W10. Wärmeleitung. Es werden die Wärme- und die elektrische Leitfähigkeit zweier Metalle bestimmt und die Proportionalität

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1 W10 Wärmeleitung Es werden die Wärme- und die elektrische Leitfähigkeit zweier Metalle bestimmt und die Proportionalität dieser Größen nachgewiesen. 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Wärmeleitung Mikroskopisch gesehen wird Wärme in Metallen, ähnlich dem elektrischen Strom, durch Leitungselektronen transportiert, in Isolatoren durch Gitterschwingungen (Phononen in der Quantenmechanik). Makroskopisch gesehen wird die Ursache für den Transport von Wärmeenergie durch das Auftreten eines im Allgemeinen zeitlich und räumlich veränderlichen Temperaturfeldes T ( r, t) = T ( x, y, z, t), in dem die Wärme stets längs eines Temperaturgefälles in Richtung von höheren zu tieferen Temperaturen strömt, beschrieben. Die im infinitesimalen Zeitintervall durch eine Fläche A fließende Wärmemenge dq bestimmt den Vektor des Wärmestroms Φ th = dq e n mit der Einheit 1J s -1. e n ist dabei ein Vektor der Länge 1, der auf der Fläche A senkrecht steht (Einheits-Normalenvektor) und somit dazu dient, die Orientierung von A im Raum anzuzeigen. Das Verhältnis aus dem Wärmestrom und der von ihm durchströmten Fläche definiert den Vektor der Wärmestromdichte q th Φ th A. Das Fouriersche Gesetz setzt die Wärmestromdichte proportional zum lokalen Temperaturgradienten (in kartesischen Koordinaten gleich dem Vektor der Temperatur-Ableitungen): T T x qth x q q, th th, y = λ λ T (1) y q th, z T z Hierbei stellt λ ([λ]= W m -1 K -1 ) die (unter Umständen temperaturabhängige) Werkstoffgröße Wärmeleitfähigkeit dar. Das negative Vorzeichen in Gleichung (1) berücksichtigt die Richtung des Wärmestromes von höheren zu tieferen Temperaturen, d.h., der Temperaturgradient ist negativ. Bild 1: Zur Differentialgleichung der Wärmeleitung In Bild 1 ist das vereinfachte Beispiel eindimensionaler Wärmeleitung gezeigt, bei der ein Wärmestrom Φ th in x-richtung durch die Fläche A eines Volumenelementes V der Dicke x eines Festkörpers fließt. Im Inneren des Volumenelements sollen keine zusätzlichen Wärmequellen bzw. -senken die Wärmebilanz beeinflussen. Das Temperaturgefälle auf der einen Seite des Volumenelements beträgt und auf der Gegenseite = + Δx +... (Taylor- ( x + Δx) entwicklung nach dem.term abgebrochen). 014

2 Die Differenz zwischen der in das Volumenelement hinein- bzw. aus ihm herausströmenden Wärme ermittelt man über die Differenz der Wärmestromdichten zu q qth, = Δx. () th, 1 λ Mit der Definition für den Wärmestrom erhält man Φth = ( qth,1 qth, ) ΔA = λ ΔV. (3) Andererseits muss ein (Netto-) Wärmestrom in ein oder aus einem Volumenelement mit einer zeitlichen Temperaturänderung des Volumenelements einhergehen, und zwar nach Maßgabe seiner Massendichte ρ und spezifischen Wärmekapazität c: dq Φth = = m c = ρ ΔV c. (4) Aus der Kombination der Gleichungen (3) und (4) folgt die Differentialgleichung der Wärmeleitung (eindimensional): λ = ρ c = a T. (5) wobei die Größe a T mit λ a T = ρ c (6) als Temperaturleitfähigkeit bezeichnet wird. Sie ist eine Kenngröße für die Beschreibung der zeitlichen Änderung der Temperatur infolge des Wärmetransports zwischen Orten unterschiedlicher Temperatur. Für dreidimensionale Betrachtungen ergibt sich die allgemeine Wärmeleitungsgleichung als partielle Differentialgleichung der vier Variablen x, y, z, t. Ihre Lösung hängt entscheidend von den durch die Aufgabenstellung vorgegebenen Anfangs- und Randbedingungen ab. Bei vielen praktischen Anwendungen und auch im vorliegenden Versuch realisiert man ein zeitlich konstantes Temperaturfel(x, y, z), in dem eine stationäre Wärmeübertragung vorliegt und nur noch die Randbedingungen von Bedeutung sind. In Tab.1 sind zwei Beispiele für die eindimensionale stationäre Wärmeleitung in isotropen, homogenen Festkörpern unterschiedlicher geometrischer Form angeführt. Im Versuch wird die Wärmeleitfähigkeit metallischer Rundstäbe untersucht, deren Enden durch zwei Wärmereservoire (siedendes Wasser, Eiswasser) zunächst auf zeitlich konstante Temperaturen gebracht werden (Bild 3 bei Versuchsdurchführung). Somit fließt ein überall gleich großer Wärmestrom vom kochenden Wasser (Index Res1) über den ins Eiswasser (Index Res): Φth, Re s1 = Φth, = Φth,Re s Φth, (7) führt dort zum Schmelzen des Eises und danach zum Temperaturanstieg in Wasser und. - -

3 Gemessen werden nun nach Entfernen des Eises einmal der momentane Temperaturgradient im und der zeitliche Temperaturanstieg des Kalorimeterwassers. dz Re s Damit ergibt sich unter Verwendung der Gleichung aus Tab.1, sowie der Gleichungen (4) und (7) die Wärmeleitfähigkeit des es zu Φ Φ ( c m + K )( ) πr ( dz) th, th,re s Re s λ = = = (8) πr ( dz) πr ( dz) c ist die spezifische Wärmekapazität des Wassers (c=4,19 kj kg -1 K -1 ) und m die Masse des erwärmten Wassers. Die Materialeigenschaften des Kalorimeters werden in Form seiner Wärmekapazität K ([K] = J K -1 ) berücksichtigt. Geometrie Randbedingungen Wärmestrom Temperaturverteilung a) ebene Platte x = 0, T x = d, T1 T = Φ = λ A( ) T ( x) = T ( T T ) x d th T = = A( T T ) d Φ λ (linear) th 1 1 b) zylindrischer z = 0, T z =1, T1 T = Φ = λ π r ( dz) T ( z) = T ( T T ) z l th T = Φ = π r ( T T ) l λ (linear) th 1 1 Tab.1: Beispiele stationärer Wärmeleitung 1. Elektrische Leitfähigkeit Bild : Zur Elektronentheorie der elektrischen Leitung Nach dem klassischen Modell freier Elektronen bilden die Leitungselektronen in einem Metall ein Elektronengas, in dem sie analog der Bewegung von Teilchen in einem idealen Gas ungeordnete thermische Bewegungen ausführen. Legt man an die Enden eines Metallstabes (Bild ) eine elektrische Spannung U, werden die Elektronen durch die Feldkraft F E = ee beschleunigt. Bei den Zusammenstößen mit Gitterstörungen des Metalls wird kinetische Energie der beschleunigten Elektronen in zusätzliche Schwingungsenergie des Git

4 ters umgewandelt. Die Leitungselektronen erhalten dabei im Mittel nur eine konstante (mittlere) Driftgeschwindigkeit v in Richtung von - E. Die mittlere Driftgeschwindigkeit kann analog zur laminaren Flüssigkeitsströmung auf das Gleichgewicht zwischen der elektrischen Feldkraft F E und einer geschwindigkeitsproportionalen Reibungskraft F R = r v mit r als Reibungsfaktor zurückgeführt werden. Mit dem Kräftegleichgewicht F = F ergibt sich R E e v = E = µ E. r (9) Darin stellt µ die Beweglichkeit der Ladungsträger dar. Die Stärke des Ladungsträgerstromes wird makroskopisch durch den Vektor der Stromdichte J ( x, y, z) beschrieben. Wenn auf einer Querschnittsfläche A durch einen Leiter überall die gleiche Stromstärke auftritt (Bild ), so ist der Betrag der Stromdichte in allen Punkten von A I J = bzw. I = J A (10) A Die Gleichung (10) stellt nur einen Sonderfall dar, bei dem die Fläche A eine senkrecht durch den Leiter gelegte Ebene ist und bei dem J überall auf der Fläche senkrecht steht und konstant ist. Man kann nun die Driftgeschwindigkeit der Elektronen aus der Stromdichte J bestimmen. In Bild bewegen sich die Elektronen mit v=konst. nach links. Die Zahl der Ladungsträger ist durch n V gegeben, wobei V = A x das Volumenelement des Leiterstücks und n die Elektronendichte ist (n = N V, N Anzahl freier Elektronen im Volumenelement V). Durch die Fläche fließt eine Ladung vom Betrag Q = (n A x)e in einer Zeit t= xv, und mit I= Q t folgt für die Stromstärke I = n e v A. (11) Unter Berücksichtigung der Gleichungen (10) und (9) und mit E=Ul erhält man J U = n e v = n e µ E = n e µ. (1) l Aus Gleichung (1) folgt das Ohmsche Gesetz in der Darstellung J = κ E (13) mit der Leitfähigkeit κ = n e µ, ohne den im Allgemeinen vektoriellen Charakter der Feldstärke und der Stromdichte zu betrachten. Mit dem im Versuch vorliegenden Messaufbau werden als Messgrößen die anliegende Spannung U und der Stromfluss I durch einen runden Metallstab der Länge l bestimmt. Mit diesen Messwerten ergibt sich die Leitfähigkeit nach vorigem aus l I κ =. A U (14) - 4 -

5 1.3 Zusammenhang zwischen elektrischer und Wärmeleitfähigkeit in Metallen Substanzen mit guter elektrischer Leitfähigkeit sind in der Regel auch gute Wärmeleiter. Bei nicht zu tiefen Temperaturen gilt das Wiedemann-Franz-Gesetz: λ = L = konst. T κ (15) T ist dabei die absolute Temperatur des Stoffes, L wird als Lorenzsche Zahl bezeichnet und hat für alle Metalle annähernd denselben Wert L =, V K -. Dies lässt den Schluss zu, dass die hohe Wärmeleitfähigkeit der Metalle und ihre hohe elektrische Leitfähigkeit auf demselben mikroskopischen Transportmechanismus beruhen dem der freien Leitungselektronen.. Versuch.1 Vorbetrachtung Aufgabe 1: Beschreiben Sie kurz mit eigenen Worten, warum sich im oberen Kalorimeter siedendes Wasser und im unteren Kalorimeter Eiswasser befindet. Erläutern Sie, was beim Wärmeübergang oberes Wasserbad und Metallstab sowie Metallstab und unteres Wasserbad zu beachten ist. Aufgabe : Berechnen Sie den Wärmewiderstand R th eines cm dicken Eisenblocks mit einer Durchströmungsfläche von 5 5cm (Wärmeleitfähigkeit von Eisen λ = 80,4W m -1 K -1 ).. Versuchsdurchführung..1 Verwendete Geräte Thermische Leitfähigkeit: Kalorimetertöpfe 500 ml (K=70 J K -1 ), Cu-Wärmeleitstab, Al-Wärmeleitstab, Stativmaterial, Tauchsieder mit Leistungsstellgerät, Magnetrührer, Wärmeleitpaste, Gazebeutel zur Eisaufnahme, Temperaturmessgeräte, Temperatur-Tauchsonde, Temperatur-Oberflächenfühler, Stoppuhr Elektrische Leitfähigkeit: Netzgerät 0 36V40A, Messverstärker, Multimeter, Verbindungsleitungen.. Versuchshinweise Aufgabe 1: Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit λ zweier Metallstäbe zwischen kochendem Wasser und Eiswasser Die Apparatur zur Messung der Wärmeleitfähigkeit besteht aus (Bild 3) zwei Kalorimetertöpfen (K=70 JK), die als Wärmespeicher mit Eiswasser (unten) bzw. mit siedendem Wasser (oben) gefüllt sind. Die beiden Wärmeleitstäbe bestehen aus massivem Kupfer bzw. aus massivem Aluminium und sind mit glasklarem Kunststoff ummantelt, um die seitlichen Wärmeverluste zu vermindern. Sorgen Sie beim Aufbau für einen guten Wärmekontakt zwischen dem oberen Kalorimetertopf und der Stirnfläche des Wärmeleitstabes durch die Verwendung von Wärmeleitpaste. Bestimmen Sie die Masse m uk des unteren Kalorimetertopfes Bild 3: Versuchsaufbau Aufgabe 1-5 -

6 Halten Sie im unteren Kalorimetertopf das Wasser mit in dem Gazebeutel befindlichen Eisstücken nahe 0 C, schalten Sie den Magnetrührer ein und verwenden Sie den Tauchfühler zur Temperaturmessung. Bringen Sie im oberen Kalorimetertopf das Wasser mit dem Tauchsieder (über einen Leistungssteller angeschlossen) zum Sieden und halten Sie es am Sieden. Hinweis: Der Tauchsieder darf nur in einem Flüssigkeitsbad (Wasser) betrieben werden! Dabei muss die Heizwendel vollständig in der Flüssigkeit eingetaucht sein. Warten Sie nach dem Einsetzen des Siedens ca min und tasten Sie mit dem Oberflächenfühler zügig die 10 Messstellen am ab. Tragen Sie sofort am Versuchsplatz die Messwerte in ein lineares Diagramm ein (Temperatur als Funktion zur Messstelle ϑ = f(x)). Verwenden Sie dazu Millimeterpapier. Wichtig: Bringen Sie zum Versuch Millimeterpapier mit! Liegen die Messwerte nicht annähernd auf einer Geraden, ist der stationäre Zustand noch nicht erreicht und die Messung (einschließlich Diagrammeintragung) muss wiederholt werden. Beim Erreichen des stationären Zustandes Führen Sie zur Ermittlung des Temperaturgradienten T z eine lineare Regressionsanalyse durch. Rechnen Sie den Regressionswert b (Anstieg der Ausgleichsgeraden) in den Temperaturgradienten T z um. Zeichnen Sie die Messunsicherheiten (u = u s + u z ) der Temperaturen ϑ in das Diagramm als Fehlerbalken ein. Entfernen Sie nach Erreichen des stationären Zustandes den Gazebeutel mit den Eisstückchen aus dem unteren Kalorimetertopf. Messen Sie unter ständigem Rühren (Magnetrührer in Betrieb) den Temperaturanstieg T im unteren Kalorimetertopf für einen Zeitraum t von 5 min in 30 s-schritten. Beenden Sie das Experiment durch Ausschalten des Tauchsieders. Messen Sie den durchmesser d (ohne Isolierung), den Abstand l zwischen den beiden äußeren Messstellen des Wärmeleitstabes und die Masse m des Wassers im unteren Kalorimetertopf. Führen Sie die Messung nach dem Umbau für den zweiten Wärmeleitstab in gleicher Weise durch. Hinweise zum Aufbau finden Sie am Praktikumsplatz! Bestimmen Sie die Raumtemperatur. Aufgabe : Bestimmung der elektrischen Leitfähigkeit der beiden Metallstäbe Nehmen Sie den Strom I als Funktion des Spannungsabfalls U am Wärmeleitstab auf (Bild 4). Stellen Sie dazu den Strom in Schritten von ca. A bis 0 A am Netzgerät ein und nutzen Sie den Grob- bzw. Feinregler für die Stromeinstellung. Begrenzen Sie vorher aber die Spannung auf V am Spannungsregler des Netzgerätes. Die eingestellten Strom- und Spannungswerte werden direkt von der LCD-Anzeige des Netzgerätes angezeigt

7 Achtung: Vorsicht bei der Stromeinstellung - Überlastung sehr schnell möglich! Lesen Sie die jeweils dazugehörige Spannung am Voltmeter unter Berücksichtigung des am Verstärker eingestellten Verstärkungsfaktors ab. Bild 4: Versuchsaufbau Aufgabe.3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit zweier Metallstäbe mit kochendem und Eiswasser Stellen Sie die Funktion ϑ = f(t) für beide Metallstäbe graphisch dar. Tragen Sie in das Diagramm die Regressionsgeraden und deren Anstiege sowie die Fehlerbalken ein und bestimmen Sie die relative Messunsicherheit. Zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit ergibt sich der Temperaturgradient dz ϑ10 ϑ1 = l aus der Temperaturdifferenz ϑ 10 -ϑ 1 (aus Diagramm nach linearer Regression entnehmen) und Abstand der äußeren Messpunkte l. Das aufgenommene Erwärmungsdiagramm ergibt den Temperaturanstieg Re s. Die weitere Berechnung erfolgt entsprechend Gleichung (8). Ziehen Sie zur Bestimmung der Messunsicherheit eine Abschätzung der Abweichung aller quantitativ erfassten Messwerte heran (Fehlerbalken in den Diagrammen nutzen). Bestimmen Sie die Messunsicherheiten für die ermittelten Wärmeleitfähigkeiten. Aufgabe : Bestimmung der elektrischen Leitfähigkeit der beiden Metallstäbe Erstellen Sie das Strom-Spannungs-Diagramm (I = f(u)) für beide Metallstäbe. Ermitteln Sie den Anstieg der Regressionsgeraden, tragen Sie die Fehlerbalken ein und bestimmen Sie die relative Messunsicherheit. Benutzen Sie die ermittelten Anstiege zur Berechnung der elektrischen Leitfähigkeiten nach Gleichung (14). Diskutieren Sie die erhaltenen Messwerte und vergleichen Sie diese mit der Aussage des Wiedemann-Franz-Gesetzes nach Gleichung (15)

t ). Wird diese Verteilung experimentell ermittelt, so ist entsprechend Gl.(1) eine Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

t ). Wird diese Verteilung experimentell ermittelt, so ist entsprechend Gl.(1) eine Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit W 4 Wärmeleitfähigkeit. Aufgabenstellung. Bestimmen Sie aus der zeitlichen Änderung der Wassertemperatur des Kalorimeters den Wärmeaustausch mit der Umgebung.. Stellen Sie die durch Wärmeleitung hervorgerufene

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