Quantencomputer. Dominik Bauernfeind 26. Juli 2006

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1 Quantencomputer Dominik Bauernfeind 6. Juli 006 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Historischer Hintergrund von Quantencomputern 3 Einführung in die Quantum Computation 7.1 Qubits Quantum Computation Quantum Circuits Quantenalgorithmen Quantenparallelismus Deutsch s Algorithmus Quanten-Fourier-Transformation Quantum Search Algorithmus Quantensimulationen Quantencomputer - Physikalische Realisierung Grundprinzipien für die Realisierung eines Quantencomputers Bedingungen an einen Quantencomputer Harmonischer Oszillator-Quantencomputer Optischer Photonen-Quantencomputer Cavity-QED-Quantencomputer Heteropolymer-Quantencomputer Ionen-Fallen-Quantencomputer NMR-Quantencomputer Festkörper-Quantencomputer Ausblick 33

3 (Intel) 8Power PC 60 (Motorola) 8Pentium Pro (Intel) 'ö; (Motorola) (Intel).Q U 8 8 Power PC 604 (Motorola) Power PC 601 l Motorola) pentium (Inte) H Q) (Motorola) p. 8(1386 (Intel) (Motorola) t/) 1 H (Intel) +J.~ (Motorola) t/) ~ 111 H (Intel) E-i 10 ~ ~ ~ (Intel) (Motorola) 4004 (Intel) Year Abbildung 1: Moore s law 1 Historischer Hintergrund von Quantencomputern Mit dem Begriff Quantencomputer sind heute viele atemberaubende Vorstellungen verbunden, wie: 1. Exponentieller Zuwachs der Rechengeschwindigkeit gegenüber klass. Computern. Erzeugung von echten Zufallszahlen 3. Effizientes Kryptoanalyse und viele mehr Doch neben all diesen vielversprechenden Eigenschaften, die einen Quantencomputer auszeichnen werden, muss v. a. auch auf die dringende Notwendigkeit von Quantencomputern in nicht allzu ferner Zukunft hingewiesen werden. Die historischen Ursprünge der Informatik im Allgemeinen, und des Quantum Computing im Speziellen, sollen nun im folgenden Abschnitt näher erläutert werden. In den letzten 50 Jahren fand eine dramatische Miniaturisierung in der Computertechnologie statt. In den 70-er Jahren des letzten Jahrhunderts entdeckte 3

4 J 15 ".-I IQ ~ Q) e.... U) B 7 "'... ~ "' ~ "' J Year Abbildung : Anzahl der Atome pro Bit Gordon Moore, einer der Gründer von Intel, dass sich die Speicherkapazität eines Chips bei gleichbleibender Größe ungefähr alle anderhalb Jahre verdoppelt. Dies ist gleichbedeutend damit, dass ca. alle 18 Monate nur noch halb so viele Atome benötigt werden um ein Bit an Information zu speichern. Und wenn dieser seit 1950 bestehende exponentielle Trend anhält, würden die Speichereinheiten eines Computers spätestens im Jahre 00 die Grösse von einzelnen Atomen besitzen. Im Bereich dieser Größenordnung spielen Quanteneffekte eine entscheidende Rolle und müssen dementsprechend bei der Konstruktion von Hardware als auch beim Design von Algorithmen berücksichtigt werden. Aus dieser, zukünftig unumgänglichen Symbiose von Computerwissenschaft und Quantenphysik tat sich ein völlig neues Gebiet der Informationstheorie auf, das heute als Quanteninformatik oder Quantum Computing bezeichnet wird. Während sich die Ursprünge der Computerwissenschaft im allgemeinen nicht genau zurückverfolgen lassen, ist die Geburt der Theoretischen Informatik hingegen eng mit den Namen Alan Turing, Alonso Church und Kurt Gödel verbunden. Sie waren die ersten, die unabhängig voneinander mathematische Modelle zur Beschreibung von Rechenprozessen entwickelten, ohne diese an eine direkte Implentierung von Computern zu knüpfen. Unter ihnen war es Alan Turing, der das bis heute wohl einflussreichste Modell entwarf. Der Hintergrund für dieses Modell liegt im sogenannten Entscheidungsproblem begründet, das von dem deutschen Mathematiker David Hilbert im Jahre 198 formulierte wurde. Hilbert fragte, ob es möglich sei einen Algorithmus zu konstruieren, der entscheiden könnte, ob eine mathematische Vermutung wahr oder falsch ist. Es stellte sich heraus, dass die Antwort auf dies Frage nein lautete. Um dies zu beweisen konstruierte Turing jenes Modell, das ihm zu Ehren heute als Turing-Maschine bezeichnet wird. Unter einer Turing-Maschine versteht man ein idealisiertes mathematische Modell eines Computers, das von Turing eingeführt wurde, um das Konzept des Algorithmus auf eine formal strenge Basis zu stellen. Sie besteht aus einem 4

5 Abbildung 3: Turingmaschine unendlich langen Band mit unendlich vielen Feldern, in die jeweils genau ein Zeichen gespeichert werden kann, entweder 0 oder 1. Ein endliche Tabelle von Instruktionen steuert einen Lese-/Schreib-Kopf mit dem die Eingabe modifiziert wird. Abhängig von seinem Zustand, dem Befehl aus der Instruktionstabelle und dem Inhalt des Feldes schreibt er entweder 0 oder 1. Turing gelang es zu zeigen, dass die Turingmaschine alle Operationen durchführen kann, die innerhalb eines Axiomensystems existieren. Church kam unabhängig davon zum gleichen Ergebnis und gelangte sogar zu einer noch stärkeren Aussage. Diese ist heute als Church-Turing-These (1936) bekannt und besagt: Jede Funktion, die intuitive berechenbar ist, kann auch mit einer Turing-Maschine berechnet werden. Eine Turingmaschine kann damit ganz allgemein dafür eingesetzt werden, um Entscheidungsprobleme zu lösen, d. h. Fragen, die mit ja oder nein zu beantworten sind. Dabei wird das Anhalten der Turing-Maschine als ja und das Nicht-Anhalten als nein interpretiert. Unentscheidbare (also nicht beweis- oder widerlegbare) Aussagen sind damit äquivalent, dass eine Turingmaschine unendlich lange braucht, um sie zu bearbeiten. Darüber hinaus lässt sich zeigen, dass jedes mathematische Problem als Entscheidungsproblem formulierbar ist, indem man fragt, ob ein bestimmter Wert eine Lösung für ein konkretes Problem ist. Somit ist jede mögliche Funktion durch eine Turing-Maschine simulierbar. Doch mit einer Turingmaschine kann man weit mehr, als nur eine Vielzahl an Funktionen berechnen. Überaschenderweise lässt sich zeigen, dass man mit einer Turing-Maschine, trotz ihrer Einfachheit, alle Operationen simulieren kann, die auf einem hochmodernen Rechner laufen. Eine weniger abstrakte Formulierung der Church-Turing-These lautet daher: Jedes algorithmische Problem, das in irgendeiner Programmiersprache programmiert und auf irgendeinem dafür geeigneten Computer ausgeführt werden kann (sogar auf Computern, die noch nicht gebaut sind, aber prinzipiell gebaut werden könnten), und selbst wenn 5

6 es unbeschränkt viel Zeit und Speicherplatz für immer größere Eingaben benötigt - jedes solche Programm ist auch durch eine Turing- Maschine lösbar. Die Church-Turing-These gilt als die vielleicht wichtigste These in der Theoretischen Informatik ist bis zum heutigen Tag gültig. Mit dem Bau eines Quantencomputers könnte diese These jedoch erstmals widerlegt werden. 6

7 10) 11) Abbildung 4: Qubit auf Bloch-Sphäre Einführung in die Quantum Computation.1 Qubits Das Bit gilt als die fundamententale Informationseinheit für die klassische Computerund Informationswissenschaft. Quantencomputer und Quanteninformationstheorie basieren auf einem ähnlichen Konzept, dem Quantum bit, oder kurz Qubit. Obwohl Qubits, wie auch Bits, durch physikalischen Systeme realisiert werden können, handelt es sich bei ihnen in erster Linie um mathematische Objekte. Dieser Aspekt erlaubt es uns eine allgemeine Theorie für Quantencomputer und Quanteninformation zu entwickeln, die nicht an irgendein konkretes physikalische System gebunden ist. Analog zum klassischen Bit, dass sich entweder in dem Zustand 0 oder 1 befindet, besitzt auch das Qubit einen Zustand. Dieser kann u. a. 0 oder 1 sein, wobei > die Dirac-Notation eines Zustands bezeichnet. Der entscheidende Unterschied zum klassischen Bit ist jedoch, dass sich ein Qubit nicht nur in den Zuständen 0 und 1 befinden kann, sondern auch in einer Superposition aus den beiden Zuständen: ψ = α 0 + β 1 (1) Die komplexen Amplituden α und β genügen hierbei der Normalisierungsbedingung: α + β = 1 () Der Zustand eines Qubits wird demnach also durch einen Einheitsvektor in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum beschrieben. Die speziellen Zustände 0 und 1 werden auch als Computational Basis States bezeichnet und spannen die orthonormale Basis dieses Vektorraums auf. Die quantenmechanische Eigenschaft eines Qubits, sich in einer Superposition aus 0 und 1 zu befinden, zeigt einen weiteren grundlegenden Unterschied 7

8 zu einem klassischen Bit auf: Es lässt sich nicht exakt bestimmen, in welchem Zustand sich das Qubit gerade befindet. Dies ist gleichbedeutend damit, dass man keine Aussagen über die Werte der Amplituden α und β eines Zustands machen kann. Bei einer Messung des Zustands kollabiert das Qubit entweder in den Zustand 0, mit Wahrscheinlichkeit α, oder in den Zustand 1, mit Wahrscheinlichkeit β. Einen Zustand aus gekoppelten Qubits bezeichnet man als Quantum Register. Bei einem klass. Computern kann sich ein Register stets nur in jeweils einem Zustand befinden. Bei einem klassischen Zwei-Bit-Register also entweder in den Zuständen 00, 01, 10 oder 11. Bei einem Quantencomputer kann sich ein Register hingegen in allen Zuständen gleichzeitig befinden. Der Zustand eines n-qubit-quantum Registers wird dabei aus dem Tensor-Produkt der n Qubits gebildet. Für ein Quantum Register aus zwei Qubits mit q 0 = a 0 + b 1 und ergibt sich somit: q 1 = c 0 + d 1 q R = q 0 q 1 = (a 0 + b 1 ) (c 0 + d 1 ) = = (ac) (ad) (bc) (bd) 1 1 = = c c c 10 + c 3 11 = = c c c + c 3 3 = 3 = c i i (3) i=0 Und allgemein ergibt sich für ein Quantum Register aus n Qubits entsprechend: q R = q 0 q 1 q n q n 1 = = q 0 q 1 q n q n 1 = = c c c n 1 n 1 = = n 1 i=0 c i i (4) wobei die Koeffizienten c i der Normierungsbedingung n 1 i=0 c i = 1 (5) genügen. Die Eigenschaft eines Quantum Registers aus n Qubits n Koeffizienten zu speichern ist dabei ein erster Hinweis auf den exponentiellen Geschwindigkeitszuwachs eines Quantencomputers gegenüber einem klassischen Computer. 8

9 x --1: ~-~ x 0 -t_-~~j- x Abbildung 5: klassisches Copy-Gate. Quantum Computation Der Rechenprozess eines Quantencomputers entspricht der zeitlichen Entwicklung des Input-Quantum-Registers. Für die Beschreibung eines Rechenprozess eignet sich dabei besonders das Standard Circuit Model. Im Gegensatz zum Modell von Turing ist dieses viel weniger abstrakt und selbst komplexe Rechenprozesse lassen sich damit noch relativ einfach sukzessive nachvollziehen. Im Standard Circuit Model der klassischen Informatik wird ein Computer durch Kombinationen aus elektr. Schaltkreisen repäsentiert. Diese wiederum bestehen aus Leitungen, die Information transportieren, und logischen Gates, die Information transformieren. Analog dazu wird ein Quantencomputer mithilfe des Quantum Circuit Models beschrieben, bestehend aus Quantenleitungen und Quanten-Gates. Einige klassische logische Gates können auch durch Quantengatter implementiert werden, wohingegen manch andere nicht unmittelbar auf das Quantum Circuit Model übertragen werden können. Der Grund hierfür soll weiter unten noch erklärt werden. Betrachen wir zu Beginn als einfachstes Beispiel das klassische NOT-gate. Es ist dadurch definiert, dass es die beiden Zustände 0 und 1 vertauscht, d. h. 0 1 und 1 0. Man sagt auch, die Bits werden geflippt. Analog sollte ein Quanten-NOT-Gate also derart auf ein Qubit wirken, dass aus dem Zustand 0 der Zustand 1 wird, und umgekehrt. Um jedoch zu verstehen, wie ein Quantum Gate auf eine Superposition aus den Zuständen 0 und 1 wirkt, muss noch eine wichtige Eigenschaft der Gates erwähnt werden: Quanten Gates transformieren Qubits linear. Im Fall unseres Quanten-NOT-Gates bedeutet dies, dass der Zustand in den Zustand ψ = α 0 + β 1 (6) ψ = β 0 + α 1 (7) überführt wird, wobei die Zustände 0 und 1 geflippt wurden. Aufgrund der erwähnten linearen Transformationseigenschaft der Quanten Gates ist es nun möglich diese durch Matrizen darzustellen. Im Fall eines einzelnen Qubits handelt es sich dabei um -Matrizen. Das NOT-gate kann in der Matrixdarstellung dann wie folgt definiert werden: ( ) 0 1 X (8) 1 0 Wenn nun der Zustand ψ = α 0 + β 1 als Spaltenvektor geschrieben wird, 9

10 IA)I IA) IE) IE E9 A) Abbildung 6: CNOT-Gate ψ = [ α β mit der zu 0 korrespondierenden Amplitude als erstem Eintrag, und der zu 1 korrespondierenden Amplitude als zweitem, so kann die Operation durch das NOT-gate dargestellt werden als ( ) [ α β ] ] = [ β α ] (9) (10) Erstaunlicherweise zeigt sich, dass ein beliebiges Quantum Gate U nur einer einzigen Bedingung genügen muss, die wiederum der Normalisierungsbedingung α + β = 1 zugrunde liegt: Es muss unitär sein, d. h. U U = I, wobei U der zu U adjungierte Operator ist, und I die Einheitsmatrix repräsentiert. Demzufolge kann jede beliebige unitäre -Matrix einem bestimmten Quantum Gate für ein einzelnes Qubit entsprechen. Die Unitarität der Quantum Gates hat auch zur Folge, dass diese, im Gegensatz zu klass. Gates, reversibel bzw. invertierbar sind. Dies bedeutet, dass sich aus dem Output reversibel auf den Input schließen lässt und somit keine Information verloren geht. Im Fall eines einzelnen Qubits als Input spielt neben dem bereits erwähnten NOT-Gate v. a. noch das Hadamard-Gate eine bedeutende Rolle. Es kann getrost als eines der wichtigsten Gates im Quanten Computing bezeichnet werden und hat folgende Matrixdarstellung: ( ) 1 1 H = (11) 1 1 Die Wirkung des Hadamard-Gates auf die Zustände der Computational Basis ist folgende: 0 + = 1 ( ) (1) 1 = 1 ( 0 1 ) (13) Das wohl wichtigste Quantum Gate, das mehr als ein Qubit transformiert, ist das Controlled-NOT- oder CNOT-Gate. Es wirkt auf zwei Qubits, ein Control- und ein Target-Qubit. Wenn sich das Control-Qubit im Zustand 0 befindet bleibt das Target-Qubit unverändert. Wohingegen das target Qubit geflippt wird, wenn sich das Control-Qubit im Zustand 1 befindet: 10

11 (14) Der Zwei-Qubit-Zustand ij ergibt sich dabei aus dem direkten Produkt i j der beiden Ein-Qubit-Zustände, wobei dem ersten Qubit i aus konventionellen Gründen dem Control-Qubit zugeordnet wird, und j dem Target- Qubit. Das CNOT-Gate hat dann folgende Matrixdarstellung: U CN = (15) Natürlich gibt es noch viele weitere wichtige und interessante Quantum- Gates. Die besondere Stellung des CNOT-Gates liegt jedoch im Universalitäts- Theorem begründet, das besagt: Jedes beliebige Multiple-Qubit-Gate kann aus CNOT- und Ein-Qubit- Gates erzeugt werden. Somit lässt sich jeder Rechenprozess eines Quantencomputers allein basierend auf Kombinationen aus CNOT-Gates und allgemeinen unitären Rotationen von einzelnen Qubits erzeugen..3 Quantum Circuits Wie bereits erwähnt bestehen Quantum Circuits aus Leitungen und Gates. Unter einer Leitung in einem Quantum Circuit sollte man sich allerdings nicht eine Leitung im klassischen Sinn vorstellen. Sie kann hingegen, von links nach rechts gelesen, als zeitliche Richtung eines Rechenprozesses interpretiert werden, oder auch als ein physikalisches Teilchen, wie beispielsweise ein Photon, dass sich durch Raum und Zeit bewegt. Es gibt des weiteren noch einige grundlegende Unterschiede zum klassischen Circuit Modell. Zum einen sind keine Schleifen erlaubt, d. h. keine Rückkopplung von einem Teil des Kreises zu einem anderen. Und zum anderen ist es nicht möglich ein Qubit zu kopieren, was im klassischen Computing ein gängiger Prozess ist. Dies ist im Non-Cloning-Theorem begründet, welches im Folgenden bewiesen werden soll. Angenommen es würde ein Copy-Gate C existieren, dass zwei beliebige (unterschiedliche) Qubits als Input erhält und zwei identische Qubits als Output ausgibt, indem es o. B. d. A. die Information des ersten Qubits auf das zweite schreibt: C q0 = qq (16) Nun wollen wir eine Kopie von zwei Qubits q und b erzeugen, indem wir das Copy-Gate C auf sie wirken lassen: 11

12 C q0 = qq (17) C b0 = bb (18) Des weiteren sollen die Zustände der beiden Qubits orthogonal sein, d. h. b q = q b = 0. Dann lässt sich folgende Superposition c aus den beiden Zustände q und b bilden: c = 1 ( q + b ) (19) Erzeugen wir nun einen zwei-qubit-zustand c0 und lassen dass Copy-Gate C darauf wirken, so erhalten wir: C c0 = 1 C( q + b ) 0 >= 1 C( q0 + b0 ) = = 1 (C q0 + C b0 ) = 1 ( qq + bb ) (0) Andererseits gilt aber: C c0 = cc = 1 ( q + b ) 1 ( q + b ) = was im Widerspruch zu (0) steht. = 1 ( qq + qb + bq + bb ) (1) 1

13 Abbildung 7: Quantencircuit, um f(0) und f(1) gleichzeitig zu berechnen 3 Quantenalgorithmen 3.1 Quantenparallelismus Ein grundlegendes Merkmal vieler Quantenalgorithmen ist die Ausnutzung des Quantenparallelismus. Kurz gesagt erlaubt es die Eigenschaft des Quantenparallelismus auf einem Quantencomputer eine Funktion f(x) für beliebig viele Werte von x gleichzeitig zu berechnen. Um dies an einem einfachen Beispiel zu verdeutlichen betrachten wir eine Funktion f mit der folgenden Eigenschaft: f : {0, 1} {0, 1} () Eine Möglichkeit solch eine binäre Funktion mithilfe eines Zwei-Qubit-Quantencomputers zu berechnen soll nun erläutert werden. Mit einer Sequenz aus bestimmten Quantum Gates, die wir hier der Einfachheit halber als Black-box betrachten, lässt sich der Anfangszustand x, y in den Zustand x, y f(x) überführen. Hierbei steht der Operator für die Addition modulo, die wiefolgt definiert ist: 0 0 = = = = 0 (3) Diese unitäre Transformation wollen wir mit U f bezeichnen: U f : x, y x, y f(x) (4) Der Zustand des Data-Qubits x bleibt somit stets unverändert, wohingegen das Target-Qubit im Falle von y = 0 den Wert von f(x) annimmt. Betrachten wir nun folgenden Circuit, bei dem sich das Data-Qubit in einer gleichgewichteten Superposition aus den beiden Computational Basis Zuständen befindet. Dieser kann erzeugt werden, indem man ein Hadamard-Gate auf den Zustand 0 wirken lässt: Wenn wir nun die Transformation U f auf diesen Quantenregister anwenden, erhalten wir folgenden Output: 1 ( ) 0 1 ( 0, f(0) + 1, f(1) ) (5) 13

14 Dies zeigt eindrucksvoll die Wirkung des Quantenparallelismus: Der Output enthält sowohl Information über f(0) als auch über f(1). Somit wurde f(x) mit einer einzigen Transformation gleichzeitig für zwei unterschiedliche Werte von x berechnet. Dies ist klassisch mit einem einzigen Circuit für f(x) nicht möglich. Ein Quantencomputer nutzt jedoch die Möglichkeit sich in einer Superpositionen aus verschiedenen Zuständen zu befinden. Dieser Algorithmus kann leicht auf Funktionen verallgemeinert werden, die nicht nur auf zwei, sonder ganz allgemein auf n Qubits wirken. Hierzu macht man Gebrauch von der sogenannten Hadamard-Transformation. Bei der Hadamard- Transformation handelt es sich schlichtweg um n Hadamard-Gates, die parallel auf n Qubits wirken. Für den Fall n = und einem Input aus Qubits im Zustand 0 erhalten wir nach einer Hadamard-Transformation: ψ = 1 ( ) 1 ( ) = = 1 ( ) = = 1 ( ) (6) Und allgemein für eine Hadamard-Transformation von n Qubits im Zustand 0 : ψ = 1 n 1 x (7) n Mit einer Hadamard-Transformation lässt sich somit eine gleichgewichtete Superposition aus allen Computational Basis Zuständen erzeugen. Dies verdeutlich wiederum die hohe Effizienz von Quantenalgorithmen: Mithilfe von nur n Gates wird eine Superposition aus n Zuständen erzeugt. Funktionen mit einem Input von n Qubits und einem Output von einem Qubit können unter Ausnutzung des Quantenparallelismus dann wiefolgt berechnet werden. Zuerst wird ein n + 1 Qubit Anfanszustand der Form erzeugt. Anschließend wird auf dessen erste n Qubits die Hadamard-Transformation angewendet, gefolgt von der Transformation U f. Als Output erhält man dann den Zustand: x=0 ψ = 1 n 1 x f(x) (8) n x=0 Mit diesem Algorithmus ließe sich somit die Funktion f für n Werte von x gleichzeitig berechnen. Der Haken ist jedoch, dass man den Output Zustand messen muss, um Information zu erhalten. Dabei kollabiert er in einen einzigen Zustand, was demzufolge auch nur einen einzigen Wert von f liefert. Dies wäre natürlich auch mit jedem klassischen Computer berechenbar gewesen. Der Vorteil von Quantencomputern gegenüber klassischen Computern kann also nicht alleine auf Ausnutzung des Quantenparallelismus basieren. Dies soll nun im nächsten Abschnitt erläutert werden. 14

15 10) x x,. Uf.11) : H Y yffif(x t t t t Ill/Jo) \ll/jl) 11l/J) 11l/J3) Abbildung 8: Circuit zur Implementierung von Deutsch s Algorithmus 3. Deutsch s Algorithmus Deutsch s Algorithmus kombiniert in eindrucksvoller Weise Quantenparallelismus mit der quantemechanischen Eigenschaft Interferenz. Dazu betrachten wir wiederum einen Zwei-Qubit-Quantencomputer und starten mit den Input-Qubits 0 und 1. Darauf lassen wir je ein Hadamard-Gate wirken, was uns die Zustände + = 1 ( ) bzw. = 1 ( 0 1 ) (9) liefert. Anschließend wenden wir die Transformation U f an, gefolgt von einem weitern Hadamard-Gate auf das erste Qubit. In Einzelnen sieht der Algorithmus dann wiefolgt aus: ψ 0 = 01 H : ψ 0 ψ 1 = U f : ψ 1 ψ = ψ ψ 3 = ± 1 [ ] [ ] [ ] [ ] ± ] [ ] ± 0 1 [ 0 1 ] [ ± [ ] 0 1 für f(0) = f(1) für f(0) f(1) für f(0) = f(1) für f(0) f(1) Unter Berücksichtigung, dass f(0) f(1) = 0, für f(0) = f(1) und sonst 1, kann man den Output-Zustand dann auch schreiben als: [ ] 0 1 ψ 3 = ± f(0) f(1) (30) Demnach kann man durch Messung des ersten Qubits eine global property von f bestimmen, nämlich f(0) f(1). Dies ist in der Tat bemerkenswert, 15

16 da ja nur eine einzige Berechnung von f(x) erfolgte. Mit einem klassischen Algorithmus hätte man mindestens zwei Rechnungen durchführen müssen, um das gleiche Ergebnis zu erzielen. Der grundlegende Unterschied eines auf einem Quantencomputer generierten Zustands der Form f(0) 0 + f(1) 1 zu einem klass. generierten, der mit 50%iger Wahrscheinlichkeit entweder f(0) oder f(1) liefert besteht darin, dass sich auf einem klass. Computer die beiden Möglichkeiten exklusiv ausschließen. Auf einem Quantencomputer ist es hingegen möglich, dass diese beiden Möglichkeiten interferieren und somit eine global property von f liefern, wie es mit Deutsch s Algorithmus gezeigt wurde. 3.3 Quanten-Fourier-Transformation Die wohl größte Entdeckung im Quantum Computing war jedoch, dass Quantencomputer dazu in der Lage wären eine Reihe von Problemen effizient zu lösen, die mit klassischen Computern nicht lösbar sind. Quantenalgorithmen, die auf der Quanten-Fourier-Transformation basieren, bearbeiten manche Probleme zum Teil exponentiell schneller als die besten bekannten klassischen Algorithmen. Ein Beispiel hierfür ist die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl mit n Bits. Der beste klassische Algorithmus, der number field sieve, benötigt hierfür exp(o(n 1/3 log /3 n)) Operationen. Die Rechenzeit hängt demnach exponentiell von der Größe der zu faktorisierenden Zahl ab, was auf einem klassischen Computer schon bei geringfügig großen Zahlen zu einem unlösbaren Problem wird. Im Gegensatz dazu benötigt Shor s Quanten-Algorithmus für dasselbe Problem lediglich O(n lognlog(logn)) Operationen, und arbeitet somit exponentiell schneller als der number field sieve. Zur Erinnerung: Die diskrete Fourier-Transformation bildet einen Vektor x der Länge N, mit den komplexen Elementen x 0,..., x N 1 auf einen Vektor y der Länge N ab. Die komplexen Elemente y 0,..., y N 1 von y sind dabei wiefolgt definiert: y k 1 N 1 x j exp(πijk/n) (31) N j=0 Die Quanten-Fourier-Transformation hat exakt dieselbe Form, wobei einzig die Notation unterschiedlich ist. Sie ist definiert als ein linearer Operator, der einen Satz von Zuständen einer orthonormalen Basis 0,..., N 1 analog transformiert: j 1 N 1 exp(πijk/n) k (3) N k=0 Der Haken ist jedoch auch hier, dass sich das Qubit nach einer Messung in einem Eigenzustand befindet, und die Amplituden y k somit nicht direkt zugänglich sind. Die vielversprechenden Anwendungen der Quanten-Fourier- Transformation, wie beispielsweise der bereits erwähnte Algorithmus zum Faktorisieren von Primzahlen, sind allerdings Grund genug weiter in diese Richtung zu forschen. Im Hinblick auf technische Anwendungen könnten dabei insbesondere 16

17 bereits existierende Quanten-Algorithmen zum order-finding oder zum Finden des diskreten Logarithmus eine große Rolle beim Knacken von RSA public-key Kryptosystemen spielen. 3.4 Quantum Search Algorithmus Als einführendes Beispiel für die Anwendung von Such-Algorithmen mag das Handlungsreisendenproblem dienen: Es sei eine Landkarte mit N Städten gegeben. Nun soll die kürzeste Route gefunden werden, um durch alle Städte auf dieser Karte zu fahren. Mit klassischen Computern benötigt man hierfür ca. N Operationen. Der von Grover gefundene Quantenalgorithmus löst dieses Problem hingegen in nur N Operationen. Grover s Algorithmus ist jedoch nicht allein auf das Lösen dieses Problem beschränkt, sondern generell auf alle Such-Probleme, speziell Datenbanksuche, anwendbar. Im allgemeinen zielen Such-Algorithmen darauf ab, aus einem Array der Länge N ein Element mit einer bestimmten Eigenschaft in möglichst geringer Zeit herauszufiltern. Der quadratische Geschwindigkeitszuwachs von Grover s Quantum Search Algorithmus mag vielleicht etwas blass erscheinen im vgl. zum exponentiellen Geschwindigkeitszuwachs bei Shor s Algorithmus. Trotzdem ist Grover s Algorithmus von großem Interesse, da er einen viel weiteren Anwendungsbereich abdeckt, als Algorithmen, die auf der Quanten-Fourier-Transformation basieren. 3.5 Quantensimulationen Schon im Jahre 198 bemerkte der Nobelpreisträger Richard Feynman, dass es nicht möglich ist mit einer klassischen Turing Maschine ein Quantensystem zu simulieren, ohne dafür eine exponentielle Verlangsamung der Rechengeschwindigkeit in Kauf zu nehmen. Daraufhin stellte er die Frage, ob es möglich wäre Quantensysteme mithilfe von Quantencomputern effizient zu simulieren. Und in der Tat könnten Simulationen von Quantensystemen ein weiteres großes Anwendungsgebiet für Quantencomputer sein, da sich diese auf klassischen Computern nur mit großem Aufwand und enormen Bedarf an Speicherkapazität realisieren lassen. Der Grund hierfür ist, dass die Zahl der komplexen Parameter, die benötigt werden um ein Quantensystem zu beschreiben, exponentiell mit der Größe des Systems wächst, im vgl. zu einem linearen Anwachs bei klassischen Systemen. Generell benötigt ein klassischer Computer ca. c n Bits um einen Quantenzustand eines Systems mit n unterschiedlichen Komponenten zu speichern. Hierbei ist c eine Konstante, die abhängig ist von Details des Systems, sowie der gewünschten Genauigkeit zur Beschreibung des Systems. Im Gegensatz dazu würde ein Quantencomputer nur kn Qubits benötigen, um diesselbe Simulation durchführen. Wobei auch hier k eine Konstante ist, die von Details des Systems abhängt. Dies würde es erlauben mithilfe von Quantencomputern eine Reihe von Simulationen durchzuführen, die auf klassischen Computern als nicht effizient simulierbar gelten. Doch eine hohe Rechengeschwindigkeit ist nicht damit gleichzusetzen, dass man auch die gewünschten Informationen erhält. Denn der Haken ist auch hier, dass bei einer Messung des Quantenzustands dieser in einen bestimmten Eigenzustand kollabiert und all die versteckte Information in der Wellenfunk- 17

18 tion nicht mehr direkt zugänglich ist. Ein entscheidender Schritt im Bereich der Quantensimulationen ist daher die Entwicklung von Verfahren, die es uns ermöglichen gewünschte Informationen aus den Meßergebnissen zu extrahieren. 18

19 Abbildung 9: Atomares Zwei-Niveau-System als Qubit 4 Quantencomputer - Physikalische Realisierung 4.1 Grundprinzipien für die Realisierung eines Quantencomputers Die Grundbausteine eines Quantencomputers sind Qubits. Im Allgemeinen können diese durch jedes beliebige quantenmechanische Zwei-Zustandssystem repräsentiert werden. Doch es genügt nicht allein Qubits zu realisieren. Es müssen vielmehr auch adäquate Systeme gefunden werden, in denen sich die Qubits wie gewünscht verhalten bzw. entwickeln. Des weiteren muss es uns möglich sein Qubits in speziellen Anfangszuständen zu preparieren, sowie schließlich deren Endzustände als Output zu messen. Die grundlegenden Voraussetzungen an einen Quantencomputer scheinen sich jedoch zu widersprechen: Auf der einen Seite sollte ein Quantencomputer möglichst isoliert von seiner Umwelt sein, damit es zu keinen Interferenzerscheinungen kommt und die Qubits ihre Eigenschaften beibehalten. Auf der anderen Seite müssen die Qubits zugänglich sein, um für Rechnungen manipuliert zu werden, sowie um am Ende deren Ergebnisse auszulesen. Für eine realistische Implementierung muss also einen Mittelweg zwischen diesen beiden Bedingungen gefunden werden. Und die grundlegende Frage scheint nicht zu sein, wie man einen Quantencomputer bauen kann, sondern vielmehr wie gut man ihn bauen kann. Um darüber zu entscheiden, welche physikalischen Systeme potentielle Kandidaten für Quantencomputer sind, muss man v. a. auch ein Augenmerk auf Quantum noise bzw. Dekohärenz richten, was einen Informationverlust zur Folge hat. Quantenfehlerkorrektur spielt daher bei der Implementierung von Quantencomputern eine bedeutende Rolle. Grund hierfür ist, dass der zeitliche Umfang einer Quantenrechnung stark von der Kohärenz des Systems abhängt. Die größtmögliche Anzahl von Operationen pro Quantenrechnung ist ungefähr durch n op = λ 1 = τ Q τ op (33) gegeben. Hierbei ist τ Q die Kohärenzzeit des Systems und τ op die Zeit, die benötigt wird um elementare unitäre Transformationen durchzuführen. Diese beiden Zeiten sind eng miteinander verknüpft und stark abhängig von der Kopp- 19

20 Abbildung 10: Kohärenzzeiten für verschiedene Systeme lung des Systems an die Umwelt. Nichtsdestotrotz zeigt sich, dass sich n op für verschiedene Systeme über mehrere Größenordnungen hinweg erstrecken kann, wie in Abbildung 10 gezeigt. 4. Bedingungen an einen Quantencomputer Zur Realisierung eines Quantencomputers müssen daher eine Reihe von Bedingungen erfüllt sein: 1. Identifikation einzelner Qubits. Adressierbarkeit und Auslesen der Bits 3. Implementierung von Quanten-Gates 4. Schwache Dekohärenz 5. Effiziente Implementierung von Fehlerkorrektur 6. Skalierbarkeit von wenigen auf viele Qubits Ein entscheidender Punkt bei der Realisierung eines Quantencomputers ist, dass der Satz der möglichen Zustände endlich sein muss. Darüber hinaus ist es wünschenswert ein symmetrisches System zu haben, um die Auswirkungen der Dekohärenz auf ein Minimum zu reduzieren. Betrachten wir beispielsweise ein Spin-1/-Teilchen. Es lebt in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum, der von den Zuständen + und aufgespannt ist und kann keine Zustände außerhalb dieses Vektorraums annehmen. Ausreichend isoliert wäre es daher ein nahezu perfektes Qubit. Wie bereits in Abschnitt. erwähnt wurde kann jede unitäre Transformation durch einen Satz von One-Qubit-Gates kombiniert mit CNOT-Gates erzeugt. Das oberste Ziel für angewandte Quantenrechnungen ist daher diese beiden Formen von logischen Gates zu realisieren. Eine der größten Herausforderungen, um vernünftgige Rechnungen durchzuführen, ist die möglichst exakte Preparation des Anfangszustands. Dies kann im Fall von Qubits äußerst aufwendig sein, abhängig vom gewählten System. 0