SS 2005 FAU Erlangen Eine Wegeplanungs-Strategie. Jeremy Constantin, Michael Horn, Björn Gmeiner

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1 SS 2005 FAU Erlangen Voronoi Diagramm Eine Wegeplanungs-Strategie Jeremy Constantin, Michael Horn, Björn Gmeiner Grundseminar: Umgebungsexploration und Wegefindung mit Robotern am Beispiel "Katz und Maus" 1

2 Definition Sei P = {p 1, p 2,..., p n } eine Menge von Punkten auf einer 2-dimensionalen 2 Fläche. Diese Punkte werden Orte genannt. Zerteilt man die Fläche indem man deren Punkte zu ihrem nächsten Ort p i zuordnet, entstehen zu jedem Ort Voronoi-Regionen V(p ): i V(p ) i = {x: p i x p j x für alle j i } Manche Punkte werden mehr als einem Ort (oder auch nächsten Nachbarn) ) zugeordnet. Die Menge aller dieser Punkte bildet das Voronoi-Diagramm V(P) für die Menge der Orte. 2

3 Verschiedene Fälle 3

4 Delaunay Triangulierung über Voronoi-Diagramm Delaunay Triangulierung und Voronoi Diagramm enthalten die gleichen Informationen 4

5 Algorithmen zur Berechnen des Voronoi Diagramms Durchschnitt von Halbgeraden Iterative Konstuktion Divide and Konquer Fortunes Algorithmus 5

6 Durchschnitt von Halbgeraden Bildung des Durchschnitts von n-1 n 1 Halbgeraden für jede Voronoi-Region nach der Gleichung: V(p ) i = i j H(p i, p ) j (H ist hierbei die Fläche zum Ort, die von der Mittelsenkrechten begrenzt wird) Bei n Voronoi Regionen ist der Gesamtaufwand O(n² ² log n) 6

7 Iterative Konstruktion Vorraussetzung: Es existiert bereits ein Voronoi Diagramm Platzierung eines neuen Ortes mit einem Mittelpunkt in das bestehende Diagramm Neuberechnung nur einiger umliegender Strecken Aufgrund dieser Beobachtung: Entwicklung des Algorithmus 1977 durch Green und Sibson Gesamtlaufzeit zur Erstellung des Diagramms mit einer Komplexität von O(n²) 7

8 Divide and Conquer Diagramme können mithilfe eines komplexen Divide and Conquer Verfahrens mit Aufwand O(n log n) erstellt werden Dieser Algorithmus ist zwar asymptotisch optimal jedoch nur sehr schwer zu implementieren 1. Divide 2. Merging zweier Teil-Diagramme durch Kantenzug 8

9 Fortunes Algorithmus Mitte der 80er: Überwiegende Nutzung des Iterativen Algorithmus, wegen der komplizierten Implementierung der Divide and Conquer Methode 1985: Entwicklung eines plane-sweep Algorithmus durch Fortune, welcher einfacher war als die Iterative Alternative mit nur einem Aufwand von O(n log n) im schlechtesten Fall Konzept: Eine sweep Linie durchläuft eine Fläche, für den bereits passierte Abschnitt liegt die Lösung bereits fest Sie zieht eine Wellenfront (auch beach-line line), bestehend aus Parabeln hinter sich her 9

10 Anwendungen Nächster Nachbar Problem Größter Kreis Pfad-/Wegeplanung 10

11 Vor- und Nachteile der Anwendung des Diagramms auf Pfad- und Wegeplanung Vorteile: Maximale Distanz zu Hindernissen Objekte müssen nicht vergrößert werden Mit Abstandssensoren kann leicht bestimmt werden, ob der korrekte Weg gefahren wird Der Roboter kann mit Hilfe von Abstandssensoren und dem Diagramm leicht den Weg korrigieren Nachteile: Der Weg ist normalerweise nicht der kürzeste Gibt es wenige Hindernisse, lassen sich auch nur wenige Wege generieren 11

12 Suche nach dem kürzestem Weg Dijkstra Algorithmus - Startknoten v wählen - Kosten zu allen Punkten berechnen, die an v angrenzen und den kürzesten davon auswählen - Die Kosten in den Knoten eintragen und wieder den nächsten kürzesten Pfad berechnen und auswählen Bellman-Ford Wie Dijkstra jedoch einfach die erste nicht abgelaufene Kante auswählen Einfacher zu implementieren, behandelt auch negative Wege korrekt (für unseren Anwendungsfall jedoch unnötig) höherer Gesamtaufwand als Dijkstra Algorithmus von Johnson Mischung beider Algorithmen (Dijkstra( mit Erkennung negativer Wege) 12

13 Voronoi Diagramm in Aktion 13

14 Quellen Choset & Budick: The hierarchical generalized voronoi graph Garber & Lin: Constrained-based motion planning using voronoi diagrams Martin Greilich: Voronoi-Diagramme Steven Skiena: Analysis of Algorithms Th. Ottman: Geometrische Algorithmen Prof. J. Zhang: Einführung in die Robotik Michael Dürig & Stefan Graf & Rolf Moser: Intelligente Roboter - Realisierungskonzept Martin Grotz: Graphalgorithmen

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