Karl-Heinz Zimmermann. Diskrete Mathematik. Books on Demand

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1 Diskrete Mathematik

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3 Karl-Heinz Zimmermann Diskrete Mathematik Books on Demand

4 Prof. Dr. Karl-Heinz Zimmermann TU Hamburg-Harburg Hamburg Germany Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet abrufbar über Alle Rechte vorbehalten c 2006 Karl-Heinz Zimmermann, Autor Herstellung und Verlag: Books on Demand GmbH, Norderstedt Umschlaggestaltung: Wolfgang Brandt, TU Hamburg-Harburg Gedruckt auf säure-, holz- und chlorfreiem Papier Printed in Germany ISBN

5 Für meinen Lehrer Prof. Dr. Thomas Beth

6 VI

7 Vorwort Das Buch entstand aus einer viersemestrigen, jeweils zweistündigen Vorlesung über Diskrete Mathematik, die ich an der Technischen Universität Hamburg- Harburg für Studenden des Informatik-Ingenieurwesens in den letzten Jahren gehalten habe. Dieses Buch behandelt neben den Grundlagen der Diskreten Mathematik auch eine Reihe weiterführender Themen, deren Kenntnis heute von jedem Informatiker und Mathematiker erwartet wird. Es eignet sich für das Selbststudium und als Textbuch zum Gebrauch neben der Vorlesung. Die Diskrete Mathematik ist die Mathematik der endlichen Mengen, besser gesagt, der endlichen Konfigurationen unter Nebenbedingungen. Dabei geht es u.a. um die Abzählung, Konstruktion und Existenz von Konfigurationen und das Rechnen mit Konfigurationen. Wichtige Teilgebiete der Diskreten Mathematik sind Kombinatorik, Graphentheorie, Verbandstheorie, Codierungstheorie, Kryptographie und kombinatorische Optimierung. Zudem stellt die Diskrete Mathematik Algorithmen und Datenstrukturen bereit und ist damit verknüpft mit der Theoretischen Informatik. Im ersten Teil des Buches steht der Aufbau der modernen Mathematik im Vordergrund. Zunächst werden Grundbegriffe der mathematischen Logik und Mengenlehre darstellt, soweit sie als sprachliches Gerüst der modernen Mathematik dienen. Anschließend werden Relationen, insbesondere Abbildungen, Äquivalenzen und Ordnungen, untersucht. Der erste Teil schließt mit dem Aufbau der natürlichen Zahlen sowie der Abzählbarkeit von Mengen. Der zweite Teil führt in die elementare Kombinatorik ein. Zuerst werden Zählprinzipien vorgestellt, die grundlegend für den Aufbau der Kombinatorik sind. Danach wird die Abzählungstheorie der klassischen Abbildungstypen mit Nebenbedingungen entwickelt. Im dritten Teil werden die klassischen euklidischen Ringe, der Ring der ganzen Zahlen und die Polynomringe, sowie die Restklassenringe modulo n untersucht. Die multiplikative Struktur dieser Ringe wird eingehender beleuchtet.

8 VIII Vorwort Im vierten Teil werden zuerst die grundlegenden Eigenschaften linearer Codes skizziert. Anschließend wird die Theorie der endlichen Körper entwickelt und wichtige Klassen linearer Codes vorgestellt. Im fünften Teil wird die Verbandstheorie anhand der Ordnungstheorie aufgebaut. Als wichtiges Beispiel werden Begriffsverbände umfänglicher behandelt. Danach werden boolesche Verbände dargestellt und eine wichtige Klasse boolescher Verbände, Schaltalgebren, untersucht, mit deren Hilfe kombinatorische Schaltkreise beschrieben werden. Der sechste Teil beginnt mit einer Einführung in die Graphentheorie. Dann werden grundlegende Algorithmen für Netzwerke präsentiert und Methoden vorgestellt, um komplexe Optimierungsprobleme näherungsweise zu lösen. Schließlich werden die Grundlagen der linearen Optimierung behandelt. Insbesondere wird gezeigt, dass die adressierten Netzwerk-Probleme durch lineare Programme gelöst werden können. Im letzten Teil wird die kombinatorische Abzählungstheorie nach Pólya entwickelt und das Schubfachprinzip zur Ramsey-Theorie erweitert. Letztere gehört zu den wichtigsten Werkzeugen der existenziellen Kombinatorik. Jedes Kapitel schließt mit einem anwendungszogenen Beispiel und einer Reihe von Selbsttestaufgaben. Lösungshinweise zu diesen Aufgaben findet der interessierte Leser auf meiner Homepage. Das vorliegende Buch kann als Textbuch für Vorlesungen über Diskrete Mathematik dienen. Die folgende Tabelle liefert eine mögliche Zuordnung zwischen Vorlesungen und Kapiteln des Buches: Vorlesung (zweistündig) Kapitel Diskrete Mathematik I 1 bis 11 Diskrete Mathematik II 12 bis 15 (teilweise 15.4), 19 bis 21 Diskrete Mathematik III 22 bis 24, 26 Diskrete Mathematik IV 15.4, 16 bis 18, 25 Danken möchte ich Dr. Prashant Batra, Stefan Goltz, Dr. Andreas Popp, Markus Volkmer und Dr. Otto Wohlmuth, die teils frühere Versionen des Manuskripts durchgesehen haben. Mein Dank gilt auch den Hörern meiner Vorlesungen, die durch ihr großes Interesse und ihre hilfreichen Kommentare an der Entstehung dieses Buches mitgewirkt haben. Danken möchte ich auch Wolfgang Brandt für die Gestaltung der Umschlagseite. Schließlich möchte ich dem Verlag Books on Demand meinen Dank für die gute Zusammenarbeit aussprechen. Hamburg, im Juli 2006 Karl-Heinz Zimmermann

9 IX Mathematische Notation n {1,...,n} N Menge der natürlichen Zahlen N 0 Menge der natürlichen Zahlen inklusive 0 Z Menge der ganzen Zahlen Z n Menge der Restklassen modulo n Z n Menge der Einheiten in Z n Q Menge der rationen Zahlen R Menge der reellen Zahlen R + 0 Menge der nichtnegativen reellen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen leere Menge P(A) Potenzmenge von A A Mächtigkeit von A x größte ganze Zahl kleiner gleich x x kleinste ganze Zahl größer gleich x

10

11 Inhaltsverzeichnis Teil I Grundlagen 1 Grundlagen der Aussagenlogik Aussagen Aussageformen Erfüllbarkeit und Gültigkeit Äquivalenz Schaltungsentwurf Grundlagen der Prädikatenlogik Objekte, Prädikate und Quantoren Existentielle und universelle Quantifizierung Variablen Programmierung Beweistechnik Mengenlehre Mengen und Elemente Verknüpfung von Mengen Mengensysteme Axiomatische Mengenlehre Relationen Das kartesische Produkt Der Relationsbegriff Darstellung von Relationen Komposition Relationale Datenbanken

12 XII Inhaltsverzeichnis 5 Homogene Relationen Darstellung von homogenen Relationen Äquivalenzen Ordnungen Hüllen Abbildungen Der Abbildungsbegriff Spezielle Abbildungen Familien, Folgen und Multimengen Permutationen Analyse von Algorithmen Die natürlichen Zahlen Vollständige Induktion Arithmetik Induktion und fundierte Mengen Schleifenprogrammierung Unendliche Mengen Endliche und unendliche Mengen Abzählbare und überabzählbare Mengen Berechenbarkeit Teil II Elementare Kombinatorik 9 Zählprinzipien Elementare Zählprinzipien Prinzip der doppelten Abzählung Schubfachprinzip Prinzip der Inklusion-Exklusion Kombinationen und Permutationen Kombinationen Repetitionen Permutationen Permutationen und Zykeltypen Variationen Partitionen Mengenpartitionen Stirling-Zahlen Zahlpartitionen

13 Inhaltsverzeichnis XIII Teil III Arithmetik 12 Die ganzen Zahlen Arithmetik der ganzen Zahlen Ringe Beispiele für Ringe Homomorphismen Schleifenparallelisierung Teilbarkeitslehre Division mit Rest Der euklidische Algorithmus Primfaktorisierung Gödelisierung Restklassenringe Restklassenringe Rechnen in Restklassenringen Lineare Kongruenzensysteme Kanonische Zerlegung von Restklassenringen Modulares Rechnen Einheiten in Restklassenringen Einheiten und Nullteiler Die Anzahl der Einheiten Integritätsringe und Körper Gruppen RSA-Verfahren Polynome Polynomringe Teilbarkeitslehre Nullstellen Irreduzible Polynome Polynom-Interpolation Divisionsschieberegister Teil IV Codes 17 Lineare Codes Linearcodes Fehlerkorrigierende Linearcodes Linearcodes von gleicher Qualität Berechnung des Minimalabstandes

14 XIV Inhaltsverzeichnis 17.5 Schranken Modifikation und Kombination Endliche Körper Körperweiterungen Konstruktion und Eindeutigkeit Existenz Polynom-Faktorisierung BCH-Codes Reed-Solomon-Codes Teil V Ordnungen und Verbände 19 Verbände Der Verbandsbegriff Ordnungsstrukturen als Verbände Verbände als Ordnungsstrukturen Unterverbände und Homomorphismen Begriffsverbände Boolesche Verbände Distributive und komplementäre Verbände Boolesche Algebren Normalformen Schaltalgebren Kombinatorische Schaltkreise Teil VI Graphen und Optimierung 21 Graphen Grundbegriffe Wege, Kreise und Zusammenhang Planare Graphen Datenstrukturen und Algorithmen Netzwerke Kürzeste Wege Minimale Spannbäume Maximale Flüsse Die Sätze von Hall, König-Egerváry und Menger

15 Inhaltsverzeichnis XV 23 Kombinatorische Optimierung Komplexitätsklassen Backtracking-Algorithmen Heuristische Algorithmen Greedy-Algorithmen und Matroide Knotenfärbungen Lineare Optimierung Beispiele Lineare Programme und Dualität Der zulässige Bereich und die Rolle der Ecken Ganzzahlige Programmierung Das Simplex-Verfahren Teil VII Kombinatorik 25 Abzählende Kombinatorik Gruppenoperationen Das Lemma von Burnside Färbungen Zykelindikatorpolynome Der Satz von Pólya Anwendungen Existenzielle Kombinatorik Schubfachprinzip Klassische Ramsey-Theorie Untere Schranken Verallgemeinerte Ramsey-Theorie Graphische Ramsey-Theorie Anwendung in der Kommunikationstechnik Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

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