EDA-Methoden. Versuch 12 im Informationselektronischen Praktikum. Studiengang Elektrotechnik und Informationstechnik

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1 Fakultät für Elektrotehnik und Informationstehnik Institut für Mikro- und Nanoelektronik Fahgebiet Elektronishe Shaltungen und Systeme EDA-Methoden Versuh 12 im Informationselektronishen Praktikum Studiengang Elektrotehnik und Informationstehnik 2.Studienshwerpunkt: Mikro-, Nanoelektronik und Elektrotehnologie (BA) Betreuer: Dipl.-Ing. Dominik Krauße Raum H3511, Tel Praktikumsraum: H 3521B

2 Inhaltsverzeihnis Informationselektronishes Praktikum Informationselektronishes Praktikum Versuh 12 " EDA-Methoden" Dominik Krauße, Eri Shäfer 26. Juni 29 Inhaltsverzeihnis 1 Zielstellung 2 2 Theoretishe Grundlagen Modifizierte Knotenanalyse - MNA Auflösung linearer Gleihungssysteme, LU-Zerlegung Newton-Raphson-Algorithmmus zur Arbeitspunktberehnung Newton-Raphson-Ersatzshaltbilder Numerishe Integrationsverfahren Das Companion Modell Transientanalyse Praktikumsvorbereitung 16 4 Praktikumsdurhführung 17 EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 1

3 1 Zielstellung Ziel des Versuhes soll es sein, die Methoden zur Gleihungsaufstellung im Simulator zu verstehen und tiefgründige Kenntnisse darüber zu erlangen, wie die Simulationsarten DC-, und Transientsimulation ablaufen. Dabei soll ein Programm mit Hilfe von Mathematia entwikelt werden, das diese Simulationsarten mit einer vorgegebenen Shaltung durhführen soll. 2 Theoretishe Grundlagen 2.1 Modifizierte Knotenanalyse - MNA In den heutigen Shaltungssimulatoren wird zur Gleihungsaufstellung fast ausshließlih die modifizierte Knotenanalyse (Modified Nodal Analysis - MNA) verwendet. Diese Tehnik ermögliht eine einfahe Implementierung auf den Rehner, da hierbei nur Auffüllshemas für Netzwerkelemente benutzt werden. Die MNA ist eine Erweiterung der Standard-Knotenanalyse, wobei die Erweiterung aus zusätzlihen Gleihungen besteht, die den Teil der Netzwerkelemente erfassen, der für die Standard-Knotenanalyse in Matrixform ausgeshlossen war. Bild 6.11: Ausfüllmuster für Netzwerkelemente bei der Modifizierten Abbildung 1: Ausfüllmuster für Netzwerkelemente bei der MNA EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 2

4 Zur Ableitung der MNA-Pattern kann man die Superknotenanalyse (SNA) aus der Grundlagenvorlesung verwenden. Dabei werden die Knotengleihungen aufgestellt, ohne daß die Zwangsbedingungen shon enthalten sind. Für Elemente wie Spannungsquellen, gesteuerte Spannungsquellen oder Kurzshlüsse werden nun im Gegensatz zur SNA zusätzlih Ströme eingeführt, um alle Knotengleihungen (also keine Superknoten = Shnitte) aufzustellen. Zum Shluß werden die Zwangsbedingungen, die z.b. durh Spannungsquellen entstehen, an das Gleihungssystem angehangen. Ganz allgemein kann man folgendes Gleihungssystem aufstellen: ( ) Y B C D ( vn i b ) = ( ) j e (1) Dabei ist Y die konventionelle Knotenadmittanzmatrix, wie sie auh bei der Knotenanalyse entsteht. Die Matrix B sind die Strombeiträge die sih niht über die Leitwertformulierung der konventionellen Knotenanalyse darstellen lassen, d.h. Ströme durh Spannungsquellen, gesteuerte Quellen, Kurzshluß- und Steuerzweige und Widerstände in Impedanzdarstellung. Die beiden Matrizen C und D sind die Zwangsbedingungen und Elementerelationen der niht- Admittanzelemente. a G 1 U i U p q G 3 Beispiel 1. b G 2 G 4 d Abbildung 2: Netzwerk mit Spannungsquelle Stellt man nun die Knotengleihungen für alle Knoten auf, so ergibt sih Zwangsbedingungen : p : q : = G 1 (V p V a ) + G 2 (V p V b ) + i U = G 3 (V q V ) + G 4 (V q V d ) i U U = V p V q Shreibt man dieses Gleihungssystem in Matrixshreibweise, so ergibt sih: G 1 G 2 G 1 G 2 1 G 3 G 4 G 3 G V a V b V V d = V p V q i U U (2) Sieht man das Netzwerk in ein größeres eingebettet, dann erhält man die folgenden markanten Muster für die Spannungsquelle: a kp = 1, a kq = 1, welhe die Zwangsbedingung für die Spannungsquelle darstellen, wobei Index k den k-ten Stromzweig der Spannnungsquelle (im EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 3

5 Beispiel i U ) darstellt. Desweiteren sind die Einträge a pk = 1 und a qk = 1, welhe den zusätzlih eingeführten Strom durh die Spannungsquelle repräsentieren. So kann man nah und nah alle Matrixeinträge für die Niht-Admittanzelemente herleiten. Niht-Admittanzelemente sind die Spannungsquelle, spannungsgesteuerte Spannungsquelle, stromgesteuerte Spannungsquelle, stromgesteuerte Stromquelle und der Widerstand. Beispiel 2. In einem weiteren Beispiel soll der Matrixeintrag für eine stromgesteuerte Stromquelle abgeleitet werden: i m i k I 4 r i m G 1 G 2 Abbildung 3: Zweig mit einer Spannungsquelle Der Algorithmus zum aufstellen der MNA Matrix lautet wie folgt: Aufstellen der Knotengleihungen ohne dabei die Zwangsbedingungen einzuarbeiten. Für Niht-Admittanzelemente wird ein neuer Strom i k, sowie i m eingeführt. An die Knotengleihungen werden nun die Zwangsbedingungen bzw. die Zweigrelationen der Niht-Admittanzelemente angehängt. Matrixsystem aufstellen! Nun sollen für das angegebene Netzwerk die Knotengleihungen und die Zwangsbedingungen aufgestellt werden: 1 : 2 : 3 : 4 : = I + G 1 + i m = G 2 (V 2 V 3 ) i m = G 2 (V 3 V 2 ) + i k = G 3 V 4 i k Zwangsbedingung 1 : = V 1 V 2 Zwangsbedingung 2 : = V 3 V 4 r i m Aufstellen des Matrixsystems: G 1 1 V 1 G 2 G 2 1 V 2 G 2 G 2 1 V 3 = G 3 1 V i m 1 1 r i k I (3) EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 4

6 Erkennbar sind hier wieder die Matrixeinträge für die stromgesteuerte Spannungsquelle und, wie auh im nähsten Beispiel, die Vierermuster für die Leitwerte. Es ist noh anzumerken, daß bei einem steuernden Stromzweig (wie dies bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle oder Stromquelle vorkommt) immer ein Kurzshlußzweig eingebaut wird, für diesen ein Zweigstrom eingeführt, da der Steuerstrom für die Elementebeziehung benötigt wird und dieser in das Gleihungssystem mit aufgenommen wird. Beispiel 3. Als Beispiel für eine weitere MNA Formulierung soll folgendes Netzwerk dienen, welhes das Kleinsignalsersatzshaltbild einer Emittershaltung darstellt: 1 3 u be r be 2 g m u be R C V in R 1 R 2 R E Abbildung 4: einfahe Transistorshaltung zur MNA Formulierung Zu erkennen sind die typishen Vierermuster und die zusätzlihe Zeile und Spalte für die Spannungsquelle (siehe Abbildung 1). 1 R1 + R2 1 + rbe 1 rbe 1 1 gm rbe 1 gm + rbe 1 RE 1 gm gm 1 RC 1 V 1 V 2 V 3 I Vin = 2.2 Auflösung linearer Gleihungssysteme, LU-Zerlegung Gegeben sei das Gleihungssystem: Vin (4) Ax = b (5) Eine Möglihkeit, eine Lösung zu bestimmen, wäre durh Multiplikation mit A 1 von links: A 1 Ax = x = A 1 b (6) Diese Methode ist aber sehr rehenaufwendig und ineffizient, da für die Berehnung der Inversen von A insgesamt n Gleihungssysteme zu lösen sind und sie erfordert drei mal mehr Multiplikationen als ein Gauß-Verfahren (siehe [1]). Damit zusätzlih noh der Speiherplatz im Rehner effizient ausgenutzt wird, führt man eine Dreiekszerlegung folgender Form durh: Dann läßt sih das Gleihungssystem wie folgt lösen: 1. y = Ux setzen LUx = b (7) EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 5

7 2. Lösen von Ly = b durh einfahe Vorwärtselimination 3. Lösen von Ux = y durh Rükwärtsseinsetzen Wie lassen sih die Matrizen L und U bestimmen? a) Es existieren n 2 Gleihungen für n 2 + n Unbekannte, somit sind noh n Freiheitsgrade vorhanden, um bestimmte Koeffizienten zu wählen. Häufig wird die sogenannte Doolittle Zerlegung angewendet, d.h. die Koeffizienten auf der Hauptdiagonale der L-Matrix sind 1. Nebenbei sei noh erwähnt, daß es weitere Möglihkeiten für die Bestimmung der Hauptdiagonalelemente gibt, wie zum Beispiel die Crout Zerlegung bei der die Diagonalelemente der U-Matrix u kk = 1 sind oder die Cholesky Zerlegung bei der die Matrix A in A = LL T mit U = L T zerlegt wird. Der interessierte Leser sei auf die Zusatzliteratur verwiesen [6]. b) Damit sieht die LU-Zerlegung folgendermaßen aus 1 u 1,1 u 1,2 u 1,3 u 1,n l 2,1 1 u 2,2 u 2,3 u 2,n l 3,1 l 3,2 1 u 3,3 u 3,n l n,1 ł n,n 1 1 u n,n a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,n = a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,n (8) ) Daraus lassen sih die Bestimmungsgleihungen für die Koeffizienten ableiten. Ausmultiplizieren der 1.Zeile von L mit U ergibt: u 1,1 = a 1,1 u 1,2 = a 1,2. u 1,n = a 1,n d) Ausmultiplizieren von L mit der ersten Spalte von U l 2,1 u 1,1 = a 2,1 l 3,1 u 1,1 = a 3,1. l n,1 u 1,1 = a n,1 = l n,1 = a n,1 a 1,1 EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 6

8 e) Ausmultiplizieren der 2.Zeile von L mit U: l 2,1 u 1,2 + u 2,2 = a 2,2 l 2,1 u 1,3 + u 2,3 = a 2,3. l 2,1 u 1,n + u 2,n = a 2,n = u 2,n = a 2,n a 2,1 a 1,1 a 1,n f) Danah wird L mit der 2.Spalte von U multipliziert usw. Dabei ist zu erkennen, daß die Matrixelemente sukzessiv nah und nah berehnet und ausgetausht werden können, wobei kein neuer Speiherplatz belegt werden muß. Wie zu erkennen ist, wehseln sih die Punkte d) und e) solange ab, bis die gesamte Matrix berehnet ist. Als Gesamtformeln für die LU-Zerlegung ergeben sih: l i,k = a i,k k 1 p=1 u k,k l i,p u p,k k 1 u k, j = a k, j l k,p u p, j p=1 mit i = k + 1,..., n mit j = k,..., n Es ist zu erkennen, daß für die Bestimmung der l i,k und u l,m nur bereits bekannte Matrixeinträge aus den vorherigen Shritten benutzt werden, die Matrix A kann also sukzessiv übershrieben werden. Zum Beispiel benötigt man zur Bestimmung von l 2,1 kein a 1,3, was im vorhergehenden Shritt shon mit u 1,3 übershrieben wurde. Als Pseudoodausshnitt sieht die LU-Zerlegung folgendermaßen aus (Quelle: Wikipedia): Eingabe: Matrix A For i = 1 To n // Bestimmen von U For j = i To n For k = 1 To i-1 A(i,j) = A(i,j) - A(i,k) * A(k,j) end end // Bestimmen von L For j = i+1 To n For k = 1 To i-1 A(j,i) = A(j,i) - A(j,k) * A(k,i) end A(j,i) = A(j,i) / A(i,i) end end Ausgabe: Die mit den Dreieksmatrizen L und U übershriebene Matrix A, wobei die Einsen auf der Diagonale von L niht gespeihert werden. EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 7

9 2.3 Newton-Raphson-Algorithmmus zur Arbeitspunktberehnung Nihtlineare Gleihungen lassen sih im allgemeinen niht in geshlossener Form lösen, sondern - abgesehen von einigen Spezialfällen, z.b. ein Polynom zweiten Grades - nur numerish und zwar iterativ. Das bedeutet, daß man aus einer ersten Näherungslösung eine zweite berehnet, die genauer als die erste ist und diese dann wieder als Basis für die nähste noh genauere Näherungslösung benutzt, wobei dieser Prozeß entsprehend weiter fortgeführt wird, bis die Lösung die gewünshte Genauigkeit erreiht hat. Die wihtigste derartige Methode zur Lösung nihtlinearer Gleihungssysteme ist das Newton-Raphson-Verfahren. Ein System von n nihtlinearen Gleihungen und n Variablen läßt sih in der Form f(x) = (9) darstellen, wenn der Vektor der Variablen mit x und der Vektor der Funktionen mit f bezeihnet wird. Die Herleitung des mehrdimensionalen Newton-Raphson-Verfahrens erfolgt über eine mehrdimensionale Taylorreihe, in dem das Gleihungssystem f an der Stelle x (j) entwikelt wird. Die Gleihung der Taylorreihe bis zum linearen Glied lautet dann: f(x (j+1) ) = f(x (j) ) + J(x) x=x (j) (x (j+1) x (j) ) (1) Dabei bezeihnet J(x) die Jaobi-Matrix von f. Sie ist definiert als die Matrix aller partiellen Ableitungen der Funktionen f i nah allen Variablen x j J(x) = f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1. f n x 1 x 2 f 1 x n f 2 x n x f n x 2 Setzt man nun in Gleihung 1 die linke Seite f(x (j+1) ) = und löst man nah x (j+1) auf, so erhält man die Iterationsvorshrift: f n x n (11) x (j+1) = x (j) [ J(x) x=x (j)] 1 f(x (j) ) (12) In der Praxis wird niht die Inverse der Jaobi-Matrix gebildet sondern die Gleihung [ J(x (j) ) ] x (j+1) = [ J(x (j) ) ] x (j) f(x (j) ) (13) zum Beispiel durh Gauß-Elimination gelöst, da diese drei mal shneller als die Inversenberehnung ist Newton-Raphson-Ersatzshaltbilder Die direkte Berehnung der Iterationsvorshrift aus Gleihung 12 ist wegen der umfangreihen Matrizenmultiplikation und -inversion sehr ineffizient. Shneidet man in einem Netzwerk mit einem nihtlinearen Element den Zweig des nihtlinearen Elementes heraus, wie in Abbildung 5 EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 8

10 dargestellt, und stellt dann die Sparse-Tableau-Formulierung (siehe [5]) auf, so ergibt sih beim Lösen des Gleihungssystems mit dem Gaußverfahren ein unterbestimmtes Gleihungssystem. dabei bleibt die Gleihung: i i b 1. u 2 = u b p q s i 1 1 u 1 (14) p i 1 + q u 1 = s 1 (15) als unterbestimmtes Gleihungssystem übrig. Sie beshreibt exakt das Klemmenverhalten, daß das abgetrennte nihtlineare Element sieht. Für diese Gleihung gibt es untershiedlihe Interpretationsmöglihkeiten. 1.) Bei Umstellen nah u 1 = s 1 p q p i 1 = U + Ri 1 kann man ein Ersatzshaltbild für das Restnetzwerk interpretieren als Spannungsquelle mit Serienwiderstand (siehe Abbildung 5). 2.) Bei Umstellen nah i 1 = s 1 q p q u 1 = I + Gu 1 kann man ein Ersatzshaltbild für das Restnetzwerk interpretieren als Stromquelle mit Parallelwiderstand (siehe Abbildung 5). 3.) Läßt man die Gleihung 15 als implizite Gleihung stehen (die Normalform einer affinen Geraden: weder nah u 1 noh nah i 1 umgestellt), so kann man eine Gerade in ein U-I- Diagramm einzeihnen, was die Lastgerade des Restnetzwerkes darstellt, wenn man in den aufgeshnittenen Zweig hineinshaut (siehe Abbildung 6) i 2 u 2 i 1 u 1 u 1 i 1 R U i k wird zu i 1 oder u k i k+1 u 1 G I u k+1 Abbildung 5: Interpretation zur Ersatzshaltung EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 9

11 i I G U u Abbildung 6: implizite Darstellung der Ersatznetzwerkes (Gleihung 15) Shließt man nun an den offenen Zweig ein nihtlineares Bauelement an, so muß zur Arbeitspunktbestimmung der Shnittpunkt zwishen der nihtlinearen Kennlinie und der Geraden berehnet werden. Dies kann durh Newton-Iteration gelöst werden, wie in Abbildung 7 dargestellt. Bestimmt man aber in jedem Iterationsshritt eine Gerade an dem Punkt der nihtlinearen Kennlinie, bedeutet das soviel wie eine Widerstandsgerade mit Offset, wobei der Offset durh eine Spannungs- oder Stomquelle dargestellt werden kann. Diese Überlegung führt zum Newton- Raphson-Ersatznetzwerk. i I R G 2 G 1 Start u Abbildung 7: Widerstandsgerade des Restnetzwerkes mit angeshlossenen nihtlinearen Bauelement U Diese netzwerktheoretishe Interpretation, wie im nähsten Beispiel gezeigt, ermögliht ein wesentlih einfaheres und shnelleres Vorgehen bei der Lösung der nihtlinearen Netzwerkgleihungen als durh das direkte Newton-Raphson-Verfahren. Beispiel 4. Als Beispiel soll hier folgendes Netzwerk betrahtet werden: EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 1

12 R U G(u) Abbildung 8: Beispielnetzwerk mit nihtlinearen Leitwert der nihtlineare Leitwert hat die U-I-Charakteristik i = f G (u) = u 3 + 1u. (16) Enwikelt man die nihtlineare Gleihung i = f G (u) in eine Taylorreihe und briht diese nah dem linearen Glied ab, so ergibt sih: i ( j+1) = f ( j+1) G (u) = i(u ( j) ) + di(u( j) ) (u ( j+1) u ( j) ) du (17) = i ( j) + G ( j) (u ( j+1) u ( j) ) (18) = (i ( j) G ( j) u ( j) ) + G ( j) u ( j+1) (19) = I ( j) + G ( j) u ( j+1) (2) Als Ersatzshltbild ergibt sih eine Parallelshaltung von einem Leitwert G ( j) mit einer Stromquelle I ( j) : i ( j+1) u ( j+1) G ( j) I ( j) Abbildung 9: Newton Ersatzshaltbild eines nihtlinearen Leitwertes Für das Beispiel sind G ( j) = 3u 2( j) + 1 und I ( j) = u 3( j) + 1u ( j) G ( j) u ( j) Nun ist das Newton- Ersatznetzwerk in die Shaltung einzusetzen und iterativ zu berehnen, bis die Lösung gegen einen Punkt konvergiert. EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 11

13 R U G ( j) I ( j) Abbildung 1: Beispielnetzwerk mit Newton-Ersatzshaltbild Verallgemeinert man diese Betrahtungen auf eine beliebige Anzahl von nihtlinearen Bauelementen in einem Netzwerk, so stellt man fest, daß die Vorgehensweise genau dieselbe ist wie mit einem nihtlinearen Bauelement. Durh die Linearisierung der nihtlinearen Bauelemente in jedem Iterationsshritt, ergibt sih immer für das Restnetzwerk auh ein lineares Verhalten, welhes sih allerdings immer in jedem Iterationsshritt etwas verändert (die Restnetzwerkgerade bekommt eine etwas größere oder kleinere Steigung). 2.4 Numerishe Integrationsverfahren Zur Lösung dynamisher Netzwerkprobleme, wie bei einer Transientanalyse eines Netzwerkes mit Kapazitäten und Induktivitäten, entstehen im allgemeinen Fall Differentialgleihungssysteme. Als geeignete Verfahren zur Lösung dieser Gleihungen haben sih Einshritt- und Mehrshritt-Integrationsverfahren erwiesen. Mehrshrittverfahren sind Integrationsverfahren, bei denen die Lösung von vorhergehenden Zeitpunkten benutzt werden. Bei einer numerishen Integration wird die Lösung x(t) im interessierenden Zeitintervall [, T] nur zu diskreten Zeitpunkten t n betrahtet, wobei gilt: t n+1 = t n + h mit n =, 1, 2... (21) Die Größe h wird dabei als Shrittweite bezeihnet. Allgemein gilt für numerishe Integrationsverfahren die Gleihung x n+1 = p p a i x n i + h b i ẋ n i (22) i= i= 1 wobei x n die diskretisierte Funktion von x(t) ist, welhe integriert werden soll. a i und b i sind frei wählbare Koeffizienten. Setzt man p = so erhält man ein Einshrittverfahren. Desweiteren untersheidet man zwishen expliziten Verfahren, bei denen b 1 = ist und implizite Verfahren, bei denen b 1 und damit niht explizit nah x n+1 umstellbar ist. Das einfahste explizite Integrationsverfahren (Einshrittverfahren p = ) ist die explizite Eulerintegration (Forward Euler) mit a = 1, b 1 = und b = 1. Eingesetzt in Gleihung 22 ergibt sih x n+1 = x n + hẋ n (23) Der Vorteil des expliziten Euler-Algorithmus ist seine Einfahheit. Leider hat der Algorithmus shlehte Stabilitätseigenshaften, so daß er in der Praxis höhstens mit impliziten Verfahren EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 12

14 gemisht eingesetzt werden kann (siehe [4] und [5]). Einfahe implizite Einshrittverfahren sind die Implizite Euler-Integration (Bakward-Euler) mit a = 1, b 1 = 1 und b = : x n+1 = x n + hẋ n+1 (24) oder die Trapezregel (Trapezoidal Algorithm) mit a = 1, b 1 = 1/2 und b = 1/2: x n+1 = x n + h 2 (ẋ n+1 + ẋ n ) (25) Diese beiden Verfahren werden in Simulatoren häufig eingesetzt, da sie gute Stabilitätseigenshaften besitzen [5]. Beispiel 5. Gegeben ist ein RC-Tiefpaß R u C u Abbildung 11: RC-Tiefpaß mit der Differentialgleihung: u + 1 RC u = 1 RC u u = 1 RC (u u ) Bei Anwendung des impliziten Euler-Verfahren ergibt sih folgender Ausdruk Auflösen nah u (n+1) ergibt u (n+1) = u (n) = u (n) u (n+1) + h u (n+1) + h RC (u(n+1) u (n+1) ) = u(n) + h RC u(n+1) 1 + h RC Da die Eingangsspannung u bekannt ist, kann die Ausgangsspannung u nun in jeden Shritt bei vorgegebener Shrittweite bestimmt werden Das Companion Modell Die Anwendung der Integrationsverfahren vereinfaht sih, wenn zur Lösung der Differentialgleihungen die dynamishen Element (Kapazitäten und Induktivitäten) wieder ein Ersatzshaltbild benutzt wird. Die Idee ist die gleihe wie beim Newton-Raphson-Verfahren, somit läßt sih das Ersatzshaltbild für die dynamishen Elemente sehr leiht herleiten. EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 13

15 Beispiel 6. Als Beispiel soll das Ersatzshaltbild für eine lineare Kapazität mit der impliziten Euler-Integration hergeleitet werden. Der Zusammenhang zwishen Strom und Spannung an einer Kapazität ist i = C u bzw. u = 1 C i Setzt man nun die Gleihung für das impliziten Euler-Verfahren an, so ergibt sih Umstellen nah i (n+1) liefert u (n+1) i (n+1) = u (n) + h u (n+1) = u (n) + h 1 C i(n+1) = C h u(n+1) C h u(n) (26) Die Gleihung 26 läßt sih wieder in ein Netzwerk interpretieren, zu einer Parallelshaltung von Leitwert G und Stromquelle I (n) G = C h und I (n) = C h u(n) u (n+1) i (n+1) G = C h I (n) = C h u(n) Abbildung 12: Companion Modell einer linearen Kapazität für die implizite Euler-Integration Setzt man für die Kapazität in Abbildung 11 ein so ergibt sih folgendes Netzwerk: R 1 v (n+1) v (n+1) 2 u G (n) = C h I (n) = C h v(n) 2 Abbildung 13: RC-Tiefpaß mit Companion-Modell Wird für das Netzwerk das MNA-Gleihungssystem aufgestellt, so führt dies zu einem iterativen Gleihungssystem, welhes so lange iterativ gelöst werden muß, bis die Simlationszeit t s = n h EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 14

16 erreiht ist. G 1 G 1 1 G 1 G 1 + G (n) 1 v (n+1) 1 v (n+1) 2 i (n+1) u = I (n) u (27) wobei G (n) = C h und I = C h v(n) 2 ist. Nah der Integration mit den Werten R = 1 Ω und C = 1 mf, die Spannung u = 1 V mit der Anfangsbedingung v () 2 = V und der Simulationszeit t s =.1 s bei einer Shrittweite von h =.1 ergibt sih die Spannung über der Kapazität zu: Spannung in V Shritt n Abbildung 14: RC-Tiefpaß Spannungsverlauf Transientanalyse Die Transientanalyse ist gegenüber AC- und DC Analyse wesentlih aufwendiger. Der Lösungsprozeß welher in SPICE zur Lösung im Zeitbereih implementiert ist, ist in Abbildung 15 dargestellt. Grundsätzlih berehnet das Programm zuerst einen stabilen Arbeitspunkt. Die Berehnung beginnt mit Start- oder Initialwerten für den Arbeitspunkt, danah erfolgt ein Iterationsprozeß zur Lösung der nihtlinearen DC-Gleihungen. Dieser iterative Prozeß ist die innere Shleife in Abbildung 15. Er wird für jeden Zeitpunkt wiedeholt, bei dem die Netzwerkgleihungen für die Transientanalyse gelöst werden. Die Zeitbereihslösung repräsentiert die äußere Shleife von Abbildung 15. Hier werden die Methoden zur numerishen Integration angewendet, welhe die nihtlinearen Differentialgleihungen in nihtlineare algebraishe Gleihungen überführen. EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 15

17 3 PRAKTIKUMSVORBEREITUNG Informationselektronishes Praktikum Initialwerte oder Arbeitspunkt Linearisierung der Elemente im Arbeitspunkt Zeitdiskretisierung der Diffenrentialgleihung Laden der linearisierten Elemente in die Systemmatrix Neuer Arbeitspunkt Lösen der linearen Gleihungen nein nein Konvergenz? ja Inkrementiere Zeit Ende des Zeitintervalls? ja Ende Abbildung 15: Flußdiagramm zur Transientanalyse 3 Praktikumsvorbereitung Die Praktikumsvorbereitungsaufgabe dient zur Einarbeitung in die Thematik und soll vollständig zu Praktikumsbeginn vorliegen! Zur Lösung aller Aufgaben kann/soll vorzugsweise Mathematia R oder MATLAB R benutzt werden. 1.) Zeigen Sie, daß das Newton-Raphson-Verfahren, bei Anwendung auf ein System von linear unabhängigen Gleihungen, Ax b = (28) unabhängig von der Startbedingung, exakt in einem Shritt konvergiert. 2.) Leiten Sie das Companion-Modell für eine lineare Kapazität bei Integration mit der Trapezregel her. 3.) Gegeben ist folgende Shaltung: 1 U 2 R 1N4148 Abbildung 16: einfahe Diodenshaltung EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 16

18 4 PRAKTIKUMSDURCHFÜHRUNG Informationselektronishes Praktikum Stellen Sie die MNA-Matrix auf und lösen Sie das Gleihungssystem mit dem Newton- Raphson-Verfahren (Beahte: Verwenden Sie die Leitwertformulierung beim Aufstellen der Matrix, um die Zeilen und Spaltenzahl gering zu halten). Benutzen Sie dabei das Newton-Ersatzshaltbild für eine Diode. Dabei ist folgende Diodengleihung vorgegeben: I D = I S e U D n U T mit U T = 26 mv I S = 2.52 na n = Weiterhin sind folgende Werte für die Shaltung gegeben: R = 5 Ω U = 1 V 4.) Simulieren Sie die einfahe Diodenshaltung aus Abbildung 16 mit LTSpie und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse. 4 Praktikumsdurhführung 1.) Zeihnen Sie den folgenden Diodengleihrihter in LTSpie und führen Sie eine Arbeitspunktanalyse und eine Tansientsimulation durh. Simulieren Sie die ersten 4 ms. 1 U 3 2 C R U aus Abbildung 17: Brükengleihrihter Folgende Daten für den Brükengleihrihter sind gegeben: U tran = 5 V sin (2π 5 t) Spannung für Transientsimulation U DC = 5 V Spannung zur Arbeitspunkteinstellung R = 1 Ω C = 22 µf Verwenden Sie als Dioden wieder die Modelle 1N4148. EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 17

19 Literatur Informationselektronishes Praktikum 2.) Stellen Sie die MNA-Matrix für den Brükengleihrihter auf. Benutzen Sie für die Dioden das Newton-Ersatzshaltbild, sowie die Gleihung und Werte aus der Praktikumsvorbereitung. Bestimmen Sie iterativ den Arbeitspunkt des Gleihrihters mit Mathematia oder MATLAB. 3.) Verändern Sie die MNA-Matrix und Ihr Programm so, daß Sie das Transientverhalten der Shaltung für die Ausgangsspannung u aus für 4 ms bestimmen können bei gegebener sinusförmiger Anregung. Benutzen Sie dabei Abbildung ) Zeihnen Sie die Ausgangsspannung des Transientverlaufes in Mathematia bzw. MAT- LAB und vergleihen Sie dies mit der LTSpie-Simulation. Literatur [1] Chua, Lin: Computer Aided Analysis of Eletroni Ciruits. Prentie Hall, 1975 [2] Ogrodzki: Ciruit Simulation Methods and Algorithms. CRC Press, 1994 [3] Vlah: Computer Methods for Ciruit Analysis and Design. Kluwer, 1983 [4] Horneber: Simulation elektrisher Shaltungen auf dem Rehner. Springer Verlag, 1994 [5] R.Sommer: Vorlesung: Rehnergestützte Entwurfsmethodik (EDA) für Analog/Mixed-Signal-Shaltungen [6] Shwarz: Numerishe Mathematik. Teubner Verlag, 1997 EDA-Methoden FG Elektronishe Shaltungen und Systeme 18

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