Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de

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1 lausthal ompute-aphik II Komplexität des Ray-Tacings. Zachmann lausthal Univesity, emany cg.in.tu-clausthal.de Die theoetische Komplexität des Ray-Tacings Definition: das abstakte Ray-Tacing Poblem (ARTP) [Reif, Tyga, Yoshida, 1994]: Ein Entscheidungspoblem egeben: ein System von idealisiet spiegelnden und bechenden optischen Elementen (keine Veluste, keine Beugung, monochom. Licht, etc.); ein Stahl (Anfangsposition & Richtung); und ein Punkt P. Fage: tifft de Stahl (nach endlich vielen Umlenkungen) den Punkt P?. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

2 Ein optische ompute Einfache optische Elemente: y 2y y' = y+1 analog: -1 if ( y>0 ) y' = 2.y analog: 2 Daaus kann man komplexe optische Elemente bauen, mit einem Eingangsfenste, und zwei Ausgangsfenste. Zachmann ompute-aphik 2 - SS 08 3 Simulation eine Tuing-Maschine (TM) mittels eines optischen omputes: Ein komplexes Element = ein Zustand eine Tuing-Maschine Das Ausgangsfenste, duch das de Lichstahl das komplexe Element veläßt, entspicht dem nächsten Zustand de TM Binäzahl auf dem Band Lichtstahl mit Koodinaten x,y [0,1] Satz (o. Bew.): Das ARTP ist unentscheidba!. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

3 Einschänkung des ARTP: Nu Spiegel die senkecht zu eine Koodinatenachse stehen Satz (o. Bew.): Dieses eingeschänkte ARTP ist in PSPAE!. Zachmann ompute-aphik 2 - SS 08 Komplexität des Ray-Tacings ealistische Szenen 5 [Isobe,.., Shizuya, 2005] Definition (infomell): ealistische Szene Alle Stahlgänge haben eine Intensität i N Intensitäten sind auf allen möglichen Stahlgängen monoton fallend: i1 i2 i2 i1 Alle Objekte haben eine monotone Reflexionschaakteistik: i1 i2 i1! i2! i2 i1 i1! i2! mit i1! i1 i2! i2. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

4 Definition: das abstakte Ray-Tacing Poblem in diesem Kontext: Ein Entscheidungspoblem egeben: eine ealistische Szene; zwei ausgezeichnete Objekte S und R; ein e > 0, e N. Fage: ibt es einen Stahlgang von S nach R, so daß eine Intensität > e dot eintifft? Achtung: Dastellung im Folgenden läßt einige technische Details weg!. Zachmann ompute-aphik 2 - SS 08 7 Annahme: man kann zu jedem Tipel von Objekten O1, O2, O3 de Szene in polynomielle Zeit entscheiden, ob es einen Stahlgang O1 O2 O3 gibt. Satz (o. Bew.): Das ARTP ist, mit obige Annahme, in polynomielle Zeit bzgl. de Anzahl de Objekte de Szene lösba. Beweisidee: Algoithmus, de auf dynamischem Pogammieen beuht, und ähnlich wie Dijksta's Algo fü shotest paths funktioiniet.. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

5 Aveage-ase Komplexität des Ray-Shootings Annahme: wi vewenden itte als Acceleation Data Stuctue Andee DS gehen analog, nu mühsame Annahme: alle Objekte = Kugeln mit Radius Fage: Wie goß ist die ewatete Anzahl Stahl-Kugel-Schnittests bis zum esten Schnitt Bezeichnungen: S(n) = ewatete Anzahl Schnittests n. Zachmann = Anzahl Kugeln in de Szene ompute-aphik 2 - SS De Poisson sche Punktpozeß Definition: unifome Veteilung von Punkten im Raum n Punkte P1,..., Pn X R3 heißen unifom in X veteilt, wenn fü beliebiges A X gilt P [Pi A] = A,1 i n X wobei A = Vol(A). Definition: homogene Poisson sche Punktpozeß Ein Pozeß, de gemäß obige Definition Punkte unifom veteilt im Raum ezeugt, und fü den gilt n lim = ρ 0, n, X X d.h., die Dichte de Punkte ist konstant, heißt homogene Poisson sche Punktpozeß.. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

6 Satz (o. Bew.): Sei A R3, N (A) = Anzahl Punkte in A Dann gilt: P [N (A) = k ] = (ρ A )k ρ A e,k 0 k! 0.3 f(x,2) k=2 f(x,3) f(x,4) k=3 k= P Zachmann 2 4 A 6 8 ompute-aphik 2 - SS Veeinfachende Annahmen zu Analyse Annahme im Folgenden: zu jedem Stahl bekommen wi in ewatete Zeit O(S(n)) eine Sotieung de zu testenden Kugeln entlang des Stahls 0 itte egibt ungefähe Sotieung de zu testenden Kugeln entlang des Stahls Macht man wähend de Tavesieung des ittes implizit Bemekung: die Ezeugung diese ungefähen Sotieung benötigt ewatete Zeit O(S(n)). Zachmann ompute-aphik 2 - SS

7 Einneung: S(n) = Anzahl getestete Kugeln Sei: S (n) = Anzahl umsonst getestete Kugeln Kla: S(n) = S (n) + 1 Fage: S (n) =?. Zachmann ompute-aphik 2 - SS Zwischenziel: Anzahl Punkte in einem Makkaoni Ziel: bestimme F( ) = Wahscheinlichkeit, daß es einen Schnitt zwischen Stahl und eine Kugel mit t De Raum alle Kugeln, mit Schnitt t gibt : 0 t I = I( ) (Zylinde mit Kugelhälften als Kappen) Veeinfachung: venachlässige die Kugelkappen Ändet am Egebnis nichts wesentliches, wie man im Velauf sehen wid Volumen: I = π 2 τ. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

8 Wahscheinlichkeit, dass sich kein Kugelmittelpunkt in I befindet, ist: P [t0 > τ ] = e ρ I wobei t0 = este Schnittpunkt, = Dichte de Kugelmittelpunkte Behauptung einfach nachechnen: P [t0 > τ ] = 1! k =1 P [N (I) = k ] = 1! (ρ I )k k =1 k! e ρ I =... = 1 e ρ I (e ρ I 1) = e ρ I Daaus bekommt man die Wahscheinlichkeitsveteilungsfunktion F (τ ) = P [t0 τ ] = 1 P [t0 > τ ] = 1 e ρ I. Zachmann ompute-aphik 2 - SS Beechne daaus die Dichtefunktion f( ) (pobability density function, PDF), daß es einen Schnitt bei genau t0 = gibt f (τ ) = F! (τ ) = ρ I e ρ I = ρπ 2 τ e π 2 τ Ziel im Folgenden: wie goß ist die Anzahl de Kugeln, die umsonst getestet weden?. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

9 Anzahl umsonst getestete Kugeln Welche Kugeln weden evtl. umsonst getestet? Annahme: este Schnitt bei t = t0 Also: keine Kugelmittelpunkte s in I(t0) Abe: itte. Zachmann ompute-aphik 2 - SS Wie sieht die Region im Raum aus, die Kugelmittelpunkte enthält, die umsonst getestet weden? M I t=0 t = t0 2 M = π! t0 π 2 t0 = ((s + )2 2 )π t0. Zachmann ompute-aphik 2 - SS

10 Wahscheinlichkeit, daß k Punkte in M liegen, bei bekanntem esten Schnittpunkt: P [t = t0 N (M ) = k ] = (ρ M )k ρ M e k! Wahscheinlichkeit, daß k Punkte in M liegen, bei nicht bekanntem esten Schnittpunkt:! P [N (M ) = k ] = P [t0 = t N (M ) = k ] f (t )dt = t =0! t =0 ρ I e ρ I (ρ M )k ρ M e dt k! =... geometische Veteilung mit q = (! )2 = (1 q )k q. Zachmann ompute-aphik 2 - SS Zusammenfassung: die Wahscheinlichkeit, daß k Kugeln umsonst getestet weden, ist U (k ) = (1 q )k q Die mittlee Anzahl umsonst getestete Kugeln ist 1 S (n) = E [U (k )] = = q!! "2 # s $2 = 1+ mit = Kugelgöße und s = Zellendiagonale Achtung:. Zachmann ompute-aphik 2 - SS 08! " S (n) O