6. Das Energiebändermodell für Elektronen

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1 6. Das Enegiebändemodell fü Eletonen Modell des feien Eletonengases ann nicht eläen: - Unteschied Metall - Isolato (Metall: ρ Ωcm, Isolato: ρ 10 Ωcm), Halbleite? - positive Hall-Konstante - nichtsphäische Femifläche Modell muss eweitet weden, um die Peiodizität des Gittes in Betacht zu ziehen. Fü feie Eletonen sind die elaubten Enegiewete von 0 bis Unendlich veteilt gemäß: E() = h ( m mit x (peiod. RB), y x, + z y + z ) π = 0, ±, L 4π ±, L Nπ... L Die Wellenfuntionen des feien Eletons sind laufende Wellen. 97

2 6.1. Fast feie Eletonen Eletonen im peiodischen Potential de positiven Ionen Wellenft des Eletons: Ψ fei im peiodischen Potential, solange lein, d.h. λ goß ist. Fü leine λ ( π/a = G/) Baggiπx / a iπx / Reflexion: Ψ e, Ψ e e e = i e Zustand des Eletons = Übelageung: iπx / a iπx / a Ψ e + e = cos( πx / a) Ψ + iπx / a iπx / a ix sin( πx / a) a Wahscheinlicheitsdichte: laufende Welle: stehende Welle: Ψ + Ψ = e = cos ix ρ ΨΨ ix e = 1 ( πx / a) (Eletonen homogen veteilt) Ψ = sin ( πx / a) gößte Aufenthaltswahsch. zwischen den Ionen 98 gößte Aufenthaltswahsch. am Ot de Ionen

3 Potentielle Enegie V von Ψ + und Ψ - veschieden, inetische Enegie fü beide gleich => Enegielüce E g = V V + d.h. fü = ±π/a zwei Enegiewete, dazwischen vebotenen Zone. Veschiedene Dastellungen de Bandstutu: eweitetes, eduzietes und peiodisches Zonenschema Alle diese Dastellungen sind gleichwetig, es wid die jeweils nützlichste vewendet. 99

4 Unte Beücsichtigung des Gittes: auch bei Eletonenwellen in Kistallen titt auch Bagg- Reflexion auf, die zu Enegielücen füht. Die Reflexion an de Billouin-Zonengenze titt auf, weil die von einem beliebigen Atom efletiete Welle onstutiv mit de von dem Nachbaatom efletieten Welle intefeiet. Es entstehen stehende Wellen, die sich nicht im Kistall ausbeiten önnen. 100

5 Anzahl de Zustände in einem Band: 1. Billouin-Zone: -π/a bis π/a, Volumen V = (π/a) 3 po Zustand: (π/l) 3 L 3 = Na 3 Zahl de Zustände in de 1. Billouin-Zone: (π/a) 3 / (π/l) 3 = N mit Spin: N Zustände po Enegieband (gilt allgemein, da alle Billouin-Zonen gleiches Volumen haben). => enthält jede pimitive Elementazelle ein einwetiges Atom, so ist das Band zu Hälfte mit Eletonen besetzt. => Metall => Eletonen po pimitive Elementazelle: ein Band geade voll => Halbleite ode Isolato 101

6 Bishe: mögliche Enegiezustände, jetzt: elaubte Zustände mit Eletonen besetzen 1. Fall: ein elaubtes Band voll besetzt => Isolato (Eg > 5eV) Eletonen önnen sich nu bewegen, wenn die Enegie E g aufgebacht wid (E g >> T). Fall: Enegielüce lein, themische Anegung de Eletonen fü E g T möglich => Halbleite 3. Fall: teilweise gefülltes Band, Eletonen fei beweglich => Metall 10

7 Beispiele: 103

8 Beispiele: 1. Ein feies Eleton po Elementazelle, z.b. Alalimetalle (Li, Na, K, Rb, Cs) und Edelmetalle (Cu, Ag, Au) Bsp.: Na 1s s p 3s 1 = Ne 3s 1 10 innee Eletonen = abgeschlossene Edelgasonfiguation Ne, egibt schwaches Potential, d.h. feie Eletonen Näheung gut 10 innee Eletonen => 5 Bände voll, 3s 1 Eleton => 6. Band halbvoll => Metall. Ungeade Anzahl von Eletonen po Elementazelle - z.b. deiwetig: Al, Ga, In, Tl 3 äussee Eletonen önnen 1,5 Bände füllen - z.b. fünfwetig: As, Sb, Bi Atome po Einheitszelle => 10 Eletonen po Einheitszelle, önnen 5 Bände füllen, wäen also Isolatoen, abe: totzdem eletische Leitfähigeit duch Bandübelappung! 5. Band nu fast voll, 6. Band etwas gefüllt => Halbmetall => Leite duch schwache Bandübelappung σ in deselben Gößenodnung wie bei HL, abe σ(t) wie bei Metall 104

9 3. geade Anzahl von Eletonen po pimitive Einheitszelle eigentlich Isolatoen, abe ompliziete duch Bandübelappung, z.b. sind alle zweiwetigen Elemente Metalle (Enegielücen nicht goß genug, um alle Eletonen in eine Zone zu halten, Bsp.: Be, Mg, Ca, S, Ba) 4. Viewetige Elemente entwede Metalle ode Halbleite C Si, Ge Sn Pb -Diamant: Halbleite mit goßem E g, fast Isolato -Gaphit: Metall, Leite Halbleite, E g (Si) = 1,14 ev, E g (Ge) = 0,67 ev titt in veschiedenen Kistallstutuen auf, fü T < 18 C: gaues Zinn, Diamantstutu, Halbleite, T > 18 C: weißes Zinn aumzentiet tetagonal, Metall Metall emie/umat/metalle/metalle.htm 105

10 Enegien und Wellenfuntionen in schwachen peiodischen Potentialen - Bloch-Funtionen Eletonen bewegen sich in äumlich peiodischen Potential de Atome, d.h. fü die potentielle Enegie de Eletonen gilt: U() = U( + R) R ist ein Veto des Bavais-Gittes Schödinge-Glg.: h + U() () = EΨ() m Ψ => die Eineleton-Wellenfuntionen sind Bloch-Funtionen : i Ψ ( ) = u () e mit u ( + R) = u () ir die dem Blochschem Theoem genügen: Ψ + R) = e Ψ () u () ist gittepeiodisch, ann z.b. duch Wannie-Funtionen (Näheung fü quasigebundene e - ) ode duch Fouie-Koeffizienten (Näheung quasifeie e - ) ausgedüct weden ( Beechnung de Bandstutu 106

11 6.. Aufbau von Femi-Flächen Nu Eletonen an de Femiobefläche bestimmen eletische Eigenschaften (eletische Stom abhängig von Veändeungen in de Besetzung de Quantenzustände in de Nähe de Femi-Fläche). I.a. Femifläche eine Kugel, oft ompliziet wegen Billouin-Zonen. Billouin-Zone und Femifläche (fü feie Eletonen) eines D quadatischen Gittes: 1. BZ: voll besetzt. BZ: fast voll 3. BZ: teilweise besetzt 107

12 Tansfomation in das eduziete Zonenschema, entspicht Veschiebung um ezipoen Gitteveto: Femifläche fü fast feie Eletonen: - WW des Eletons mit peiodischen Potential des Kistalls veusacht Enegielücen am Zonenand - Femifläche schneidet Zonenand senecht - Kistallpotential bewit Abundung schafe Ecen de Femifläche feie Eletonen 108

13 1. BZ: voll besetzt E. BZ: löcheatig (Enegie nimmt nach innen zu) 3. BZ: eletonenatig (Enegie nimmt nach aussen zu) 6.3. Bewegung eines Eletons im Magnetfeld d Bewegungsglg.: h = e[ v B] dt Guppengeschwindigeit: v = d e = h E dt h [ E B] d.h. das Eleton bewegt sich senecht zu E und B (in de Ebene senecht zu B ) und auf eine Fläche mit E = const. => unteschiedliche Umlaufsinn fü löcheatige (+e) und eletonenatige (-e) Bahnen (expeimentell nachweisba). 109 Femifläche von Ag

14 Zusammenhang zwischen Obit im - Raum und im ealen Raum: (t) h (0) = B ((t) (0)) eb => Pojetion de Bahn im Realaum auf Ebene senecht zum B-Feld ist die Bahn im -Raum, um 90 otiet um B und saliet um h / eb 110

15 6.4. Effetive Masse eines Kistalleletons Beeits im Kapitel Bewegung von Eletonen im Magnetfeld wude gezeigt, dass Eletonen in Festöpen sich so vehalten önnen als hätten sie eine Masse m* ungleich de Masse m des feien Eletons. m* ann außedem auch anisotop sein. effetive Masse (isotop): 1 1 d E = Kümmung de E()-Kuve (*) m h d allg. Tenso de effetiven Masse: 1 m Beschleunigung eines Kistalleletons: 1 d E = ij h did j dv 1 = F dt m F = äussee Kaft m* titt auf, da in diese Gleichung nu die äußeen Käfte (duch E-Feld, B-Feld,...) beücsichtigt weden und die inneen duch das peiodische Kistallpotential bedingten Käfte explizit nicht voommen. (*) bei einem flachen Band: goße effetive Masse, d.h. Eleton ist sta gebunden, tiefes Potential, schwe beweglich 111

16 6.5. Expeimentelle Methoden zu Bestimmung de Bandstutu und de Femifläche 1. Photoemissionsspetosopie Photonen übetagen Enegie auf Kistalleletonen => Anegung aus besetzten Zuständen in leee Zustände nach Übewindung de Austittsabeit Φ E in de austetenden Eletonen nachweisen: N(E in ) egibt Abbild de Veteilung de besetzten eletonischen Zustände (Bindungsenegie E B ), d.h. de Zustandsdichte. hω = Φ + E + in E B UV-Quelle: UPS (UV-photoemission Spectoscopy), obeflächensensitiv Röntgenquelle: XPS (X-ay-photoem. Specto) ode ESCA (Electon Spectoscopy fo Chemical Analysis), Ezeugung auch mit Synchoton, volumensensitiv wegen höhee Eindingtiefe Winelaufgelöste Photoemission => E( ) 11

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18 . Zylotonesonanz eb siehe Kapitel Bewegung von Eletonen im Magnetfeld (Kap. 5.5.): ωc = m Wid B so gewählt, dass die Zylotonfequenz de Kistalleletonen geade gleich de Fequenz des eletischen Wechselfeldes ist, so weden die Eletonen längs ihe Bahn beschleunigt => maximale Absoption Voaussetzung: Relaxationszeit τ > Umlaufzeit de Eletonen, d.h. ωc τ >>1 man benötigt also hohe B-Felde, tiefe Tempeatuen und eine Poben Hauptbeitag zu Zylotonesonanz von Bahnen im - Raum, bei denen die eingeschlossene Fläche einen extemalen Queschnitt hat (=> besondes viele Zustände) Bsp.: Si, B-Feld in Richtung (110) => elative Lage fü je Ellipsoidpaae gleich => Zahl de Absoptionsmaxima eduziet auf. Auch Absoption von Löchen (andee Umlaufsinn) Gestalt de Femifläche aus: d dt T = e = h dt = [ E B] h eb d ( E) h A = π n / ωc eb E ω c = πb h E A A = Fläche de Bahn im -Raum, ω c spetosopiet die Extemal-e - -Bahnen 114

19 3. De Haas-Van Alphén Effet und Shubniov-De Haas Effet Eletonen im Magnetfeld: Schödinge-Glg. im B-Feld: 1 m ( ih ea) Ψ = Eψ Lösung: 1 E n h z n = + hωc + n = 0, m 1,,... ω c Landau-Quantisieung eb = m elaubte Eletonenzustände ohne B-Feld mit B-Feld: quantisiete Landau-Niveaus onzentische zylindische Landau-Niveaus bei sphäische Femifläche 115

20 Die eletischen Eigenschaften sind von de Zustandsdichte bei E F und de Gesamtenegie de Eletonen abhängig! Hie: D(E F ) = f (B) ( Funtion von Magnetfeld ) d.h. de Radius jedes Zylindes vegößet sich mit B und velässt schließlich die Femiugel - De Haas-Van Alphén Effet: Messung des magnetischen Moments (Oszillationen de feien Enegie mit B, niedigste Enegie wenn ein Landau-Niveau E F geade geeuzt hat, dann Anstieg bis nächstes Niveau übe E F ) - Shubniov-de Haas Effet: E µ = = f (1/ B) E GES = de B Messung de eletischen Leitfähigeit, Widestand de Pobe abhängig von D(E F ) E F 0 D( E) E 116

21 Fouie-Tansfomation => Fläche de extemalen Eletonenbahn im -Raum senecht zum B-Feld 1 B πe = h A e Richtungsabhängigeit => Femifläche de Haas-Van Alphen Messung an Silbe (B (111)) 117

22 Zusammenfassung: - Unte Beücsichtigung des Gittes titt Bagg-Reflexion de Eletonenwellen auf, was zu Enegielücen füht => Isolato, Halbleite, Halbmetall, Metall - Beechnung de Bandstutu mit Modell de fast feien Eletonen möglich - Eineleton-Wellenfuntionen weden als Bloch-Funtionen beschieben (beinhalten Peiodizität des Gittes) - Anzahl de Zustände po Enegieband mit Spin: N - Konstution de Femifläche mit Hilfe de Billouinzonen und Femiugel => Entstehung von löcheatigen (+e) und eletonenatigen (-e) Bahnen 1 1 d E - effetive Masse de Kistalleletonen: = m h d - expeimentelle Bestimmung de Femifläche duch Photoemissionsspetosopie, Zylotonesonanz, de Haas-Van Alphén Effet und Shubniov-De Haas Effet 118