕ a ϕ b ϕ c i i 0 ϕ e 5 ϕ d ϕa ϕb + ϕb ϕc + ϕc ϕd + ϕd ϕe + ϕe ϕa 0 79

29 Spannungsabfall an einem Widerstandsdraht: x Bei konstanter Drahtdicke kann man sich den Draht als viele kleine in eihe geschaltete Widerstände vorstellen. + - L Die Teillänge x hat den Widerstand x x / L. Am Teilstück x fällt die Spannung x ab I x L x x x L An einem Draht mit konstanter Dicke hat mein einen linearen Spannungsabfall. x ( x) E L x Im Draht ist die Feldstärke und Stromdichte überall gleich. L 80

30 Kirchhoffsche Knotenregel: Aus der Kontinuitätsgleichung folgt, dass an einem Verbindungspunkt von mehreren Drähten genauso viel Strom in den Knoten fließt, wie herausfließt, da im Knoten keine Quelle oder Senke von Ladung ist (div ρ 0). Die Summe über alle Ströme am Knoten mit dem richtigen Vorzeichen ist Null. I I I 2 i I i 0 I 1 I2 I3 0 81

31 Stromkreis mit zwei parallel geschalteten Widerständen: I ges I 1 I Für den Strom gilt I I I ges An beiden Widerständen liegt die gleiche Spannung an. Daraus folgt: I 1 + I2 + I ges 1 2 ges Die parallelgeschalteten Widerstände ges 1 2 verhalten sich wie ein Widerstand ges 82

32 Wheatstonesche Brückenschaltung: Der veränderbare Widerstand 4 wird so I 1 I eingestellt, dass im Messinstrument kein Strom fließt. Dann gilt: + - ϕ a ϕ b I ( ) I ( + ) I 1 I 2 I 1 11 I 3 13 I I Wenn 1 2 und 3 4, dann fließt kein Strom im Instrument, da ϕ a ϕ b Es folgt: 2 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Widerstände können auf diese Weise sehr genau verglichen werden. 83

33 Strom- und Spannungsmessgeräte: Zur präzisen Messung zahlreicher physikalischer Größen wird die Messung auf eine Strom- bzw. Spannungsmessung zurückgeführt. Die Messdaten können dabei digital (auch vom Computer) erfasst werden. Präzise elektrische Messgeräte sind daher von zentraler Bedeutung. Kommerzielle Messgeräte sind mit einer Auflösung von mehr als 8 Stellen verfügbar. Die Messgenauigkeit ist besser als Herzstück bei der digitalen Messung ist ein Analog-Digital Wandler 84

34 Analog-Digital Wandler: 1. Parallelverfahren: Die Eingangsspannung wird mit N eferenzspannungen verglichen. Es wird gemessen zwischen welchen beiden Spannungen der Wert liegt. Die Auflösung ist klein, aber die Messgeschwindigkeit ist sehr hoch. Für eine Auflösung von 8 bit (256 Schritte) sind 256 eferenzspannungen nötig. Abtastraten bis über 100MHz sind möglich. ref4 + < ref4 + < ref3 ref3 ref2 + > ref2 mwandlung in Binärzahl > ref1 ref1 0V 85

35 2. Wägeverfahren: Erzeugung einer Vergleichsspannung mit einem Digital-Analogwandler. Suche nach der Binärzahl, die am nächsten an der Eingangsspannung liegt. DA- Wandler + Steuer- Logik V Begonnen wird mit dem höchsten Bit: wenn DA < dann Bit 1 setzen, sonst Bit 0 Hohe Bits bleiben gesetzt, weiter mit dem nächsten Bit. Bei N Bit Auflösung werden N Messschritte benötigt. Mit wenig Aufwand hohe Auflösung erreichbar, etwas langsamer. 86

36 Funktionsweise des benötigten Digital Analog Wandlers I I k 1 + out ref 0V Die Schalter werden entsprechend der Bits geschlossen. Die Strome durch die Widerstände /1, /2,... /128 addieren sich (Kirchhoffsche Knotenregel). Der Verstärker regelt die Ausgangsspannung so, dass über 1 der gleiche negative Strom in den blauen Knotenpunkt fließt. Dadurch wird eine Spannung out erzeugt, die dem Strom I und damit der Binärzahl proportional ist. 87

37 3. Zählverfahren: Höchste Auflösung, aber langsamstes Verfahren. Spannungsmessung wird in Zeitmessung umgewandelt + 1 ref 0V Stop Stoppuhr Start Über den Widerstand 1 fließt ein konstanter Strom in den Kondensator Die Spannung am Kondensator ist I t c C Der Komparator vergleicht mit der zu messenden Spannung und stoppt den Zähler. Der Zählerstand ist proportional zur Spannung. Für die nächste Messung wird der Kondensator wieder entladen. 88

38 Drehspulmessgerät: Eine vom zu messenden Strom durchflossene Spule erfährt ein Drehmoment im Magnetfeld. Gegen die ückstellkraft einer Spiralfeder wird ein Zeiger ausgelenkt. Das Drehmoment und damit die Zeigerstellung ist proportional zum Strom. N S 89

39 Innenwiderstand Spannungsmessgeräten (Voltmeter): Ein Spannungsmessgerät sollte einen möglichst hohen Innenwiderstand haben, um den zu messenden Stromkreis wenig zu beeinflussen. I 1 I 1 + I 2 I 1 I 1 I Der Spannungsmesser misst den Spannungsabfall am Widerstand. Dazu entnimmt er den Strom I / 2 Der Innenwiderstand i ist eine Eigenschaft des Messgerätes. Typische Werte für moderne Messgeräte sind 10 MΩ bis 1 GΩ. Der Strom der durch das Messgerät fliest kann den Stromkreis beeinflussen, besonders dann, wenn er vergleichbar groß ist wie die anderen Ströme. i 90

40 Innenwiderstand von Strommessgeräten (Amperemeter): Ein Strommessgerät sollte einen möglichst kleine Innenwiderstand haben, um den zu messenden Stromkreis wenig zu beeinflussen. I I Das Strommessgerät misst den Strom in der Leiterschleife. Dabei erhöht es den Gesamtwiderstand in der Leiterschleife und verringert dadurch den Strom auf: I 1 + i Typische Werte für moderne Messgeräte sind < 1Ω. 91

41 Voltmeter als Amperemeter und umgekehrt: Ein Voltmeter lässt sich als Amperemeter verwenden, wenn man den Spannungsabfall an einem kleinen Widerstand misst: 1Ω I 1 Ω 1Ω i Ein Amperemeter lässt sich als Voltmeter verwenden, wenn man den Strom durch einen hohen Widerstand misst: 1MΩ I 1MΩ I 1 MΩ i 92

42 Innenwiderstand von Spannungsquellen: Entnimmt man einer Spannungsquelle einen Strom so bleibt idealerweise die Spannung konstant. Bei realen Spannungsquellen nimmt die Spannung etwas ab. Näherungsweise ist die Abnahme der Spannung proportional zum entnommenen Strom. Man verwendet daher das Ersatzschaltbild: i I Am Innenwiderstand fällt die Spannung i i I ab. Die Klemmspannung ist also 0 i I 93

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